蜜蜂路徑–找回失落的數字

蜜蜂路徑–找回失落的數字

臺北市立第一女子高級中學 朱雅琪 指導老師 楊宗穎

中 中 中文文文摘摘摘要要要

給定 S 為 {1, 2, 3, . . . , n²} 的一個子集合, 並預先將 S 中的數字填入一個 n 階方陣. 若能將 剩餘自然數 {1, 2, 3, . . . , n²} − S 全部填入此方陣中未被 S 所佔據的格子, 滿足“相鄰的數字需填 入方陣中相鄰的格子”且“填入數字的方法是唯一的”, 則稱 S 為 n 階方陣的一個“確定集”. 本作 品探討確定集 S 所需的“最少元素個數”以及“填入 n 階方陣中的策略”, 使得若刪除 S 中任何一 個元素, 則剩餘自然數填入方陣的方法皆不唯一. 我們定義“連續對應函數”, 並觀察低維度的特 例, 找出最小確定集的條件並推廣到一般情形. 同時也觀察填入路線, 與路線轉折次數所造成的影 響, 並得出一些有趣的數學性質.

1 研 研 研究 究 究動 動 動機 機 機

我們偶然在 2013 年 7 月 7 日(星期日)的聯合報上看到一個特別的遊戲—蜜蜂數字. 它有 些類似數獨, 但在細節上又不太一樣. 同樣是遊戲設計者先在部分格子中給定特定數字, 然後由玩家將剩餘數字填入剩下的格子內, 不過蜜蜂數字填數字的規則是:「從 1 開始, 以 相鄰且不間斷的方式將數字填入格子內」(因為這個正六邊形鑲嵌圖共有 37 個格子, 故要 填入的數字為 1 到 37). 在嘗試了這個遊戲後, 我們好奇: 它事先給定的數字, 真的能造成 唯一的解答嗎? 而在這樣的圖形內, 最少要事先給玩家幾個數字才可能使解答唯一?

轉換此問題, 我們將原本正鑲嵌圖中的正六邊形改成正方形來研究, 也就是以方陣來討 論這個遊戲. 遊戲規則是: 在 n × n 的方陣中, 部分特定的格子已經被編號(已填入數字), 玩家從 1 開始, 將數字 1, 2, ⋯, n² 以相鄰且不間斷的方式填入格子中. 我們關心的是在設 計遊戲時“事先可給定哪些數字?”以及“該擺放在哪些位置?”

在傳統的數獨遊戲中, 目前已知至少要給定 17 個數才能保證有唯一解, 然而在有唯一 解的前提下, 是否存 16 個初始數的數獨題目呢? 2012 年 1 月 1 日, 都柏林大學的 Gary McGuire利用計算機已證明出“不存在 16 個初始數的數獨題目”, 意即, 在數獨遊戲中, 最 少需給定 17 數才能有唯一解. 所以在我們的研究問題當中, 我們同樣關心至少需事先在 n 階方陣中需填入多少個數字, 使其餘數字填入的方法唯一.

1

2 研 研 研究 究 究目 目 目的 的 的

對於一個 n × n 方陣, 設計一個 {1, 2, 3, . . . , n²} 的子集合 S, 並將 S 中的數字預先安排在 方陣中特殊的位置, 滿足下列兩個條件:

條 條

條件件件(1): 能將其餘數字 {1, 2, 3, ⋯, n²} − S 也填入同一個被 S 佔據部分位置的方陣中時, 相鄰的自然數可被安排在方陣中相鄰的位置, 且填入方法唯一.

條 條

條件件件(2): 若在此方陣中刪除 S 中任意一個數字, 皆會造成其餘數字填入的方法不唯一.

對於這個特殊的子集合 S, 我們欲說明存在一種策略, 能將 S 中的數字預先填入 n 階 方陣的特殊位置, 並且能滿足上述兩個條件.

3 研 研 研究 究 究設 設 設備 備 備及 及 及器 器 器材 材 材

方格紙, 筆, 電腦, 繪圖程式(powerpoint、word), mathtype.

4 研 研 研究 究 究過 過 過程 程 程或 或 或方 方 方法 法 法

4.1 基 基 基本 本 本概 概 概念 念 念與 與 與名 名 名詞 詞 詞解 解 解釋 釋 釋

對於一個 n × n 的 階方陣, 共有 n² 個位置 {aij∣1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n}, 其中 aij 代表此方陣 中第 i 列第 j 行的位置. 此外, 若方陣中任兩位置 ai1j1 與 ai2j2 滿足 ∣i1− i2∣ + ∣j1− j2∣ = 1, 則稱為相鄰, 以“ai1j1 ∼ ai2j2” 表示. 若方陣中 n² 個位置與自然數 {1, 2, 3, . . . , n²} 形成一 對一的對應, 使得相鄰的自然數對應到方陣中相鄰的位置, 我們稱此對應的方式為“連連連續續續 對

對

對應應應”. 換句話說, 所謂連續對應是一對一函數 f ∶ {aij∣ 1 ≤ i, j ≤ n} → {1, 2, ⋯, n²}, 滿足

『對所有 ∣f(ai1j1) − f(ai2j2) = 1∣ , 均有“ai1j1 ∼ ai2j2”.

考慮 1 × 1 的方陣, 則函數 f(a11) = 1 即為一個連續對應函數.

考慮 2 × 2 的方陣, 若定義函數 f ∶ {aij∣1 ≤ i, j ≤ 2} → {1, 2, 3, 4} 為 f(a11) = 1, f(a21) = 2, f(a22) = 3, f(a12) = 4, 則此函數即為一個連續對應函數. 方便起見, 可用下圖 表示:

對於一個 n 階方陣, 當然存在有許多不同的連續對應函數, 例如:

此三個圖表皆可視為 2 階方陣的連續對應函數, 而

則不是 2 階方陣的連續對應函數.

