數學

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【 　　　　　專刊 】

MATHEMATICS

一、前言

學科能力測驗（以下簡稱「學測」）的旨意，從 83 年以測驗考生是否具有接受大學教育的初衷，

經過 95 課綱課程內容的變化調整，到 99 課綱（或稱 101 年課綱）等，都是各大學校系初步篩選學生 的門檻。

就數學科而言，其測驗的目標已經從「測驗考生是否有能力進入大學之門接受教育」，改變為

「各科系大學生必須具有的基本數學知識」作為測驗內容，意即指各科系學生在大學教育中所需具備 的數學知識，亦或成為一位大學畢業生必須具有的數學涵養等，作為高中數學前 2 年（學測考試範 圍）的課綱範疇；甚至由課綱精神細緻到數學學習順序（從 103 學年度微調課程可見端倪），足見數 學測驗內容趨於基礎化，廣泛但不艱深，試題生活實用化，不考抽象理論等，這些應當是對數學考 試觀念的翻轉時機，也是考生對數學科測驗內涵應該有的趨勢認知與改變對數學畏懼的心態調整。

數學考科趨勢分析 數學考科趨勢分析

104

104 ^{年學科能力測驗 年學科能力測驗}

程昱揚　老師

程昱揚　老師

二、課綱內容分析

杕先就 99 課綱（102 年入學考試起）與 95 課綱（97 年至 101 年入學考試）考試內涵如下：

95 課綱

冊別 單元名稱

第 一 冊

數與坐標系 數列與級數 多項式

第 二 冊

指數與對數

三角函數的基本概念 三角函數的性質與應用

第 三 冊

向量

空間中的直線與平面 圓與球面

第 四 冊

圓錐曲線 排列組合 機率與統計（I）

99 課綱 差異說明

冊別 單元名稱 順序改變 異動

第 一 冊

數與式

多項式函數 :

指數與對數函數 :

第 二 冊

數列與級數 :

排列組合 :

機率 : 增（分裂）

數據分析 : 增（分裂）

第 三 冊

三角 : 併用

直線與圓 平面向量

第 四 冊

空間向量 :

空間中的平面直線 :

矩陣 增

二次曲線 調整

註：順序以冊為範圍，併用（指合併單元），調整（指單元名稱改變）

上述考試範圍（單元名稱）分析如下：

坽單元名稱（或稱教學）順序改變是 99 課綱與過去課綱的最大差異，其目標除了在引導數學 教學與學習順序之外，也蘊含國高中數學的銜接教學，以及哪些是接受大學教育必備的數 學知識。

夌數與式（或坐標）仍是首選的基礎課程。

奅多項式 ､ 指數與對數 ､ 數列與級數 ､ 基礎三角函數 ､ 圓 ､ 平面的直線與空間中的直 線，平面向量與空間向量等，列為必須準備的基本考試內容。

妵上述三角函數概念雖然也列為必須準備的內容，但是由原來第二冊「三角函數的基本概 念」與「三角函數的性質與應用」的單元標題，改為以「三角」替代，足見考試內容也改變 了。

妺機率與統計（I）分裂為機率 ､ 數據分析；排列組合一詞沿用；圓錐曲線更換為二次曲線，

然而其考試內容也已或多或少作了修正（諒後述）。

姏刪除「球面」單元，增加「矩陣」單元；這或許也蘊意著「立體空間」不是各科系所必然具 備的數學知識，僅需就空間中向量與直線，或與平面間的關係，或矩陣應用等，其基本概 念 ､ 運算學習即可，也意指矩陣試題僅止考二階。

