勾股定理證明-G242-1
【作輔助圖】
1. 在直角三角形的三邊上作相似的五邊形ACDEF ，五邊形 CBD E F 及五邊形 BAD E F 。
A
C D E
B D
E F
D
E
F
F
Fig. 1 接著我們以五邊形 ACDEF 為示範作圖：
A
C D E
F
G
H
I
Fig. 2
2. 連EA EC ，並過,
F
作平行於 EA 的直線，交 AC 延伸線於 G ；過D
作平行於 EC 的 直線，交 AC 延伸線於H
。連EG EH 。 ,3. 過
E
作 GH 的垂直線，垂足I
。U
V
W
X Y
Fig. 3
4. 在平面上作一UV 與 AC 等長，並在UV 延伸線上取一點W 使得UW GH 。 5. 過U 作與U V W 不共線之一線，並在線上取一點
X
使得UX EI
。連VX
。 6. 過W 作平行於VX 的直線，交UX 延伸線於Y
。A
C E
G
H K
Fig. 4
7. 作
AC
中垂線與AC
交於 J ，並在中垂線上取一點K
使得JK UY
。接著連KA KC 。 ,A
C
J K
B J
K
J
K
Fig. 5
8. 最後分別在BC AB 如上述操作，可以得到, K K , ，並連接K B K C K A K B , , , 。
【求證過程】
以上面程序作輔助線，目的是在每邊上製造面積與邊上的五邊形相等的等腰三角 形。其中利用到了推移的技巧，以及尺規作圖中乘法、伸縮的技巧。完成作圖後我們 只要說明三邊上較小的兩個等腰的三角形的面積和，等於較大的等腰三角形的面積。
而這個性質剛好我們在之前已經有了證明，也就完成了畢氏定理了證明。
1. 證明 Fig. 2 上的五邊形ACDEF 面積等於 EGH 面積：
因為 AE 平行於 FG ，所以
AEF
與 AEG 是同底等高，, AEF AEG
而同理可以得到
. CDH CHE
也因此
.
ACDEF AEF ACE CDE AEG ACE CEH EGH
五邊形
2. 在 Fig. 3 上用這樣的方式作出UVX UWY, 所以 UX UV ,
UY UW 因此可以推得
. UX UW UV UY
3. 證明在 Fig. 4 上的ACK 面積等於 EGH 面積：1 2 1 2 1 2 1 2
. EHG GH EI
UW UX
UV UY
AC JK ACK
4. 綜合以上可以得到五邊形ACDEF ACK，再以同樣的道理可以證明 CBD E F BCK以及 BAD E F BAK.
5. 而ACK,BCK,BAK為三邊上相似的等腰三角形，根據《勾股定理》幾何篇編 號第241 號中的過程，即可得到 ACK BCK BAK, 也就是
, ACDEFBCD E F BAD E F
又由於他們是相似的五邊形，我們就可以得到畢氏定理關係式
2 2 2
. a b c
【註與心得】
1. 來源：此證明為 Loomis 於 1933 年所著，收錄在《勾股定理》一書幾何篇編號第 242 號。
2. 心得：這個證明用到了不少作圖的技巧，問題等同是如何在一個固定底邊上製造 面積等於任意五邊形的等腰三角形。而為了達到這樣的目的，使用到了平 行線推移以及平行線伸縮的技巧。最後再引述已知的過程，即可證明畢氏 定理關係式。但實際教學上，若我們以此方法來證明畢氏定理，目的會是 在作圖技巧而非畢氏定理本身。因為若想要證明直角三角形邊上的相似圖 形小面積和會等於大面積，我們會使用「已知」的畢氏定理搭配面積比例 特性來證明。
3. 評量：
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4. 補充：在數學能力指標裡，有這麼一項：
S-4-10：能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。
在這個證明當中我們可以學習到尺規作圖的技術：
「給定一多邊形，能利用尺規作圖製造面積相等的三角形。」
而另一項能力指標：
C-S-01 ：能分解複雜的問題為一系列的子題。
在這個證明中我們也看到很好的示範，前段的作圖部分，先製造指定面積 的三角形，再製造指定底並且同面積的三角形，再利用前面已經完成的預 備定理，即可完成整個證明。這樣的模式在高等數學教科書中經常出現。
