勒貝格單調收斂定理一個有趣的應用 證明尤拉的反正切公式

勒貝格單調收斂定理一個有趣的應用 證明尤拉的反正切公式

黃見利

一 . 前言

尤拉 (Euler) 著名的反正切公式 tan⁻¹x=

∞

X

n=0

2²ⁿ(n!)² (2n + 1)!

x²ⁿ⁺¹

(1 + x²)ⁿ⁺¹, (1) 發現在 1755年, 在計算圓周率的數值上是一條非常重要而且很有效率的反正切級數。 不像格雷 哥里 (Gregory) 的反正切級數那樣, 它對所有的 x 值都是收斂的, 特別是較小的角度。 舉個例 子來說, 利用尤拉於 1779年出版在 Nova Acta Petropolitanae 的反正切型公式

π

4 = 5 tan⁻¹1 7

+ 2 tan⁻¹ 3 79



, (2)

配合公式 (1), 我們得到下列高收斂級數 π

4 = 7 10

n1 + 2 3

 2 10²

+2 · 4 3 · 5

 2 10²

²

+ · · ·o +7584

10⁵

n1 + 2 3

144 10⁵

+2 · 4 3 · 5

144 10⁵

²

+ · · ·o 利用這條級數, 尤拉在一個小時內算出了二十位圓周率的小數!

二 . 舊 的證明法

首先, 我們定義超幾何級數如下 [1]:

定義I: 級數

∞

X

n=0

t_n 被稱為超幾何級數, 假使 t_n+1

t_n 為 n 的有理函數。

76

定義 II: (α)n = α(α + 1)(α + 2) · · · (d + n − 1) =

n−1

Y

j=0

α+ j, α 6= 0。 我們稱 (α)n

為波伽瑪 (Pochhammer) 符號。

特別地, (α)0 = 1, (1)n= n!。

由於 t_n+1

t_n 為 n 的有理函數, 在不失為一般性的情況下, 可以將它寫成下列形式:

R(n) = (n + a1)(n + a2) · · · (n + ap) (n + 1)(n + b1)(n + b2) · · · (n + b_q) 因此, 我們就有了超幾何級數標準符號的定義:

定義III: pF_q

"

a1, a2, . . . , a_p b1, b2, . . . , b_q ; z

#

=

∞

X

n=0

(a1)n(a2)n· · · (ap)n

n!(b1)n(b2)n· · · (bq)n

zⁿ. 利用此符號, 我們列出一些熟悉的級數來:

e^z =

∞

X

n=0

zⁿ

n! = 0F0

"

−

−; z

#

cos z =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ

(2n)! = 0F1





−

1 2

; −^z₄²





sin z =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! = z0F1





−

3 2

; −^z₄²





sin⁻¹z = z2F1





1 2,¹₂

1 2

; z²



, |z| < 1 1

1 − z = 1F0

"

1

−; z

#

, |z| < 1

接下來, 我們有下述定理:

定理: 超幾何級數 pF_q

"

a1, a2, . . . , a_p b1, b2, . . . , b_q ; z

# 在 1. p < q + 1 時, 對所有的 z 皆為絕對收斂。

2. p > q + 1 時, 對所有的 z 6= 0 皆為發散。

3. p = q + 1 時, 對 |z| < 1 為絕對收斂。

4. p = q + 1 時, 對 |z| > 1 為發散。

5. p = q + 1 時, 對 |z| = 1 為收斂或發散則未確定。

其中, 特別著名的例子為 2F1

"

a, b c ; z

#

。 偉大的高斯 (Gauss) 曾對此做過廣泛的研究並在 1812 年發表此研究的演講。

接著, 我們先列出格雷哥里在 1671年發現的反正切級數 tan⁻¹x=

∞

X

n=1

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n + 1 , |x| ≤ 1. (3) 然後, 利用波伽瑪符號 (α)n 和恆等式 (³₂)n

(¹₂)n

= 2n + 1, 我們將公式 (3) 寫成超幾何級數的形 式:

tan⁻¹x= x2F1



 1,¹₂

3 2

; −x²



.

