第七章

(1)

第七章

連續隨機變數及其常用的機率分配

(2)

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

(3)

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

(4)

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算

機率。

(5)

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與

變異數。

(6)

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與變異數。

5. 比較超幾何分配、二項分配、泊松分配與常態分配。

(7)

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與變異數。

5. 比較超幾何分配、二項分配、泊松分配與常態分配。

6. 利用Excel求算各個連續機率分配並繪製圖形。

(8)

本章結構

連續隨機變數及其常用的機率分配

連率隨機變數

的機率分配常態分配標準常態分配

二項分配與常態分配

連率隨機變數的機率密

度函數連率隨機變數的期望值

與變異數

Excel 的使用常態分配

的意義超幾何分配、

二項分配、泊松分配及常態分配間的關係常態分配

的性質常態分配的重要性常用的間斷

標準常態分配的意義標準常態分

配的性質利用標準常

態分配求常態分配

均等分配

均等分配的意義均等分配的

累加機率均等分配的

期望值與變異數

指數分配

指數分配的意義指數分配的

累加機率指數分配的

期望值與變異數

(9)

使用壽命單位組距次數相對次數

60~62 1 48 0.009

62~64 1 108 0.020

64~66 1 270 0.049

66~68 1 486 0.088

68~70 1 810 0.147

70~72 1 1,026 0.186

72~74 1 864 0.157

74~76 1 702 0.128

76~78 1 540 0.098

78~80 1 378 0.069

80~82 1 216 0.040

82~84 1 52 0.009

∑ f = 5,500 1

計算機使用壽命的機率分配

(10)

使用壽命

（1）

組距

（2）

相對次數密度

（3）

相對次數

（4）=（2）×（3）

60~62 2 0.0045 0.009

62~64 2 0.0100 0.020

64~66 2 0.0245 0.049

66~68 2 0.0440 0.088

68~70 2 0.0735 0.147

70~72 2 0.0930 0.186

72~74 2 0.0785 0.157

74~76 2 0.0640 0.128

76~78 2 0.0490 0.098

78~80 2 0.0345 0.069

80~82 2 0.0200 0.040

計算機使用壽命的機率分配

(11)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 使用年限相對次數密度

相對次數密度多邊圖

(12)

機率曲線

(13)

連續隨機變數的機率分配

• ^{機率密度函數}

設 X 為連續隨機變數，其值為 a ≤ X ≤ b，若 f(x) 為 X 的機率密度函數 (probability density function)，簡稱 pdf，

則 f(x) 滿足

f x ^{] g} $ 0

①

^{f x}^{] g}^{dx = 1}

a

#

b

②

(14)

連續隨機變數的機率分配

• ^{機率密度函數}

設 X 為連續隨機變數，其值為 a ≤ X ≤ b，若 f(x) 為 X 的機率密度函數 (probability density function)，簡稱 pdf，

則 f(x) 滿足

• ^{累加機率函數}

f x ^{] g} $ 0

①

^{f x}^{] g}^{dx = 1}

a

#

b

②

F X = x

^] ^g

= P X # x

^] ^g

= f x

^{] g}

dx

a

#

x

(15)

連續隨機變數的機率分配

• ^期望值

E X^] ^g = xf x^{] g}dx = n

a

#

b ^]^{a # X # b}^g

(16)

連續隨機變數的機率分配

• ^期望值

• ^變異數

E X^] ^g = xf x^{] g}dx = n

a

#

b ^]^{a # X # b}^g

V X^] ^g = v2X = ^x - nh² $ f x^{] g}dx

a

#

b

(17)

連續隨機變數的機率分配

• ^期望值

• ^變異數

• ^標準差

E X^] ^g = xf x^{] g}dx = n

a

#

b ^]^{a # X # b}^g

V X^] ^g = v2X = ^x - nh² $ f x^{] g}dx

a

#

b

v = V X^] ^g

(18)

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

常態分配

f x

^{] g}

=

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

- 3 1 x 1 3

(19)

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

常態分配

f x

^{] g}

=

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

- 3 1 x 1 3

E X^] ^g = x

2r v

1 e^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

-3

#

3 ^{dx = n}

期望值

(20)

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

常態分配

f x

^{] g}

=

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

- 3 1 x 1 3

V X

^] ^g

= ^ x - n h

²

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

-3

#

3

^{dx = v}

²

變異數

(21)

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

常態分配

f x

^{] g}

=

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

- 3 1 x 1 3

平均數相同，標準差不同

(22)

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

常態分配

f x

^{] g}

=

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

- 3 1 x 1 3

平均數不同，標準差相同

(23)