對於 n 階方陣, 隨著自然數 n 的變大, 連續對應函數的數量將隨之增加. 如欲使 n 階 方陣的連續對應函數唯一, 則可事先給定若干位置上的函數值來限制其連續對應函數的數 量.

我們的問題是研究一個 n 階方陣, 其中若干的位置上已填有某些 {1, 2, 3, . . . , n²} 的自 然數, 則是否能將剩下的自然數全部填入此方陣, 滿足相鄰的數字需填入方陣中相鄰的位 置, 且填入數字的方法必須是唯一的.

以 3 階方陣為例:

例 例

例1:若給定 f(a22) = 1, f(a23) = 4, f(a31) = 7, 如(圖一), 則填入數字的方法唯一, 如(圖 二).

(圖一) 連續對應唯一 (圖二)

例例例2:若給定 f(a12) = 1, f(a23) = 4, f(a31) = 7, 如(圖三), 則不存在連續對應函數.

(圖三)

為了方便後續的論述, 令子集合 S ⊆ {1, 2, 3, . . . , n²}. 若 S 滿足條件(1), 則稱 S 為 n 階方陣的“確確確定定定集集集”. 當 S 滿足條件(2), 則稱 為“極極極小小小確確確定定定集集集”.

(圖一) (圖四)

3

例 例

例3:由例 1(圖一)可知集合 S = {1, 4, 7} 為 3 階陣列的一個確定集, 然而我們刪去 S 中任 一個數字, 皆造成此陣列會有兩個以上的連續對應函數, 故 S = {1, 4, 7} 即為 3 階陣列的 一個極小確定集.

例 例

例4: f(a11) = 1, f(a12) = 4, 如(圖四)也是一個 3 階方陣的極小確定集.

由例3、例4可以知道:n 階方陣可以有不同元素個數之極小確定集.

令 Rn = {∣S∣ ∶ S 為 n 階陣列的極小確定集}, 並稱呼 Rn 的最小值為“最最最小小小確確確定定定數數數”, 以 M(n) 表示, 即: M(n) = min{∣S∣ ∶ S 為 n 階陣列的極小確定集}.

若 S 為極小確定集且滿足 ∣S∣ = M(n), 則 S 稱為 n 階方陣的“最最最小小小確確確定定定集集集”.

對於一個 n 階方陣 An, 若自然數 k < n, 則稱 {aij∣1 ≤ i, j ≤ k} 所形成的方陣為 An

的“k 階階階子子子方方方陣陣陣”, 並記為“Ak

”.

令 f ∶ {aij∣1 ≤ i, j ≤ n} → {1, 2, 3, . . . , n²} 為 n 階方陣的一個連續對應數, 且 1 ≤ p <

q ≤ n², 則定義 f⁻¹[p, q] = (f⁻¹(p), f⁻¹(p + 1), . . . , f⁻¹(q)) 代表 f 在 n 階方陣中, 從位置 f⁻¹(p) 到 f⁻¹(q), 依自然數序列 p, p + 1, p + 2, . . . , q 所形成之連續路徑.

以(圖五)為例,

f⁻¹[3, 9] = (f⁻¹(3), f⁻¹(4), f⁻¹(5), f⁻¹(6), f⁻¹(7), f⁻¹(8), f⁻¹(9))

= (a22, a12, a13, a23, a33, a32, a31)

(圖五)

4.2 重 重 重要 要 要引 引 引理 理 理

引 引 引理理理 1.

1. 空空空集合 φ 為 1 階方陣的一個最小確定集, 意即最小確定數 M(1) = 0.

2. 集合 {1, 4} 為 2 階方陣的一個最小確定集, 意即最小確定數 M (2) = 2.

證 證 證明明明.

1. 1 階方陣只有一格, 所以不需安排任何數字, 即可確定要填入 1 , 且為連續對應函 數. 故可知 φ 為 1 階方陣的一個極小確定集, 且同時為最小確定集, 因而最小確定 數 M(1) = 0.

2. 在 2 階方陣中, 若將集合 {1, 4} 的 1, 4 分別安排在 a11, a12, 如(圖六), 則可以知道 此 2 階方陣所對應出的連續對應函數是唯一的, 如(圖七).

且當任意刪除(圖六)其中一個數字, 會發現皆可定義出兩個連續對應函數, 故可以確 定集合 {1, 4} 為 2 階方陣的一個極小確定集. 接著逐一檢驗, 可發現元素個數少於 2 的集合: φ, {1}, {2}, {3}, {4} 皆不是 2 階方陣的極小確定集, 因此集合 {1, 4} 為 2 階方陣的一個最小確定集, 而最小確定數 M(2) = 2.

(圖六)

連續對應唯一 (圖七)

引 引

引理理理 2. 集合 {1, 4} 為 3 階方陣的最小確定集, 意即 M(3) = 2 . 證

證

證明明明. 首先, 將集合 {1, 4} 安排在 a11, a12 的位置, 如(圖八), 並依藍色箭頭方向依序將 {1, . . . , 3²} − {1, 4} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 的數字填入剩餘的格子, 由於數字 2 必填在 a21

字 3 必填在 a22, 可知其連續對應函數是唯一的, 如(圖十).

(圖八) (圖九) (圖十)

接著任意刪除(圖八)其中一個數字, 會發現皆可定義出兩個連續對應函數, 故可以確定 集合 {1, 4} 為 3 階方陣的一個極小確定集. 最後, 依次檢驗元素個數少於 2 的集合:φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, 發現這些集合皆不是 3 階方陣的極小確定集, 因此 可以確定不存在元素個數少於 2 的極小確定集. 而最小確定數 M(3) = 2.

引 引

引理理理 3. 3 階方陣中, 最小確定集只有八種類型.

證 證

證明明明. 從引裡 2 的結論可以知道, M(3) = 2 所以最小確定集個數必定為 2. 以下, 我們將 找出所有最小確定集的可能和其擺放方式.

在 3 階方陣中, 任選 2 個數字安排在方陣中, 共有 C₂⁹ = 36 種不同的選法.