杌就 99 課綱（列 102､103 年）與 95 課綱（列 97 年至 101 年）試題分布之單元與占分如下：

　（下表以 99 課綱為主，採共同單元名稱或分裂等作概略占分統計，分布認定不同，差異難免）

99 課綱 95 課綱

冊別 單元名稱 103 102 101 100 99 98 97 第

一 冊

數與式 10 5 10 0 0 15 10

多項式函數 15 10 5 10 10 5 10

指數與對數函數 5 10 10 10 10 5 10

第 二 冊

數列與級數 5 5 10 5 5 5 5

排列組合 10 10 10 0 10 0 5

機率 5 5 10 5 0 5 5

數據分析 5 5 5 5 10 5 5

第 三 冊

三角 10 10 15 15 15 15 15

直線與圓 5 10 5 10 0 0 5

平面向量 10 5 10 10 10 15 5

第 四 冊

空間向量 10 0 5 5 0 10 5

空間中的平面與直線 0 10 0 5 5 5 10

矩陣 5 5 6 12 18 14 14

二次曲線 5 10 10 10 15 10 10

說明與分析如下：

坽95 課綱中機率 ､ 數據分析之占分為抽離「機率與統計（I）」之占分；

　95 課綱中三角占分為合併「三角函數的基本概念」與「三角函數的性質與應用」之占分；

　95 課綱中矩陣之占分為採用指定考試數學乙之占分；

　95 課綱中二次曲線之占分為「圓錐曲線」中扣除「球」之占分。

夌103 中二次曲線僅見到一般二次函數試題，圓錐曲線中的拋物線 ､ 橢圓 ､ 雙曲線未見到 試題出現，令人扼腕。但是也表示出對於 104 年會出現試題的期望，否則是否也意味著除 了拋物線外，橢圓 ､ 雙曲線也列入非大學所必要的數學知識？此點有待由 104 年的試題 來表明學測對其意圖所指。

奅由整體試題占分看出：

　偢高命題趨勢單元：多項式函數 ､ 指數與對數函數 ､ 三角 ､ 平面向量 　倕中命題趨勢單元：數與式 ､ 二次函數（拋物線）

　偅 命題漸成長趨勢單元：數列與級數 ､ 排列組合 ､ 機率 ､ 數據分析 ､ 直線與圓 ､ 二 次曲線

妵矩陣的試題，從 97 年到 101 年的指定考試占分中，看出未來有可能被高度命題的趨勢，

值得同學留意（尤其是反矩陣計算）。

妺「空間向量」與「空間中的平面與直線」有著試題不穩定出現傾向，若對抽象或立體概念弱 的同學，建議在這兩單元可以作時間彈性分配 ､ 或練習上的取捨抉擇。

三、題型分配與試題分析

杕列出 97 年到 103 年題型分配如下表：

試題題型 年度

第壹部分 第貳部分 註

單選題（占分 / 題數） 多選題（占分 / 題數） 選填題（占分 / 題數） 總題數 課綱

97 25 / 5 35 / 6 40 / 9 20

95

98 30 / 6 25 / 5 45 / 9 20

99 35 / 7 25 / 5 40 / 8 20

100 30 / 6 35 / 7 35 / 7 20

101 35 / 7 30 / 6 35 / 7 20

102 30 / 6 30 / 6 40 / 8 20

103 30 / 6 30 / 6 40 / 8 20 99

杌試題作答分析如下：

坽測驗總題數維持為 20 題，每題 5 分，分為第壹部分（單選題 ､ 多選題）､ 第貳部分（選 填題）。

夌第壹部分約 6 + 6 題，約占 30 + 30 分左右，以數字 1､2､3､4､……標示。從 100 年 起，多選題由「五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項者可得 2.5 分，錯兩個或兩個 以上選項者不給分」改為「所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；所有選項均未作答或答錯多於 2 個選項者，該題以零分計算」，也 已呈現在五標中。

奅第貳部分約 7 ∼ 8 題，約占 35 ∼ 40 分，以英文字大寫 A､B､C､……標示。維持「答錯 不倒扣，未完全答對不給分」原則

妵數學科在「100 年學測考試多選題第 13 題」與「102 年指定科目考試多選題第 6 題」，都出 現僅有一個答案的現象，因此，提醒同學多選題可能只有一個選項是正確的之外，也建議 同學試題先行瀏覽註記後，作答依序為解「單選題」，再「選填題」，最後才解「多選題」，

順序由前面到後面（1､2､3､…，A､B､C､…）。

四、學測準備方向與試題剖析

杕分析自己能力，建立信心，確定準備策略：

　列出 97 年到 103 年學科能力測驗數學科五標成績一覽表：

年度 頂標 前標 均標 後標 底標 級距分數 預估成績

97 11 9 6 4 2 6.51 40

98 11 9 6 4 3 5.97 36

99 10 8 5 3 2 6.32 32

100 13 11 7 4 3 6.67 47

101 13 11 7 4 3 6.57 46

102 12 10 7 4 3 6.42 38 ∼ 45

103 13 11 8 5 3 6.67 46 ∼ 53

註：100 年起，概因多選題計分方式改變，致使均標提高

　 建議學生可以根據自己在學校 3､4 次的模擬考試中，評估自己成績的落點，配合繁星 ､ 申請入學（大學或四技）的理想科系中，數學是否採計或加重比例，由上述五標成績一覽表 中，預估答對題數，擬出自己的數學計畫，包括精讀或加強的的單元，有目標的強化自己準 備方向，建立信心。