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

常態分配

f x

^{] g}

=

2r v

1 e

^-^{^}^{x - n}^2v² ^h

2

- 3 1 x 1 3

平均數不同，標準差相同

A. De Moivre

P. S. Laplace

C. F. Gauss

(24)

• ^{常態分配的特質}

1. 常態分配 f(x) 為以 µ 為中心的對稱分配。

常態分配

(25)

• ^{常態分配的特質}

1. 常態分配 f(x) 為以 µ 為中心的對稱分配。

2. 常態分配曲線下面積總和等於 1。

常態分配

(26)

• ^{常態分配的特質}

1. 常態分配 f(x) 為以 µ 為中心的對稱分配。

2. 常態分配曲線下面積總和等於 1。

3. 常態分配 f(x) 在 X = µ ± σ 時有一轉折點。

常態分配

(27)

• ^{常態分配的特質}

1. 常態分配 f(x) 為以 µ 為中心的對稱分配。

2. 常態分配曲線下面積總和等於 1。

3. 常態分配 f(x) 在 X = µ ± σ 時有一轉折點。

常態分配

(28)

• ^{常態分配的特質}

1. 常態分配 f(x) 為以 µ 為中心的對稱分配。

2. 常態分配曲線下面積總和等於 1。

3. 常態分配 f(x) 在 X = µ ± σ 時有一轉折點。

4. 常態分配曲線的兩尾無限延伸。

常態分配

(29)

• ^{常態分配的特質}

1. 常態分配 f(x) 為以 µ 為中心的對稱分配。

2. 常態分配曲線下面積總和等於 1。

3. 常態分配 f(x) 在 X = µ ± σ 時有一轉折點。

4. 常態分配曲線的兩尾無限延伸。

5. 常態分配的偏態係數等於 0 ，峰度係數等於 3，為一常態峰。

常態分配

(30)

常態分配

常態分配的機率範圍

(31)

• ^{常態分配的加法定理}

1. 定理 1

設 X ~ N( µ , σ

²

)，若 W = a + bX 則 W ~ N( a + bµ , b

²

σ

²

)

常態分配

(32)

• ^{常態分配的加法定理}

1. 定理 1

設 X ~ N( µ , σ

²

)，若 W = a + bX 則 W ~ N( a + bµ , b

²

σ

²

)

2. 定理 2

設 X ~ N( µ

^X

, σ

^X²

)，Y ~ N( µ

^Y

, σ

^Y²

) 且 X、Y 獨立若 W = a + bX 則

常態分配

(33)

• ^{標準常態分配的意義}

根據常態分配加法定理 1，將 Z = ( X − µ ) / σ，E(Z) = 0，

V(Z) = 1 代入常態分配的機率函數，可得標準常態分配的機率密度函數

標準常態分配

f Z ^{] g} =

2r

1 e

^Z²

2

(34)

• ^{標準常態分配的意義}

根據常態分配加法定理 1，將 Z = ( X − µ ) / σ，E(Z) = 0，

V(Z) = 1 代入常態分配的機率函數，可得標準常態分配的機率密度函數

標準常態分配

f Z ^{] g} =

2r

1 e

^Z²

2

(35)

• ^{標準常態分配的性質}

1. 標準常態分配具有常態分配的特質，唯其平均數等於 0，變異數與標準差等於 1，是常態分配的特殊例子。

標準常態分配

(36)

• ^{標準常態分配的性質}

1. 標準常態分配具有常態分配的特質，唯其平均數等於 0，變異數與標準差等於 1，是常態分配的特殊例子。

2. 標準常態分配的任何值域可查標準常態機率值表而獲得。

標準常態分配

(37)

• ^{標準常態分配的性質}

1. 標準常態分配具有常態分配的特質，唯其平均數等於 0，變異數與標準差等於 1，是常態分配的特殊例子。

2. 標準常態分配的任何值域可查標準常態機率值表而獲得。

標準常態分配

(38)

Z 的第二位小數

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

標準常態機率分配表

(39)

Z 的第二位小數

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

標準常態機率分配表

(40)

以 Excel 計算標準常態分配的機率值 (NORMSDIST)

(41)

Z > 0.54 的標準常態機率值

P Z 2 0.54 ^] ^g = P Z 2 0 ^] ^g - P 0 1 z 1 0.54 ^] ^g

(42)

-0.5 < Z < 0.54 的標準常態機率值

(43)

Z > -0.35 的標準常態機率值

P Z 2-0.35 ^] ^g = P -0.35 1 z 1 0 ^] ^g + P Z 2 0 ^] ^g

(44)

