實驗九 空氣 γ 值

實驗九 空氣 γ 值

目的

利用 Clement 和 Desorm 方法測量空氣的 γ 值。

原理

一、熱力學第一定律：

當物體受熱時會產生兩種明顯的變化，一是該物體溫度上升，另一是該物體體 積改變。而溫度上升表示物體內能的增加，而物體體積改變則表示此物體對外界 作功，由能量守恆原理可得

∆Q=∆U +∆W ∆Q ：輸入物體的熱能

∆U ：物體內能改變量

∆W ：物體對外界所作之功 在一般的討論中我們較常考慮微小熱量的效應，上式可寫做：

dQ=dU +dW 。 (1)

考慮氣體時，dW 可改寫成 pdV ，即：

dQ=dU+ pdV ， (2)

此即熱力學第一定律。

二、理想氣體

理想氣體為可忽略氣體分子大小及分子間作用力之假想氣體，理想氣體符合下 列理想氣體方程式：

pV =nRT p ：壓力 (3)

V ：體積

n ：氣體莫耳數 T ：溫度

R ：理想氣體常數

理想氣體有一重要特性，其內能僅與氣體的溫度及莫耳數有關，而與體積壓力 無關，即

U =U T n( , ) ， for Ideal gas。

三、定溫過程

由理想氣體方程式 (3)，對於定量的氣體當溫度 T 固定時可知 pV = 常數，此 時壓力與體積間成反比關係，又因溫度固定則氣體內能不變，由 (2) 式可知

dQ= pdV ， dU =0。 (4)

此式表示於定溫下物體吸收之熱量皆轉換成為對外界所作的功。此溫度固定的過

程稱為等溫過程（isothermal process）。

四、定體積與定壓過程

當體積固定時體積變化 dV 為 0，(2) 式成便為如下的簡單形式

dQ= dU 。 (5)

這表示所有輸入系統的熱量完全用於增加內能，也就是氣體的溫度。又為了方便 討論輸入的熱和溫度上升間的關係，我們引進熱容量的觀念，所謂熱容量是指物 體溫度上升1℃ 時所須的熱量，而體積固定，一莫耳氣體的熱容量稱為定容莫耳 熱容量，以 C_v 表示。將 (5) 式兩邊同除以溫度變化 dT 可得

C dQ

dT

dU dT

dU

v dT

v v

=  

 = 

 

 = ， (6)

式中下標 v 表示固定體積 V 而做微分。壓力固定時的莫耳熱容量稱作定壓莫耳 熱容量，記作C_p。

將 (6) 式整理後可得

C dT_v =dU ， (7)

(7) 代入 (1) 式可得 dQ=dU + pdV

= C dT_v + pdV 。 (8)

將理想氣體方程式 pV = RT n ( =1 兩邊微分後得 pdV) +Vdp= RdT，可寫為 pdV =RdT−Vdp，代入 (8) 可得

dQ=C dT_v +RdT−Vdp

=(C_v +R)⋅dT−Vdp 。 (9)

若考慮壓力固定的情形，即 dp=0，(9) 式變成 dQ=(C_v +R dT)⋅ ，故

C dQ

dT C R

p

=  p

 = _v + 。 (10)

五、絕熱過程：

除前面提到等溫、定容、定壓過程外，尚有一種過程稱為絕熱過程（adiabatic process）。因空氣為熱的不良導體，因此當空氣快速壓縮或膨脹時氣體各部分來 不及做熱交換，也來不及與外界做熱交換，即 (2) 式中的 dQ=0，故

dU + pdV =0 或 dU = −pdV 。 (11) 將 (7) 代入 (11) 得

內能U只跟T有關

C dT_v + pdV =0 ，

又由理想氣體 pV = RT ，可知 p RT

= V ，上式可寫為 C dT RT

V dV

v + ⋅ =0 ，

同除 C T_v 得 dT

T R C

dV + ⋅ V =

v

0 ， 兩邊積分可得

lnT+lnV^{R C/ v} =const. ， lnTV^{R C/ v} =const. ， TV^{R C/ v} =const. 。 然後 T 用 pV

R 代入即得

pV pV pV const

R C C

C C + p

= = =

v

v v γ

. ， (12)

其中 γ = C_p /C_v，即本實驗所想要測量的值。

理想氣體之 C_v 和 C_p 皆可自理論推導，對於雙原子理想氣體 C_v = 5R

2 ， C_p = 7R 2 ，

故 γ = =7

5 1 4. 。

儀器與裝置

大玻璃瓶及瓶蓋，U 型管壓力計，玻璃閥，橡皮管，打氣球。

方法說明

Clement 和 Desorm 設計了一個實驗可以直接測得 γ 值，而不須先測量 C_v 和 C_p。他們的方法是這樣的：

1. 先將空氣打入一個容器，使其壓力略高於大氣壓力 P₀（設大氣壓力為 P₀，室 溫為 T₀。）。等幾分鐘，讓容器內空氣的溫度回到室溫 T₀，測量其壓力 P₁。 2. 將容器打開瞬間立即將容器再蓋好。在這瞬間，容器內空氣經過絕熱膨脹，壓

