勒貝格

勒貝格 _(Lebesgue) 定理的有趣證明 與函數 ^R 可積性

胡紹宗

摘要: 本文從振幅函數談起, 藉助 L 積分理論, 巧妙的證明了勒貝格定理, 然後通過 幾個典型例子充分說明了該定理是判定函數 R 可積性的得力工具。

關鍵詞: R 可積, 零測度集, 振幅函數。

勒貝格定理是研究 R 積分 [見附註一]與 L 積分 [見附註二]的重要工具, 這個定理是法國 數學家, 也同時是實變函數論之奠基者勒貝格的重要貢獻。

勒貝格定理: 設函數 f (x) 在 [a, b] 上有界, 則 f (x) 在 [a, b] 上 R 可積的充要條件是:

f(x) 在 [a, b] 上的不連續點集為零測度集。

在證明之前介紹一下有關知識及引理:

如果 f (x) 在實數系統 R 的點集 A 上有定義且有界, 則 w(A, f ) = sup_x∈Af(x) − infx∈Af(x) 稱為 f (x) 在 A 上的振幅。

設 f (x) 在 E ⊂ R 上有定義, 對任一點 x0 ∈ E, 則 w(x0) = limδ→0w((x0− δ, x0 + δ) ∩ E, f ) 稱為 f (x) 在點 x0 的振幅。

f(x) 在 (x0− δ, x0 + δ) ∩ E 上的上、 下確界分別記為 Mδ(x0) 與 mδ(x0), 當 δ → 0 時, 二者的極限分別記為 M(x₀) 與 m(x0), 顯然有

mδ(x0) ≤ m(x0) ≤ f (x0) ≤ M(x0) ≤ Mδ(x0) 及 w(x0) = M(x0) − m(x0)

定義1: 函數 m(x) 與 M(x) 分別稱為 f (x) 的貝爾 (Baire) 下函數與貝爾上函數。

w(x) = M(x) − m(x) 稱為 f (x) 的振幅函數。

75

定義2: f (x) 定義在 E ⊂ R 上, x0 ∈ E, 如果 f (x) 在 x0 點的相對於 E 的振幅 w(x₀) = 0, 則稱 f (x) 依貝爾意義在 x₀ 點相對於 E 是連續的。

註: 設 E ⊂ R, x₀ ∈ E, f (x) 定義在 E 上, 一般對 f (x) 在 x₀ 連續有下述兩種定義:

一. 對任意 ε > 0 均有 δ > 0 和 ε 對應, 使當 |x − x₀| < δ 時恆有 |f (x) − f (x0)| < ε。

二. 設 {xn} 為 E 中的數列。 若 lim xn= x0 則必有 lim f (xn) = f (x0)。

這兩個定義都和 Baire 意義的連續是同值的。

引理1: 設 f (x) 為任意函數。

作區間 [a, b] 的一個分割序列:

D1 : a = x⁽¹⁾₀ < x⁽¹⁾₁ <· · · < x⁽¹⁾_n1 = b D₂ : a = x⁽²⁾₀ < x⁽²⁾₁ <· · · < x⁽²⁾_n2 = b

· · · · Di : a = x⁽ⁱ⁾₀ < x⁽ⁱ⁾₁ <· · · < x⁽ⁱ⁾_ni = b

· · · · 使 D_i+1 的分點包含 Di 的分點, 並使

λi = max

k [x⁽ⁱ⁾_k+1− x⁽ⁱ⁾_k ] → 0 (i → ∞) 作簡單函數列:

ϕi(x) =







m⁽ⁱ⁾_k , x⁽ⁱ⁾_k < x < x⁽ⁱ⁾_k+1 (k = 0, 1, 2, . . . , ni− 1) 0, x= x⁽ⁱ⁾₀ , x⁽ⁱ⁾₁ , . . . , x⁽ⁱ⁾_ni

其中 m⁽ⁱ⁾_k 表示 f (x) 在 [x⁽ⁱ⁾_k , x⁽ⁱ⁾_k+1] 上的下確界。 則當 [a, b] ∋ y 6= x⁽ⁱ⁾_k (k = 0, 1, 2, . . . , ni) 時, 有 limi→∞ϕi(y) = m(y)。