Z > z 的標準常態機率值

(45)

以 Excel 計算標準常態 Z 值 (NORMSINV)

(46)

-z < Z < z 的標準常態機率值

(47)

• 利用常態分配求常態分配機率

1. 將隨機變數 X 化為標準隨機變數 Z。同時將 a 值與 b 值標準化：

標準常態分配

Z = X - n v

, a' = a - n v

, b' = b - n v

(48)

• 利用常態分配求常態分配機率

1. 將隨機變數 X 化為標準隨機變數 Z。同時將 a 值與 b 值標準化：

2. 其次，將 Z，a’，b’ 代入 P(a < X < b)，即

標準常態分配

Z = X - n v

, a' = a - n v

, b' = b - n v

P a 1 X 1 b ^] ^g = P a - n v

1 X - n v

1 b - n v

b l

(49)

• 利用常態分配求常態分配機率

1. 將隨機變數 X 化為標準隨機變數 Z。同時將 a 值與 b 值標準化：

2. 其次，將 Z，a’，b’ 代入 P(a < X < b)，即

標準常態分配

Z = X - n v

, a' = a - n v

, b' = b - n v

P a 1 X 1 b ^] ^g = P a - n v

1 X - n v

1 b - n v

b l

常態分配與標準常態分配

(50)

• 利用常態分配求常態分配機率

1. 將隨機變數 X 化為標準隨機變數 Z。同時將 a 值與 b 值標準化：

2. 其次，將 Z，a’，b’ 代入 P(a < X < b)，即

標準常態分配

Z = X - n v

, a' = a - n v

, b' = b - n v

P a 1 X 1 b ^] ^g = P a - n v

1 X - n v

1 b - n v

b l

(51)

8 < X <12 的機率

P 8 # x # 12^] ^g = P 8 - 101.5

1 X - nv

1 12 - 101.5

b l

= P -1.33 1 Z 1 1.33^] ^g = 2 # P 0 1 Z 1 1.33^] ^g

(52)

以 Excel 計算常態分配機率 (NORMDIST)

(53)

以 Excel 計算常態分配機率 (NORMDIST)

P(X < 352)

(54)

以 Excel 計算常態分配機率 (NORMDIST)

P(X < 352)

平均值

(55)

以 Excel 計算常態分配機率 (NORMDIST)

P(X < 352) 平均值

標準差

(56)

咖啡的常態分配

(57)

雞肉餐的標準常態分配

(58)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為均等分配，則其機率密度函數為︰

均等分配

f x ^{] g} = b - a 1

a # x # b

= 0 其他

(59)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為均等分配，則其機率密度函數為︰

均等分配

f x ^{] g} = b - a 1

a # x # b

= 0 其他

f(x)

a b x

1/(b-a)

(60)

• ^{累加機率函數}

均等分配

F x^{] g} = P X # x^] ^g = b - a

1 dt = b - a1 t^E

a

#

x _a^x _{= b - a}^{x - a}

(61)

• ^{累加機率函數}

• ^期望值

均等分配

F x^{] g} = P X # x^] ^g = b - a

1 dt = b - a1 t^E

a

#

x _a^x _{= b - a}^{x - a}

E X^] ^g = 2 b + a

(62)

• ^{累加機率函數}

• ^期望值

• ^標準差

均等分配

F x^{] g} = P X # x^] ^g = b - a

1 dt = b - a1 t^E

a

#

x _a^x _{= b - a}^{x - a}

E X^] ^g = 2 b + a

V X^] ^g = ^]b - a^g²

(63)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為指數分配，則其機率密度函數為︰

指數分配

f x ^{] g} = me

^-mx

x $ 0, m 2 0

(64)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為指數分配，則其機率密度函數為︰

指數分配

f x ^{] g} = me

^-mx

x $ 0, m 2 0

(65)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為指數分配，則其機率密度函數為︰

指數分配

f x ^{] g} = me

^-mx

x $ 0, m 2 0

P(X ≥ x) 的機率

(66)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為指數分配，則其機率密度函數為︰

• ^期望值

指數分配

f x ^{] g} = me

^-mx

x $ 0, m 2 0

E X ^] ^g = m 1

(67)

• ^{指數分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為指數分配，則其機率密度函數為︰

• ^期望值

• ^變異數

指數分配

f x ^{] g} = me

^-mx

x $ 0, m 2 0

E X ^] ^g = m 1

V X ^] ^g = m

²

1

(68)

微波爐的保固年限

(69)

