解答：( 1,1)− 詳解： 直線 L x− y

高雄市明誠中學 高二數學複習測驗 日期：100.11.01 範

圍 2-1 直線(A) 班級 普二 班 姓 座號 名

一、選擇題 (每題 5 分)

1、( C ) 如圖，正五邊形 ABCDE 有 5 條對角線，其中何者斜率最小？

(A) AC (B)AD (C)BD (D)BE (E) CE 詳解：斜率最小者為BD

2、( A ) 設ab>0, 0ac< 則直線ax by+ =c不通過 (A)第一 (B)第二 (C)第三 (D)第四 象限 詳解：

ax by+ = ⇒ c x c a 0 y 0 c

b

∵ab>0, 0 ac< ⇒ a b 同號、, a c, 異號、 ,b c 異號

0, 0

c c

a b

∴ < < ⇒過第二、三、四；不通過第一象限。

3、( C ) 如圖，直線 L1, L2, L3, L4, L5的斜率分別為 m1, m2, m3, m4, m5， 求斜率最大為何？ (A)m1 (B)m2 (C)m3 (D)m4 (E)m5

詳解：∵左下至右上傾斜的直線其斜率為正，越陡者其斜率越大，

∴m3為最大。

二、填充題 (每題 10 分)

1. 設A(2, 5)− ，直線L x: −2y+ =3 0，則由點 A 作直線 L 的垂直線的垂足坐標為________。

解答：( 1,1)− 詳解：

直線 : 2 3 0 ^{1 1}

2 2 L x− y+ = ⇒ = −m =

− 設所求直線L₁⊥ ，則L

1 2 1: 5 2( 2)

mL = − ⇒L y+ = − x− , 即2x+ = −y 1

∴ 2 3 1

2 1 1

x y x

x y y

− = − = −

 

 + = − ⇒ =

  ，∴垂足坐標為( 1,1)− 。 2. 兩條直線L₁: (11 3 )− m x+(m−1)y=1,L₂: (2m−1)x+5y= 9

(1)若L₁//L 則₂ m= _____________，(2)若L₁ ⊥ L₂則 m= ____________。

解答：(1)3, 9− (2)^{15 129} 6

±

詳解： ₁ ^{11 3} , ₂ ¹

2 1 5

m m

m m

m

− −

= =

−

(1) L₁/ /L₂⇒ ^{11 3 1 2} 6 27 0

2 1 5

m m

m m

m

− −

= + − =

− ∴ ， (m+9)(m− =3) 0,m=3或−9

(2) L₁ ⊥ L₂ ⇒^{11 3 1} 1

2 1 5

m m m

− × − − ⇒

− = (11 3 )(2− m m− +1) 5(m− =1) 0， 3 ² 15 8 0, ^{15 129}

m − m+ = m= ±6

3. 若A(2, 11), (5, 2), ( , 1)B C a − 若 A,B,C 三點共線則 a=______。

解答：6

詳解：三點共線 ∴m_AB =m_BC ^{11 2 1 2 9 3}

2 5 a 5 3 a 5

− = − − ⇒ = −

− − − − ，a= 6

4.試求在 x 軸上的截距為 8，在 y 軸上的截距為 6− 的直線 L 之方程式。

解答：3x−4y=24 詳解：

L 的截距式為 1

8 6

x y

+ =

− ,去分母，3x−4y=24

5.(1)試求與直線 L :3x−4y+ =2 0平行，而過一點 P(3, 1)的直線L′之方程式。__________

(2)試求與直線 L :3x−4y+ =2 0垂直，而過一點 P(3, 1)的直線L"之方程式。_________

解答：(1)3x−4y− =5 0 (2) 4x+3y−15=0 詳解：

(1)L′之方程式為3x−4y+ =h 0, P(3, 1)代入即3x−4y− =5 0。 (2)L"之方程式為4x+3 +y k=0, P(3, 1)代入即4x+3y−15=0。

6. 已知 A(5，2)，B(1，− 2)，C(1，− 4)，求過 B 點且將ABC 的面積等分的直線方程式 為 。（以 ax + by + c = 0 之形式表之）

