用圖解證明公式
李政豐 · 顏貽隆 · 陳蘭香 · 王淑霞 · 陳明峰
一 . 前言
國立交通大學應數系 infomath 的一群 高中數學教師, 從八十七年九月以來, 一直為 虛擬高中數學館的網路數學課程, 用盡心思, 期望能編寫出一套視覺化、 互動式, 且能涵蓋 課本、 參考書及聯考試題的高中數學新課程。
任何創新的手法, 能簡化抽象觀念, 或運 用多媒體技術在網頁上呈現的教材, 都是我 們企圖要掌握的工作目標, 寄望在整合課文、
圖形、 動畫、 影像及題庫的課程教材中, 能帶 給全國高中學生一個生動、 有趣, 能自己動手 操作實驗的多樣化的學習環境。 在這個共同 理想的帶動下, 若有任何新的創意與看法, 都 會在每星期三下午的聚會中, 提出來作充分 的研討或說明。
八十八年五月, 陳明峰老師帶來一份台 北市西松高中教師會所提供的 「proof with- out words」 的四個圖形, 幾天之內, 這種 圖解公式的概念在 infomath 中傳播開來。
首先由陳明峰老師在網路中搜尋出 Mathe- matics Magazine 中的十四個圖形, 負責三 角函數軟體組的顏貽隆老師、 陳蘭香老師, 則 綜合整理出課本的十幾個以圖為證的圖解公
式, 王淑霞老師提出 sin 2θ 的圖形, 陳明峰老 師提出 tan
θ 2
的圖形, 李政豐老師提出二倍 角、 三倍角與和差化積公式的圖形。 於是, 另 類的教學方法, 即將融入網路數學課程之中。在此先提供有關三角函數的部分內容, 讓高 中老師和同學共同分享, 期使它能拋磚引玉, 讓漂亮的 「proof without words」 也能在中 等學校數學課程中生根、 茁壯, 乃至於開花結 果。
二 . 本文
下面是由李政豐老師、 顏貽隆老師整理 出來, 經由黃大原老師指導、 修正的十九個圖 解公式的內容:
圖解平方關係
說明: 由銳角三角函數的定義及畢氏定 理得到:
sin
2
θ+ cos2
θ = 1...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
....
...
..
...
....
...
..
...
..
....
..
....
...
....
...
..
...
..
....
...
....
....
....
...
....
..
....
....
...
....
...
....
...
....
...
..
....
....
..
...
..
...
..
...
..
....
...
....
....
..
...
..
...
..
....
...θ ...
1
cos θ
sin θ
...
...
.
63
1 + tan
2
θ = sec2
θ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
....
..
....
...
....
..
...
..
...
..
....
...
....
....
..
...
..
...
..
....
..
....
...
..
....
...
....
..
....
..
...
....
...
....
...
....
...
..
...
..
....
..
....
...
....
...
....
..
....
..
...
..
...
..
...
....
... θ ...
sec θ
1
tan θ
...
...
.
1 + cot
2
θ= csc2
θ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
....
...
..
....
..
....
...
....
...
..
...
..
....
..
....
...
..
....
...
....
....
..
...
..
...
..
....
...
....
..
...
..
....
....
..
...
..
...
....
...
..
...
..
...
..
....
...
....
..
...
..
...
....
...
..
...
..
....
...θ ...
csc θ
cot θ
1
...
...
.
圖解二倍角公式sin 2θ = 2 sin θ cos θ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
..
....
....
....
....
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
..
....
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
....
..
..
..
....
..
....
..
....
....
..
....
..
....
....
....
....
....
..
....
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
A B
C
H θ 1 θ
cos θ sin θ
...
..
..
..
....
....
...
.
說明: ∆ACB 的面積=
1 2
(1)(1) sin 2θ=
1 2
(AB)(CH) =1 2
(2 sin θ)(cos θ) 得到 sin 2θ = 2 sin θ cos θ(一) 圖解餘弦二倍角公式
cos 2θ = 2 cos
2
θ − 1 = 1 − 2 sin2
θ (二) 正切函數的半角公式tanθ
2 = sin θ
1 + cos θ = 1 − cos θ sin θ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
....
..
....
....
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
....
....
....
....