然而, 當用這兩個數給出一條連續路徑時, 我們可將 9 換為 1, 而 8 將換為 2, 依此類推此 路徑會與原先走之路徑相同, 但順序相反, 故可知給定 1, 2 相當於分別給定 8, 9, 我們稱 此為“數數數字字字的的的對對對稱稱稱性性性”.

故根據數字的對稱性, 接下來僅需討論方框內的 20 種可能即可.

首先, 根據數字的奇偶性可以知道:在 3 階方陣中, 有 5 個奇數, 4 個偶數, 所以奇數必

5

定放在(圖十一)中的黑色格子, 而偶數就放在白色格子.

(圖十一)

而依據方格圖形對稱性, (圖十二)及(圖十三)所代表的意義是相同的.

(圖十二) (圖十三)

1. 以 {1, 4} 為例, 由於對稱性, 1 擺在 3 階方陣 4 個角落任一位置所代表情形都是一 樣的, 所以讓 1 擺在左上角, 此時 4 共有下面(I)(II)二種擺法. 而最後一種擺法(III) 是 1 擺在中間而 4 放在外圍的情形:

炷 炸ġ

(I) (II) (III)

炷 炸ġ

炷 炸ġ

1 4

1 4

1

4

但(II), (III)皆無法確定出唯一路線, 而(I)可以. 所以 {1, 4} 為 3 階方陣的最小確定 集且擺法必定為(I).

2. 再來看到 {1, 5} , 讓 1 擺在左上角, 此時 5 共有下面(I)(II)(III)三種擺法. 而最後一 種擺法(IV)是 1 擺在中間 5 放在 4 個角落其一:

炷 炸ġ

炷 炸ġ

(I)ġ (II)ġ (III)ġ ĩŊŗĪġ

炷 炸ġ

1

5

5

1

5

1

5

在這(I)(II)(III)(IV)四種, 只有(I)可以確定出一條唯一路線, 所以 {1, 5} 為 3 階方陣 的最小確定集且擺法必為(I).

3. 接著, 同樣根據對稱性, {1, 6} 所有可能的擺法有以下(I)(II)(III)三種:

炷 炸ġ

炷 炸ġ

炷 炸ġ

(I)ġ (II)ġ (III)

1

6

1 1 6 6

這三種擺法中, 只有(I)可以確定出一條唯一路線, 所以 {1, 6} 為 3 階方陣的最小確 定集且擺法必定為(I).

4. 再考慮 {2, 6}, 根據對稱性, 2 擺在外圍非角落的任一個位置所代表的情形都是一 樣的, 所以將 2 擺在 a12, 此時 6 可在 2 的斜對角或對面, 故 {2, 6} 的擺法只有(I), (II)兩種:炷 炸ġ

(I)ġ (II)

炷 炸ġ

烉

婒㖶

2 6

2

6

其中只有(I)可以確定出唯一路線, 所以 {2, 6} 為 3 階方陣的最小確定集, 且擺法必 為(I).

5. 最後, 討論 {1, 2} 在 3 階方陣中的擺放情形. 根據圖形的對稱性且已知 1, 2 在方陣 內必須相鄰, 故 {1, 2} 的擺法只有(I), (II)兩種:

炷 炸ġ

炷 炸ġ

(I)ġ ġ ġ ġ ġ (II)ġ ġ ġ ġ ġ

烉

婒㖶

1 2

ၡጕό୤΋ ¹

6 5

2 3

4 9 8 7

1

4 3

2 9

8 7 6 5

ၡጕό୤΋ ³

4 1 2 9

8 7 6 5

9

8 1

2 3 4 5 6 7 1

2

而不論是哪種擺法皆無法對應出唯一的路徑, 故 {1, 2} 非 3 階方陣的最小確定集.

對於前面方框內的其他 15 個集合, 都可用相同的方式檢驗是否為最小確定集, 且最後將 可以發現這 15 個集合與 {1, 2} 皆不是 3 階方陣的最小確定集.

由上述討論可知, 對於 3 階方陣, 最小確定集僅有 {1, 4}({6, 9}), {1, 5}({5, 9}), {1, 6}({4, 9}), {2, 6}({4, 8}) 等八種情形. 其中, ( ) 內代表因數字對稱性而獲得的最小確定集.

引 引

引理理理 4. 集合 {1, 4, 16} 為 4 階方陣的極小確定集.

7

證 證

證明明明. 首先, 將集合 {1, 4, 16} 中的 1, 4, 16 分別安排在 a11, a12, a14, 如(圖十四), 則 2 和 3 只能填在 a21 及 a22, 如(圖十五), 如此 5 的位置, 6 的位置都唯一確定了, 又由於 16 的 位置給定, 15 和 14 的位置也唯一確定, 此時 7 的位置確定, 13 的位置也會被確定, 最後依 次被確定的數是12, 11, 8, 9 和 10 的位置. 故可知其連續對應函數是唯一的, 如(圖十六).

(圖十四) (圖十五) (圖十六)

其次, 任意刪除(圖十四)其中一個數字, 會發現都可以定義出兩個連續對應函數:比如 刪去 1, 可將 1 改放在 a22, 就有另一種連續對應函數；刪去 4, 可將 4 改放在 a41,就有另 一種連續對應函數；刪去 16, 可將 16 改放在 a23, 形成另一種連續對應函數. 故可知集合 {1, 4, 16} 為 4 階方陣的一個極小確定集.

參考引理 4 給定數字的方式, 我們想知道在較大方陣中依類似的方式給定數字, 它們 是否為極小確定集. 其中一個關鍵的步驟為:「確認其對應的連續對應的唯一性」.

針對此過程, 以下將以引理 5 來說明.

引 引

引理理理 5. (1) 令 n ≥ 4 為偶數, 在給定如(圖十七) 1², 2², 4², 6², 8², . . . , n² 的位置, 則 f(a31) 不可能被填入 4 到 n² 之間, 除了 9 以外的任何數.

