20 (E) x ≥ 20 【解答】(E) 【詳解

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：97.03.12 班級

範

圍 1-3 對數

座號

姓 名 1. 若log₂(log₃x) + 3log8(log₅9) = 2，則下列何者正確？

(A) x < 5 (B) 5 ≤ x < 10 (C) 10 ≤ x < 15 (D) 15 ≤ x < 20 (E) x ≥ 20

【解答】(E)

【詳解】

∵ 3log8(log5 9) = 3

3log2(log5 9) = log2(log5 9)

原式：log2(log3 x) + log2(log5 9) = 2 ⇒ log2(log3 x．log5 9) = 2 ⇒ log3 x．log5 9 =

⇒ log

2 2 3 x =

9 log

4

5

= 4log9 5 = ⁴

2log3 5 = log3 5²= log3 25 ⇒ x = 25 2. 設x∈R，使log_2x+1(2 + 5x − 3x²)有意義的x的範圍為

(A) − 2

1< x < 2 (B) − 3

1< x < 2 (C) 0 < x < 2 (D) −

3

1< x < 2 且x ≠ 0 (E) − 2

1< x < 2 且x ≠ 0

【解答】(D)

【詳解】

3 2 0 1

) 2 )(

1 3 ( 0

2 5 3 0

3 5 2

0 1

1 2

2 0 1

1 2

2

2 > ⇒ − − < ⇒ + − < ⇒ − < <

− +

≠

⇒

≠ +

−

>

⇒

>

+

x x

x x

x x

x

x x

x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∴ − 3

1< x < 2 且 x ≠ 0 3. (複選)下列等式，何者正確？

(A) log

3

12 = log3

2

1 (B) log

3 1 2

1= log32 (C) log43

4 2= log32 (D) log32．log23 = 1 (E) log32．log

3 1 2

1= 1

【解答】(A)(B)(C)(D)

【詳解】

(A) log

3

12 = log 2 = − log3⁻1 32，log₃ 2

1= − log₃2 (B) log

3 1 2

1= log 23⁻1

−1 = log₃2

(C) log4

3

4 2= log 1 2⁴

1

= log₃2 (E) log₁ 2

1= log₃2 ≠ log₂3

二、填充題( 每題 10 分)

1. 已知log102 = 0.3010，log103 = 0.4771，則

(1) log105 之值為 。 (2) log106 之值為 。

【解答】(1) 0.6990 (2) 0.7781

【詳解】

(1) log₁₀5 = log10

2

10= log1010 − log102 = 1 − 0.3010 = 0.6990

(2) log₁₀6 = log10 (2 × 3) = log102 + log103 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781 2. log2 + log 15 −

2

1log0.6 = 。

【解答】1

【詳解】

原式 = log2 + 2

1(log3 + log5) − 2

1(log3 − log5) = log2 + log5 = 1

3. log2(log232 + log

2 1 4

3+ log436) = 。

【解答】3

【詳解】

原式 = log₂(log₂2⁵ + log ₁

2⁻ 4

3+ log 622

2) = log₂(5 − log₂ 4

3+ log₂6) = log₂(5 + log₂ ⁶ 3 4

)

= log2 (5 +log 8₂ ) = log2 (5 +3 ) = 3

4. 3log₂ 2 − log₂ 2

3+ 2

1log₂3 = 。

【解答】2 5

【詳解】

原式 = 3log22²

1

− log2

2 3+

2

1log23 ³ (log₂ 3 log 2)₂

= −2 − +

2 1log23

= 2 3−

2

1log23 + 1 + 2

1log23 = 2 5

5. (log₅2 + log250.5)(log₂0.2 + log45) = 。

【解答】−

4 1

【詳解】

原式 = (log₅2 + log52

2 1)(log₂

5

1+ log 5) = (log22 52 − 2

1log₅2)( − log₂5 + 2

1log₂5)

=(

2

1log₅2)[ − 2

1log₂5 ]= − 4 1

6. log2(log249) + 2log4(log72)之值為 。

【解答】1

【詳解】

原式 = log2(log₂ 7²) + 2 log (log22 7 2) = log₂ (2log₂7) +²

2log₂ (log₇2) = log2 (2log₂7⋅ log72)= log₂2 = 1

7. 化簡log 32 81+ 3log

3 5+ log

9

1+ log768 之值為 。

【解答】3

【詳解】

原式 = log 32

81+ log ( 3

5)³ + log 9

1+ log 768 = log(

32 81×

27 125×

9

1×768) = log 1000 = 3

8.設a = log23，b = log311，以a，b表出

(1) log₂12 = 。 (2) log6618 = 。

【解答】(1) 2 + a (2)

ab a

a + +

+ 1

2 1

【詳解】

(1) a = log23，b = log311，ab = log23．log311 = log211 log212 = log2(2² × 3) = 2log22 + log23 = 2 + a