杌掌握基礎題，贏得成績：

　104 年是 99 課綱施行第 3 年，從試題歷史軌跡 ､ 或從近 5 年（課綱銜接前後）的均標成 績，可看出試題中間偏易，曾出現國中程度就會解題，甚至生活題，例如：

對任意實數 x 而言，

2 2

( )

27^{x +}3 的最小值為：(1) 3　(2) 3 3 　(3) 9　(4) 27　(5) 81 3 . 解題概念：指數基本性質

範例1：97年

在職棒比賽中，ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值。其計算方式如下：若此投 手共主投 n 局，其總責任失分為 E，則其 ERA 值為 E 9

n× 。有一位投手在之前的比賽中共 主投了 90 局，且這 90 局中他的 ERA 值為 3.2。在最新的一場比賽中，此投手主投 6 局 無責任失分，則打完這一場比賽後，此投手的 ERA 值成為：

(1) 2.9　(2) 3.0　(3) 3.1　(4) 3.2　(5) 3.3.

解題概念：生活題

範例2：97年

2 2

1 1

5 +4 +1等於下列哪一個選項？

(1) 1.01　(2) 1.05　(3) 1.1　(4) 1.15　(5) 1.21.

解題概念：國中題

範例3：98年

將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如圖所示，其中 第 1 層（最下層）有 10 塊，第 2 層有 9 塊，…，依此類推。當堆疊 完 10 層時，該階梯形立體的表面積（即該立體的前 ､ 後 ､ 上 ､ 下 ､ 左 ､ 右各表面積總和）為多少？

(1)75 平方公分　 (2)90 平方公分　(3)110 平方公分 (4)130 平方公分　(5)150 平方公分 .

解題概念：國中小題

範例4：98年

從 1 到 100 的正整數中刪去所有的質數 ､2 的倍數及 3 的倍數之後，

剩下最大的數為　　　　　. 解題概念：國中小題

範例5：98年

已知 a，b 為整數且行列式 5 7 a

b ^{= 4，則絕對值} a b+ 為何？

(1) 16　(2) 31　(3) 32　(4) 39　(5) 條件不足，無法確定 . 解題概念：基本運算

範例6：99年

若首項為 a，公比為 0.01 的無窮等比級數和等於循環小數 1.2，則 a =　　　　　. 解題概念：國中小題

範例7：101年

請問下列哪一個選項等於 log (2^{(3 )5} )

(1) 5log (2 )³ 　(2) 3 5log 2× 　(3) 5log 2 log 3× 　(4) 5( log 2 log 3)× 　(5)3 log 2 .⁵ 解題概念：對數基本性質

範例8：103年

設圓 O 之半徑為 24，OC= 26，OC 交圓 O 於 A 點，CD 切圓 O 於 D 點，B 為 A 點到 OD 的垂足，如右邊的示意圖。則 AB= 泏泩泑

炔炘 。

（化為最簡分數）

解題概念：利用國中的相似性質

範例9：103年

已知 a b c d

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ 是一個轉移矩陣，並且其行列式（值）為 5 8 。 則 a + d = 狘狉

狜 。（化為最簡分數）

解題概念：基本概念

範例10：103年

杈仔細研讀題目，了解題意，循序建構中心，利用所學，應運解題：

理論上，學測題都是未曾見過（練習）的題目，解題時，必須依據題目字句敘述，靜心閱 讀，草擬題意，建構解題方向，例如：

令 A（ – 1, 6, 0），B（3, – 1, – 2），C（4, 4, 5）為坐標空間中三點。若 D 為空間中的一點 且滿足 3

JK

– 4DB

JK

JK

K

，則點 D 的坐標為（ ___, ___, ___ ）。

解題概念：依據字句敘述

範例1：97年

設 n 為正整數，符號 1 1 0 2

⎡ ⎤n

⎢ ⎥

⎣ ⎦ 代表矩陣 自乘 n 次。令 1 1 0 2

⎡ ⎤n

⎢ ⎥

⎣ ⎦ = ，

請選出正確的選項。

(1) a₂ = 1　　　　　　　　 (2) a1，a2，a3為等比數列　(3) d1，d2，d3為等比數列 (4) b₁，b2，b3為等差數列　 (5) c1，c2，c3為等差數列

