數學核心素養視角下的解題探究

數 學核心素養視角下的解題探究

朱小扣

摘要: 自從 《普通高中數學課程標準 (2017 版)》 頒佈以來, 有關數學的學科核心素 養的討論不絕於耳, 本文將從命題者和解題者的角度, 深度剖析數學學科的數學抽 象, 邏輯推理, 數學建模, 直觀想像, 運算能力, 數據分析六大核心素養, 並加以分析, 討論, 以期拋磚引玉。

關鍵字: 高中數學; 核心素養; 數學抽象; 邏輯推理。

《普通高中數學課程標準 (2017 版)》 中指出:「學科核心素養是育人價值的集中體現, 是學 生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、 必備品格與關鍵能力, 數學學科核心素養是數學 課程目標的集中體現, 是具有數學基本特徵的思維品質、 關鍵能力以及情感、 態度及價值觀的綜 合體現, 是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的。 數學學科核心素養包括: 數學抽象、 邏 輯推理、 數學建模、 直觀想像、 運算能力和數據分析, 這些核心素養既相對獨立又相互交融, 是 一個有機的整體。」 但是數學學科的核心素養怎麼考? 這是一個困擾廣大數學工作者的問題。 筆 者將通過分析 2018 年以來各地的模擬考試試題, 闡述六大核心素養的命題形式及解決方法。

1. 數學抽象

數學抽象是數學的基本思想, 是形成理性思維的重要基礎, 反映了數學的本質特徵, 貫穿 在數學的產生、 發展、 應用的過程中。 它反映了數學的本質特徵, 貫穿在數學的產生、 發展、 應 用的過程中。 數學抽象使得數學成為高度概括、 表達準確、 結論一般、 有序多級的系統。

例1: (南京市、 鹽城市 2018 屆高三一模) 如圖 1 是蜂巢結構圖的一部分, 正六邊形的邊長均 為 1, 正六邊形的頂點稱為 「晶格點」。 若 A, B, C, D 四點均位於圖中的 「晶格點」 處, 且 A, B 的位置所圖所示, 則 −→AB ·−−→CD 的最大值為 。

圖 1

96

解析: 建立如圖 2 所示的平面直角坐標系, A√ 3 2 ,9

2

, B(0, 0) 由向量投影知當 −→AB ·−−→CD 取最大值時, C(0, 5), D(−√

3, 0), 所以

−→AB =

−

√3 2 ,−9

2



, −−→CD = (−√

3, −5), 故 −→AB·−−→CD = 24 。

圖 2

點評: 本題通過建立直角坐標系, 讓學生能從情境中 (即蜂巢結構圖) 抽象出數學的概念及方法, 從而使得問題得到簡化及解決。 這樣出題可以培養學生從具體到抽象的活動經驗, 有利於學生 把握事物的本質, 以簡馭繁, 運用數學抽象思維方式思考來解決實際問題。

2. 邏輯推理

邏輯推理是指從一些事實和命題出發, 依據規則推出其他命題的素養。 主要包括兩類: 一 類推理形式主要有歸納、 類比; 一類是推理形式主要有演繹推理。

例2: 我國南宋數學家楊輝所著的 《詳解九章算術》 一書中, 用圖 (a) 的數表列出了一些正整數 在三角形中的一種幾何排列, 俗稱 「楊輝三角形」, 該數表的規律是每行首尾數字均為 1, 從第 三行開始, 其餘的數字是它 「上方」 左右兩個數字之和。 現將楊輝三角形中的奇數換成 1, 偶數 換成 0, 得到圖 (b) 所示的由數字 0 和 1 組成的三角形數表, 由上往下數, 記第 n 行各數字的 和為 S_n, 如 S1 = 1, S2 = 2, S3 = 2, S4 = 4, . . ., 則 S32= 。

圖 (a) 圖 (b)

解析: 可以由 S2 = 2, S4 = 4, S8 = 8, S16= 16, 從而論證得到 S32 = 32。

例3: (湖南株洲 2018 屆高三一模) 如表 1 給出一個 「等差數陣」: 其中每行、 每列都是等差數 列, aij 表示位於第 i 行第 j 列的數。 則 112 在這 「等差數陣」 中出現的次數為 。

表 1

4 7 10 · · · a_1j · · · 7 12 17 · · · a_2j · · · 10 17 24 · · · a_3j · · · ... ... ... . .. ... ...

a_i1 a_i2 a_i3 · · · a_ij · · · ... ... ... ... ... . ..