(2) 令 n ≥ 5 為奇數, 在給定如(圖十八) 1², 2², 4²、6², 8², . . . , (n − 1)² 的位置, 則 f(a31) 不可能被填入 4 到 n² 之間, 除了 9 以外的任何數.

(圖十七) (圖十八)

證 證 證明明明.

(1) 這個證明因為用圖形顯示比較清楚, 所以我們先以 n = 8 來觀察 n 為偶數的情形.

(圖十九) (圖二十)

針對(圖十九), 很明顯的可以發現 2 與 3 必分別填入 a21 與 a22, 如(圖二十), 以下 將討論 f(a31) 的可能性.

首先, 考慮 4 < f(a31) < 16 的情形. 因為從 f⁻¹(4) 以數字遞增的方式連續走到 a31 最少需 5 個格子, 而 4 + 5 = 9, 可得此時 f(a31) 下界為 9；又因從 f⁻¹(16) 以數 字遞減的方式連續走到 a31 至少需 5 個格子, 而 16 − 5 = 11, 可得此時 f(a31) 上界 為 11. 由於已知 f(a31) 必為奇數, 所以 f(a31) 若要填入 5 到 15 之間的數, 只有 9, 11 兩種可能.

如果 f(a31) = 9, 可以確定路線 f⁻¹[9, 16] 如(圖二十一).

如果 f(a31) = 11, 則 f⁻¹[11, 16] 有(圖二十二), (圖二十三), (圖二十四)三種可能.

這三個圖形中, f⁻¹[11, 16] 皆和方陣的左緣和上緣圍出一個封閉區域, 而以(圖二 十四)所圍的區域最大. 由於數字必須連續對應到方格, 封閉區域內的數無法跨過 f⁻¹[11, 16] 填到封閉區域之外. 而最大封閉區域(圖二十四)僅圍出 12 格, 不足以填 入 1 到 16 之間的所有數, 故 f(a31) ≠ 11 .

(圖二十一) (圖二十二)

(圖二十三) (圖二十四)

綜合上述討論, 若 f(a31) 落在 4 到 16 之間, 則僅可以填入 9.

用同樣的方式討論 f(a31) 是否可以填入 16 到 36 之間的數, 即 16 < f(a31) < 36 的 情形.因為從 f⁻¹(16) 以數字遞增的方式連續走到 a31 最少需 5 個格子, 而 16 + 5 = 21, 可 得此時 f(a31) 下界為 21；又因從 f⁻¹(36) 以數字遞減的方式連續走到 a31 至少需 7 個格子, 而 36 − 7 = 29, 可得此時 f(a31) 上界為 29. 由於已知 f(a31) 必為奇數, 所以 f(a31) 只有 21, 23, 25, 27, 29 五種可能.

i. 如果 f(a31) = 21, 如(圖二十五), f⁻¹[16, 21] 和左上角圍出一個長方形區域, 共 3× 4 = 12 格, 不足以填入 1 到 21 之間的數.

ii. 如果 f(a31) = 23, (圖二十六)顯示 f⁻¹[16, 23] 繞出和左上角圍成正方形的封閉 區域時, 其所含的格數最多, 共 4 × 4 = 16 格, 不足以填入 1 到 23, 共 23 個數.

9

iii. 如果 f(a31) = 25, 如(圖二十七), 考慮 f⁻¹[25, 36] 和左上角圍成區域, 愈接近 正方形所圍出格子數越多, 因此路線從 a31 先往下拉, 最多可以圍出 5 × 6 = 30 格, 不足以填入 1 到 36, 共 36 個數.

iv. 如果 f(a31) = 27, 如(圖二十八), f⁻¹[27, 36] 所能圍成最多格的封閉區域格數 為 4 × 6 = 24 不足以填入 1 到 36, 共 36 個數.

v. 如果 f(a31) = 29, 如(圖二十九), f⁻¹[29, 36] 所能繞的最遠的路圍成一個 3×6 = 18 格的封閉區域不足以填入 1 到 36, 共 36 個數.

(圖二十五) (圖二十六)

(圖二十七) (圖二十八)

(圖二十九)

綜合上述討論, f(a31) 不能填入 16 到 36 之間的數.

最後, 考慮 f(a31) 是否可以填入 36 到 64 之間的數. 首先算出 f(a31) 在 36 到 64 之間最小和最大可能的數. 因為從 f⁻¹(36) 以數字遞增的方式連續走到 a31 最少需 7 個格子, 而 36 + 7 = 43, 可得此時 f(a31) 下界為 43；又因從 f⁻¹(64) 以數字遞減 的方式連續走到 a31 至少需 9 個格子, 而 64 − 9 = 55, 可得此時 f(a31) 上界為 55.

由於已知 f(a31) 必為奇數, 所以 f(a31) 只有 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55 七種可能.

i. 如果 f(a31) = 43, 如(圖三十), f⁻¹[36, 43] 和左上角圍出一個長方形區域, 共 3× 6 = 18 格, 不足以填入 1 到 43 之間的數.

ii. 如果 f(a31) = 45, 如(圖三十一), f⁻¹[36, 45] 和左上角圍成區域愈接近正方形 所圍出格子數越多, 因此路線從 a16 先往下拉, 最多可以圍出 4 × 6 = 24 格, 不 足以填入 1 到 45 之間的數.

iii. 當 f(a31) = 47, 49, ⋯, 55, f⁻¹[36, ●] 可以圍起的封閉區域隨著 ● 變大而快速增 加. 因此我們換成觀察 f⁻¹[●, 64].

iv. 如果 f(a31) = 47, 如(圖三十二), f⁻¹[47, 64] 和左上角最多可以圍出 7 × 8 = 56 格, 不足以填入 1 到 64 之間的數.

v. 如果 f(a31) = 49, 49 比 47 大且與 64 更接近, f⁻¹[49, 64] 路徑較短, 所能圍出 的方格數更少, 如(圖三十三), 最多圍出 6 × 8 = 48 格.

