活動1 能 理 解 弧 的 度 數 就 是 所 對 圓 心 角的度數。
■在第四冊已介紹過 弧、優弧、劣弧及 圓心角的概念，在 此 教 師 可 透 過 弓 弦、彩虹、拱門的 圖形做連結，加深 學生對弦、弧的印 象。
■若分割一圓的弦恰 為直徑時，則可將 圓 分 割 成 兩 個 半 圓。也就是說：直 徑會將一圓分割成 兩個半圓。
■10小時
■ 如右圖，將一圓分成八等分，試求優弧 ACB 所對的圓心角∠1。
（∠1＝225°）
A
B
O 1
C
2 2 圓心角、圓周角與弦切角
圓心角及其所對的弧
1
我們曾經學過弧的表示法與圓心角的概念，現在讓我們簡單的複習一下。
如圖 2-29，圓上的 A、B 兩點將圓周分成兩個 弧，小於半圓的弧稱為劣弧，以 AB 表示。大於半圓 的弧稱為優弧，通常會在弧上加一點 C，以 ACB 表 示。其中 AB 所對的圓心角為∠AOB，ACB 所對的圓 心角為∠1。
我們已經知道，若圓心角為 x°，則弧的長度等於圓周長的 x360 。接下 來，讓我們來看看弧的度數與圓心角的關係。
如右圖，將一圓分成十二等分，試求劣弧 AB 所對的 圓心角∠AOB。
圖2-29 B
A 1
C O
A
B
∠ AOB＝ 4 12．360°＝120°
O對應能力指標 9-s-07
■類題熟練本P33
■MPB圓形P11∼20
■類題熟練本P31、32
■十分鐘輕鬆考進階篇 第6回
■無 敵 大 補 帖 進 階 篇
P9、10
■ 如右圖，AB 的度數是 90°，試求其所對的圓心角∠AOB。
（∠AOB＝90°）
O A
B 90°
■透過拼湊兩個量角 器所形成的圓，讓 學生察覺到「 一弧 的度數等於此弧所 對圓心角的度數 」 的事實。
■教師可透過下圖協 助學生記憶：
■教師可將扇形視為 圓面積的一部分，
再透過此例的關係 來說明扇形面積。
■AB 的記法有三個 意義：
1AB本身。
2AB的度數。
3AB的長度。
通 常 在 沒 有 特 別 說明下，AB 表示
AB 的度數，建議 教 師 在 題 幹 中 ， 宜 說 明 清 楚 ， 在 解 題 的 過 程 中 ， 則 可 與 學 生 做 約 定，本教材以 AB
代表AB的度數，
「 AB長 」代表AB
的長度。
如圖2-31，若圓心角∠AOB＝x°，則：
1AB 的度數為 x°，簡記為AB＝x°。 2AB 的長度＝圓周長． x
360 。 3扇形OAB 的面積＝圓面積． x
360 。 如圖 2-30，把兩個量角器拼成一個圓，
可以觀察到，整個圓周被分成360 等分的弧，
其中每一等分的弧所對的圓心角剛好是 1°。
我們稱 1 等分弧的度數為 1°，所以 x°的圓心 角所對弧的度數為x°。
如右圖，AB 的度數是 55°，試求其所對的圓心角∠AOB。
圖2-30
O B
A
55°
簡單的說：
弧的度數就是該弧所對圓心角的度數。
根據上面的說明：
A O
B x°
圖2-31
通常在同圓（等圓）中，表示兩弧長的關係時，即可省去「 長 」。 例如：AB＝CD，表示 AB 的長與 CD 的長相等，也表示兩弧的度數相等。
所以AB 可以有三種意義：1 AB 本身；2 AB 的度數；3 AB 的長度，其意義 可由前後文的相關敘述分辨。
圓心角∠ AOB＝AB 的度數＝55°
■類題熟練本P33、34
■教學掛圖(I)
8A-14
■類題熟練本P33
■ 如右圖，PA、PB 是 P 點到圓 O 的兩條切線，已知圓 O 的半徑長為 2 3，
OP ＝4 3，AB ＝120°，
試求：1∠AOB 的度數。
（∠AOB＝120°）
2切線長 PA。
（ PA ＝6）
3斜線部分的面積。
（斜線部分的面積＝12 3－4π）
■第四冊已學習過扇 形面積與弧長的求 法，在此教學的目 的是要讓學生連結 圓心角的概念來進 行解題。
B
P A
O
如右圖，正五邊形ABCDE 的頂點均在圓 O 上，
試求AB 的度數。
弧的度數與長度
例
題1
由此可知：
1在同圓（等圓）中，度數相等的兩弧等長。
2在同圓（等圓）中，度數愈大的弧，其弧的長度愈長。
B C
D
E
O A
∵ABCDE 為正五邊形，
∴以O 為頂點，可將正五邊形 ABCDE 分割成 5 個全等的等腰三角形。
圓心角∠AOB＝ 360˚5 ＝72°
故AB ＝∠AOB＝72°。
O
E F
D A
C B
如右圖，正六邊形ABCDEF 的頂點均在圓 O 上，
試求AB 的度數。
圓心角∠ AOB＝ 360˚ 6 ＝60°
故 AB ＝60°
搭配習作P28 基礎題1
■類題熟練本P33、34
■教學掛圖(I)
8A-14
■類題熟練本P33
■教師可拿兩張透明 的投影片重疊，來 呈現此概念。
■如下圖，AB為圓
O的直徑，若將A
點固定，B點以順 時針方向沿著圓周 向 A 點靠近，此 時
AB愈來愈小，AB的長度也愈來 愈短。
活動2 能理解 兩圓 心 角 、 弦 與 所 對 劣 弧的關係。
A B
O
A
B O
A
B O
A
B O
■ 圓 O1 與圓 O2 為兩個等圓，AB、CD 分別為兩圓上的一弦，如果 AB ＝ CD，
回答下列問題：
1∠AO1B 與∠CO2 D 是否相等？（是）
2
AB 和 CD 的度數是否相等？（是）3
