ca 0 axbyc

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：98.09.18 班級 三年 班

範 圍

Book1

直線 座號

姓 名 一、單選題 (每題 5 分)

1、( A ) 設 P(x, y)為坐標平面上一點，且滿足

2 2 2 2 2 2

(x1) (y2)  (x3) (y4)  (3 1)  (4 2) ；那麼 P 點的位置在哪裡？

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)x 軸或 y 軸上 解析：令 A(1, 2), B(3, 4), P(x, y), 則 AP (x1)²(y2)²

2 2

( 3) ( 4)

BP x  y ;AB (3 1) ² (4 2)² 依題意 AP PB AB

∴ P 必落在 AB 之間，因此，P 必在第一象限。

2、( A ) 設ab0, 0ac 則直線 ax by c  不通過 (A)第一 (B)第二 (C)第三 (D)第四 象限 解析：

x c a ⁰ axby  c

y 0 c b

∵ 0, 0 0, 0c c ab ac

a b

  ∴   不通過第一象限。

3、( D ) 如圖三直線L₁:ym x b L₁  ₁, ₂:ym x b L₂  ₂, ₃:ym x b₃  ，則下列₃ 各數值何者最大？ (A)m1 (B)m2 (C)m3 (D)b2 (E)b3

解析：斜率2m₁m₂  0 m₃ y 截距b₂     ∴2 b₁ 0 b₃ b 最大 ₂

4、( D ) 若a0,b0，則下列何點必在第二象限？ (A) ( ,a a b (B) ( ,) ab a b ) (C)(a²b a b²,  (D) () a b b a ,  ) (E)(a²b ab², )

解析：(A)（╳）：∵a0,b0, ∴a b 0，∴ ( ,a a b 第三象限。 )

(B)（╳）：∵a0,b0, ∴ab0，a b 不確定，∴ (ab a b,  不確定。 ) (C)（╳）：(a²b a b²,  第四象限。 )

(D)（○）：∵a0,b0, ∴a b 0,b a 0，∴ (a b b a ,  第二象限。 ) (E)（╳）：∵a0,b0，∴a² 不確定，∴b² (a²b ab², )不確定。

5、( C ) △ABC 中， ( 2,1), (4, 5), (0, 6)A  B C ，則△ABC 的面積為 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 (E)13

解析：1 2 4 0 2 1

| | | 10 4 24 0 0 12 | 11 1 5 6 1

2 2

 

       

二、多重選擇題 (每題 10 分)

1、( CE ) 平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為實數m₁, m₂, m₃，並假設 m₁ > m₂ > m₃。則

下列選項哪些必定為真？

(A)m₁m₂ = –1 (B)m₁m₃ = –1 (C)m₁ > 0 (D)m₂  0 (E)m₃ < 0 解析：圖形為圖一時,m₁0,m₂ 0,m₃ ，0 m m₁ ₂   1,

圖一

圖形為圖二時,m₁0,m₂ 0,m₃ ，0 m m₁ ₃   1

圖二

圖形為圖三時,m₁0,m₂ 0,m₃ ，0 m m₁ ₃   1

圖三

由以上討論可知, m₁0且m₃0,

2、( DE ) 如圖，兩直線L L 之方程式分別為₁, ₂ L ：₁ xay b  ，0 L ：₂ x cy   ﹔試問下列d 0 哪些選項是正確的？ (A)a0 (B)b0 (C)c0 (D)d0 (E)ac

解析： ₁ 1

0 b

L x ay b y x

a a

      

： ，過 (b, 0)﹔

2

0 1 d

L x cy d y x

c c

      

： ，過 (d, 0)﹔

由圖形得知：

(A)L 的斜率大於零，則₁ 1

0 a 0

    ﹔ a (B)L 的₁ x截距大於零，則   b 0 b 0﹔ (C)L 的斜率大於零，則₂ 1

0 c 0

    ﹔ c (D)L 的₂ x截距小於零，則   d 0 d 0﹔ (E)L 的斜率大於₁ L 的斜率，則₂ 1 1 1 1

a c a c

    

同乘ac（因為a0且c0所以ac0，即不等式不變號）  。 a c

三、填充題 (每題 10 分)

1、 設三直線L₁: 4x3y1, L₂:x2y3, L₃:yax ， 2

(1)若三直線交於一點時，a =______，(2)若三直線不能圍成三角形時，a 之值為______。

答案：(1) – 3 4 1 (2) , , 3

3 2  解析：(1) 4 3 1

1, 1 2 3

2 3 x y

x y y ax a

x y

 