依此類推,

f(a31) = 51, 最多圍出 5 × 8 = 40 格 f(a31) = 53, 最多圍出 4 × 8 = 32 格 f(a31) = 55, 最多圍出 3 × 8 = 24 格

可見: 格子數隨著 f(a31) 的值變大而變少, 但要填入的數卻不變(均要填入 1 到 64), 必定無法將方陣填滿.

(圖三十) (圖三十一)

(圖三十二) (圖三十三)

綜合上述討論, f(a31) 不能填入 36 到 64 之間的數.

總結以上三種情形:4 < f(a31) < 16 及 16 < f(a31) < 36 及 36 < f(a31) < 64, 可知 在(圖二十一)中, f(a31) 不可能被填入 4 到 64 之間, 除了 9 以外的任何數.

上述的情形其實是一個一般性的做法, 不限定在 n = 8. 因此, 對於一般偶數 n, 我們 可以歸納出以下敘述: 令 n ≥ 4 為偶數, 在給定如(圖十七) 1², 2², 4², 6², . . ., n² 的 位置, 則 f(a31) 不可能被填入 4 到 n² 之間除了 9 以外的任何數, 其證明概述如下:

11

i. 由(圖十九)的討論, f(a31) 在 4 到 16 之間僅可以填入 9, 因此, 對於任意大於 或等於 6 的偶數 n, 我們僅需證明 (n − 2)² 到 n² 均不能是 f(a31) 所可以填入 的值.

ii. 算出從 a1,n−2 到 a31 最短路徑的格子數, 求出 f(a31) 之下界. 算出從 a1,n 到 a31 最短路徑的格子數, 求出 f(a31) 之上界.

iii. 從下界算起, 前 2 個奇數與 (n−2)² 做成封閉區域, 可發現不足填入所需之數；

從第 3 個奇數開始與 n² 做成封閉區域, 則可發現不足 1 到 n².

由此三個步驟可得:若 n ≥ 4 為偶數, 在給定如(圖十七) 1², 2², 4², 6²,. . ., n² 的位置, 則 f(a31) 不可能被填入 4 到 n² 之間除了 9 以外的任何數.

(2) 針對 n 為奇數的情形, 以下同樣先以 n = 5 的例子作初步說明, 如(圖三十四).

(圖三十四)

針對(圖三十四), 很明顯的可以發現 2 與 3 必分別填入 a21 與 a22,如(圖三十四), 以 下將討論 f(a31) 的可能性.

首先, 考慮 f(a31) 填入 4 到 16 之間的數之可能性. 由前面(圖十九)的討論, 已知 f(a31) 在 4 到 16 之間僅可以填入 9. 所以, 接下來考慮 16 < f(a31) ≤ 25 的情形.

因為從 f⁻¹(16) 以數字遞增的方式連續走到 a31 最少需 5 個格子, 而 16 + 5 = 21, 可 得此時 f(a31) 下界為 21；又因總格數只有 25 格, 故此時 f(a31) 上界為 25. 由於 已知 f(a31) 必為奇數, 所以 f(a31) 只有 21, 23, 25 三種可能.

i. 如果 f(a31) = 21, f⁻¹[16, 21] 最多圍出 3 × 4 = 12 格, 如(圖三十五), 不足以放 入 1 到 21 的數.

ii. 如果 f(a31) = 23, f⁻¹[16, 23] 和左上角圍成區域愈接近正方形所圍出格子數越 多, 因此路線從 a14 先往下拉, 最多可以圍出 4 × 4 = 16 格, 如(圖三十六), 不足 以放入 1 到 23 的數.

iii. 如果 f(a31) = 25, f⁻¹[16, 25] 最多可圍出 5 × 4 = 20 格, 如(圖三十七), 不足以 放入 1 到 25 的數.

(圖三十五) (圖三十六)

(圖三十七)

總結上述討論, 可知在(圖三十四)中, f(a31) 不可能被填入 4 到 25 之間除了 9 以外的任 何數. 而由討論過程可以發現:即使將方陣擴大(即奇數 n 變大), 也無法解決 f(a31) 無法 填入 21, 23, 25 的問題. 故對於一般情形, 我們可得:若 n ≥ 5 為奇數, 在給定如(圖十八) 1², 2², 4², 6², . . ., (n − 1)² 的位置, 則 f(a31) 不可能被填入 4 到 n² 之間除了 9 以外的任 何數.

4.3 主 主 主要 要 要定 定 定理 理 理

引理 4 的結論, 可以被推廣成下面的一般情形:

定 定

定理理理 1. 對於任意自然數 n, 考慮 n 階方陣, 自然數集合

Sn=⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

φ, if n is 1;

{1, 4, . . . , (2k)², . . . , n²}, if n is even;

{1, 4, . . . , (2k)², . . . , (n − 1)²}, if n ≠ 1 is odd.

必為 n 階方陣的一個極小確定集.

證 證

證明明明. 當 n = 1 時, S1= φ 為 1 階方陣的極小確定集是顯然的.

欲說明 Sn 為 n 階方陣的一個確定集, 須建構一對一的函數 f ∶ {aij∣1 ≤ i, j ≤ n} → {1, 2, . . . , n²}, 使其成為連續對應函數. 並證明其唯一.

針對自然數 n ≥ 2, 首先定義一個特殊的函數 fn∶ {a11} ∪ {a_1(2k)∣1 ≤ k ≤ ⌊n

2⌋} → Sn, 函 數定義為

fn(aij) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

1 if i = j = 1

j² if i = 1, j = 2k, 1 ≤ k ≤ ⌊n 2⌋ 當 n = 4, 5, 6, 函數 fn 以圖表來呈現分別如(圖三十八)所示:

(圖三十八)

13

此外, 函數 fn 可唯一擴充為連續對應函數, 就 f2, f3, f4, f5 可參考(圖三十九)的擴充 方式.