....
..
....
....
..
....
..
....
..
..
....
..
....
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
..
....
..
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
....
..
....
....
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
A B
O
D H
2 cos θ
θ θ
θ 2θ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
cos 2θ
... ...sin 2θ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
2 sin
2
θ...
...
...
... ...
...
...
...
...
. ...
.
(一) 說明: (AD) 是直徑,
∠
ABD 是直 角, (BH) 垂直 (AD)。∠
DBH+∠
HBA=∠
HBA+∠
HAB = 90◦
, 故∠
DBH =∠
HAB = θ。(OH)=cos 2θ
(OH)=(AH) − (AO) = (AB) cos θ − 1
=(2 cos θ) cos θ − 1 = 2 cos
2
θ − 1 (OH)=(OD) − (HD) = 1 − (DB) sin θ=1−((AD) sin θ) sin θ = 1−2 sin
2
θ 得到 cos 2θ = 2 cos2
θ − 1 = 1 − 2 sin2
θ(二) 說明: 在直角三角形 AHB 中 tan θ = (HB)
(AH) = sin 2θ 1 + cos 2θ 在直角三角形 BHD 中
tan θ =(HD)
(HB)=1−(OH)
(HB) =1−cos 2θ sin 2θ 得到 tan θ =
1+cos 2θ sin 2θ
=1−cos 2θ sin 2θ
或是 tanθ 2
=1+cos sin θ θ
=1−cos θ sin θ
圖解和角公式
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
..
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
..
....
....
..
..
....
..
..
....
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
..
..
....
..
....
..
..
....
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
..
....
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
...
..
....
....
..
...
..
...
..
....
...
....
...
....
....
....
...
....
...
..
...
..
....
...
....
..
....
....
...
....
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
O Y
X A
B
C
D E F 1
α β β
...
...
...
..
. ...
..
..
..
..
...
...
..
..
..
..
...
...
...
說明: ∆OBF 與 ∆ACF 相似,
∠
F OB =∠
F AC = β 1、 sin(α + β) = AB= AE + EB
= AE + CD
= AC cos β + OC sin β
= sin α cos β + cos α sin β 2、 cos(α + β) = OB
= OD − BD
= OD − EC
= OC cos β − AC sin β
= cos α cos β − sin α sin β
圖解正弦、 餘弦的差角公式
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β, cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
..
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
..
....
....
..
..
....
..
..
....
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
..
..
....
..
....
..
..
....
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
..
....
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
...
..
....
...
....
...
..
....
....
..
...
..
...
....
....
....
...
....
...
..
...
..
....
...
....
..
...
..
...
..
....
...
....
....
. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
O Y
X A
B
D E
F 1
α−β
β β
...
...
...
..
. ...
...
...
...
..
...
....
...
..
...
..
....
...
....
..
...
..
....
....
..
...
..
...
..
....
...
....
....
..
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
說明:
∠
AOB= (α − β) + β = α 1、 sin(α − β) = AE= AD − ED
= AD − BF
= AB · cos β − OB sin β
= sin α cos β − cos α sin β 2、 cos(α − β) = OE
= OF + F E
= OF + BD
= OB cos β + AB sin β
= cos α cos β + sin α sin β
圖解正弦、 餘弦的二倍角、 三倍角公式 1、 sin 2θ = 2 sin θ cos
2、 cos 2θ = 2 cos
2
θ − 1 = 1 − 2 sin2
θ 3、 sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3
θ4、 cos 3θ = 4 cos
3
θ − 3 cos θ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
..
....
..
....
....
....
..
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
..
....
....
..
..
....
..
....
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
....
..
..
....
....
..
....
..
....
....
....
....
....
....
....
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
O
.A
B C
D E
F G
1
1
1 θ
θ
2θ 2θ
3θ
..
....
....
...
..
....
....
...
...
..
