線性微分方程
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微積分學
函數 · 導數 · 微分 · 積分
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線性微分方程，是指以下形式的微分方程：
其中微分算子L是線性算子，y是一個未知的函數，等式的右面是一個給定的函數。L是 線性的條件，排除了諸如把y的導數平方那樣的運算；但允許取y的二階導數。因此，線 性微分方程的一般形式是：
其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y' ，D2y = y"，……），ai是給定的函數。這個微分 方程是n階的，因為方程中含有y的n階導數，而不含n+1 階導數。
如果 = 0，那麼方程便稱為齊次線性微分方程，它的解稱為補函數。這是一種很重要 的方程，因為在解非齊次方程時，把對應的齊次方程的補函數加上非齊次方程本身的一 個特解，便可以得到非齊次方程的另外一個解。如果ai 是常數，那麼方程便稱為常係數 線性微分方程。
目錄
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1 常係數齊次線性微分方程
o
1.1 例子
2 常係數非齊次線性微分方程
o
2.1 待定係數法
o
2.2 常數變易法
3 變係數線性微分方程
o
3.1 例子
4 拉普拉斯變換解微分方程
5 參見
6 參考文獻
[編輯] 常係數齊次線性微分方程
一種解線性微分方程的方法是歐拉發現的，他意識到這類方程的解都具有ezx的形式，其 中z是某個複數。因此，對於以下方程：
我們設y = ezx，可得：
兩邊除以ezx，便得到了一個n次方程：
這個方程F(z) = 0 稱為特徵方程。
一般地，把微分方程中以下的項
換成zk，便可得到特徵方程。這個方程有n個解：z1, ..., zn。把任何一個解代入ezx，便可以 得到微分方程的一個解：ezix
。由於齊次線性微分方程滿足疊加原理，因此這些函數的任 意線性組合仍然滿足微分方程。
如果特徵方程的根都不重複，我們便得到了微分方程的n個解。可以證明，這些解是線 性獨立的。於是，微分方程的通解就是y = C1ez1x
+ C2ez2x
+ …… + Cneznx
，其中C1、 C2、……、Cn是常數。
以上討論了n個根全不相同的情形。如果這n個根中有兩個（或多個）相同，用上面的方 法就無法得出n個線性獨立的解。但是，可以驗證，如果z是特徵方程的n重根，那麼，
對於 ， 就是微分方程的一個解。於是，原微分方
程的通解就是y = C1ezx + C2xe zx+ C3x2e zx + …… + Cnxn-1ezx。
一般地，如果微分方程的係數Ai都是實數，那麼它的解也應該表示成實數的形式。假如 特徵方程有複數根，那麼它一定是成對的，也就是說，如果a + bi是特徵方程的根，那麼 a - bi也是一個根。於是，y = e (a + bi)x和y = e (a - bi)x都是微分方程的解。但這兩個解都是複數的 形式。考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解，我們可以把這兩個解相 加，再除以 2，利用歐拉公式，便得到一個實數形式的解：y = eaxcosbx。如果把兩個解 相減，再除以 2i，便得到另一個實數形式的解：y = eaxsinbx。於是，y = C1eaxcosbx + C2eaxsinbx 就是微分方程的通解。
[編輯] 例子
求微分方程 的通解。特徵方程是 ，它的根是
2+i和 2−i。於是，y = C1e 2xcosx + C2e 2xsinx就是微分方程的通解。
[編輯] 常係數非齊次線性微分方程
欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應的齊次方程的通解，然後用待定 係數法或常數變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的 通解。
[編輯] 待定係數法
考慮以下的微分方程：
對應的齊次方程是：
它的通解是：
由於非齊次的部分是(e2x)，我們猜測特解的形式是：
把這個函數以及它的導數代入微分方程中，我們可以解出A：
因此，原微分方程的解是：
( )
[編輯] 常數變易法
假設有以下的微分方程：
我們首先求出對應的齊次方程的通解 ，其中C1、C2是常數，y1、y2 是x的函數。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的 通解中的常數C1、C2換成x的未知函數u1、u2，也就是：
y = u1y1 + u2y2。(1) 兩邊求導，可得：
y' = u1' y1 + u2' y2 + u1y1' + u2y2'。
我們把函數u1、u2加上一條限制：
u1' y1 + u2' y2 = 0。(4) 於是：
y ' = u1y1' + u2y2'。(2) 兩邊再求導，可得：
y" = u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2"。(3) 把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中，可得：
u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2" + pu1y1' + pu2y2' + qu1y1 + qu2y2 = f(x)。
整理，得：
u1' y1' + u2' y2' + (u1y1" + pu1y1' + qu1y1) + (u2y2" + pu2y2' + qu2y2) = f(x)。
由於y1和y2都是齊次方程的通解，因此(u1y1" + pu1y1' + qu1y1)和(u2y2" + pu2y2' + qu2y2)都變 為零，故方程化為：
u1' y1' + u2' y2' = f(x)。(5)
(4)和(5)聯立起來，便得到了一個u1'和u2'的方程組。解這個方程組，便可得到u1'和u2'的表 達式；再積分，便可得到u1和u2的表達式。
這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：
其中W表示朗斯基行列式。
[編輯] 變係數線性微分方程
n階的變係數微分方程具有以下形式：
一個例子是柯西-歐拉方程：
變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解，但一階的變係數線性微分方程是例 外。設有以下的一階變係數線性微分方程：
這個方程可以用積分因子求解，方法是把兩邊乘以 ：
用乘法定則，可以簡化為：
兩邊積分，得：
也就是說，一階線性微分方程y'(x) + p(x)y(x) = r(x)的解是：
其中κ是積分常數，且
[編輯] 例子
考慮以下一階線性微分方程：
p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解為：
[編輯] 拉普拉斯變換解微分方程
應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。
首先有以下關係：
有如下微分方程：
該方程可變換為：
則：
其中 f(k)(0) 是初始條件。
f(t) 通過拉普拉斯反變換 求得。
[編輯] 參見
拉普拉斯變換
傅立葉變換
里卡蒂方程
伯努利微分方程
柯西-歐拉方程
克萊羅方程
全微分方程
[編輯] 參考文獻
Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.
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