證: 固定 i, 在第 i 個分割中, 設包含 y 的小區間為 [x⁽ⁱ⁾_k0, x⁽ⁱ⁾_k0+1], 由於 y 不是一個分點, 所以 x⁽ⁱ⁾_k0 < y < x⁽ⁱ⁾_k0+1, 因此, 可取充分小的 δ > 0, 使

(x0− δ, x0 + δ) ⊂ [x⁽ⁱ⁾_k0, x⁽ⁱ⁾_k0+1] 從而 m⁽ⁱ⁾_k0 ≤ mδ(x0),

即 ϕi(x0) ≤ mδ(x0) 令 δ → 0, 得 ϕi(x₀) ≤ m(x₀)

若 m(x0) = −∞, 則 ϕi(x0) = m(x0), 於是

i→∞lim ϕi(x0) = m(x0) 若 m(x0) > −∞, 設 h < m(x0), 則存在 δ > 0, 使

h < mδ(x0)

固定 δ, 由於 λi → 0 (i → ∞), 所以可取充分大的 i₀, 使當 i > i₀ 時, [x⁽ⁱ⁾_k0, x⁽ⁱ⁾_k0+1] ⊂ (x0− δ, x0+ δ), 對於 i > i0, 存在著 m⁽ⁱ⁾_k0 ≥ mδ(x0) > h, 即

ϕi(x0) > h

這樣, 對於每一個小於 m(x₀) 的 h, 都有 i0, 當 i > i0 時, h < ϕi(x0) ≤ m(x0), 而 {ϕi(x0)}^∞_i=1 為有界的單增數列, 因此

i→∞lim ϕi(x0) = m(x0).

引理2: 如果引理 1 中的函數 f (x) 是有界的, 則

i→∞lim(L)

Z

b

a ϕi(x)dx = (L)

Z

b

a m(x)dx.

證: 引理1 中分割序列的分點 {x⁽ⁱ⁾_k } 全體是一可數集, 其測度為零, 由引理 1, ϕi(x) a.e.

收斂於 m(x), 而簡單函數列 ϕi(x) 是可測的, 因此 m(x) 可測, 又 f (x) 有界, 即存在 M > 0, 對任意 x ∈ [a, b], |f (x)| ≤ M, 從而 |ϕi(x)| ≤ M, |m(x)| ≤ M, 應用勒貝格控制收斂定理 [見附註三], 得

i→∞lim(L)

Z

b

a ϕi(λ)dx = (L)

Z

b

a m(x)dx 勒貝格定理的證明: 據引理 2,

i→∞lim(L)

Z

b a

ϕi(x)dx = (L)

Z

b

a m(x)dx

而 (L)

Z

b

a ϕi(x)dx =

ni−1

X

k=0

(L)

Z

x⁽ⁱ⁾k+1

x⁽ⁱ⁾_k ϕi(x)dx

=

ni−1

X

k=0

m⁽ⁱ⁾_k m[x⁽ⁱ⁾_k , x⁽ⁱ⁾_k+1]

=

ni−1

X

k=0

m⁽ⁱ⁾_k (x⁽ⁱ⁾_k+1− x⁽ⁱ⁾_k )

= si

(si 是引理 1中分割序列的第 i 個分割的 R 積分小和), 於是

i→∞lim si = (L)

Z

b

a m(x)dx 同理, R 積分大和收斂於貝爾上函數的 L 積分,

即 lim

i→∞Si = (L)

Z

b

a M(x)dx

因此 lim

i→∞(Si− si) = (L)

Z

b

a[M(x) − m(x)]dx 另一方面, 在數學分析中, 有界函數 f (x) R 可積的充要條件是

i→∞lim(Si− si) = 0 所以有界函數 f (x) R 可積的充要條件是

(L)

Z

b

a [M(x) − m(x)]dx = 0

或 (L)

