微分方程
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微分方程（這裡指的是全微分方程）指含有一次、二次、乃至高次微分未知數的方程。
是解決偏微分方程、數理方程的基礎。微分方程的表達通式是：
目錄
[隐藏]
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1 微分方程的解
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2 微分方程的線性化
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3 各種線性微分方程
o
3.1 常係數齊次線性全微分方程
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4 微分方程的應用
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5 參見
[編輯] 微分方程的解
微分方程的解通常是一個函數表達式 （含一個或多個待定常數，由初始條件 確定）。例如：
， 的解是
y = − cosx + C，
其中C是待定常數；
例如，如果知道 y = f(π) = 2，
則可推出 C = 1，
而可知 y = − cosx + 1，
[編輯] 微分方程的線性化
大部分非線性微分方程，都不能得出通解。但是，可以對其在一定範圍之內進行線性化 求出近似解。例如：
在 的情況下， ，我們得到近似線性微分方程
它是可解的。
有許多特殊函數，都是為了無法得出多項函數或超越函數型式的解析解的微分方程而定 義出來。這些特殊函數之所以重要，是因為它們描述了自然界中的某些現象，例如，電 子的活動、鼓皮的振動、鐘擺的擺動等等。
[編輯] 各種線性微分方程
[編輯] 常係數齊次線性全微分方程
常係數齊次線性全微分方程
，
它的解取決於以下的特徵方程：
，
上式中 取代了
。 y'''' − 2y''' + 2y'' − 2y' + y = 0，
有以下特徵方程
z4 − 2z3 + 2z2 − 2z + 1 = 0，
它有 四個解，解基為：
eix,e− ix,ex,xex， 這和以下實數解基相對應：
cosx,sinx,ex,xex，
如果 是 （很可能不是實數）的根，且 那麼
是微分方程的一個解。這些方程組成了這個微分方程的基.
如果 是實數，那麼我們更喜歡得到實數解。因為非實數 值會引入共軛對, y的情況也 類似;將原來各對替換為它們實值部分Re(y)和虛值部分Im(y)的線性組合.
復根的情況可以應用歐拉公式來解決：
• 例如：對於 .特徵方程是 有以下幾個
根 2 + i and 2 − i.因此，解基{y1,y2}為 . y是根若且唯若
； ，
因為係數是實數
• 我們對複數表達式不太感興趣;
• 我們的基是共軛表達式。
以下線性組合
和
，
可以給我們關於 的實數表達式。
[編輯] 微分方程的應用
微分方程是應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運 動學、動力學問題，如受與速度成比例空氣的阻力時的落體運動等問題，很多可以用微 分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有應用。
[編輯] 參見
• 線性微分方程
• 拉普拉斯變換
• 常微分方程
• 偏微分方程
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