AB 和 CD 的長度是否相等？（是）1等圓（同圓）中，如果兩圓心角相等，則它們所對的弦等長；反之亦然。
2等圓（同圓）中，如果兩個小於180度的圓心角不相等，則較大的圓心角，
所對的弦也較長；反之亦然。
如圖 2-32，AB、CD 為圓 O 上的兩弦，若∠AOB＝∠COD，以 O 點為旋 轉點，將△AOB 以順時針方向旋轉到 OB 與 OD 重疊，此時 A 點與 C 點重疊，
因此AB ＝ CD 。
如圖 2-33，AB、CD 為圓 O 上的兩弦，若∠AOB＜∠COD，以 O 點為旋 轉點，將△AOB 以順時針方向旋轉到 OB 與 OD 重疊，此時 A 點會落在 CD 上，連接AC，因為∠CAD＞∠CAO＝∠OCA＞∠DCA，所以在 △DAC 中，由 大角對大邊可得AB ＜ CD。
圖2-32
圖2-33 A
B
C
D
O C（A）
D（B）
AC
D（B）
A
C
D
O B
A
C
D
B
O O O
由上面的說明可知：
A B
O C
D
■類題熟練本P34
■例 題 2 的 教 學 目 的，是要讓學生知 道在兩個半徑不等 的圓中，若圓心角 相等，其所對應弧 的度數會相等，但 所對應的弧長、弦 長並不相等。
■教師可補充說明，
在兩個等圓中，若 兩弦等長，則兩弦 所對應的圓心角、
弧的度數、弧長會 相等。
■ 圓 O1 與圓 O2 為兩個半徑不等的圓，且 r1＞ r2，如果兩個圓心角∠AO1B ＝∠CO2 D ， 回答下列問題：
1
AB 和 CD 的度數是否相等？（是 ）2
AB 和 CD 的長度是否相等？（AB 長＞ CD 長）
3 兩弦長 AB 和 CD 是否相等？（ AB ＞ CD ） 如圖，圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2， 若兩個圓心角∠AO1B ＝∠CO2D，
試求：1AB 長：CD 長的比值。
2AB：CD 的比值。
半徑與弦、弧的關係
例
題2
O1 r1
B A
D C6 O2 10 A
8 B O1 如圖，已知AB 長＝8，CD 長＝6，
圓O2的半徑為10，
且∠AO1B＝∠CO2D，
試求圓O1的半徑。
O2 r2
D C
1設∠AO1B ＝∠CO2D＝x°，
2△AO1B 和△CO2D 中，
∵∠AO1B＝∠CO2D，且 O1A
O2C ＝ O1B O2D ＝r1
r2， ∴△AO1B∼△CO2D（SAS 相似），
故 AB CD＝r1
r2，
即 AB：CD 的比值為r1
r2。 故AB 長：CD 長的比值為 rr12。
AB 長：CD 長＝（2πr1． x360）：（2πr2． x360 ）＝r1：r2
∵∠ AO
1B＝∠CO
2D
∴ AB 長：CD 長＝r
1： r
28：6＝r
1： 10
r
1＝40 3
故圓 O
1的半徑＝40 3
■類題熟練本P34
活動3 能 理解圓 周 角的定義。
活動4 能 理解一 弧 所 對 的 圓 周 角 的 度 數 ， 是 此 弧 所 對 圓 心 角 度 數 的 一 半 ， 也 就 是 此 弧 度 數 的 一半。
■在此我們將圓周角 分成下列三種情況 討論：
1圓心 O 在角的 一邊上。
2圓心 O 在角的 內部。
3圓心 O 在角的 外部。
目 的 是 透 過 不 同 的 形 式 ， 讓 學 生 知 道 圓 周 角 的 度 數 都 等 於 其 所 對 弧度數的一半。
■ 在右圖中，AB 所對的圓周角有哪些？
（∠ACB、∠ADB、∠AEB）
A
B E
C D
J
I F
H G
A Q
B C
圖2-34
在右圖中，BC 所對的圓周角有哪些？
A
B O
C
A
B O
C
A
B O
C
圖2-35
前面學過，圓心角的度數等於它所對弧的度數，那麼圓周角的度數和它所 對弧的度數有沒有類似的關係呢？
如圖 2-35，一圓的圓心和圓周角有三種位置關係：圓心在圓周角的一邊 上、圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部。
圓心在圓周角的一邊上 圓心在圓周角內部 圓心在圓周角外部
圓周角及其所對的弧
2
A B
E
D C
當兩弦相交的交點在圓周上，其所形成的角稱為 圓周角。如圖 2-34，∠BAC為圓周角，BC 為此圓周 角所對的弦，BC 為此圓周角所對的弧。
反過來說，B、C 兩點將一圓分成 BC 和 BQC，
若在BQC 上任取一點 A，連接 AB、AC，則∠BAC 為 BC 所對的圓周角，因為 A 為 BQC 上任一點，所以同 一弧所對的圓周角有無限多個。
∠ BAC 與∠BDC
對應能力指標 9-s-07
■教學掛圖(I)
8B-14、9A-14、
10A-14
■類題熟練本P35
■當圓心 O 在角的 一邊上，還有另一 種推導的方法。
如上圖，連接半徑
OC，並過 O 點作 OH//AC。
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2。
且∠3＝∠2（內錯 角），∠1＝∠4（同 位角）
故∠1＝∠2＝∠3
＝∠4，
可推得∠BAC＝1
∠BOC。 2
又∠BOC＝BC，
∴∠BAC＝1 2 BC。
■教師也可透過實際 的數據來推導。
■教師可透過下圖，
協助學生記憶：
A
B C