Z

b

a w(x)dx = 0 由唯一性定理, 上式成立的充要條件是

在 [a, b] 上 a.e. 有 w(x) = 0 依定義 2, f (x) 在 [a, b] 上 a.e. 連續。

換句話說, 有界函數 f (x) 在 [a, b] 上 R 可積的充要條件是: f (x) 在 [a, b] 上的不連續 點集為零測度集。

註: 這個定理的證明, 是參考程其襄等編 hh實變函數與泛函分析基礎ii 及那湯松著 hh實變 函數論ii, 由本人獨創完成。

推論1: [a, b] 上的連續函數 f (x) 是 R 可積。

因為空集是零測度集。

推論2: [a, b] 上的單調函數 f (x) 是 R 可積。

因為單調函數的不連續點至多可數個, 而可數集的測度為零。

推論3: [a, b] 上的有界變差函數 f (x) [見附註四] 是 R 可積。

因為有界變差函數必能分解成兩個單增函數之差。

推論4: 設 a < b, 定義區間 [a, b] 上的狄里克萊 (Dirichlet) 函數 D(x) 如下:

D(x) =







1, 若 x 為 [a, b] 上的有理數時, 0, 若 x 為 [a, b] 上的無理數時,

則 D(x) 不是 R 可積。

因為狄里克萊函數處處不連續, 從而其不連續點集的測度總是大於零。

推論5: 定義區間 [0, 1] 上的黎曼 (Riemann) 函數 R(x) 如下:

R(x) =







1

q, 當 x = ^p_q (p, q ∈ N+, ^p_q 為既約真分數), 0, 若 x = 0, 1 和 (0,1) 內的無理數時, 則 R(x) 是 R 可積。

因為黎曼函數在 [0, 1] 上的所有無理點連續, 所有有理點不連續, 而有理點集是可數的, 其 測度為零。

例1: 設 C 是 [0, 1] 上康托 (Cantor) 三分集, 則 C 的特徵函數 χC(x) =







1, x ∈ C 0, x 6∈ C 在 [0, 1] 上 R 可積。 對於一般的零測度集, 其結論如何?

證: 顯然 χC(x) 在 [0, 1] 上有界, 且 mC = 0。 任取一點 x0 ∈ [0, 1], 如果 x0 ∈ [0, 1] − C, 對任意的 ε > 0, 可取任何正數作 δ, 當 |x − x0| < δ (x ∈ [0, 1] − C) 時, 總有

|χC(x) − χC(x0)| = |0 − 0| = 0 < ε, 即 χC(x) 在 x0 點連續; 如果 x₀ ∈ C, 因 C 沒有內 點, 故 x₀ 的任何鄰域都含有 [0, 1] − C 的點, 於是存在 ε₀ = 1, 對任意的 δ > 0, 都有滿足

|x − x0| < δ 的 x ∈ [0, 1] − C, 使 |χC(x) − χC(x0)| = |0 − 1| = 1 = ε0, 即 χC(x) 在 x0

點不連續。 由上述可知, χC(x) 在 [0, 1] 上的不連續點集為零測度集, 據勒貝格定理, χC(x) 在 [0, 1] 上 R 可積。

對於一般的零測度集 E ⊂ [a, b], 其特徵函數 χE(x) 在 [a, b] 上不一定 R 可積。

例如, 設 E 是 [a, b] 上的有理數集, 則 mE = 0, 但這時 χE(x) 正是 [a, b] 上的狄里克 萊函數, 由推 4, χE(x) 在 [a, b] 上不是 R 可積。

例2: [a, b] 上有界函數 f (x) R 可積的充要條件是: f (x) a.e. 存在有限的右極限。

證: f (x) 的振幅函數為 w(x) = lim

δ→0

"

sup

x−δ<y<x+δf(y) − inf

x−δ<y<x+δf(y)

#

令 An = {x | x ∈ [a, b], w(x) > ¹_n,limy→x⁺f(y) 存在 }, n = 1, 2, . . .。 則 f (x) 在每個 An 上處處不連續但有有限的右極限, 於是 f (x) 不連續且有有限的右極限之點集為

A=

∞

[

n=1

An

固定 n, 若 x ∈ An, 則存在 δ > 0, 使得 sup

x<y<x+δ

f(y) − inf

x<y<x+δf(y) ≤ 1 n limδ→0

"

sup

x<y<x+δ

f(y) − inf

x<y<x+δf(y)