       

  

 代入 ∴

(2)三直線不能圍成三角形時，包括三線相交於一點與其中至少有任二線平行，

①若 L1 // L₃，則 4 a  3

②若 L2 // L3，則 1 a 2

③又 L1, L₂不平行，故 4 a  或3 1

2或3

2、 設直線 L 過點 (3, 4) 且在第一象限與兩坐標軸所圍成之三角形面積為 24，求 L 之方程式為 _______________。

答案： 8x6y48 0 解析：L : x y 1

a  ,b a0,b0三角形面積 1

24 48

2ab ab

      又 L 過點 (3, 4)，∴3 4

1 4a 3b ab

a  b   

代入, 48 4

4 3 48

3

a b b  a

     

代入, (48 4 ) 48 3a  a  

2 12 36 0

a  a  (a6)²  ，∴0 a  6 b 8 : 1 6 8 x y

L   ，故得8x6y48 。 0 3、 在坐標平面上，一光線通過點 A(1, 3)，經 x 軸反射後會通過點 B(6, 2)，試問

(1)反射後之光線其方程式為________。(2)此光線在 x 軸上之反射點坐標為__________。

答案：(1)x   (2)(4, 0) y 4 0

解析：(1)A 關於 x 軸之對稱點 A 坐標為(1, 3)，

2 ( 3) 5 6 1 5 1 mA B_  

  

 ，y    3 1 (x 1) x   y 4 0 (2)設此光線在x 軸上之反射點為 P，∵x   y 4 0

∴令y   ，∴P(4, 0)。 0 x 4

4、 設 (2, 4), : 2P  L x3y  ，則 5 0

(1)過P 且平行 L 之直線方程式為______，(2)過 P，且垂直 L 之直線方程式為______。

答案：(1) 2 16 3 3

y x (2) 3 2 1 y  x

解析： 2

L 3 m 

2 2 16

(1) 4 ( 2)

3 3 3

y  x ∴y x ， 3 3

(2) 4 ( 2) 1

2 2

y   x ∴y  x

5、 △ABC 中，A(1, 2), (3, 2), ( , )B  C a a ，若△ABC 為直角△，

(1)若 為直角時，A a______，(2)若C為直角時，a______。

答案：(1) 3 (2)2 6 2



解析：(1)m_ABm_AC   ，1 2 2 ( 2)

1, 3 3 1 ( 1)

a a

a

      

  ∴

(2)m_BCm_AC   ，1 ( 2) ( 2) ²

1, 2 4 1 0 ( 3) ( 1)

a a

a a

a a

       

  ∴ ， 4 16 8 2 6

4 2

a    

∴

6、 兩條直線L₁: (11 3 ) m x(m1)y1,L₂: (2m1)x5y 9 (1)若L₁//L 則₂ m______，(2)若L₁  L₂則m______。

答案：(1) 3, 9 (2)15 129 6



解析：(1)11 3 1 ²

6 27 0

2 1 5

m m

m m

m

 

   

 ∴ ，(m9)(m 3) 0,m3或9

(2)∵L₁  L₂ (11 3 )(2∴  m m 1) 5(m 1) 0， ² 15 129 3 15 8 0,

m m m 6

   

7、 A( 1, 3), (4, 7) B ，若AP BP： 2 3： ，則 P 的坐標為______或______。

答案： 23

(1, ), ( 11, 5) 5  

解析：P為 內分點 3 ( 1) 2 4 3 3 2 7 23

( , ) (1, )

3 2 3 2 5

      

  

P

或 為 外分點 3 ( 1) ( 2) 4 3 3 ( 2) 7

( , ) ( 11, 5)

3 2 3 2

           

 

8、 設一直線經過(2,3)且在兩軸上之截距乘積為 3，則其直線方程式為______。(答案有二個)

答案： 2

1, 1

3 2 3

y x y

x    

解析：設 2 3

: x y 1, 1

L a b a b

    ，又ab3，

2 3 1

3 ( , ) (1, 3) ( 2, 3) 2 a b

ab a b

  



    

 得 或

∴L 為x y 1

  或 2

x  y 1

 

9、設△ABC 的三頂點為A(2,1), ( 1, 3), (2, 2)B   C  ，而 A 的平分線交BC於 D，則 D 點的坐標為 ______。

答案： 7 19 ( , )