(圖三十九)

由這樣的擴充方式, 我們可以發現:每擴充一階方陣, 就是再走一個 L 形, 且從一個完 全平方數的下一個數走到下一個完全平方數, 就是完成一個 L 形. 針對同一個 L 形中任 一個 aij,只要找出 m = max{i, j}, 並得知 m² 的位置後, 再確認 m 的奇偶性, 依下列規則 減去適當的數, 即可得 aij. 其規則為:

(1) 若 m 為奇數, 可知 m² 在第 m 列第一行上, 則

(a) j 由 1 開始, 每增加 1, 需將 m² 減去 1, 即 m²−(j −1) , 直到 j 增加至 m 為止.

(b) i 由 m 開始, 每減少 1, 需再將 m²− (j − 1) 減去 1, 即 m²− (j − 1) − (m − i), 直到 i 減至 1.

(2) 若 m 為偶數, 可知 m² 在第一列第 m 行上, 則

(a) i 由 1 開始, 每增加 1, 需將 m² 減去 1, 即 m²− (i − 1), 直到 i 增加至 m 為止.

(b) j 由 m 開始, 每減少 1, 需再將 m²− (i − 1) 減去 1, 即 m²− (i − 1) − (m − j) , 直到 j 減至 1.

根據此規則, 可歸納出擴充方式所代表的連續對應函數 fn,c ∶ {aij∣1 ≤ i, j ≤ n} → {1, 2, . . . , n²} 之一般式如下:

fn,c(aij) = { m²− m + (i − j) + 1, if m = max{i, j} is odd;

m²− m − (i − j) + 1, if m = max{i, j} is even.

事實上, 集合 Sn 及其對應函數 fn 是一個極小確定集. 也就是若集合 Sn 已經依 fn 的方 式安排在 n 階方陣中, 此時, 若刪去已被排定中任意一個數字, 皆會定義出兩種不同的連 續對應函數. 總共可以分以下六種情形討論:

(1) 將 1 從 a11 移去, 改填入 a22 的位置, 此時定義

f(aij) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 if i = 2, j = 2;

2 if i = 2, j = 1;

3 if i = 1, j = 1;

fn,c(ai,j) if otherwise.

則 f 和 fn,c 是兩個不同的 n 階連續對應函數, 如(圖四十).

(圖四十)

(2) 當 n = 2, 將 4 從 a12 移到 a21, 則因對稱關係,

f(aij) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1 if i = 1, j = 1;

2 if i = 1, j = 2;

3 if i = 2, j = 2;

4 if i = 2, j = 1.

和 f2c 是兩個不同的 2 階連續對應函數, 如(圖四十一).

(圖四十一)

(3) 當 n ≥ 3, 將 4 從 a12 移除, 此時可以改將 4 填入 a23 , 其餘 1 到 9 的數字, 可依(圖 四十五)填入, 而 10 之後的數皆依 fn,c 的方式不變, 那麼就會得到一個不同的連續 對應函數, 如(圖四十二).

(圖四十二)

(4) 若移除的數非 1, 4 及 Sn 中最大的數, 同樣可以得到一個不同的連續對應函數. 這 裡先以 7 階方陣移除 16 為例, 可以得到一個新的連續對應函數, 如(圖四十三).

此情形即:當 n ≥ 6 且 4 ≤ 2k ≤ n−2 , 將 (2k)²從 a_1(2k)移除, 填入 a_(2k)1中, 此時可以 改將 (2k−2)²+2(2k−2) 填入 a1(2k),並將 (2k−2)²+(2k−2), (2k−2)²+3(2k−2)+1 及 (2k+1)²分別填入 a(2k−2)(2k−1),a(2k−1)(2k+1),a(2k+1)1,其餘 (2k−2)²+1 到 (2k+1)² 依(圖四十三)的方式填入, 而 1 到 (2k − 2)² 及 (2k + 1)²+ 1 之後的數皆依 fn,c 的方 式填入不變, 那麼就會得到一個不同的連續對應函數, 如(圖四十四).

15

(圖四十三) (圖四十四)

(5) 當 n ≥ 6 為偶數且 2k = n 時, 將 (2k)² 從 a1(2k) 移除, 填入 a2(2k−1), 同時可以改將 (2k − 2)²+ 2 填入 a1(2k), 其餘 (2k − 2)²+ 1 到 (2k)²− 1 依(圖四十五)方式填入, 而 1 到 (2k − 2)² 的數皆依 fn,c 的方式填入不變, 那麼就會得到一個不同的連續對應函 數, 如(圖四十五).

(6) 當 n ≥ 6 為奇數且 2k − 1 = n 時, 將 (2k)² 從 a_1(2k) 移除, 填入 a4n, 同時可以改將 (2k − 1)²+ 2(2k + 1) + 1 填入 a1(2k), 並將 (2k + 1)² 填入 a(2k)2, 其餘 (2k − 1)²+ 1 到 (2k + 1)²− 1 依(圖四十五)方式填入, 而 1 到 (2k − 1)² 的數皆依 fn,c 的方式填入 不變, 那麼就會得到一個不同的連續對應函數, 如(圖四十六).

(圖四十五) (圖四十六)

由以上六種情形可知: 若自集合 Sn 中任意刪除一個元素, 皆可擴充出兩個以上不同的 n 階連續對應函數.

截至目前為止, 針對定理 1 我們還尚未證明“由函數 fn 所擴充的連續對應函數必為 fn,c”. 但由引理 5 的討論已得知: 若 n ≥ 4, 針對函數 fn , f(a31) 不可能被填入 4 到 n² 之間除了 9 以外的任何數. 然而一旦確定 9 填在 a31, 則 f⁻¹[9, 16] 也可唯一確定, 如(圖 四十七).