現在考慮下列由高斯的博士論文指導教授普法夫 (Pfaff) 所發現的變換公式 [2]

2F1



 a, b c

; z



= (1 − z)^−a 2F1





a, c− b c

; − z 1 − z



, |z| < 1 且 | z

1 − z| < 1.

設 a = 1, b = 1

2, c = 3

2, z = −x² 我們就可得到

tan⁻¹x= x 1 + x^{2 2}F1





 1, 1

3 2

; x² 1 + x²





 由於 (2n + 1)! = (2)2n= 2²ⁿn!(³₂)2n, 上述方程式就給出了

tan⁻¹x=

∞

X

n=0

2²ⁿ(n!)² (2n + 1)!

x²ⁿ⁺¹ (1 + x²)ⁿ⁺¹.

三 . 新的證明法

非常感謝現代強而有力的數學分析工具! 下面我們將經由特殊的積分技巧, 再利用勒貝格 (Lebesgue) 無窮級數單調收斂定理來證明公式 (1)。

考慮下列式子

Z ¹

0

x

1 + φ²x²dφ=h

tan⁻¹φxi¹

0 = tan⁻¹x.

經由 φ = cos θ 的替代, 我們可以得到 tan⁻¹x=

Z π/2 0

xsin θ 1 + x²cos²θdθ.

現在, 我們先使用下列關鍵性的技巧:

1 + x²cos²θ= 1 + x²(1 − sin²θ) = 1 + x² − x²sin²θ = (1 + x²)1 + x² − x²sin²θ 1 + x²



= (1 + x²)

1 − x²sin²θ 1 + x²

 . 則

tan⁻¹x= Z π/2

0

xsin θ 1 + x²

1 1 −x²sin²θ

1 + x² dθ.

接著利用幾何級數

1

1 − u = 1 + u + u²+ · · · , |u| < 1, 我們擴充積分項中第二個分式就得到了

tan⁻¹x= Z π/2

0

" ∞

X

n=0

x²ⁿ⁺¹

(1 + x²)ⁿ⁺¹ sin²ⁿ⁺¹θ

#

dθ. (4)

接下來, 應該是使用現代強而有力的重型武器的時候了! 下述定理就是這項裝備。

勒貝格無窮級數單調收斂定理 [3]: 設 cn(x) ≥ 0, 則 Z

E

h

∞

X

n=1

c_n(x)i dx=

∞

X

n=1

Z

E

c_n(x)dx, 只要等號兩邊皆為收斂。

現在, 使用另一個關鍵性的技巧來重寫 (4), 得到 tan⁻¹x= x

Z π/2 0

h

∞

X

n=0

x²ⁿ

(1 + x²)ⁿ⁺¹ sin²ⁿ⁺¹θi dθ

然後我們觀察到, 在中括弧內是一個非負項的級數, 即使 x 是為負值。 而且, 我們又知道, 一個 函數在有界可測度的集合 E 上是黎曼 (Riemann) 可積分的必定是在 E 上為勒貝格可積分 的。 因此, 將加總符號和積分符號的順序交換後, 我們得到

tan⁻¹x= x

∞

X

n=0

hZ π/2 0

sin²ⁿ⁺¹θdθi x²ⁿ

(1 + x²)ⁿ⁺¹ =

∞

X

n=0

2²ⁿ(n!)² (2n + 1)!

x²ⁿ⁺¹ (1 + x²)ⁿ⁺¹

此處, 我們利用到初等微積分一個很基礎卻是非常重要的結果 Z π/2

0

sin²ⁿ⁺¹θdθ = 2²ⁿ(n!)² (2n + 1)!. 我們鼓勵讀者動手復習這個美麗的積分式。

參考文獻

1. http://www.math.rutgers.edu/∼asills/teach/spr05/hypergeom.pdf#search

=‘hypergeometric%20series’

2. G. E. Andrews, R. Askey and R. Roy, Special Functions, Cambridge University Press, Cambridge (1999)68.

3. W. L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Anal- ysis, Dekker, New York(1977)66.

—本文作者現就讀於國立臺灣大學數學研究所碩士班三年級—