力下降到大氣壓力 P₀，溫度則降到 T₂。

3. 容器再封閉經數分鐘後，容器內空氣的溫度回到室溫 T₀，壓力上昇到 P₃，測 量這個壓力（ P₃）的大小。

下面我們考慮各種過程的體積和壓力的變化關係：

現在考慮容器內某一小體積 V₁ 的氣體（圖１中以圓圈加斜線部份代表），從 1→2 的過程中，它作絕熱膨脹，由 (12) 式知：

PV_{1 1}^γ = P V_{0 2}^γ 。 (13)

從 1→3 的過程因溫度相等，是等溫膨脹過程，由波義耳定律知：

PV_{1 1} = PV_{3 2} 。 (14)

將 (14) 式兩邊各自乘 γ 次和 (13) 式相除消去 V₁ 和 V₂，得到

P P

1 P

1 3

0

γ γ

− = 。 (15)

1 2 3

絕熱過程

等溫過程 (a)

(b)

1

P T V

1

=

1 T0

P T

2= ₀

2

V₂

P P

T V

3 3 3

=

= V₂ T0

圖１ Clement 和 Desorm 設計的實驗之示意圖。

(a)絕熱膨脹； (b)等溫膨脹

圖２ Clement-Desort 實 驗 裝 置 ： (1) 玻 璃 瓶 ； (2) 橡皮管；(3) 玻璃氣閥；(4) 打氣球 ； (5) U 型管；（內裝測氣體壓力的液體）。

(3)

(1)

(4) (5) (2)

我們的實驗裝置如圖２，壓力的測量是靠 U 型管內液面的高度差 h 而得到的，設 液體比重為 d 則

P₁ =P₀ +h gd₁ ， (16)

P₃ = P₀ +h gd₃ 。 (17)

將 (16) 及 (17) 代入 (13) 式可得到 (P h gd) ( )

P P h gd

0 1

1 0

0 3

+ ^γ− = 1 + ^γ，

兩邊除以 P₀ ^{γ −1} 可得，

1 ¹ 1

0 1

3 0

 +

 

 = +

 

 h gd −

P

h gd P

γ γ

。 (18)

因為 h h₁, ₃ ≈30~50cm，d ≈1gm / cm³，而 P₀ 約為 76cmHg，故 (h dg P₁ / ₀)² <<1， (h dg P₃ / ₀)² <<1，因此我們可以將上式兩邊做泰勒展開，只保留一次項：

1 1

1 1

0

3 0

+ (γ − ⋅) h g = + γ P

h g P ， 整理後可得到一個很簡單的結果：

γ = − h h h

1

1 3

。 (19)

步驟

注意事項：

a. 固定球型玻璃容器在支架時，要小心！支架上端應避免旋的太緊造成固定 夾斷裂；支架下端須旋緊、固定，以免球型容器掉落。

b. 若誤差太大，請仔細檢查可能漏氣的地方。

1. 將玻璃閥轉到玻璃瓶，壓力計及打氣球互通的方向。緩緩打入空氣，直到液面 高度差約 30∼50 cm。

2.等待約 5 分鐘，記錄液面高度差 h₁。

3.將橡皮塞拔起，使氣體洩出後，並迅速關上。

4.等待約 5 分鐘，記錄 h₃ 值。

5.由 (19) 式計算 γ 值。

6.重覆 1∼5 至少五次。

7. 計算步驟 6 所得 γ 的平均值和標準差，並和理論值比較。

預習問題

1. 為何量取 h₁ 和 h₃ 時要等待一段時間？

2. 在方法說明中我們只把

1 ¹ 1

0 1

3 0

 +

 

 = +

 

 h dg −

P

h dg P

γ γ

展開至一次項，試估計二次項和一次項間的比例。

3. 翻翻普物課本，看看雙原子理想氣體的 C_v 和 C_p 是如何推導出來的？

4. 想想看日常生活中還有那些實例可稱為絕熱過程？

記錄

1.

次數 h₁ (cm) h₃ (cm) γ 值 1

2 3 4 5 6 7 8

2. 平均 γ 值 = ； 標 準 差 = 。

思考問題

1. 實驗測得的 γ 值和理論不大一樣，問題出在那裡？

BONUS

1. 對於一般空氣，比較符合實際的是 Van der Waals 方程式：

(p+a V/ ²) (⋅ V −b)= RT

a：和氣體分子間作用力有關的常數 b：和氣體分子大小有關的常數

試試看你可不可以由 Van der Waals 方程式推導出空氣 C_v、C_p、γ 值較正確的 結果。（Hint：先找出課文的推導中那些是利用理想氣體特性的？）

*