BC CA AC 2 2 2 2 AC 2

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：96.05.03 班級 普一 班

範

圍 2-5 正、餘弦定理

座號

姓 名 一、選擇題(每題 5 分)

1. △ABC 中，

BC

= 3，∠B = 75°，∠C = 45°，則AB= (A) 1 (B) 2 (C) 3−1 (D) 2 (E) 6− 2

【解答】(D)

【詳解】

∠A = 180° −∠B −∠C = 60°

由正弦定理，

A BC C

AB sin

sin = 3

sin 45 sin 60 2

AB AB

⇒ = ⇒ =

° °

2. △ABC 中，2cosBsinC = sinA，則△ABC 形狀是

(A)正三角形 (B)直角三角形 (C)等腰三角形 (D)鈍角三角形 (E)等腰直角三角形

【解答】(C)

【詳解】

∵ 2cosBsinC = sinA ∴ 2cosB =

c a CA = sin

sin （正弦定理）

⇒

c

a ca

b a

c

+ − = 2 )

( 2

2 2 2

⇒

c

² + a² − b² = a² ⇒

b = c

3. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 之三對邊長分別為 a，b，c，若滿足 3(a − b + c) = 14(sinA − sinB + sinC)，則此三角形的外接圓半徑 R = (A) 3

14 (B) 3 7 (C)

14 3 (D)

7

3 (E)21

【解答】(B)

【詳解】

A a sin =

B b sin =

C c

sin = 2R

∴

a − b + c = 2R (sinA − sinB + sinC)

=

2 sin , 2 sin , 2 sin

a R A b R B c R C

⇒ = = =

3

14(sinA − sinB + sinC)，∴ R = 3 7

4. 在△ABC 中，已知 AC= 10，AB= 8，

∠ A= 135°，則△ABC 的面積為(A) 20 2 (B) 40 2 (C) 80 2 (D) 20 3 (E) 40 3

【解答】(A)

【詳解】

△ABC 面積 = 2

1．AB．

AC ．sinA =

2

1．8．10．sin135° = 20 2 5. △ABC 中， BC= 3，CA = 5，AB= 6，則△ABC 的內切圓面積 =

(A) 5π (B) 2

7

π (C)

5

6

π (D)

7 8π

(E) 3 4

π

【解答】(D)

【詳解】

由（海龍Heron公式），s = 2

+ +b c a = 7

△ABC =

s

(

s

−

a

)(

s

−

b

)(

s

−

c

)= 7(4)(2)(1)= r．7⇒ r = 7

2 2 又△ABC = △OAB + △OBC + △OCA

= cr ar br 2 +1 2 +1 2

1 =

2

1

r(a + b + c) =

2

1

r(2s) = r．s

∴ △ABC內切圓面積= πr² = 7 8

π

6. △ABC 中，sinA：sinB：sinC = 2 ：2：( 3 + 1)，則∠A = (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 120° (E) 135°

【解答】(A)

【詳解】

由正弦定理，a：b：c = sinA：sinB：sinC = 2 ：2：( 3 +1)

∴ cosA = ^{2 2 2 (2 )2 [( 3 1) ]2 ( 2 )2} 2 2 2 ( 3 1)

b c a k k k

bc k k

+ − = + + −

+

． ． =

2 3 )

1 3 ( 4

) 1 3 ( 3

2 =

+

+ ，∠A = 30°

7. △ABC 中，若 a + c = 2b，3a + b = 2c，下列何者正確？

(A) a：b：c = − 3：− 5：− 7 (B) sinA：sinB：sinC = 3：5：7 (C) ∠C = 60° (D) sinA = 14

3 3

(E) cosB = 14 11

【解答】(A)(B)(D)(E)

【詳解】

╳ ╳ ╳

⎩⎨

⎧

=

− +

= +

−

0 2 3

0 2

c b a

c b a

1

−2

2 1

− 3

1 1

−2 ?

