1.2 m, n  n3+ 1 mn − 1

 


»º º

December 28, 2004

 


1 <sup>

</sup>
1

1

  







 


 d^{ }a, b ^  d | a, d | b^
d | am + bn,

m, n ^

 1.1 ^{ x9}_9y
^{ x}_y ^{ }
x, y ^{ 
} x, y ^






10x + 9 90 + y = x

y ⇒ 9xy − 90x + 9y = 0

⇒ xy − 10x + y = 0

⇒ (x + 1)(y − 10) = −10.



x + 1 2 5 10

y − 10 −5 −2 −1 ⇒ (x, y) = (1, 5), (4, 8), ^ (9, 9).

 1.2 m, n ^ 

n³+ 1 mn − 1



 m, n ^


 (mn − 1) | (n³+ 1), (mn − 1) | (mn − 1)^

(mn − 1) | (n³+ 1)m − (mn − 1)n² = n²+ m,

(mn − 1) | (n³+ 1)m³− (mn − 1)(m²n²+ mn + 1) = m³+ 1.



n³+ 1

mn − 1,m³+ 1

mn − 1,n²+ m mn − 1


 m, n
^{ } m ≥ n ≥ 1
^ m, n ^

1^
m ≤ 2(mn − 1)^ n² ≤ mn ≤ 2(mn − 1)
^ n²+ m

mn − 1 = 1, 2, 3, ^ 4.

(1) ^

n²+ m mn − 1 = 1,

(n − 1)(m − n − 1) = 2^ (m, n) = (5, 2), (5, 3)
(2) ^

n²+ m mn − 1 = 2,

(2n − 1)(4m − 2n − 1) = 9^ (m, n) = (2, 2), (3, 1)

(3) ^

n²+ m mn − 1 = 3,

(3n − 1)(9m − 3n − 1) = 28^ (m, n) = (2, 1)
(4) ^

n²+ m mn − 1 = 4,

(m, n)


 

(m, n) = (2, 5), (3, 5), (1, 3), (1, 2).



(m, n) = (5, 2), (2, 5), (5, 3), (3, 5), (2, 2), (3, 1), (1, 3), (2, 1), (1, 2)



 1.1 ^ ABC
^ 15 ^P ^ BC


^{ } P A, P B, P C ^{   } P A ^

 1.2 ^{ x6}_6y
^{ x}_y ^{ }
x, y ^{ 
} x, y ^

 1.3 ^{ x99}_99y
^{ x}_y ^{ }
x, y ^{ 
} x, y ^

 1.4 ^

x²− y² = 611


x, y

 1.5 ^

(m²+ n)(m + n²) = (m + n)³


m, n



 7 ^{  }
4 ^{ } 4



 p ^{ }

2^p−1− 1 p



  

 

 p ^

 - ^DZ

 p ^
4^{ } 1 ^ x, y ^

x²− py² = 4

  

p ^{ } y
^{
 } - ^DZ