8  8

解析：內分比AB5,AC 3 ∴ BD CD: AB AC: 5 : 3， 3 ( 1) 5 2 3 ( 3) 5 ( 2)

( , )

3 5 3 5

        

 

7 19 ( , )

8 8

 

10、求過L₁: 3x  y 1 0,L₂:x   之交點，又過 (1,1) 之直線方程式為______。 y 3 0 答案： 3x2y  1 0

解析：依直線系設直線為 (3x  y 1) k x(    y 3) 0 (1,1)代入得 k = 3

 ∴直線方程式為35 x2y  1 0

11、若 (2, 11), (5, 2), ( , A B C a  若 A,B,C 三點共線則1) a______。

答案：6

解析：三點共線 ∴m_ABm_BC 9 3 3 a 5

 

 

∴ ∴a6

12、一直線平行4x3y 且與兩坐標軸截出之線段長為 10，則此直線方程式為______。 6 答案： 4x3y  24

解析： L : 4x3yk 與 4x3y6平行，與兩坐標軸交於 ( , 0), (0, )

4 3

k k

2 2 5

( ) ( ) 10 10 24

4 3 12

k k

k k

  ∴  ∴   ， : 4L x3y  24

13、小明玩戰爭網路遊戲，在螢幕上有一坐標平面，飛機 P 以等速直線前進，在坐標( 12, 4) 的 位置被發現，經過1秒後到達坐標 ( 10, 4) ，再經1秒後，小明從原點選一方向發射一飛彈 R，

假設 R 也以直線前進且速率跟 P 相同，而且 R 剛好擊中 P。試求 R 擊中 P 時的坐標 ( , )a b 為 ______。

答案： ( 3, 4)

解析：由已知每秒(+2)單位，設 t 秒後，R 擊中 P，則此時 P 點的坐標為 ( 8 2 , 4)  t 因為 R 與 P 之速率相同，故2t ( 8 2 )  t ² 4² 5

t 2

  , 即P ( 3, 4)

14、不論 k 為任意實數，直線 (3k7)x(7k3)y12k 恆是一定點，則此定點為__________。 8 答案： 1 3

( , ) 2 2

解析： (3k7)x(7k3)y12k 8 (3 7 12) (7 3 8) 0 k x y  x y  

∴ 3 7 12 0 1 3

,

7 3 8 0 2 2

x y

x y

x y

  

  

   

 ∴

15、在△ABC 中， ( 1, 2), (4, 7), (6,1)A   B C ，M 為BC之中點且 AH  直線 BC 於 H，則 (1)中線 AM 的方程式為_________________，

(2)高 AH 的方程式為________________。

答案：(1) y = x – 1 (2) 1 5 3 3 y x

解析：M 為BC中點 ∴M(5,4)中線 AM 為 2 2 4 1 1 5 1

y y x

x

  

   

   ∴

6 3

BC 2

m   

 ∴高 AH 的方程式為 2 1 1 5 1 3 3 3

y y x

x

   

 ∴

16、若三直線L₁: 2x3y ,6 L₂: 3x y 13 ,0 L₃:kx y 10 不能圍成一個三角形，求0 k __________。

答案：2 或 3 或 2

 3

解析：L1,L2,L3不能圍成三角形，即L₁//L 或₃ L₂//L 或三直線交於一點，₃

1

2

L 3 m   ,

2 3

mL  ,

L3

m  k (1)若L₁//L 時，₃ 2

k   3 (2)若L₂//L 時，₃ k3

(3)若三直線交於一點時， 2 3 6 3

3 13 4

x y x

x y y

   

 

     

  ，∴  3k 4 100,∴k 2 故k 2或 3 或 2

 。 3

17、設 A(0,0), B(10,0), C(10,6), D(0,6) 為坐標平面上的四個點。如果直線ym x(   將四邊7) 4 形 ABCD 分成面積相等的兩塊，那麼m 。

答案：1 2 解析：

 :L ym x(  7) 4   y 4 m x(  ， 7) L 表過點 (7, 4) ，斜率為 m 之直線

L 與x0( y 軸)之交點 M 坐標為 (0, 4 7 ) m L 與x10之交點 N 坐標為 (10, 4 3 ) m

∵L 平分矩形 ABCD 之面積，∴AM NC  4 7m  6 (4 3 )m  2 4m, 故 1 m 2