∴

a：b：c = 3：5：7 ∴ cosC =

ab c b a

2

2 2

2 + −

= 2 3 5 49 25 9

．

．

−

+ = −

2

1 ∠C = 120°

∴ sinC =

⇒

2

3 ⇒ sinA = 7

3sinC = 14

3

3 ，cosB =

ca b a c

2

2 2

2 + − =

3 7 2

25 9 49

．

．

−

+ =

14 11

8. 圓內切四邊形 ABCD 中，AB=AD= 2，∠C = 60°，∠D = 105°，下列何者正確？

(A)BD = 2 3 (B)此圓半徑= 2 (C) AC = 6 − 2 (D) ∠ACB = 30° (E) ∠CAD = 45°

【解答】(A)(B)(D)(E)

【詳解】

BD=

AB

² +

AD

² −2

AB

．

AD

． cos120°= 4+4+4 = 2 3

R =

A BD

sin

2 =

2 3 2

3 2

．

= 2

° 30 sin

2 =

° 105 sin

AC

⇒

AC

= 2 1 2 ．

4 2

6+ = 6 + 2

二、填充題(每題 10 分)

1. △ABC之三邊長分別為AB= 5， BC = 6， AC = 7，則 (1)△ABC之內切圓半徑為 。

(2)若∠A之外角平分線交直線BC於D，則AD長為 。

【解答】(1) 6 3

2 (2) 2 70

【詳解】

(1) s = 2

1 (5 + 6 + 7) = 9，海龍公式：△=

s

(

s

−

a

)(

s

−

b

)(

s

−

c

)= 9(9−5)(9−6)(9−7)= 6 6 內切圓半徑 r =

s

△= 9

6

6 = 6

3 2

(2)內分比

CD = BD

AB AC

⇒

x x 6+ =

5

7 ⇒ BD= x = 15 由△ABC 及△ACD 中，利用餘弦定理

得 cosC =

6 7 2

5 6 7^{2 2 2}

⋅

⋅

−

+ =

21 7 2

21

7^{2 2 2}

⋅

⋅

−

+

AD

⇒ AD= 280 = 2 70

2. △ABC中， AC= 4， BC = 5，∠A = 60°，則AB之長為 。

【解答】2 + 13

【詳解】

由餘弦定理知 cos60° =

AB AB

4 2

25

16 ²

．

．

−

+ ⇒ 4AB=

AB

²− 9 ⇒

AB

²− 4AB− 9 = 0

⇒ AB=

1 2

36 16 4

． +

± =

2 13 2

4± = 2± 13（負不合）

∴ AB= 2 + 13

3. ∠ B = 45°，∠ C = 60°，a = 2(1+ 3 )，求△ABC的面積 。

【解答】2(3+ 3 )

【詳解】

由正弦定理知：

° +

75 sin

) 3 1 (

2 =

° 45 sin

b ⇒

4 2 6

) 3 1 ( 2

+

+ =

2 2

b

⇒

b = 4

∴ △ABC 之面積=

2

1× 4 × 2(1 + 3 ) × sin60° = 2(3 + 3 )

