數學傳播 45 卷 4 期, pp. 77-80
平面向量內積概念的一種引入方式
周伯欣
1. 前言
我國的高中數學課程, 近十年來, 無論是 99 課綱還是 108 課綱, 平面向量的內積 (Dot Product) 的引入, 都是以物理學中的 「功 (Work)」 為引子, 常見的是以一力 −→F 拖曳地面上 的某物前進距離 (位移) −→d, 假定力 −→
F 與地面夾角為 θ, 此時有效拉力為 −→F cos θ, 則外力做 功之大小為
−
→F cos θ ·
−
→d . 於是便定義向量 −→F 與−→d 的內積為
−
→F ·−→d =
−
→F ·
−
→d cosθ.
或是更一般地 : 向量 −→a 與 −→b 的內積定義為
−
→a ·−→b = |−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b .
說實話, 從以前到現在, 我一直不滿意如此的定義。 可能是一種數學人的偏見, 總感覺一 個數學概念建立於物理的觀念上, 似乎不太踏實。 另一方面, 無論是理組還是文組的學生, 都要 學習向量內積, 我在教學時, 發現文組的學生對於這樣用物理概念來引進定義, 通常都是草草吸 收, 最後只是死記 −→a ·−→b = |−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b
, 因為不少文組的學生早在國中就開 始放棄了理化, 所以一見到 「力」 這個字眼就心裡忐忑不安, 自然難以領會這概念的動機。 教學 現場中, 除了少數學生, 大部分都沒辦法說明為何
|−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b
= a1b1+ a2b2.
2. 衝突
在大學的線性代數課程, 特別是以矩陣導向為主旨編寫的教科書, 比如 MIT 的 G. Strang,
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在定義內積時都是直接採取代數的方式:
a· b = a1b1+ · · · + anbn.
某些學生就會產生困擾 : 「到底定義是從哪開始?」、 「為何要這樣定義?」 幸運者可能會遇到熟稔 中學數學與大學數學課程的教授, 從而有機會通過銜接的補救教學弭平這個知識的間隙。 不幸 的是, 大多數人的遭遇並非如此。 所以最後就變成, 要不生吞活剝這個概念, 直接去記憶; 不然 就是自己生出一套似是而非的解釋, 比如 「因為 n 維空間沒法直接定義角度, 不知道 cos 要怎 樣算, 而因為在平面上 |−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b
= a1b1 + a2b2, 所以就乾脆把定義置換 成a1b1+ · · · + anbn, 這樣任意維度空間都可以討論內積。」 這個解釋相當地牽強, 既然大學數 學會遇到無法定義高維空間角度的問題, 而 a1b1+ · · · + anbn 在計算上相對容易, 為何中學數 學不直接定義內積就是 a1b1+ · · · + anbn?
某些人會說, 我們什麼動機都不要, 直接定義一個線性空間中配備了內積函數, 構成一個 內積空間, 滿足 · · · 公理。 我認為這種講法是最無意義的, 只是以抽象語言把自然的幾何事實 重述一遍, 對於觀念的建立毫無幫助 (但可以釐清)。
3. 一個新方式
經過多年思考, 我最近想出了一條路子, 首先避開了引用物理 「功」 的概念, 從國小就熟知 的基本事實 「三角形兩邊和大於第三邊」, 直接用大學課程的 a1b1+ · · · + anbn來定義內積, 接 著使用三角函數的疊合公式來證明
|−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b
= a1b1+ a2b2,
讓學生可以見識到在前頭所學的種種三角公式與後續課程的連結 (在 108 新課綱中, 三角函數 疊合公式通常擺在平面向量之前)。 一旦建立了內積的兩種 (代數與幾何) 計算方式的橋樑, 後 續相關的正射影、 Cauchy 不等式等, 都與過去的教學方式相同。
以下開始論述這個新路子的每一步。
一、 基本事實
我們承認幾個基本事實 :
1. 直角坐標系中的距離公式為p(x2− x1)2+ (y2− y1)2。
2. 小學數學已學過的 「三角不等式」: 三角形兩邊和大於第三邊。 (小學數學採用的是實驗的 方式來確認, 國中數學可用 Euclid 幾何公理給出此性質的證明)。
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二、 從三角不等式引出的一種特殊代數形式 (Algebraic Form): 內積
首先, 若 O = (0, 0), A = (a1, a2), B = (b1, b2) 三點不共線, 則由三角不等式有 OA+ OB > AB.