換句話說, 當 n ≥ 4 時, 對於函數 fn, 我們可以一一確定 1 到 16 的位置必與 fn,c 相同, 即 表示在 A4 子方陣中, 所有函數值均與 fn,c 相同. 接著, 以與引理 5 相同的方式, 我們可以 更進一步的討論 f(a51) 的值, 如(圖四十八).

(圖四十七) (圖四十八)

首先, 若 16 < f(a51) < 36, 以與引理 5 相同的方式可得下界為 25, 上界為 27, 所以 f(a31) 只有 25, 27 兩種可能.

i. 如果 f(a51) = 25, 可以確定路線 f⁻¹[16, 36] (圖四十九).

ii. 如果 f(a51) = 27, 則 f⁻¹[27, 36] 以(圖五十)所圍出來的封閉區域最大, 共 5 × 6 = 30 格, 但不足以填入 1 到 36 所有數, 因而 f(a51) ≠ 27.

(圖四十九) (圖五十)

綜合上述討論, f(a31) 在 16 到 36 之間僅可以填入 25.

接著, 考慮 f(a51) 是否可以填入 36 到 64 之間的數. 與前面相同的方式討論可得下界 為 45, 上界為 53, 所以 f(a51) 只有 45, 47, 49, 51, 53 五種可能.

i. 如果 f(a51) = 45, 如(圖五十一), f⁻¹[36, 45] 和左上角圖出一個長方形區域, 共 5× 6 = 30 格, 不足以填入 1 到 45 之間的數.

ii. 如果 f(a51) = 47, (圖五十二)顯示 f⁻¹[36, 47] 所能繞的最遠的路和左上角可圍最大 方形的封閉區域共 6 × 6 = 36 格, 不足以填入 1 到 47, 共 47 個數.

iii. 如果 f(a51) = 49, 如(圖五十三), f⁻¹[49, 64] 和左上角圍成區域愈接近正方形所圍出 格子數越多, 因此路線從 a51 先往下拉, 最多可以圍出 7 × 8 = 56 格, 不足以填入 1 到 64, 共 64 個數.

iv. 如果 f(a51) = 51, 51 比 49 大且與 64 更接近, f⁻¹[51, 64] 路徑較短, 所能圍出的方 格數更少, 如(圖五十四), 最多圍出 6 × 8 = 48 格, 也不足以填入 1 到 64, 共 64 個數.

v. 如果 f(a51) = 53, 53 比 51 大且與 64 更接近, f⁻¹[53, 64] 路徑較短, 所能圍出的方 格數更少, 如(圖五十五), 最多圍出 5 × 8 = 40 格, 同樣不足以填入 1 到 64, 共 64 個 數.

(圖五十一) (圖五十二) (圖五十三)

17

(圖五十四) (圖五十五) 綜合上述討論, f(a51) 不能填入 36 到 64 之間的數.

至此, 我們可以發現, 引理 5 的討論方式具有一般性, 換句話說, 我們可以藉由相同的討論 方式得到:

令 n ≥ 6, 針對函數 fn, 若已知在 A4 子方陣中, 所有函數值均與 fn,c 相同, 則 f(a51) 不可 能被填入 16 到 n² 之間除了 25 以外的任何數. 一旦確定 25 的位置, 則 f⁻¹[25, 36] 也可 唯一確定, 如(圖五十六).

(圖五十六)

換句話說, 當 n ≥ 6 時, 對於函數 fn, 我們可以一一確定 1 到 36 的位置必與 fn,c 相同, 即表示在 A6 子方陣中, 所有函數值均與 fn,c 相同.

因此我們可以發現: 對於函數 fn, 我們可以藉由依序討論 f(at1) 的值(其中 t 為奇數, 且 3≤ t < n), 一步一步將方陣填滿, 且可以確定填滿的方陣必為 fn,c. 因此, 由函數 fn 所擴 充的連續對應函數必為 fn,c, 且定理 1 成立.

藉由 fn 的圖形可以觀察到, 除了第一行外, 都是在偶數行給數字. 針對任意正整數 n, 令 2k ≤ n(k ∈ N), 則可知符合的 k 有 ⌊n

2⌋ 個, 也就是在 n 階方陣中, 有 ⌊n

2⌋ 個偶數 行, 所以 fn 中所事先給的數字個數為 ⌊n

2⌋ 再加上 a11 的 1 , 共 ⌊n

2⌋ + 1 個. 換句話說,

∣Sn∣ = ⌊n

2⌋ + 1, 而藉由定理 1 知道, 集合 Sn 是 n 階方陣的一個極小確定集. 也就是說, 對 於最小確定數 M(n), 可以得到以下的結論:

定 定

定理理理 2. 任意自然數 n, n 階方陣的最小確定數 M(n) ≤ ⌊n 2⌋ + 1.

然而, 再經由更多試驗的結果, 我們發現當 n = 4 時, M(4) = 2 而非我們原先所猜測的 3,其反例如下:

若給定 f(a11) = 1, f(a12) = 6, 則等價於給定此 4 階方陣(圖五十七), 由此圖表可知此 4 階方陣會對應出唯一的連續對應函數(圖五十八).

(圖五十七) 連續對應唯一 (圖五十八)

針對此 4 階方陣, 若將 1 刪除, 可以改將 1 填入 a22, 而其餘數字 2 到 16 可依(圖五十 九)方式填入；若將 6 刪除, 可以使用 fn,c 將此 4 階方陣填滿. 所以可知在此 4 階方陣中, 將此 4 階方陣填滿將可定義出兩個連續對應函數, 故可以確定集合 {1, 6} 為 4 階方陣的 一個極小確定集.

(圖五十九)

再檢驗 {1, . . . , 4²} 所有子集合中元素個數少於 2 的集合: φ, {1}, {2}, {3}, . . . , {16}

是否為 4 階方陣的極小確定集. 可得知這些集合皆不是 4 階方陣的極小確定集, 因此可以 確定:在 4 階方陣中, 不存在元素個數少於 2 的極小確定集. 故得知集合 {1, 6} 為 4 階方 陣的一個最小確定集, 而最小確定數 M(4) = 2.