m。
2m。 A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D
■ 如右圖，AB 是圓 O 的直徑，AF //OH，∠A＝55°，則下列敘述何者錯誤？
A∠AOF＝70° B BH ＝55°
CH 為 BF 的中點 D F 為 AH 的中點 D
B O
C H
A
4 3 2 1
接下來，讓我們來看看，在這三種位置關係中，圓周角的度數和它所對弧 的度數之間的關係。
1 當圓心O 在圓周角∠A 的一邊上時：
如圖2-36，連接 OC。
∵OA ＝ OC ，∴∠C＝∠A。
又∠BOC＝∠C＋∠A（外角定理），
∴∠BOC＝2∠A，
故∠A＝ 12 ∠BOC＝1
2 BC。
2 當圓心O 在圓周角∠BAC 的內部時：
如圖2-37，作直徑 AD，並連接 OB、OC。
根據 1 的結果，可推得：
∠BAD＝ 12 ∠BOD，∠CAD＝1
2 ∠COD，
＝ 12 ∠BOC＝1 2 BC 故∠BAC＝ 12 BC。
3 當圓心O 在圓周角∠BAC 的外部時：
如圖2-38，作直徑 AD，並連接 OB、OC。
根據 1 的結果，可推得：
∠BAD＝ 12 ∠BOD，∠CAD＝1
2 ∠COD，
∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝ 12 ∠COD－1
2 ∠BOD
＝ 12 ∠BOC＝ 1 2 BC 故∠BAC＝ 12 BC。
A
O
C B
圖2-36
圖2-37 A
C D B
O
圖2-38 A
C O
D B ∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝ 12 ∠BOD＋1
2 ∠COD
■教學掛圖(I)
8B-14、9A-14、
10A-14
■類題熟練本P35
■在 較 複 雜 的 圖 示 中，對圖形分析能 力較弱的學生是困 難的，教師宜加以 說明不同的圓周角 與所對的弧之間的 關係。
■圓周角的性質在高 中數學的正弦定理 會用到，如圖：
■ 在例題 3 中，如果 CD 長是圓周長的 13，試求∠CAD 與∠CBD。
（ ∠CAD＝∠CBD＝60°）
sinA'＝ ＝ ＝ sinA，
故＝2r BC
2r BC
sinA BC
A'B 如右圖，已知 AB 長是圓周長的 14 ， 試求∠ACB 與∠ADB。
例
題3
求圓周角從上一頁的討論與說明可以得到：
1一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半。
2一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半。
3在同一圓中，一弧所對的所有圓周角的度數都相等。
如圖2-39，∠A1＝∠A2＝∠A3＝ 12 BC。
A
D C
B
圖2-39 A3 A2 A1
C O
B
思考，思考，再思考。 — 愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）
數學小語錄
∵AB 長是圓周長的 14 ， ∴AB＝ 14 ．360°＝90°
又∠ACB 和∠ADB 均為 AB 所對的圓周角，
∴ ∠ACB＝∠ADB
＝ 12 AB
＝45°
搭配習作P28 基礎題2
O C
A'
A r B
■類題熟練本P35
■類題熟練本P35
■ 承例題 4，試求∠AOB。
（∠AOB＝70° ）
如右圖，△ABC 的頂點均在圓 O 上，
已知∠BAC＝45°，∠ABC＝100°，
試求∠BOC 與∠AOC。
由圓周角求圓心角
例
題4
1∵∠BAC 為 BC 所對的圓周角，
∴ BC＝2∠BAC＝2．45°＝90°，
又∠BOC為 BC 所對的圓心角，
∴∠BOC＝BC＝90°。
2∵∠ABC 為 ADC 所對的圓周角，
∴∠ABC＝ 12 ADC，
ADC＝2∠ABC＝2．100°＝200°
又ABC＝360°－ADC＝160°，
故∠AOC＝ABC ＝160°。
如右圖，A、B、C 為圓上的七個等分點中的三個點，
試求∠ABC。 B
A
D C
A
D
C B
O
∠ ABC＝ 12 ADC
＝ 12 ．（ 4
7 ．360˚）
＝720˚ 7
■類題熟練本P35
■類題熟練本P35
活動5 能 理解半 圓 所 對 的 圓 周 角 都 是 直角。
■亦可讓學生驗證，
在同一圓中，一弧 所對的圓周角皆相 等，同時要讓學生 知道，半圓所對的 圓周角必為直角。
■ 如右圖，AB 是圓 O 的直徑， AB ＝16，∠B＝75°，CD ⊥AB ， 試求 CD。（ CD＝4）
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D 如右圖，A、B、C、D 為圓上四點，
已知∠BAD＝60°，BC＝90°，試求 CD 。
我們已經知道，一弧所對的圓周角度數，等於此弧 度數的一半，如圖2-40 中，當 AB 為直徑時，AB＝180°，
故圓周角∠ACB＝ 12 AB＝ 1
2 ．180°＝90°。
又∠ACB、∠AEB 與∠AFB 皆為 AB 所對的圓周角，
∴∠ACB＝∠AEB＝∠AFB＝90°。
B
