多項式根冪次和的新解法

多項式根冪次和的新解法

陳錦初

摘要

_:

當處理任意

n

次多項式

f (x) = a

n

x

ⁿ

+ a

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ · · · + a

1

x + a

0 的根

α

j

, j = 1, 2, . . . , n,

的

_k

次方和

^P

ⁿ_j=1

_α

^k_j 的問題時

_,

很自然的會想應用各種代數轉換法將所給的式子 表成其他已知的根與係數關係式

_[1],

如

_α

₁

_α

₂

_{· · · α}

_n

_{= (−1)}

^{n a}_a⁰

n

等

_,

以便代換求解

_,

但這種方 法既繁瑣又困難

_,

若以函數微分為基礎

_,

再針對 ^f_f(x)^′(x) 的級數展開式

_[2]

做觀察

_,

將可對它得到 較一般化的認識

_,

從而導出簡易的解法。 而為了能有效的運用此一新結果

_,

我們將結合廣義綜合 除法做實際演練

_,

而這裡所謂的廣義綜合除法

_,

是指對任意兩按降次排列的多項式的係數做一 系列精簡的算術運算。

一、 多項式根的冪次和

從代數基本定理知任意 n 次複係數多項 式 f (x) = anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+· · ·+a1x+a0

必存在 n 個根, 設其為 α1, α2, . . . , αn, 因此 探討根的冪次和

^P

ⁿ_j=1α^k_j, k ≥ 1, 是個定義 明確的問題。 由於高次多項式根的求解並非 易事, 即使以數值方法求算, 通常也只得到估 計值, 所以根與係數的關係式便成為常用的 輔助工具; 當 k = 1 時, α₁+α₂+· · ·+αn=

−αn−1/αn, 當 k ≥ 2 時, α^k_k+α^k₂+· · ·+α^k_n 的計算則需透過其他的代數轉換來處理; 譬 如在 n = 2, 即 f (x) = a₂x² + a1x + a0

的情況下, 若以不解出 α1, α2 值為前提, 則 α²₁ + α²₂, α³₁ + α³₂, α₁⁴ + α₂⁴, . . . 可分別 以 (α1 + α2)² − 2α1α2, (α1 + α2)(α²₁ + α²₂ − α1α2), (α₁² + α²₂)² − 2(α1α2)² 或 (α₁+α₂)(α₁³+α³₂)−α₁α₂(α²₁+α₂²), . . . , 等

代數式表示, 然後利用根與係數的條件及陸 續代換後的結果即可算出 α^k₁ + α^k₂, (k ≥ 2) 的值。這種直接計算的方式, 並無可依循的轉 換通則可用, 為彌補此缺失, 我們提出了以函 數微分配合級數展開的處理方法, 以下的定 理將敘述此新論點。

定理: 設 f (x) 為一佈於複數系的 n 次 多項式 , αj, j = 1, 2, . . . , n 為其 n 個根。

若

|αj| < |x|, j = 1, 2, . . . , n, 則 f^′(x)

f (x) =

∞

X

k=0

Sk

x^k+1, 其中 Sk=

n

X

j=1

α^k_j。

證明: 在不失一般性的假設下, 令 f (x) = c

^Q

ⁿ_j=1(x − αj), 其中 c(6= 0) 為 f (x) 的領

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84

數學傳播

₂₃

卷

₃

期 民

₈₈

年

₉

月

導係數, 則 f^′(x)

f (x) =

n

X

j=1

1 x − αj

=

n

X

j=1

1 x

1 1 − ^α_x^j

!

=

n

X

j=1

(

1 x

∞

X

k=0



αj

x



k

)

(按無窮等比級數展開)

=

n

X

j=1

∞

X

k=0

α^k_j x^k+1 =

∞

X

k=0 n

X

j=1

α^k_j x^k+1

=

∞

X

k=0

Sk

x^k+1 故定理得證。

此定理已指出如何從 f^′(x)/f (x) 的級 數展開式中確認 Sk =

^P

ⁿ_j=1α^k_j, 換言之,

P

n

k=1α^k_j 就是 ¹

x^k+1 項的係數。 在介紹廣義 綜合除法後, 我們可從範例中看到 Sk 的計 算將變得十分簡單。

二、 廣義綜合除法

綜合除法是以長除法為基礎的計算模 式, 為了推廣其應用, 這裡將對所給的任意兩 多項式, 設其為 P (x) = x^p + ap−1x^p−1 + ap−2x^p−2 + · · · + a1x + a0, 與 Q(x) = bqx^q+bq−1x^q−1+bq−2x^q−2+· · ·+b1x+b0, 做 P (x) 除 Q(x) 的運算程序說明。 首先將