#

≤ 1 n

故當 y ∈ (x, x + δ) 時, w(x) ≤ _n¹, 即 (x, x + δ) ∩ An= φ。 這樣對於每個 x ∈ An, 對應一 個具有上述性質的開區間 (x, x + δ), 而對於不同的兩點 x, x^′ ∈ An, 它們所對應的這種開區 間 (x, x + δ) 與 (x^′, x^′+ δ) 必不相交, 否則這兩個區間之一的左端點必為另一區間的內點, 比 如 x^′ ∈ (x, x + δ), 這與 (x, x + δ) ∩ An= φ 矛盾, 由此可知, An 和這種開區間 (x, x + δ) 全體構成一一對應, 而直線上互不相交的開區間至多有可數個, 因此 An 至多為可數集, 又可數 個至多可數集之聯集仍為可數集, 是零測度集。

根據 f (x) a.e. 存在有限的右極限的題設可知, f (x) 不連續且右極限不存在之點集 (設為 B) 是零測度集, 於是 f (x) 不連續點集是兩個零測度集之併 A ∪ B 仍是零測度集, 由勒貝格 定理, 這正是 f (x) R 可積的充要條件, 從而 f (x) a.e. 有有限的右極限是 f (x) R 可積的充 要條件。

例3: 設 F 為有界閉集, 無處稠密而具有正測度, a = inf F , b = sup F , 在 [a, b] 上定義 函數 f (x):

f(x) =







0, x∈ F

(x − an)²(x − bn)²sin _{(bn−an)(x−a}¹ _n)(x−bn), x∈ (an, bn),

n = 1, 2, . . ., 其中 (an, bn) 是 F 關於 [a, b] 的餘區間。 試證 f (x) 在 [a, b] 上處處存在有限 的導數 f^′(x), 但 f^′(x) 在 [a, b] 上不是 R 可積。

證: 任取一點 x0 ∈ F , x ∈ [a, b], 設 x0 < x。 如果 x∈ F , 則 f (x) = f (x0) = 0, f₊^′ (x0) = lim

xd→x⁺₀

f(x) − f (x0) x− x0

= 0 如果 x ∈ (an, bn), 則 x₀ ≤ an< x, 因此 x − x₀ ≥ x − an,

0 ≤

    

f(x) − f (x0) x− x0

    

=

     

(x − an)²(x − bn)²sin_{(bn−an)(x−a}¹ _n)(x−bn) − 0 x− x₀

     

≤ (x − an)²(x − bn)² x− x₀

≤(x − x0)²(b − a)² x− x0

= (x − x0)(b − a)² → 0(x → x⁺₀)

故 f₊^′ (x0) = lim_x→x⁺

0

f(x)−f (x0) x−x0 = 0 相似的可得 f₋^′ (x0) = 0,

於是 f^′(x0) = 0。

另一方面, 如果 x ∈ (an, bn), 則

f^′(x) = 2(x − an)(x − bn)(2x − an− bn) sin 1

(bn− an)(x − an)(x − bn)

−2x − an− bn

bn− an

cos 1

(bn− an)(x − an)(x − bn) 綜上可知, f (x) 在 [a, b] 上處處存在著有限的導數 f^′(x)。

題設 F 為有界閉集, F = F , 又 F 無處稠密, F 沒有內點, 即 F 沒有內點, 對 F 中任 一點的任何鄰域都含有 (an, bn) 的點, 即 f^′(x) 在 F 的所有點上不連續, 而因 mF > 0, 由 勒貝格定理, f^′(x) 在 [a, b] 上不是 R 可積。

附錄

_:

附註一: 我們知道, 數學分析中所研究的積分都是黎曼 (Riemann) 積分, 簡稱 R 積分, R 積分是一種特殊的極限: 設 f (x) 是定義在 [a, b] 上的有界函數。 (i) 在 [a, b] 中任意插入 n− 1 個分點

a= x0 < x1 < x2 <· · · < xn−1 < xn = b,

記 ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, . . . , n); (ii) 在每個小區間 [xi−1, xi] 上任取一點 ξi (i = 1, 2, . . . , n); 作和式