4.4 推 推 推展 展 展

對於 2 × n 的矩形, 我們也有一些初步結果.

定 定

定理理理 3. 對於 2 × n 的矩形 (n ≥ 3), 其極小確定集元素個數可以是 2, 3, 4.

極小確定集元素個數為 2:{1, 2}, . . ., {1, n}, {1, 2n − 1}, {1, 2n}

極小確定集元素個數為 3:{2, 3, 2n}

極小確定集元素個數為 4:{2, 3, 2n − 2, 2n − 1}

證 證

證明明明. 對於上述每一個極小確定集, 皆都可以找到至少一種擺放方式使其符合極小確定集 的定義, 我們以圖表呈現如下. 另外, 當極小確定集元素個數為 3 或 4 時, 檢驗「刪除任 一數字後, 將使得連續對應不唯一」的部分較不直觀, 故針對這部分, 以下也將以圖表呈 現檢驗的方式.

(1) 極小確定集元素個數為 2

19

(2) 極小確定集元素個數為 3:{2, 3, 2n}

(3) 極小確定集元素個數為 4:{2, 3, 2n − 2, 2n − 1}

已知對於 2 × n 的矩形, 其極小確定集元素個數可以是 2, 3, 4. 以下考慮是否存在元素 個數是 1 的極小確定集.

若在 2 × n 的矩形中選定任一位置給定 k(1 ≤ k ≤ 2n), 如(圖六十), 必可以找到 2 條不同的 連續路徑, 一條為順時針, 將此 2 × n 的矩形繞一圈, 另一條為逆時針, 將此 2 × n 的矩形繞 一圈, 所以可知(圖六十四)至少可以對應出 2 個不同的連續對應函數.

(圖六十)

故可知不存在元素個數是 1 的極小確定集. 因此, 對於 2 × n 的矩形, 其極小確定集元 素個數最少就是 2, 所以對於 2 × n 的矩形, 最小確定數為 2.

5 研 研 研究 究 究結 結 結果 果 果

以下用表格來呈現目前對於集合 Sn 所得知的結果:(o:符合；x:不符合；?:無法確定)

數量極小性 對應唯一性 極小確定集 最小確定集

n = 1 o o o o

n = 2 o o o o

n = 3 o o o o

n = 4 o o o x

n = k(k ≥ 5) o o o ?

以下用表格來呈現目前對於 n 階方陣所得知的結果:(o:已找到；?:尚未找到)

極小確定集 最小確定集 最小確定數

n = 1 o o 0

n = 2 o o 2

n = 3 o o 2

n = 4 o o 2

n = k(k ≥ 5) o ? ≤ ⌊n

2⌋ + 1

21

6 結 結 結論 論 論

在本篇作品中, 我們將報紙上的一個正六邊形鑲嵌圖簡化成方陣的型式, 研究最少要給幾 個數字才可以確定出唯一路線. 在研究中, 最棘手的問題是“表達方式”, 因此我們首先建 構了一套數學語言將描述性的問題具體以數學模式呈現, 定義出一個嚴謹的數學問題, 此 為本篇作品最重要的貢獻之一.

在解決此問題時, 最困難的部分為「數字的安排位置」及「所要安排之數字」. 經過觀察 及試驗, 我們在定理 1 中提出了一種極小確定集的一般型式以及在方陣中給定數字的方 式. 而在定理 1 的證明中, 最需要巧思的部分為路線唯一性的證明. 在與老師們討論後, 我 們確定了完成證明之關鍵格子的位置, 而證明手法是利用此關鍵格子與極小確定集中的數 字所構成之路線形成的封閉區域格數和所應填入的數字個數作比較, 使得關鍵格子所需填 入的數字被確定, 進而證明路線之唯一性.

隨著定理 1 的確定, 我們也針對最小確定數提出一個上界, 但我們後來發現此上界非最好 的上界, 並得出一個非直觀的反例. 而最小確定數 M(n) 的研究是本作品接下去可以探討 之重要方向.

7 未 未 未來 來 來展 展 展望 望 望

我猜想, 在文章中所定義的集合 Sn 必為 n 階方陣的最小確定集. 同時我也嘗試去思考相 關問題可能的發展, 並羅列如下:

1. 在方陣中, 找到一定的規律可以滿足我們提出的條件, 我同樣好奇:

在其餘正鑲嵌圖中, 是否也可以找到相似的規律使其滿足我提出的條件?

若欲將終點安排在起點的相鄰位置, 則是否也有相似規律滿足我們提出的條件?

2. 對於任意自然數 n , 當 n 階方陣的最小確定數 M(n) = ⌊n

2⌋+ 1 時, n 的可能性為何?

3. 對於任意自然數 n, 若 S 為 n 階方陣的極小確定集, 則 ∣S∣ 的可能性為何?這值得繼 續研究. 持續獲得確定數 Rn 完整的資訊(最大值、最小值或範圍), 將是我們繼續研 究的目標. 進一步探討 Rn 可能的值是否必為連續的自然數.

參

參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 蜜蜂數字. 聯合報, P.16, (2013年7月7日 星期日).

[2] 許志農. 普通高級中學數學, 第二冊. 龍騰文化(民101).

[3] 許志農. 普通高級中學數學, 第四冊. 龍騰文化(民101).

[4] 楊任孝. 普通高級中學數學, 教師手冊第二冊. 全華圖書. (民101).

[5] 徐力行. 沒有數字的數學. 天下文化.(民92).

[6] 徐力行. 動物園裡的數學. 天下文化(民100).

[7] 姜伯駒. 數學大師講數學系列(一筆畫和郵遞路線問題). 智能教育出版社(民93).

[8] Gary McGuire, Bastian Tugemann, Gilles Civario. There is no 16-Clue Sudoku: Solv- ing the Sudoku Minimum Number of Clues Problem. Data Structures and Algo- rithms(2012). http://arxiv.org/abs/1201.0749v2