二項分配與常態分配

x 二項常態

0 0.000244 0.000571

1 0.002930 0.003570

2 0.016113 0.016002

3 0.053711 0.051390

4 0.120850 0.118254

5 0.193359 0.194973

6 0.225586 0.230336

7 0.193359 0.194973

8 0.120850 0.118254

9 0.053711 0.051390

10 0.016113 0.016002

11 0.002930 0.003570

12 0.000244 0.000571

(70)

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

f(x)

二項分配與常態分配

(71)

不連續與連續的機率分配

不連續的機率分配

(72)

不連續與連續的機率分配

不連續的機率分配連續的機率分配

(73)

至少 64 間房間租出去的機率

(74)

至少 64 間房間租出去的機率至多租出 50 間房間的機率

(75)

幾個分配間的關係

超幾何分配（有限母體）

二項分配（無限母體）

點二項分配

n = 1 N → ∞

_Nⁿ ^{1 0.05}

(76)

幾個分配間的關係

超幾何分配（有限母體）

二項分配（無限母體）

點二項分配

n = 1 N → ∞

_Nⁿ ^{1 0.05}

n ≥ 20, np ≤ 1 n ≥ 50, np ≤ 5 n ≥ 100, np ≤ 10

p (or q) 微小

n ≥ 20, np ≤ 1 n ≥ 50, np ≤ 5 n ≥ 100, np ≤ 10

p 及 q 不微小

n → ∞

(77)

幾個分配間的關係

超幾何分配（有限母體）

二項分配（無限母體）

點二項分配

n = 1 N → ∞

_Nⁿ ^{1 0.05}

p 微小, n → ∞² p < 0.1, n > 500

泊松分配常態分配

n ≥ 20, np ≤ 1 n ≥ 50, np ≤ 5 n ≥ 100, np ≤ 10

p (or q) 微小

n ≥ 20, np ≤ 1 n ≥ 50, np ≤ 5 n ≥ 100, np ≤ 10

p 及 q 不微小

第七章

第七章

連續隨機變數及其常用的機率分配

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算

機率。

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算 機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與

變異數。

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算 機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與 變異數。

5. 比較超幾何分配、二項分配、泊松分配與常態分配。

學習目的

1. 熟悉並計算連續機率分配機率函數的期望值與變異數。

2. 了解常態分配的意義、特質與重要性。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算 機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與 變異數。

5. 比較超幾何分配、二項分配、泊松分配與常態分配。

6. 利用Excel求算各個連續機率分配並繪製圖形。

本章結構

連續隨機變數及其 常用的機率分配

計算機使用壽命的機率分配

計算機使用壽命的機率分配

相對次數密度多邊圖

機率曲線

連續隨機變數的機率分配

• 機率密度函數

設 X 為連續隨機變數，其值為 a ≤ X ≤ b，若 f(x) 為 X 的 機率密度函數 (probability density function)，簡稱 pdf，

則 f(x) 滿足

f x ] g $ 0

①

#

②

連續隨機變數的機率分配

• 機率密度函數

設 X 為連續隨機變數，其值為 a ≤ X ≤ b，若 f(x) 為 X 的 機率密度函數 (probability density function)，簡稱 pdf，

則 f(x) 滿足

• 累加機率函數

f x ] g $ 0

①

#

②

F X = x

= P X # x

= f x

dx

#

連續隨機變數的機率分配

• 期望值

#

連續隨機變數的機率分配

• 期望值

• 變異數

#

#

連續隨機變數的機率分配

• 期望值

• 變異數

• 標準差

#

#

• 常態分配的定義

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密 度函數為︰

常態分配

f x

=

2r v

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算機率。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與變異數。

3. 了解標準常態分配的意義、性質與利用標準常態分配求算機率。

4. 了解均等分配、指數分配的意義及性質並計算其期望值與變異數。

連續隨機變數及其常用的機率分配

• ^{機率密度函數}

設 X 為連續隨機變數，其值為 a ≤ X ≤ b，若 f(x) 為 X 的機率密度函數 (probability density function)，簡稱 pdf，

f x ^{] g} $ 0

• ^{機率密度函數}

設 X 為連續隨機變數，其值為 a ≤ X ≤ b，若 f(x) 為 X 的機率密度函數 (probability density function)，簡稱 pdf，

• ^{累加機率函數}

f x ^{] g} $ 0

• ^期望值

• ^期望值

• ^變異數

• ^期望值

• ^變異數

• ^標準差

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

^{dx = v}

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

• ^{常態分配的定義}

設 X 為連續隨機變數，若 f(x) 為常態分配，則其機率密度函數為︰

• ^{常態分配的特質}

• ^{常態分配的特質}

• ^{常態分配的特質}

• ^{常態分配的特質}