D C A
A
C B E
F
O
也就是說：
半圓所對的圓周角是直角。
圖2-40
如右圖，AC 為圓 O 的直徑，B 為圓周上一點，
若∠BAC＝40°，試求AB。 A
C B
O
CD＝BCD－BC
＝ 2∠BAD－90°
＝ 2．60°－90°
＝ 30°
∵ AC 為直徑
∴ ABC＝180°
又∠ BAC＝40°
∴ BC＝80°
故 AB＝ABC－BC＝180°－80°＝100°
搭配習作P29 基礎題3
■類題熟練本P36
■類題熟練本P35、36
在上一節時學過，要畫出通過圓O 上任一點 P 的切線，只要先連接 OP ， 再作通過P 點且與 OP 垂直的直線即可。如果 P 點在圓 O 外，要如何畫出通過 P 點且與圓 O 相切的切線呢？我們可以利用「半圓所對的圓周角必為直角」性 質，畫出過圓外一點的切線。
P
B O' O
A
O' O
A
P
B 圖2-41
如右圖，P 為圓 O 外的一點，請利用尺規作圖，
畫出通過P 點且與圓 O 相切的直線。
過圓外一點作圓的切線
例
題5
P O
1連接OP 。
2以OP 為直徑，作圓 O'，
交圓O 於 A、B 兩點。
3連接PA 與 PB。
4則PA 與 PB 即為所求。
在例題5 中，連接 OA 、OB ，如圖 2-41。在圓 O' 中，因為 OP 為圓 O' 的 直徑，由「半圓所對的圓周角必為直角」知，∠OAP＝∠OBP＝90°，因此 PA 與PB 都是圓 O 的切線。
■類題熟練本P36
■類題熟練本P35、36
■ 如右圖，三條直線 L1//L2//L3，若 BD ＝60°，DF ＝30°， 試求 ACE。
（ ACE ＝90°）
A B L1
C
D
F E
L2 L3
如右圖，兩平行直線 L1 和 L2 在圓上截出 AC 和 BD，試說明 AC＝BD。
平行線截等弧
例
題6
動動腦
1如右圖，連接BC 。
2∵L1 L2，∴∠1＝∠2（內錯角相等）。
3∠1＝1
2 AC，∠2＝1 2 BD，
故AC ＝BD。
C A D
B L1 L2
C A D
B 1 2
L1 L2
由例題6 可知：
若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截出的兩弧度數相等。
如右圖，兩直線L1 L2，且L2與圓相切於C 點，
請問AC 和 BC 是否相等？
A
C D
B
A
C B L1
L2 O
如右圖，若 AC 和 BD 的度數相等，
試說明AB CD 。
作直徑 CD。
∵ C 為切點，∴CD⊥L
2。 又 L
1L
2，∴ CD⊥L
1。 故 CD 為 AB 的垂直平分線，
則 AC ＝BC，即 AC ＝BC。
連接 BC
∵ AC＝BD，∴∠1＝∠2 故 AB CD
A
C D
1 B
2
A
C B L1
L2 O
D
■類題熟練本P37
■類題熟練本P36、37
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第12回
活動6 能 理 解 圓 內 接 四 邊 形 的 對 角 互 補。
■ 如右圖，ABCD 為圓內接四邊形，若 ∠A＝60°，AD ＝50°， BC ＝80°，則下列敘述何者錯誤？
A ∠C＝120° B∠D＝130°
C ADB ＝170° D∠B＝45°
B
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D 如右圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，
試說明∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。
圓內接四邊形對角互補
例
題7
如圖 2-42，在圓上依序任取 A、B、C、D 四點，
連接 AB、BC、CD、DA，則四邊形 ABCD 稱為圓 O 的 內接四邊形，而圓O 稱為四邊形 ABCD 的外接圓。
接著，我們來學習圓內接四邊形的一些性質。
A
D
C B O
圖2-42
∵∠A 所對的弧為 BCD，∠C 所對的弧為 BAD，
∴∠A＋∠C＝ 12 BCD＋1 2 BAD
＝ 12（BCD＋BAD）
＝ 12 ．360°
＝180°
同理，∠B＋∠D＝180°。
A
D
C
B O
由例題7 可知：
圓內接四邊形的對角互補。
圓內接四邊形
3
搭配習作P29 基礎題4／P29 基礎題5 對應能力指標 9-s-07
■類題熟練本P37
■類題熟練本P36、37
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第12回
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D
■ 如右圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形，AD、BC 交於 P 點，
若 ∠P＝40°，∠ADC＝100°，試求 ∠A。（∠A＝60°）
1如右圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，
已知AD BC ，∠DCE＝105°，