說明:
1、 sin 2θ=BF = AB sin θ
=2AE sin θ = 2 sin θ cos θ 2、 cos 2θ=OF = AF −AO = AB cos θ−1
=2AE cos θ − 1 = 2 cos
2
θ − 1 (AG是直徑,∠
ABG = 90度) cos 2θ=OF = OG−F G = 1−BG sin θ=1 − (AG sin θ) sin θ
=1 − 2 sin
2
θ 取 BD = 13、 sin 3θ=CD
=(AO + OF + F D) sin θ
=(1 + 2 cos 2θ) sin θ
(cos 2θ = 1 − 2 sin
2
θ 代入)=3 sin θ − 4 sin
3
θ 4、 cos 3θ=BC=AC − AB
=(AO+OF +F D) cos θ−2AE
=(1 + 2 cos 2θ) cos θ − 2 cos θ
(cos 2θ = 2 cos
2
θ − 1 代入)=4 cos
3
θ − 3 cos θ 和差化積公式(1)sin α + sin β = 2 sin(α+ β
2 ) cos(α − β 2 )
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
..
....
....
..
....
....
....
..
....
..
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
..
....
....
..
....
....
..
..
....
..
....
..
..
....
..
..
....
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
....
..
..
....
..
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
....
..
...
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
...
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
O
C D
A E B
F
1 1
βα−β2 α−β2β..
..
...
...
..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
..
..
..
.
說明: 如圖所示圓 O 的半徑為 1,
∠
AOE = β +α−β 2
=α+β 2
,∠
AOD = β+α−β 2
+α−β 2
= α1、 四邊形 OAF B 的面積
= 1
2(AB)(OF )
= (AE)(OF )
= sin(α+ β
2 ) cos(α − β 2 ) 2、 四邊形 OAF B 的面積
= ∆OAB的面積 +∆F AB 的面積
= ∆OAB的面積 +∆DAB 的面積
= 四邊形 OADB 的面積
= ∆OAD的面積 +∆ODB 的面積
= 1
2sin α + 1 2sin β
故 sin α + sin β = 2 sin(
α+β 2
) cos(α−β 2
)圖解和差化積公式(2)
sin α − sin β = 2 cos(α+ β
2 ) sin(α − β 2 )
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
....
..
....
....
....
....
....
....
..
....
..
....
....
....
..
....
..
....
..
..
....
....
....
....
..
....
..
....
..
....
..
..
....
..
..
....
..
..
..
....
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
....
..
....
..
..
....
..
..
....
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
....
..
....
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
..
....
..
..
....
....
..
..
....
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
O
...A
B
C E
F H
M K 1
α−β 2 α−β
2 β
...
...
...
說明: 圓 O 的半徑為1,
∠
AOC = β +α−β
2
+α−β 2
= α,∠
AOM = β+α−β 2
=α+β 2
12sin α = ∆OAC的面積
= ∆OAE的面積 + ∆EOC的面積 1
2sin β = ∆OAB的面積
= ∆OAE的面積 + ∆AEB的面積 1
2sin α −1 2sin β
= (∆OAE面積 + ∆EOC面積)
−(∆OAE面積 + ∆AEB面積)
= ∆EOC面積 − ∆AEB面積 (消去 ∆OAE 面積)
= (∆EOC面積 + ∆BEC面積)
−(∆AEB面積 + ∆BEC 面積) (兩邊加 ∆BEC 面積)
= ∆OBC面積 − ∆ABC面積
= 矩形HOF B面積−矩形KMF B面積 (因為三角形的底BC, 是矩形寬的兩倍,
但兩者高相同)
= 矩形 HOMK 面積
= (OM)(KM)
= (OM)(BF ) (KM = BF )
= cos(α+ β
2 ) sin(α − β 2 ) (
∠
AOM = α+ β2 ,
∠
BOF = α − β 2 ) 故 sin α − sin β = 2 cos(α+β 2
) sin(α−β 2
)三 . 結語
傳統的公式證明, 嚴謹而周全, 是數學 教育中最重要的基礎。 用圖解證明, 由於條件 有所限制, 無法呈現所有條件的圖形, 這當然 是它的缺點, 但是簡明易懂, 藉著視覺化的感 受及簡單的數學概念, 常能讓學生留下深刻 的印象, 對於數學公式的具體化, 有很大的幫 助。 在最近的課堂上, 嘗試用這種教法 (高三 社會組恰好教到這一部分), 同學與老師的互 動也明顯的增加了, 有些同學對於這種證明 有很驚訝的反應, 這是所有數學教師所樂於 見到的一件事。
