107高中數學課程 的 新方向
MTS 2016
單維彰
國立中央大學師資培育中心與數學系
民國105年11月12日
素養、數位、特色課程
高二分軌,三類課程終點
「文」與「商」的分離
數學作為一種語言
把握「素養」的精神
自然且常態地使用Calculator
可觀察,可實驗(忌盲動,慎歸納)
加深 vs 加廣的數學選修課程
高中數學分三軌
「社會組」和「文組」的分辨
「社會組」和「自然組」的分辨
數學素養
Literacy
Numeracy
Mathematical Literacy
知某數.識某文
數學素養— PISA 2011 版
在不同情境脈絡中,個人能辨識、做及運用數學 的能力,以及藉由描述、建模、解釋與預測不同 現象,來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。
數學素養是連續的,即數學素養愈高的人,愈能善用數學 工具做出有根據的判斷,這也正是具建設性、投入性及反 思能力的公民所需具備的。
臺灣 PISA 國家研究中心 (民100)
數學素養— PISA 2013 版
個人有能力在多樣的情境中去形成、應用與詮譯 數學,這包括了數學化推理與使用數學概念、程 序、事實與工具來描述、解釋與預測現象。
數學素養輔助個人認知到數學在世界上扮演的角色,促成 建設性、積極參與以及能反思的公民所需之周延有據的判 斷與決策。
OECD (2013)
數學素養— 國民素養版
個人的數學能力與態度,使其在學習、生活與職 業生涯的情境脈絡中面臨問題時,能辨識問題與 數學的關聯,從而根據數學知識、運用數學技能、
並藉由適當工具與資訊,去描述、模擬、解釋與 預測各種現象,發揮數學思維方式的特長,做出 理性反思與判斷,並在解決問題的歷程中,能有 效與他人溝通觀點 。
李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏 (2013)
數學素養的思想原則
數學作為一種語言(支持終身學習)
重視數學中的文化素材
(對學習者)有意義的學習脈絡
實踐「以人為本」的核心內涵
數學作為一種語言
1—4年級:母語的學習
搭配自然語言的日常意義而學習
5—10年級:基礎外語的學習
輔以母語的第二語言學習
以支援終身學習(掃除文盲)為基本原則
11—12年級:專業外語的學習
滿足專業或博雅的需求,不必假扮動機與情境
目標清楚、鷹架完整、講究效率
高中數學作為一門學科
學科 vs 學術
學科:School Subject / 在規劃中達成目標 (PCK) (考試)
學術:Academic Discipline / 產生新的知識或典範
理工商管社醫農之普通高中數學學科 (2A、甲、乙):
作為大學之數學相關共同基礎
微積分、線性代數、統計 計算機概論/原理
的預備教育(專業)
文史法政藝美之普通高中數學學科 (2B):
作為文化傳承者的博雅教育(素養)
例 1:11B 內容綱要
較早介紹圓錐曲線,視覺與投影的認識
仍有條件機率與貝氏定理,但以列聯表作為工具
仍有空間概念但強調截面的認識,外加球面的經緯線
比例問題的再現,搭配設計觀點的平面幾何
仍有弧度量但僅以正弦函數描述週期現象
不但有指數函數而且認識連續複利
例 2:多項式函數
繼續調整多項式的教學方向
99:刪除其對應正整數的代數性質
107:延後方程式論的課題,不急著求根
函數圖形的特徵
大域由最高次項決定
局部像一條直線
從二次函數提升到三次函數
相對極值與反曲點的前置經驗
例 3:向量與矩陣
繼續調整向量的教學方向
99:弱化平面向量、強調線性組合
107:減輕位移向量,加重位置向量
線性組合
矩陣乘法與聯立方程式的一致性表徵
向量作為點的「交通工具」
(坐標方法足以取代平面向量)
平面向量可僅為空間向量的簡化類比
計算機 Calculator
已經談了卅年,不願再「談」下去
不好高騖「電腦」「平板」
每台300元以內的「公平」
不取代手算 與化簡
數的客觀存在;常態化
用來「學數學」:實驗、探索、真情境
1 1
12
2 3
數的客觀存在
指數:分數或小數次方是什麼?算
對數:log 7「10的幾次方是7」?算
科學記號數字的「尾數」(mantissa)
通過原點的直線與極坐標,算
(從直線上的點坐標「定義」三角比)
三角:斜率與兩直線夾角,算
無坐標:arcsin、arccos,有坐標:arctan
極限的逼近意涵
多項式函數的極限(通常)是假議題
超越函數的不定形式極限才有趣
弧度量的動機
標準指數的動機
0
lim sin
x
x
x
0 0
2 1 3 1 lim 1 lim
x x
x
x
xx
加深、加廣選修課程
加深 or 加廣
都與升學有關:須嚴謹而公開
遺珠之集結
較易實施,留意其意義與價值
加深
著重於銜接
加廣
仍須著重素養
遺珠集結
排列組合
多項式與正整數
轉移矩陣
線性規劃
平面幾何中的向量方法
圓錐曲線
遺珠集結
排列組合
多項式與正整數
轉移矩陣
線性規劃
平面幾何中的向量方法
圓錐曲線
加深:高中必修 大學基礎
微積分
銜接高一多項式(泰勒形式)
從多項式除法原理到導數的極限定義
相對極值 二次多項式函數的特徵
反曲點 三次多項式函數的特徵
連續複利與標準指數的動機
弧度量作為三角函數自變數單位的動機
加深:高中必修 大學基礎
統計
目的:從資料中擷取訊息
工具:統計,必須使用電腦 Computer
語言:機率
銜接高一數據分析、高二貝氏定理
搭配選修微積分,延伸至連續型隨機變數的分布
信賴區間與信心水準
加深:高中必修 大學基礎
線性代數 or 矩陣計算
從高二必修的二維(二階)推廣到高維
高斯消去法的推廣與應用:必須使用電腦
特徵向量與特徵值(轉移矩陣)
基底概念與線性映設的對應矩陣
矩陣的相似性與不變量
矩陣的分解
加深:高中必修 大學基礎
離散數學 or 有限數學
計數方法的典型應用
樹狀圖的推廣:圖與網路的實用模型
銜接矩陣計算
銜接計算機的數學原理
加深:高中必修 大學基礎
計算機的數學原理
進位制的原理與轉換
基本資料型態:文字、顏色、圖像、數值
檔案系統與網域系統的樹狀結構
數位邏輯的數學原理(真值表與布林代數)
計算機的有限性誤差
編碼與密碼的原理及其應用範例
《計算機概論 16 講》
加廣:增進素養的教育
數學建模
建國中學林信安老師
math1.ck.tp.edu.tw/林信安/math.htm
Google「數學建模範例」
加廣:增進素養的教育
數學軟體
數值計算或數據分析
Matlab 或者 Python + R
符號計算或電腦代數系統 (CAS)
Maple、Mathematica 或者 Maxima
平面和立體幾何 GSP
各種 App 與雲端工具
加廣:增進素養的教育
數學文化 or 《文化脈絡中的數學》
中央大學 #1 通識課程
教育部「全國傑出通識教育教師」獎
「台灣通識網」優質課程(影片)
授課網站含教材,投影片,作業題庫:
shann.idv.tw/Teach/liberal/kernel
加廣:增進素養的教育
數學與藝術 (交通大學陳明璋 MOOC 認證)
線段篇 PPT + AMA
功夫篇 錯覺設計 對稱造型 密貼圖
古典碎形 山水畫設計
收縮圖 伊斯蘭幾何造型 Escher 造型
分組連線
加廣:增進素養的教育