試求∠A 與∠B。
2如右圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，
∠1 為∠BCD 的外角，試說明∠A＝∠1。
A D
C E O
B
105°
A D
C E O
B 1
由隨堂練習可知：
圓內接四邊形的任一外角，等於其相鄰內角的對角。
∵ AD BC ，且∠DCE＝105°，
∴∠ D＝105°，∠BCD＝75°，
又 ABCD 為圓 O 的內接四邊形
∴∠ A＝180°－∠BCD＝105°
∠ B＝180°－∠D＝75°
∵ ABCD 為圓 O 的內接四邊形
∴∠ A＋∠BCD＝180°
又∠ 1 為∠BCD 的外角
∴∠ 1＋∠BCD＝180°
故∠ A＝∠1。
■教學掛圖(I)
9B-14
■類題熟練本P37
活動7 能 理 解 弦 切 角的定義。
活動8 能 理 解 弦 切 角 的 度 數 是 它 所 夾 弧度數的一半。
■亦可由「兩平行線 截等弧」的性質說 明：
如下圖，切線 AB
與 弦 C D 交 於 C 點 ， 形 成 弦 切 角
∠ D C B ， C D 為
∠DCB 所夾的弧，
過 D 點作 DE
//
A B 交 圓 於 E ， 根 據「兩平行線截兩 等弧」的性質，可 得CE＝CD
∵DE
//
AB，∴ ∠ D C B ＝ ∠ 1
（內錯角相等）
又∠1＝1 2 CE＝
1 2 CD
∴∠DCB＝∠1
＝1 2 CD
A C E
B D 1
接下來我們來學習，弦切角的度數與它所夾弧的度數之間的關係。
E
D
B C
A
圖2-43
D
F O E
B A C
圖2-45
從上面的說明可知：
弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。
一圓上的弦切角可因弦是否通過圓心，而有下列兩種情況：
1 弦CD 通過圓心：
如圖2-44，CD 為直徑，因此 CD 為圓周的 一半，也就是CD＝180°，又 C 為切點，
∴∠ACD＝∠BCD＝90°，
故∠ACD＝∠BCD＝ 12 CD。
D
B A C
圖2-44 O
2 弦CD 不通過圓心：
如圖2-45，過 C 點作直徑 CE，
承 1知∠BCE＝ 12 CDE，∠ACE＝1
2 CFE，
∠ACD＝∠ACE ＋∠DCE＝ 12 CFE ＋ 1 2 DE ＝ 12（CFE＋DE）＝1
2 CED 故∠BCD＝ 12 CD，∠ACD＝1
2 CED。
∠BCD＝∠BCE－∠DCE＝ 12 CDE－1 2 DE ＝ 12（CDE－DE）＝1
2 CD
弦切角及其所夾的弧
4
弦與切線在圓周上所形成的交角稱為 弦切角。如圖 2-43，切線 AB 與弦 CD 交 於 C 點，∠BCD 與∠ACD 即為弦切角，且 CD 為弦切角∠BCD 所夾的弧，而 CED 為 弦切角∠ACD 所夾的弧。
對應能力指標 9-s-07
■教學掛圖(I)
9B-14
■類題熟練本P37
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D
■ 如右圖，TQ 為圓的切線，A 為切點，AC ＝ BC，且 ∠PAQ＝48°，試求 ∠QAC。
（∠QAC＝66°）
■例題8的目的是要 推導出：若圓周角 所對的弧與弦切角 所夾的弧相同時，
則此圓周角與弦切 角的度數相等。
■弦切角是圓周角的 一種特例，也就是 將圓周角的一邊平 行移動，使其變為 圓的一條切線。另 一邊亦平行移動，
使 其 一 端 在 切 點 上。
■本教材是依「弦切 角→圓內角→圓外 角」的順序進行介 紹。
■教師可透過下圖，
協助學生記憶：
如右圖，DE 與圓 O 相切於 B 點，
已知∠CAB＝60°，試求∠CBE。
例
題8
求弦切角如右圖，∠ABC 為圓 O 的一個弦切角，
若∠ABC＝50°，試求 AB 的度數。
∵∠CAB 為圓周角，
∴∠CAB＝ 12 BC。
又∠CBE 為弦切角，
∴∠CBE＝ 12 BC，
故∠CBE＝∠CAB＝60°。
C A
B O
C A
E
D B
O
由例題8 知：
如圖 2-46，∠BAC 為圓周角，∠BCD 為弦切角，
則∠BAC＝∠BCD＝ 12 BC。
圖2-46
A B
C D
∵∠ ABC 為弦切角
∴ AB＝2∠ABC＝100°
搭配習作P30 基礎題6
■類題熟練本P38、39
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第13回
■類題熟練本P38
■ 如右圖，兩圓外切於 P 點，AB 與 CD 交於 P 點，若∠A＝50°，試求∠B。
（∠B＝50° ）
A
B C
D
P 如右圖，兩圓外切於P 點，AB 與 CD
交於P 點，試說明 AC BD。
弦切角的應用
例
題9
如右圖，AB 為圓 O 的弦，BC 與圓 O 切於 B 點，
若∠AOB＝70°，試求∠ABC 、∠ADB。
A D C
B O
如右圖，AB 為圓 O 的直徑，L 為通過 C 點的切線，
若∠ACE＝32°，試求∠D。
D O B
A
E C L
1如右圖，過P 點作兩圓的公切線 L。
∠A＝ 12 CP＝∠1 ∠B＝ 12 PD＝∠2
2又∠1＝∠2（對頂角），