除式 P (x) 的最高次項x^P 刪除, 所有剩餘項 的係數變號並按降次排列 (缺項補零), 然後 加上倒 L 型的分隔線, 再把被除式 Q(x) 的 所有係數同樣地按降次排列, 往下預留 p 空 白列後, 畫一橫向分界線, 便得如下的廣義綜 合除法格式:

除式 被除式

−a_p−1−a_p−2· · · −a1−a0 bqb_q−1b_q−2· · ·b1 b0

演算區₍預留_p空白列_{) →}

商式₍容許往右無限延伸_{) →}

至於廣義綜合除法的演算流程可依下列 步驟進行:

(1) 將被除式第一行的數 (即bq) 放橫線下, 得商式首項的係數bq。

(2) 以商式的新得係數 (如bq) 乘以除式的各 係數, 從被除式第二行 (即bq−1所在的行) 起陸續將乘積按左上至右下的順序 (如下 圖所示) 寫在預留的各空白列中, 再把第 二行內的數相加放橫線下, 得商式第二項 的新係數 b_q−1− bqap−1。

(3) 重覆步驟 (2), 每次將對應的乘積及加總 往右移一行寫入各空白列及商式中, 直到 所需的商式係數算出為止。

−a_p−1 −a_p−2 · · · −a₁ −a₀ bq b_q−1 b_q−2 · · · b₁ b₀

−bqap−1

−bqap−2

· · ·

−bqaq

+) −bqa₀

bq b_q−1− bqa_p−1 · · ·

多項式根冪次和的新解法

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值得注意的是,P (x) 與 Q(x) 的次數大

小關係並不受任何限制, 即使 p > q 也不會 帶來困擾, 因為商式將以級數的形式表示。

三、 範例與結論

現在以一個例子來整合前兩節所提出的 理論與程序, 假設我們想知道多項式 f (x) = x⁴−2x³+6x²−2x+5 根的冪次和

^P

⁴_j=1α^k_j, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 則先計算 f^′(x) = 4x³− 6x²+ 12x − 2, 再按廣義綜合除法列出 ^f_f^′_(x)^(x) 的商式如下:

2 -6 2 -5 4 -6 12 -2

8 4 -16 -44 -24 164 · · · -24 -12 48 132 72 -492 · · 8 4 -16 -44 -24 164 · +) -20 -10 40 110 60 -410

4 2 -8 -22 -12 82 232 · · ·

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · · S

0

S

1

S

2

S

3

S

4

S

5

S

6

· · ·

亦即 ^f_f^′(x)

(x) = _x⁴ + _x²2 + ⁻_x3⁸ +

−22

x⁴ + ⁻_x¹²5 + ⁸²_x6 + ²³²_x7 + · · · 換言之,

P

4

j=1αj = 2,

^P

⁴_j=1α²_j = −8,

^P

⁴_j=1α³_j =

−22,

^P

⁴_j=1α⁴_j = −12,

^P

⁴_j=1α⁵_j = 82,

P

₄

j=1α⁶_j = 232。 若要驗證答案, 可解出 f (x) 的四個根 α1 = i, α2 = −i, α3 = 1 − 2i, α₄ = 1 + 2i, 再直接代換即可。 本論 文的最大貢獻乃在將複雜的求冪次和問題轉 換成能以簡易的微分與廣義綜合除法共同處 理的算術問題。

作者在論文研究期間, 對高雄建志文教關係 機構黃明義主任的引導, 以及陳重達教授的 經驗分享, 願藉此表示最深的謝意。

參考文獻

1. Ryan, M., Doubet, M. E., Fabri- cant, M., and Rockhill, T. D., 1993, Advanced Mathematics, Prentice-Hall, Inc.

2. Spiegel, Murray, 1964, Complex Vari- ables, Schaum Publishing Company.

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本文作者任教於實踐大學高雄校區

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