(2) log₆₆18 =

66 log

18 log

2

2 =

) 11 3 2 ( log

) 3 2 ( log

2

2 2

×

×

× =

11 log 3 log 1

3 log 2 1

2 2

2

+ +

+ =

ab a

a + +

+ 1

2 1

9. 求 3^log35+ log2 8− log31 + log58．log225 = 。

【解答】 2

25

【詳解】

3^log35+ log2 8− log31 + log58．log₂25 = 5 + log22²

3

− 0 + 3log52．log₂25 = 5 +

2

3+ 3log525 = 5 + 2 3+ 6 =

2 25

10.設log4 x = − 2 3，logy

3 4

16 =81 ，則(1) x = 。 (2) y = 。

【解答】(1) 8 1 (2)

27 8

【詳解】

(1) log₄ x = − 2

3 ⇒ x = 4 ²

−3

=2 =⁻³ 8 1

(2) log_y

3 4 16 =81 ⇒

81 16= y³

4

⇒ (3

2)⁴ = y³

4

⇒ y³

1

=3

2 ⇒ y = ( 3 2)³ =

27 8

11.方程式log3(x² − 13) − log3(x − 3) = 2 之解為 。

【解答】7

【詳解】

log3(x² − 13) − log3(x − 3) = 2 ⇒ ₃ ² 13 ₃ ²

log log 3

3 x

x

− =

− 3

2 13

−

− x

x = 3² = 9 ⇒ x² − 9x + 14 = 0 ⇒ (x − 7)(x − 2) = 0 ⇒ x= 7， 2 又真數為正 ， ∴ x = 7

12.解(

3 2)^x = (

2

3)^2x−3，x = 。

【解答】1

【詳解】

(3 2)^x = (

2

3)^2x−3 ( )³ ( )^{3 2 3} 2 3

2 2

x x

x x

− −

⇒ = ⇒ − = − ；x =1

13.方程式log7(7^x + 49) = 2

x+ 1 + log72 的解為 。

【解答】2

【詳解】

log₇(7^x + 49) = 2

x+ 1 + log₇2 = log₇7²

x

+ log₇7 + log₇2 ⇒ log₇(7^x + 49) = log₇(14．7²

x

)

⇒ 7^x + 49 = 14．7²

x

⇒ (7²

x

)² − 14．7²

x

+ 49 = 0 設 7²

x

t= ⇒ (t − 7)² = 0 ⇒ t =7²

x

= 7 ⇒ 2

x= 1 ⇒ x = 2

14.對數定義：

(1)設log

2

3a = 4，則a = 。 (2)設logb 9 3= 5，則b = 。

【解答】(1) 16

81 (2) 3

【詳解】

(1) log

2

3a = 4 ( )^{3 4 8}

2 1

⇒ =a = 1 6

(2) logb 9 3= 5⇒9 3= ，即b⁵ 3⁵² =b⁵ ⇒ =b 3¹² = 3

15.求log8( 2+ 3 − 2− 3 ) = 。

【解答】6 1

【詳解】

3

2+ − 2− 3= 2

1 ( 4+2 3− 4−2 3) = 2

1 [( 3+ 1) − ( 3 − 1)] = 2

∴ 原式 = log23 2= 3 2 1

log22 = 6 1

17.設 4^logx − 3．x^log2 − 4 = 0，則x = 。

【解答】100

【詳解】

(2^logx)² − 3．2^logx − 4 = 0，設

⇒ ( t − 4 )( t + 1 ) < 0 ⇒ ，

log log 2

2 ^x 0

t= =x >

1 0

t+ ≠ t= 即 24 ^logx = 4 = 2² ⇒ logx = 2，∴ x = 100 18.化簡log23．log764．log35．log549 之值 = 。

【解答】12

【詳解】

log23．log764．log35．log549 = log23．log35．(2log57)．(6log72) = 12．log23．log35．log57．log72 = 12

19.設loga x = 3，logb x = 4，logc x = 5，logd x = 6，則logabcd x之值為 。

【解答】19 20

【詳解】

log_x a = 3

1，log_x b = 4

1，log_x c = 5

1，log_x d = 6 1

⇒ logx a + logx b + logx c + logx d = 3 1+

4 1+

5 1+

6

1 ⇒ logx abcd = 20

19 ⇒ logabcd x = 19 20