∴∠A＝∠B，
故AC // BD（內錯角相等）。
A D
C B
P
A L
D
C B
P1 2
AB＝∠AOB＝70°
∠ ADB＝ 12 AB＝35°
∠ ABC＝∠ADB＝35°
AC＝2∠ACE＝64°
∵ AB 為直徑
∴ ACB＝180°
BC＝ACB－AC＝180°－64°＝116°
∠ CDB＝ 12 BC＝58°
■類題熟練本P38、39
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第13回
■類題熟練本P38
活動9 能 理解圓 內 角 與 所 夾 兩 弧 的 度 數關係。
■兩弦在圓內部所形 成的交角共有兩組
（4個），教師宜說 明其皆為圓內角。
■透過平移的轉換來 產生輔助線，有助 於學生能直觀的進 行圖形的長度、角 度量的轉換。
■在《解一》中，想 像將弦AB平行移 到直線 DE，使得 圓內角∠1轉換成 圓周角∠2，再利 用「兩平行線截兩 等弧」來推導。
■也可以選擇做輔助 線BF CD，透過 將圓內角∠1轉 換 成 圓 周 角 ∠ABF
來進行解題。
■教師可引導學生畫 出不同的輔助線來 進行推導，例如：
作BC連線，再利 用三角形的外角性 質來進行解題。
如右圖，過D 點作 DE AB 交圓於 E 點，
∴AE＝BD＝30°（兩平行線截兩等弧）
∵DE AB，∴∠1＝∠2（同位角）
∠2＝1
2 EAC＝1
2（AE＋AC）
＝ 12（BD＋AC）＝1
2（30°＋80°）＝55°
∴∠1＝55°
解二 如右圖，連接AD。
∵∠1 為△APD 的外角，
∴∠1 ＝∠3＋∠4
＝ 12 BD＋1 2 AC
＝ 12（BD＋AC）
＝ 12（30°＋80°）
＝55°
如右圖，AB 和 CD 兩弦交於圓內一點 P，
已知AC＝80°，BD＝30°，試求∠1。
求圓內角的度數
例
題10
C A
1 B D
P
C A
B 1
2 D E
P 若兩弦交於圓內一點，則這兩弦所形成的交角稱為
圓內角。如圖2-47，AB、CD 分別為圓 O 的兩弦，且 AB 與 CD 交於 P 點，則∠APC、∠BPC、∠BPD、∠APD 皆為圓內角。
A D
P C
B 圖2-47
圓內角與圓外角
5
C A
1 B 4 3
D
P
∠3 和∠4 所對的弧
分別為BD 和 AC
搭配習作P30 基礎題7 對應能力指標 9-s-07
■教學掛圖(I)
10B-14、11B-14、
12A-14
■類題熟練本P39
■教學掛圖(I)
11A-14
■類題熟練本P39
■教師可透過下圖協 助學生記憶：
∠BPC＝1
2（m°＋n°）
活動10 能理解圓外 角 與 所 夾 兩 弧 的 度 數關係。
■圓 外 角 的 定 義 為
「若PA、PB為圓 的兩割線或切線，
則 我 們 稱 ∠APB
為圓外角。」教師 宜提醒學生圓外角
∠APB是兩割線或 切線在圓外所形成 的交角。
■ 如右圖，弦 AB 交弦CD 於 P 點，若 AD ＝50°，BC ＝70°，試求 ∠BPD。
（∠BPD＝120°）
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D 如右圖，A、B、C、D 為圓上十二個等分點中的四個點，
其中P 為 AB 與 CD 的交點，
試求AC 、BD 和∠APC。
A
D P C
B 由例題10 知：
圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。
A
D C P
B
A
D
P B C
A
D C P
B 圖2-48
沒有不能解決的問題。 — 韋達（Franciscus Vieta，1540-1603）
數學小語錄
如圖2-48，若 PA、PB 為圓的割線或切線，且交於圓外一點 P ，則∠P 稱為圓外角。
AC＝ 2 12 ．360°＝60°
BD＝ 3 12 ．360°＝90°
∠ APC＝ 12（BD＋AC）＝ 1
2（90°＋60°）＝75°
■教學掛圖(I)
10B-14、11B-14、
12A-14
■類題熟練本P39
■教學掛圖(I)
11A-14
■類題熟練本P39
■例題 11 是兩割線 所形成的圓外角。
■在例題11的
《 解 一 》中 ， 也 可 以 選 擇 做 輔 助 線
BF CD。
■想像將 AP 平移到
D E ， 使 得 圓 外 角
∠P轉換成圓周角
∠1，再利用「兩 平行線截等弧」的 性質推導。
■在例題11的
《 解 二 》中 ， 也 可 以 選 擇 做 B C 連 線。
■ 如右圖，兩割線 PB、PD 交於圓外一點 P，
已知 AC ＝45°，BD ＝113°，試求∠P。
（∠P＝34°）
B
C
D A
P
如右圖，兩割線PA、PC 交於圓外一點 P，
已知AC＝144°，BD＝60°，試求∠P。
求圓外角的度數
例
題11
A
C D B P
如右圖，過D 點作 DE AB ，
∴AE＝BD＝60°（兩平行線截兩等弧），
∵DE AB ，∴∠P＝∠1（同位角）
又∠1＝1
2 EC＝1
2（AC－AE）
＝ 12（AC－BD）＝1
2（144°－60°）＝42°
∴∠P＝42°
解二 如右圖，連接AD 。
∵∠3 為 △ADP 的外角，