^P

ⁿ_i=1f(ξi)∆xi; (iii) 命 λ = maxi=1,2,...,n{∆xi}。 若不論對 [a, b] 如何 分法, 又不論 ξi 如何取法, 當 λ → 0 時, 和式的極限存在, 則稱 f (x) 在 [a, b] 上黎曼可積, 簡稱 R 可積, 並稱此極限值為 f (x) 在 [a, b] 上的黎曼積分, (因為在歷史上, 黎曼首先在一般 形式給出這一定義, 所以叫做黎曼積分), 記作

^R

_a^bf(x)dx (或 (R)

^R

_a^bf(x)dx),

即 (R)

Z

b

a f(x)dx = lim

λ→0 n

X

i=1

f(ξ)∆xi。

附註二: 由於 R 積分存在某些缺陷, 人們長期以來致力於改進的嘗試, 直到 1902 年法 國數學家勒貝格 (Lebesgue) 才成功地引入了一種新積分, 後人稱之為勒貝格積分, 簡稱 L 積分。 L 積分是 R 積分的一種推廣, R 積分是對函數 f (x) 定義區間 [a, b] 進行分割來定 義的, 而 L 積分, 函數 f (x) 定義域為一般可測集 E, 並對其值域 [c, d] 進行分割來定義 的: 設 E 是一個可測集, mE < ∞, f (x) 是定義在 E 上的可測函數集, 又設 f (x) 是 有界的, 就是說存在實數 c 及 d 使得 f (E) ⊂ [c, d]。 (i) 在 [c, d] 中任意插入 n − 1 個

分點 c = y0 < y1 < y2 < · · · < yn−1 < yn = d; (ii) 記 δ = maxi(yi − yi−1), Ei = E(y_i−1 ≤ f (x) < yi), 並任取 y_i−1 ≤ ηi ≤ yi, 作和式

^P

ⁿ_i=1ηim(Ei); (iii) 若當 δ→ 0 時, 和式的極限存在, 則稱 f (x) 在 E 上勒貝格可積, 簡稱 L 可積, 並稱此和式的極限 值為 f (x) 在 E 上的勒貝格積分, 簡稱 L 積分, 記作

^R

_Ef(x)dx (或 (L)

^R

_Ef(x)dx), 即

(L)

Z

Ef(x)dx = lim

δ→0 n

X

i=1

ηim(Ei) 當 E = [a, b] 時, 記作 (L)

^R

_Ef(x)dx。

附註三: 我們知道, R 積分中有黎曼控制收斂定理: 若 {fn(x)}, f (x), F (x) 為 [a, b]

上 R 可積函數, 且 |fn(x)| ≤ F (x), limn→∞fn(x) = f (x), 則 limn→∞(R)

^R

_a^bfn(x)dx = (R)

^R

_a^bf(x)dx。 L 積分中相應的有勒貝格控制收斂定理: 若 {fn(x)} 是 E 上可測函數列,

|fn(x)| ≤ F (x), F (x) 在 E 上 L 可積, 且 limn→∞fn(x) = f (x) a.e. 於 E, 則 f (x) 在 E 上 L 可積, 且 limn→∞(L)

^R

_Efn(x)dx = (L)

^R

_Ef(x)dx。

附註四: 設 f (x) 是 [a, b] 上的有限函數, 在 [a, b] 上任取一分點組 a= x₀ < x₁ <· · · < xn = b

作和式

^P

ⁿ_i=1|f (xi) − f (xi−1)| 稱它為 f (x) 對分點組 x0, x₁, . . . , xn 的變差。 如果對一切可 能的分點組, 變差所形成的數集 {

^P

ⁿ_i=1|f (xi) − f (xi−1)|} 有界, 就稱 f (x) 是 [a, b] 上的有 界變差函數。

參考文獻

1. 程其襄等編, 實變函數與泛函分析基礎。 北京: 高等教育出版社, 1986.5。

2. [美] B. Gelbaum, 實分析習題及解答。 陝西: 陝西人民出版社, 1988.8。

3. [蘇] 那湯松, 實變函數論。 北京: 人民教育出版社, 1961.3。

—本文作者任教於中國安徽阜陽師院—