解題概念：依據字句敘述

範例2：102年

$

%

&

2 '

在坐標平面上，以 (1, 1)，( – 1, 1)，( － 1, – 1) 及 (1, – 1) 等四個點為頂點的正方形，

與圓 x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0 有幾個交點？

(1) 1 個　(2) 2 個　(3) 3 個　(4) 4 個　(5) 0 個 .

範例3：103年

杝解排列組合題目，忘掉使用 C 或 P，甚至 H：

近幾年試題已趨向於測驗同學是否會使用加法與乘法兩大原理解題，建議同學除了加法與乘 法原理或性質外，應該弄清楚排列組合的基本概念，不必專研艱深題目。例如：

某地區的車牌號碼共六碼，其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母，後四碼為 0 到 9 的阿 拉伯數字，但規定不能連續出現三個 4。例如：AA1234，AB4434 為可出現的車牌號碼；

而 AO1234，AB3444 為不可出現的車牌號碼。則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌 號碼個數為　(1) 25×9³　(2) 25×9²×10　(3) 25×900　(4) 25×990　(5) 25×999.

解題概念：加法與乘法

範例1：97年

若數列 a1，a2，…，ak，…，a10中每一項皆為 1 或 － 1，則 a1 + a₂ + … + ak + … + a10之 值有多少種可能？　(1)10　(2)11　(3) P₂¹⁰　(4) C¹⁰₂　(5) 2¹⁰.

解題概念：加法與乘法

範例2：99年

有一個兩列三行的表格如圖。在六個空格中分別填入數字 1､2､3､

4､5､6（不得重複），則 1､2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 　　　　　種。

解題概念：加法與乘法

範例3：99年

一個房間的地面是由 12 個正方形所組成，如右圖。

今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個 相鄰的正方形，即 或 。

則用 6 塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有　狖狋　種。

解題概念：加法與乘法

範例4：102年

杍熟記試題的幾何常客：指數 ､ 對數 ､ 拋物線圖形與基本計算，例如：

試問：在坐標平面上，下列哪些選項中的函數圖形完全落在 x 軸的上方？

(1) y = x + 100　(2) y = x² + 1　(3) y = 2 + sinx　(4) y = 2^x　(5) y = log x.

範例1：97年

下列哪些方程式有實數解？

(1) x³ + x – 1 = 0　　 (2) 2^x + 2^{－ x} = 0　(3) log 2 x + log _x 2 = 1 (4) sinx + cos2x = 3　 (5) 4sinx + 3cosx = 9

2^.

範例2：99年

設 a > 1 > b > 0，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) ( － a)⁷ > ( － a)⁹　(2) b^{－ 9} > b^{－ 7}　(3) 10

log 1

a ^{> 10} log 1 (4) log _a 1 > log _b 1　　(5) log a b ≥ ^log b a. b

範例3：102年

設坐標平面上，x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選 項。　(1) y = x²　(2) 3y = 9x + 1　(3) y² = – x – 2　(4) x² + y² = 3　(5) y = log 9 x + 1

2^.

範例4：103年

杚把握比較大小的題目，得分之鑰，例如：

請問下面哪一個選項是正確的？

(1) 3⁷ < 7³　(2) 5¹⁰ < 10⁵　(3) 2¹⁰⁰ < 10³⁰　(4) log 2 3 = 1.5　(5) log 2 11 < 3.5.

範例1：100年

令 a = 2.6¹⁰ – 2.6⁹，b = 2.6¹¹ – 2.6¹⁰ ，c =

11 9

2.6 2.6 2

− 。請選出正確的大小關係。

(1) a > b > c　(2) a > c > b　(3) b > a > c　(4) b > c > a　(5) c > b > a.

範例2：102年

設 a > 1 > b > 0，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) ( – a)⁷ > ( – a)⁹　(2) b^{－ 9} > b^{－ 7}　(3) 10

log 1

a > 10

log 1 (4) log _a 1 > log _b 1　(5) log a b ≥ ^log b a. b

範例3：102年

關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1) 13 > 3.5　　　 (2) 13 < 3.6　(3) 13 – 3> 10 (4) 13 + 3> 16　(5) 1

13− 3 > 0.6.