4. 設圓內接四邊形ABCD中，∠ CAD = 30°，∠ACB = 45°，CD = 2，試求：

(1)AB之長 = 。 (2)劣弧CD^︵ 的弧長 = 。 (2) 3

2 2π

【解答】(1) 2

【詳解】

(1)設∠ ADC = θ，∠ ABC = π − θ 在△ACD 中，

θ AC

sin =

° 30 sin

2 ，在△ABC 中，

) sin(

π

−

θ

AC

=

θ AC

sin =

° 45 sin

AB

∴ sin30°

2 =

° 45 sin

AB

⇒ AB=

°

° 30 sin

45 sin

2 = 2 2 (2)△ACD 之外接圓半徑 2R =

° 30 sin

2 ⇒

R = 2，又∠ CAD = 30° =

6 π 則劣弧CD^︵之圓心角為

6 π× 2 =

3

π ∴ 劣弧CD^︵之長 = 2 × 3 π=

3 2π

5. △ABC之三邊長為 8，10，12，則

(1)△ABC之面積為 。 (2)△ABC之外接圓半徑為 。 (3)△ABC最大邊上之中線長為 。

【解答】(1) 15 7 (2) 7

7

16 (3) 46

【詳解】

(1)設a = 8，b = 10，c = 12，則s = 2

1(8 + 10 + 12) = 15，海龍公式△= 15．3．5．7= 15 7 (2)由△=

R abc

4 ⇒ 15 7= R 4

12 10

8× × ⇒

R =

7 15240 =

7 7 16

(3)最大邊上之中線長

=2

1 2 2 2

2

2

a

+

b

−

c

= 2

1 2 2 2

12 10 2 8

2． + ． − = 46

6. 長方形ABCD，令AB = 6，AD = 8，對角線 AC 與BD相交於P 點，求cos∠APB = 。

【解答】25 7

【詳解】

AB= 6，AD= 8，AC =BD= 10，AP=BP = 5 ⇒cos∠APB =

5 5 2

6 5 5^{2 2 2}

×

×

−

+ =

5 5 2

14

×

× =

25 7

7. △ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，a = 3 + 1，求_AB的值 =

，外接圓半徑 = 。

【解答】 6 ， 2

【詳解】

由正弦定理知

A BC

sin =

C AB

sin ⇒ ^AB=

A C BC

sin sin =

°

° +

75 sin

60 sin ) 1 3

( =

4 2 6

2 ) 3 1 3 (

+

×

+ = 6

又 2R =

C AB

sin ⇒

R = C AB

sin

2 =

2 2 3

6

．

= 2

8. △ABC中，三邊AB，BC ，CA 的高分別為hc = 3，ha = 6，hb = 4，

則cosA = ， BC = ，△ABC的外接圓半徑R = 。

， 15 16 ，

15 64 8

【解答】7

【詳解】

∵

a：b：c =

ha

1 ： hb

1 ： hc

1 = 6 1：

4 1：

3

1= 2：3：4 ∴ cosA =

bc a c b

2

2 2

2 + −

=8 7

在直角△BCH中，hb =BH = BC sinC

∵ cosC =

ab c b a

2

2 2

2 + − = −

4

1 ⇒sinC = 4

15 ∴4 = a．

4

15 ⇒ a = 15 16

∵ cosA = 8

7 ⇒ sinA = 8 15 ，

A a

sin = 2R⇒ R =

A a sin

2 =

15 64

9. △ABC中，若 AC 的中垂線交AB於D，若AD = 7，BD = 5，BC = 8，則 AC = 。

【解答】4 7

【詳解】

cosB =

8 5 2

49 64 25

．

．

−

+ =

2 1

∴ AC² = 12² + 8² − 2．12．8．

2

1 = 112 ⇒

AC

= 4 7

10.設△ABC中，AB= 2，CA = 1 + 3，∠A = 30°，則 BC 的長度為 ，

∠C的大小為 度。

【解答】 2 ；45°

【詳解】

餘弦定理BC²= 2² + (1 + 3 )² − 2．2．(1 + 3 )cos30°

= 4 + (4 + 2 3 ) − 2 3 ．(1 + 3 ) = 2

∴

BC

= 2

因為b = 1 + 3 > 2 = c，故∠C為銳角，正弦定理知 C sin

2 =

° 30 sin

2 ⇒sinC = 2 2 ．

2 1 =

2 1

∴ ∠C = 45°

11.△ABC中，b = 4，c = 2，tanB = 15 ，則a = 。

【解答】4

【詳解】

tanB = 15 ⇒ cosB = 4

1 ∴

b

² = c² + a² − 2ca cosB

⇒ 16 = 4 + a² − 2．2．a．

4

1 ⇒

a

² − a − 12 = 0 ⇒

a = 4