∴∠P＝∠3－∠2
＝ 12 AC－1 2 BD
＝ 12（AC－BD）＝ 1
2（144°－60°）＝42°
A
C D E
B P
1
A
C D B P 2
3
B D
C A P
如右圖，A、B、C、D 為圓上十二個等分點中的四個點，
P 為 AB 和 CD 的交點，試求 AC、BD 與 ∠P。
∠2 和∠3 所對的弧
分別為BD 和 AC
AC＝ 4 12．360°＝120°
BD＝ 1 12．360°＝30°
∠ P＝ 12（AC－BD）＝ 1
2（120°－30°）＝45°
■類題熟練本P40
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第14回
■類題熟練本P40
■例題 12 是一割線 與一切線所形成的 圓外角。
■例題 12 的解，也 可以選擇做輔助線
BF//CD。
■例題12也可用「兩 平 行 線 截 等 弧 」的 性質推導：
如 下 圖 ， 過 C 點 作CE//AB，根據
「兩平行線截兩等 弧」的性質，可得
AE＝BC＝80°∵CE
//
AB，∴∠P ＝∠ECD ∠ECD＝1
2EC ＝1
2（ AC－AE ） ＝ 12（140°－80°）
＝30°
故∠P＝30°
■隨堂練習是兩切線 形成的圓外角。
A
P B
C E
D O
如右圖，PA 與 PD 交於圓外一點 P，
其中 PA 為圓的割線，PD 為圓的切線，
且與圓切於C 點。若 AC ＝140°，
BC＝80°，試求∠P。
求圓外角的度數
例
題12
如右圖，連接AC 。
∵∠1 為 △ACP 的外角，
∴∠P ＝∠1－∠2
＝ 12 AC －1 2 BC
＝70°－40°
＝30°
A
B
C P D
A
B
C P D
2
1
圓外角的度數等於所對的兩弧度數差的一半。
由例題11、例題 12 與隨堂練習可知：
如右圖，PA 和 PB 分別與圓切於 A、B 兩點，
並交於圓外一點P，若 ACB＝240°，試求∠P。
∠1為弦切角
∠2為圓周角
B
P C A
連接 AB ，
∵∠ 1為△ABP 的外角，
∴∠ P＝∠1－∠2＝ 12（ACB－AB）
＝ 1 2（240°－120°）＝60°
B
P C A
1 2
■類題熟練本P40
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第14回
■類題熟練本P40
■ 教師可透過圖示，將各角度與弧的關係整理如下：
名稱 圓心角 圓周角 弦切角
圖示
性質 ∠AOB＝m°
AB ＝m°
∠ACB＝m°
AB ＝2m°
∠BAC＝m°
AB ＝2m°
!弧的度數與長度：
1弧的度數等於該弧所對圓心角的度數。
2等圓（同圓）中，度數相等的兩弧等長。
3等圓（同圓）中，度數愈大的弧，其弧的長度愈長。
@圓心角與弦關係：
1等圓（同圓）中，如果兩圓心角相等，則其所對的弦等長；反之亦 然。
2等圓（同圓）中，如果兩個小於 180 度的圓心角不相等，則較大的圓 心角所對的弦較長；反之亦然。
#圓周角：
1一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半。
2一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半。
3在同一圓中，同一弧所對的所有圓周角的度數都相等。
4半圓所對的圓周角必為直角。
$圓內接四邊形：
1如圖2-49，在圓上依序任取 A、B、C、D 四點，
連接AB 、BC 、CD 、DA ，則四邊形 ABCD 為圓O 的內接四邊形，圓 O 為四邊形 ABCD 的外接圓。
2圓內接四邊形的對角互補。
3圓內接四邊形的任一外角，等於其相鄰內角的對角。
%平行線截等弧性質：
若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截出的兩弧度數相等。
重點回顧
圖2-49 A
D
C B O
■無 敵 大 補 帖 基 礎 篇 P17∼20
名稱 圓內角 圓外角
圖示
性質 ∠1＝ 12（m°＋ n°） ∠P＝ 12（m°－ n°）
■ 教師可透過圖示，將各角度與弧的關係整理如下：
^弦切角：
1弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。
2如圖2-50，∠A 為圓周角，∠BCD 為 弦切角，則∠A＝∠BCD＝ 12 BC。
&圓內角：
圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。
如圖2-51，∠APC＝1
2（AC＋BD）。
*圓外角：
圓外角的度數等於所對的兩弧度數差的一半。
圖2-50
A B
C D
給我最大快樂的，不是已懂的知識，而是不斷的學習；
不是已有的東西，而是不斷的獲取；
不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登。
— 高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）
數學小語錄
圖2-52 圖2-53 圖2-54
圖2-51 A
B D
C
P
P B
C