範例4：103年

五 ､ 準備學測備忘錄：

　　整理給同學考前一週必須再瀏覽的內容，如下：

杕雖然學測提供公式，建議下列公式必熟記：

　坽國中基本乘法公式，尤其運用在多項式的兩根和 ､ 兩根積相關公式。

　如 ax² + bx + c = 0 的兩根為 α､β，則兩根和 α + β = b

−a_{，兩根積 αβ =} c a^。 　而以 x = α､x = β 為兩根之二次方程式為 x²－ (α + β) x + αβ = 0。

　夌等差 ､ 等比數列中，第 n 項 的求法，公差 d､ 公比 r 的意義，前 n 項和 Sn的計算。

　奅拉格朗日插值式的模式，標準差 ､ 相關係數 ､ 迴歸直線等公式。

杌拉格朗日插值多項式 ､ 虛根成雙定理 ､ 牛頓定理 ､ 勘根定理，特別是「拉格朗日插值多 項式」乃是 99 課綱新寵兒。

杈指數 ､ 對數 ､ 二次函數圖形，其對稱性，遞增 ､ 遞減性與圖形間關係等，特別是指對數 的運算與關係（求函數值 ､ 首數與尾數等）。

杝二項式定理 ､ 條件機率 ､ 貝氏定理的計算，需多練習相關題目。

杍數據分析中，集中趨勢量（平均數 ､ 中位數 ､ 眾數）､ 離散趨勢量（變異數 ､ 標準差）之 計算 ､ 散布圖意義 ､ 相關係數（標準化時）､ 迴歸直線等的計算與性質。

杚三角函數的基本運算，留意正弦定理 ､ 餘弦定理；查表（指對數 ､ 三角）；除 sin､cos､

tan 外，不在學測考試範圍內，且大膽預測與 tan 相關的試題也會萎縮，主因在 cot 不在課程 內。

杋三角形面積求法（尤其是兩邊夾角 ､ 多邊形公式 ､ 向量等）。

毐留意如何利用平行線法 ､ 頂點法求線性規劃之最大 ､ 小值，尤其過去線性規劃放在指考的 非選擇題中，學測不考非選擇題，因此平行線法機率大於頂點法，建議同學練習數學乙的考 題，試著利用平行線法求出最佳解，它也是 99 課綱的新客人。

氙複習平面向量 ､ 空間向量基本運算，特別是向量長度 ､ 向量夾角 ､ 平面夾角 ､ 內積的意 義與計算等。

氚直線的斜率求法及意義 ､ 空間中直線的表示法，及其與平面的關係。

也務必記住：平面直線（法向量），空間直線（方向向量），平面（法向量）。

汸矩陣基本加 ､ 減 ､ 係數積等計算，二階矩陣相關題型（如反矩陣 ､ 轉移矩陣 ､ 高斯消去 法等），建議同學練習數學乙的考題，特別是反矩陣，畢竟矩陣是 99 課綱的新生。

汧二次曲線（拋物線 ､ 橢圓 ､ 雙曲線）作圖與熟記基本名詞（如頂點 ､ 中心 ､ 對稱軸 ､ 長 短軸 ､ 貫軸或共軛軸等）的幾何位置。由於 103 年未考，104 年就值得留意。

汫記住求最大值 ､ 最小值的方法，有配方法 ､ 算幾不等式（注意兩正數才可以）､ 柯西不等 式（有平方或乘積才用）､ 參數式（複習平面直線 ､ 空間中直線 ､ 拋物線等假設法）。

　　最後，近年來社會發生的事件，也可能是考題，例如：

食安問題（指對數計算 ､ 機率 ､ 數值分析）､ 高速公路 etag（平均數 ､ 標準差 ､ 迴歸直 線）､ 國中會考成績分發（數據分析 ､ 加權平均數 ､ 標準差）､ 高雄氣爆事件（指對數計 算 ､ 線性規劃）､ 選舉提及連勝文被槍擊事件（機率 ､ 標準差 ､ 相關係數 ､ 空間中直線與 平面）､ 伊波拉病毒（指對數計算），油電民生問題（數與式 ､ 線性規劃 ､ 相關係數）等，也 值得同學在準備時偷閒思考一下。

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