而當三點共線, 且 O 在 A, B 之間, 則
OA+ OB = AB.
以向量形式來寫, 則是
−→OA +
−−→OB ≥
−→AB , 等號成立於 −→OA 與 −−→OB 夾角為 π 。
代入距離公式, 得 q
a21+ a22+ q
b21 + b22 ≥p(a1− b1)2+ (a2− b2)2. 化簡後得到
q
a21+ a22· q
b21+ b22 ≥ a1b1+ a2b2. 此時出現了一個特殊的代數量a1b1+ a2b2, 我們將之稱為內積。
定義: 向量 −→a =
"
a1
a2
# 與 −→
b =
"
b1
b2
#
的內積 (Dot Product) 定義為
−
→a ·−→b = a1b1+ a2b2.
我們還可以給內積一個非正式的字面上的解釋 : 內部座標的乘積。
三、 內積的性質
通過計算數個具體的例子, 可以發現向量 −→a 與 −→
b 的內積, 1. (絕對) 大小顯然與兩向量的長度有關。
2. 正負與兩向量的夾角 ∠
−
→a ,−→b 有關。
四、 用三角函數疊合公式研究內積的幾何意義
按新課綱各版本課本的安排, 在學習內積時, 學生們都已經學會三角函數的疊合 asin θ + b cos θ =√
a2 + b2
sin θ · a
√a2+ b2 + cos θ · b
√a2+ b2
=√
a2 + b2sin (θ + ϕ) , 其中角度 ϕ 滿足 cos ϕ = √a2a+b2, sin ϕ = √a2b+b2。
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現在, 對於內積 a1b1+ a2b2, 我們也能模仿過去處理三角函數疊合的情況的手法, 計算如 下:
a1b1+ a2b2= q
a21+ a22 b1· a1
pa21+ a22
+ b2· a2
pa21+ a22
!
= q
a21+ a22
q b21 + b22
b1
pb21+ b22
· a1
pa21+ a22
+ b2
pb21+ b22
· a2
pa21+ a22
!
= |−→a| ·
−
→b
· (cosβcos α + sin β sin α)
= |−→a| ·
−
→b
· cos (β− α) . 其中 α, β 分別是 −→a ,−→
b 與正 x 軸所夾的有向角, 滿足 cos α = √aa21
1+a2
2
,sin α = √aa22
1+a2
2
與 cos β = √bb21
1+b22,sin β = √bb22
1+b22。 不難分析, 無論 −→a 與 −→
b 的相對位置如何, 總有 cos (β − α) = cos ∠
−
→a ,−→b . 所以我們得到
定理: 向量 −→a 與 −→b 的內積也等於|−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b
。
五、 結論
向量 −→a =
"
a1
a2
#
與 −→b =
"
b1
b2
#
的內積有兩種計算方式:
• 代數:−→a ·−→b = a1b1+ a2b2。
• 幾何:−→a ·−→b = |−→a| ·
−
→b
· cos ∠
−→a ,−→b
。
後記
本文之完成, 感謝我的朋友, 任教於金門高中的許淵智老師, 每日與我討論如何精進教學, 從而讓我有動機去進行此探究。 也感謝連威翔學長, 常常督促我把文章完成, 讓我明白我還沒到 達孔子 「述而不作」 的程度。
附註
中國大陸最近行將實施的高中新課程標準, 也是用物理做功的概念來引進內積。
—本文作者任教於台北市私立鵬展文理補習班, 並主持 「宇宙數學教室」 部落格—