解析: 該等差數陣的第一列是首項為 4, 公差為 3 的等差數列: ai1 = 4 + 3(i − 1) 第二列是 首項為 7, 公差為 5 的等差數列: ai2 = 7 + 5(i − 1), 第 j 列是首項為 4 + 3(j − 1), 公差為 2j + 1 的等差數列, 因此 aij = 4 + 3(j − 1) + (2j + 1)(i − 1) = 112, 可得





 i= 1 j = 37

,





 i= 2 j = 22

,





 i= 4 j = 12

,





 i= 7 j = 7

,





 i= 12

j = 4 ,





 i= 22

j = 2 ,





 i= 37

j = 1 共 7 組解, 故答案為 7。

點評: 上述兩題通過數列的歸納、 類比, 實際上, 就是從已有的知識和具體的事實經驗出發, 通 過觀察、 類比、 聯想、 歸納等手段在某種情境和過程中推出可能性結論的推理。 要做此類題時, 一定要大膽猜想, 這樣就可以讓學生學會有邏輯地思考問題; 能夠在比較複雜的情境中把握事 物之間的關聯, 由簡到繁, 把握事物發展的脈絡, 從而能更好地認識事物的本質及變化規律。

3. 數學建模

數學建模是對現實問題進行抽象, 用數學語言表達問題、 用數學方法構建模型解決問題的 素養。 數學建模過程主要包括: 在實際情境中, 從數學的視角發現問題、 提出問題、 分析問題、

建立摸型、 確定參數、 計算求解, 檢驗結果、 改進模型, 最終解決實際問題。

例4: 已知 x, y, z ∈ R⁺, 且 x + y + z = 5 則√

x²+ 9 +py²+ 16 +√

z²+ 25 的最小值

是 。

解析:

圖 3 構造如圖 3 所示的大長方形, 則 √

x²+ 9 +py²+ 16 +√

z²+ 25 = OA + AB + BC ≥ OC =p(x + y + z)²+ (3 + 4 + 5)² =√

5²+ 12² = 13 故最小值為 13 。

例5: (2017 年浙江麗水 9 月聯考改編) 已知 x > 0, θ ∈ R, 則 (1 + x − sin θ)²+ (x +2 x− 1 − cos θ)² 的最小值為 。

解析: 設 P (1+x, x+2

x−1), Q(sin θ, cos θ), 則 (1+x−sin θ)²+(x+2

x−1−cos θ)² = P Q² 可得 P 在 y = x + 2

x− 1 − 2 上, Q 在圓 x²+ y² = 1上。 如圖 4。

令 f (x) = OP² = (1 + x)²+ x+ 2

x− 1²

, 可得 f^′(x) = 4(x − 1)(x³+ x²+ x + 2)

x³ 易

得 f (x)min = f (1) = 8, 即 OPmin = 2√

2, 所以 P Qmin = OPmin− 1 = 2√ 2 − 1, 故 P Q²min = (2√

2 − 1)² = 9 − 4√ 2。

圖 4

點評: 通過構造距離型函數模型可以使得問題得到化歸, 迅速解決上述兩個問題, 使得學生理解 數學建模的重要性。 數學建模主要表現為: 發現和提出問題, 建立和求解模型, 檢驗和完善模型, 分析和解決問題。

4. 直觀想像

直觀想像是指借助幾何直觀和空間想像感知事物的形態與變化, 利用空間形式特別是圖形,

理解和解決數學問題的素養。 主要包括: 借助空間形式認識事物的位置關係、 形態變化與運動規 律, 利用圖形描述、 分析數學問題, 建立形與數的聯繫, 構建數學問題的直觀模型, 探索解決問 題的思路。

例如學生掌握了三棱柱各個面延伸分空間 21 個部分, 正方體各個面延伸分空間 27 個部 分及其他棱柱的情形, 如三棱錐各個面延伸可以把空間分成多少個部分? 三棱臺各個面延伸可 以把空間分成多少個部分? 學生掌握和理解起來不容易, 借助直觀想像, 筆者是按如下方法這 樣解釋的。

例5: 三棱錐各個面延伸可以把空間分成多少個部分? 三棱臺各個面延伸可以把空間分成多少 個部分?