12.△ABC中，

AB

= 3 ，

AC

= 1，∠B = 30°，且△ABC不是直角三角形，則 (1) BC= 。 (2)∠C = 。

【解答】(1) 1 (2) 120°

【詳解】

(1)由餘弦定理知b² = a² + c² − 2ac cosB

⇒ 1² = a² + ( 3 )² − 2a． 3 cos30° ⇒ a² − 3a + 2 = 0 ⇒ a = 1 或 2

∵ △ABC不是直角三角形 ∴ a = 1

(2)△ABC中 ∵

AC

= BC = 1 ∴ ∠A = ∠B = 30°

∴ ∠C = 180° − 30° − 30° = 120°

13.△ABC中，AB= 3， BC = 7，CA = 5，則

(1)∠A = 。 (2)設M為 BC 中點，則AM= 。

2

【解答】(1) 120° (2) 19

【詳解】

(1)由餘弦定理cosA =

bc a c b

2

2 2

2+ − =

3 5 2

7 3 5^{2 2 2}

．

．

−

+ = −

2

1， ∠A = 120°

(2)設AM = x，∠AMB =

θ

，則∠AMC = 180° −

θ

，∵ cos

θ

= − cos(180° −

θ )

∴

2 2 7

3 2) (7 ^{2 2}

2

．x．

x

+ −

= −

2 2 7

5 2) (7 ^{2 2}

2

．x．

x

+ −

⇒ 2x² = 2

19 ⇒ x = ± 2

19 （負不合）

14.△ABC中，若(b + c)：(c + a)：(a + b) = 7：8：9，則sinB之值為 。

【解答】5 4

【詳解】

設

b + c = 7k，c + a = 8k，a + b = 9k a + b + c = 12k，∴ a = 5k，b = 4k，c = 3k

∴ cosB =

⇒

5 3 2

2 2

2 + − =

ca b a

c

⇒

5 sinB= 4

15.圓內接四邊形中，AB= 1，BC = 2，CD = 3，DA= 4，則BD的長為 。

【解答】 5

77

如上圖，∠A +∠C = 180°

在△ABD中，

BD

² =

AB

² +

AD

² −2

AB

⋅

AD

cosA ⇒

BD

²= 1 + 16 − 2 × 1 × 4cosA 在△BCD中，BD² =BC² +CD² −2BC⋅CDcos(180° − A)⇒

BD

²= 4 + 9 − 2 × 2 × 3(−cosA) 消去cosA ⇒

5 77

2 =

BD ⇒

5

= 77

BD

16.設△ABC的外接圓半徑為 10，而 ︵： ： = 4：5：3，則三角形的面積為

AB

BC^︵ ︵

CA 。

【解答】25(3+ 3 )

【詳解】

： ： = 4：5：3

AB

︵ BC^︵ ︵

CA

⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

°

=

°

×

=

∠

°

=

°

×

=

∠

°

=

°

×

=

∠

60 12 180

4

45 12 180

3

75 12 180

5

C B A

⇒

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

=

+ + =

=

=

3 2 10

3 20 sin

2

2 2 10

2 20 sin

2

) 2 6 ( 4 5

2 6

20 sin

2

．

．

．

C R c

B R b

A R a

△=

⇒ 2

1

bc sinA = 12．10 2 ．10 3 ．

4

2 +

6 = 25(3 + 3 ) 17.設△ABC中，AB= 5，BC = 6，CA = 7，其內切圓切三邊 BC ，CA ，

AB於點

D，E，F，則

AD= ，而面積比

DEF ABC

△

△ = 。

【解答】5；

8 35

【詳解】

如圖，s = 2

1(5 + 6 + 7) = 9，故BD=BF= s − b = 9 − 7 = 2

分別在△ABD，△ABC 中，由餘弦定理，可得

2 5 2

2

5^{2 2 2}

．

．

−

AD

+ = cosB =

6 5 2

7 6 5^{2 2 2}

．

．

− +

∴ 3(29 −

AD ) = 61 − 49 ∴

²

AD

²= 25 ∴ AD= 5

同理可得AE=AF= s − a = 9 − 6 = 3，CE =CD = s − c = 9 − 5 = 4 故由幾何性質，得△DEF = △ABC − △AEF − △BDF − △CDE

= △ABC − 7 5

3 3

．

． △ABC − 6 5

2 2

．

． △ABC − 6 7

4 4

．

． △ABC

= (1 − 35

9 − 15

2 − 21

8 )△ABC = 35

8 △ABC，故

DEF ABC

△

△ =

8 35