A A
P
B D
D C A
B
P C
∠P＝ 12（AB－CD） ∠P＝ 12（AB－AC） ∠P＝1
2（ADB－ACB）
■無 敵 大 補 帖 基 礎 篇
P17∼20
■ 如右圖，AB 所對的圓心角為 ∠AOB，CD 所對的圓周角為 ∠M，若 AB ＞ CD，
則下列敘述何者正確？
A ∠AOB＝∠M B∠AOB＞2∠M C ∠AOB＜2∠M D∠AOB＝2∠M
B
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D
1 試求下列各小題中圓心角∠1。
2 如右圖，若AB 長為圓 O 周長的1 8 ， 試求∠AOB、∠APB 和∠AQB。
3 如圖，已知圓O 上 A、C 兩點，試完成下列問題：
1在AP 上找出一點 B，使得∠ACB 為銳角。
2在AP 上找出一點 D，使得∠ACD 為直角。
3在AP 上找出一點 E，使得∠ACE 為鈍角。
自 我 評 量 2-2
53°
1
112°
O A 1O B
AB 為直徑
1 2
P
B A Q
O
∠1＝180°－53°＝127°
C
A O P
AB 的度數＝ 18 ．360°＝45°
∴∠ AOB＝45°
∠ APB＝∠AQB＝22.5°
∠ 1＝112° ∠ 1＝180°－53°＝127°
C
A O B D E P
■類題熟練本P41、42
■類題熟練本P41、42
■考前衝刺P10、11
■考前100分P10、11
■歷屆基測試題2-2
■ 如右圖，矩形 ABCD 內接於一直徑為 5 的圓，若 AB ：BC＝1：2，試求 AB。
（ AB＝ 5 ）
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D 5如右圖，AC 為圓 O 的一弦，AB 切圓 O 於 A 點，已知∠CAB＝38°，
試求∠COA、∠CDA。
4 如右圖，圓內接四邊形ABCD 為平行四邊形，試求∠A。
A D
C B
C
B D
A O
∵ ABCD 為平行四邊形
∴∠ A＝∠C，∠B＝∠D 又 ABCD 為圓內接四邊形
∴∠ A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°
故∠ A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵ AB 切圓 O 於 A 點，∠CAB＝38°
∴∠ CDA＝∠CAB＝38°
∠ COA＝2∠CAB＝2．38°＝76°
■類題熟練本P41、42
■類題熟練本P41、42
■考前衝刺P10、11
■考前100分P10、11
■歷屆基測試題2-2
A B C D E F G H
5 4 3 2 1 0 1 2
A D
C B
O
O
A M B
D N C
B A
D C
O
C D A
B
P O
A Q
H B
F A
O A
B O1 O2
O1 O3 O2
A P
Q O
A B D
C O
A D
C
B
A P
Q T
B
C
D
B C A
P
C
M D
A O B
A
B C
D
P C
B Q D
A A
B C P
D
■ 如右圖，A、B、C、D 為圓上四點，AB 、CD 交於圓外一點 P，AC、BD 交於圓內一 點 Q，若 ∠A＝20°，∠AQD＝70°，試求 ∠P。（∠P＝30°）
6如右圖，圓內兩弦AB、CD 交於 E 點，若∠BAC＝50°，∠ABD＝60°，
試求∠1、∠2及∠3。
C B
D A
E
1
2 3
C
Q P
B A
7如右圖，PQ 和圓切於 C 點，PA 交圓於 A、B 兩點。若 AC＝160°，
BC＝80°，試求∠ACQ、∠A 和∠P 。
∠ 2＝∠CAB＝50°
∠ 1＝∠ABD＝60°
又 AD＝2∠ABD＝120°，BC＝2∠CAB＝100°
∴ AC＋BD＝360°－AD－BC＝140°
故∠ 3＝ 1
2（AC＋BD）＝ 1
2 ．140°＝70°
∠ ACQ＝ 12 AC＝80°
∠ A＝ 12 BC＝40°
∠ P＝ 12（AC－BC）＝40°
■類題熟練本P41、42
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第15、16回
■十分鐘輕鬆考進階篇 第7∼9回
■無 敵 大 補 帖 進 階 篇
P11∼14
公切線
日常生活中存在著一些公切線的例子，例如：圖 2-55 中腳踏車的鏈 條，連接兩個圓形的齒輪，這條鏈條在兩個切點之間的那一段就是兩圓的 外公切線，而這兩個齒輪滾動的方向是一致的。又如圖 2-56 中，滑輪和皮 帶的組合，可以把動力從引擎傳到機器上，而這條皮帶在兩個切點之間的 那一段是兩滑輪的內公切線，此時兩個輪子滾動的方向則相反。
此外，在運送下半部為圓柱體的醬油瓶時，常將醬油瓶緊密的綁在一 起，如圖2-57 所示，藍色線段即為公切線。
數學萬花筒
÷
×－
圖2-55
圖2-56
圖2-57
■類題熟練本P41、42
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第15、16回
■十分鐘輕鬆考進階篇 第7∼9回
■無 敵 大 補 帖 進 階 篇
P11∼14