解析:

(1) 如圖 5, 現將三棱錐 O-ABC 特殊成 OA, OB, OC 互相垂直, 將其放在如上圖的位置, 8 個卦限中, 只有第七卦限沒有被平面一分為二, 其他的卦限都一分為二了, 故有 8 + 7 = 15 個, 類似的可以得到普通的三棱錐也是 15 個。

(2) 如圖 6, 類似第一問的解答, 將三棱臺 ABC − A¹B1C1 放在如上圖的位置, 易知答案為:

7 + 7 + 8 = 22 。

圖 5 圖 6

例7: (2018 年山西一模) 一個正方體的三視圖如圖所示, 若俯視圖中正六邊形的邊長為 1, 則

該正方體的體積是 。

解析:

圖 7 圖 8 圖 9

由題意可知, 該正方形的一條對角線即為俯視圖的方向 (如圖 7), 距最高點最近的三個點 構成的平面與俯視方向垂直 (如圖 8), 有俯視圖中正六邊形的邊長為 1, 可得圖 9 中 OA = 1, 即圖 8 中 OA = 1, 易得正方體的面對角線長為√

3, 進而得棱長為

√6

2 , 故體積為 3√ 6 4 。 點評: 正方體的三視圖是學生最熟悉的三視圖, 但是這題 「倒」 著放的正方體三視圖解決起來, 卻讓人舉足無措, 通過這樣考更能考察學生的能力。 借助幾何直觀理解問題, 運用空間想像認識 事物。 通過高中數學課程的學習, 學生能提升數形結合的能力, 發展幾何直觀和空間想像能力。

5. 數學運算

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上, 依據運算法則解決數學問題的素養。 主要包括: 理 解運算對象, 掌握運算法則, 探究運算思路, 選擇運算方法, 設計運算程式, 求得運算結果等。

例8: (2018 年廣州一測) 已知兩個定點 M(1, 0) 和 N(2, 0), 動點 P 滿足 |P N| =√

2|P M|。

(a) 求動點 P 的軌跡 C 的方程;

(b) 若 A, B, 為 (a) 中軌跡 C 上兩個不同的點, O 為座標原點。 設直線 OA, OB, AB 的斜 率分別為 k1, k2, k。 當 k1k2 = 3 時, 求 k 的取值範圍。

解析:

(a) 動點 P 的軌跡 C 的方程是 x²+ y² = 2 (過程略)。

(b) 設 A(x1, y1), B(x2, y2), 直線 AB 的方程是 y = kx + b, 由

(x²+ y² = 2

y= kx + b 消去 y 得:

(1 + k²)x²+ 2bkx + b² − 2 = 0. (1) 由 ∆ = (2bk)²− 4(1 + k²)(b²− 2) > 0 得

b² <2 + 2k². (2)

由韋達定理得:

x1+ x2 = − 2bk

1 + k², x1x2 = b²− 2

1 + k². (3) 因為 k1k2 = 3 即 y1

x1 · y2

x2

= (kx1+ b)(kx2+ b) x1x2

= 3, 於是,

(k²− 3)x¹x2 = +bk(x1x2) + b² = 0. (4) 將 (2) 代入 (4) 得:

b² = 3 − k². (5)

由 b² ≥ 0, 得 −√

3 ≤ k ≤ √

3, 由 (2) 及 (5) 得: k < −

√3

3 或 k >

√3 3 . 要使得 k, k1, k2 有意義, 則 x1 6= 0, x² 6= 0,

所以 0 不是方程 (1) 的根, 所以 b² − 2 6= 0, 即 k 6= ±1, 綜上, k ∈ [−√

3, −1) ∪

− 1, −

√3 3



∪√ 3 3 ,1

∪ (1,√ 3].

本題第二問還可以用齊次化思想去解:

(2) 設 A(x1, y1), B(x2, y2), 直線 AB 的方程是 y = kx + b, 由

(x²+ y² = 2 y= kx + b 得







x²+ y² = 2 y− kx

b = 1, 消除常數後得:x²+ y² = 2y− kx b

² . 顯然 x 6= 0, 兩邊同時除以 x² 得:

1 +y x

²

= 2





y x

− k b





2

即 (2 − b²)y x

²

− 4ky x



+ 2k² − b² >0.

可得: 2 − b² 6= 0 及

∆ = (4k)²− 4 · (2 − b²) · (2k²− b²) > 0. (6) 因為 k1k2 = 3 即

y1

x1 · y2

x2

= 2k²− b²

2 − b² = 3 得 b² = 3 − k². (7) 由 (6), (7) 得:

k ∈ [−√

3, −1) ∪

− 1, −

√3 3



∪√ 3 3 ,1

∪ (1,√ 3].

點評: 上述例題說明了在解析幾何中, 除了傳統的方法外, 還有齊次化方法、 雙根法、 點差法、 點 乘法、 極座標等多種更簡單的解法。 類似地, 在解決其他題目時, 也可以一題多解, 多種方法的 融合可以進一步發展學生數學運算能力, 有效借助運算方法解決實際問題。

6. 數據分析

數據分析是指針對研究對象獲取數據, 運用數學方法對數據進行整理、 分析和推斷, 形成 關於研究對象知識的素養。 數據分析過程主要包括: 收集數據, 整理數據, 提取資訊, 構建模型, 進行推斷, 獲得結論。

例9: (巴蜀中學 2018 屆高三 1 月考) 統計顯示, 2011 年之前, 速食麵銷量在中國連續 18 年 保持兩位數增長, 2013 年的年銷量更是創下 462 億包的輝煌戰績; 但 2013 年以來, 速食麵銷 量卻連續 3 年下跌, 只剩 385 億包, 具體如下表。 相較於速食麵, 網路訂餐成為大家更加青睞 的消費選擇。 近年來, 網路訂餐市場規模的 「井噴式」 增長, 也充分反映了人們消費方式的變化。

全國 (中國) 速食麵銷量情況 (單位: 億包 (碗)) 數據來源: 世界速食麵協會 年份 2013 2014 2015 2016

時間代號 1 2 3 4

年銷量 y (億包 (碗)) 462 444 404 385

根據上表, 求 y 關於 x 的線性廻歸方程 ˆy= ˆbt + ˆa, 用所求廻歸方程預測 2017 年 (t = 5) 速 食麵在中國的年銷量;

參考公式:

廻歸方程: ˆy= ˆbt + ˆa, 其中 ˆb =

n

P

i=1

(ti − ¯t)(yⁱ− ¯y)

n

P

i=1

(ti− ¯t)²

, ˆa = ¯y− ˆb¯t.

參考數據:

5

P

i=1

(ti− ¯t)(yⁱ− ¯y) = −135.5.

解析: ¯t= 2.5, ¯y= 423.75,

4

P

i=1

(ti− ¯t)² = 5, ˆb = −135.5

5 = −27.1, ˆ

a = 423.75 − (−27.1) × 2.5 = 491.5, 所以 ˆy = −27.1t + 491.5, 當 t = 5 時, ˆy= −27.1 × 5 + 491.5 = 356.

附題: (2011 年安徽省高考文科 20 題) 某地最近十年糧食需求量逐年上升, 下表是部分統計數

據

年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量 (萬噸) 236 246 257 276 286 (I) 利用所給數據求年需求量與年份之間的廻歸直線方程 y = bx + a;

(II) 利用 (I) 中所求出的直線方程預測該地 2012 年的糧食需求量。

點評: 這題直接用時間代號比 2011 年安徽省文科高考第 20 題更簡單, 有時也會用 E(aξ+b) = aE(ξ) + b, Var (aξ + b) = a²Var (ξ) 等其他公式處理數據, 也是為了引導學生找到最佳處理 數據的方法, 發展整理和處理數據能力。 從而提升學生獲取有價值資訊並進行定量分析的意識 和能力。

總結: 林新建老師說過: 「數學思想是數學素養的核心內容, 唯有立意於思想, 樹立起運用思想 引領解題的意識, 才能真正培養和提升學生的數學核心素養。」 為了發展學生的數學學科的核心 素養, 發展素質教育, 培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人, 作為數學的教育工作 者的我, 深感命題工作與教學工作的責任重大, 但如何才能更好的發展核心素養呢? 「問渠那得 清如許? 為有源頭活水來。」 實際上, 只有從源頭將核心素養融入命的題中, 才能讓學生在解題 中理解和發展核心素養, 我們不能讓學生去證明一個假命題, 也不能讓學生去解一個無解的錯 題, 只有反覆斟酌, 才能命出好題, 希望本文對圍繞核心素養命題的剖析, 能幫助到大家。

參 考文獻

1. 中華人民共和國教育部。 普通高中數學課程標準 (2017 年版) [M]。 北京人民教育出版社, 2017。

2. 朱小扣。 聚焦不等式解題中的待定係數法[J]。 數學教學, 2017 (11)。

3. 朱小扣。 一類延伸問題的探討[J]。 中學數學雜誌, 2017 (5)。

—本文作者任教中國安徽省蕪湖市無為中學_—