解答： x − 2y − 5 = 0 詳解：

∵ 過 B 點將ABC 的面積等分的直線必過 AC 之中點 M(

2 5 1+

， 2 2 4+

− ) = M(3，− 1)，

即中線 BM 之方程式為 y + 2 = 1 3

2 1

− +

− (x − 1)⇒x − 2y − 5 = 0

7. 設三直線 L₁：x − 2y + 3 = 0，L2：2x + 3y = 0，

L₃：ax − y − 1 = 0，若 L1，L₂，L₃不能圍成一三角形，則 a 值為 _____________ 。 解答：2

1或 − 3 2或 −

9 13 詳解：

L1，L₂，L₃不能圍成一三角形之情形有 (1) L1 // L3：

2

1= a (2) L2 // L3：−

3 2= a

(3) L1，L2，L3共點：（L1與 L2之交點在直線 L3上）

解

= +

= +

−

0 3 2

0 3 2

y x

y

x ，得 x = −

7 9，y =

7

6 ，∴ L3過點( − 7 9，

7 6)

⇒ a( − 7 9) −

7

6− 1 = 0，∴ a = − 9 13

8. 若直線 L 的斜率為 5

3，且和兩坐標軸所圍成的三角形面積為 30，若 L 不經過第四象限，

得方程式為 ax + by + 30 = 0，試求序對(a，b)之值為 。 解答：(3，− 5)

詳解：

設直線 L：3x − 5y + k = 0，x 截距 = 3

−k

，y 截距 = 5 k 30 =2

1| 3

−k × 5

k| ⇒ k = 30 或 k = − 30（不合，因 L 不過第四象限）

故 L：3x − 5y + 30 = 0，即序對(a，b) = (3，− 5) 9. 已知 A(2，− 2)，B(1，1)，C(3，5)，

(1)過 A，B 兩點之直線方程式為 。

(2)過 C 點且 x 截距與 y 截距的絕對值相等，而不過原點之直線方程式為 。 解答：(1) 3x + y − 4 = 0 (2)

−2 x +

2

y= 1 或 8 x+

8

y= 1 詳解：A(2，− 2)，B(1，1)，C(3，5)

(1)過 A，B 兩點之直線方程式為 ¹ 1 y x

−

− = 1 2

1 2

−

−

− ，即 3x + y − 4 = 0

(2)設此直線方程式為 y − 5 = m(x − 3)⇒mx − y = 3m − 5 ⇒

3 5

0 ,

0 (3 5),

y x m m

x y m

 = ⇒ = −



 = ⇒ = − −



∴ | m m 5

3 − | = | − (3m − 5) | 兩邊平方⇒ ( m m 5 3 −

)² = (3m − 5)²

⇒ (3m − 5)²(m² − 1) = 0 ⇒ (3m − 5)²(m + 1)(m − 1) = 0 ⇒ m = 3

5，1， − 1 當 m =

3

5時，直線為 y = 3

5x 過原點不合 當 m = 1 時，直線為

−2 x +

2

y= 1；當 m = − 1 時，直線為 8 x+

8 y= 1

10.設ABC 之三頂點為 A(2，− 8)，B( − 6，− 2)，C(6，− 5)，而且頂點 A 的分角線交 BC 於 D 點，求(1)D 點的坐標_______________________。

(2)∠A的分角線方程式為 ____________ 。 解答： (1)(2，− 4)，(2)x= 2

詳解：

(1)∵AB= (2 6)+ ²+ − +( 8 2)² =10， AC = (2 6)− ²+ − +( 8 5)² =5，

且AD為∠A 之平分線⇒ CD BD=

AC AB =

5 10=

1 2

則由分點公式 D(x，y)⇒









− + =

−

× +

−

= ×

+ =

× +

−

= ×

1 4 2

) 5 ( 2 ) 2 ( 1

1 2 2

6 2 ) 6 ( 1

y x

，故 D 點的坐標為(2，− 4)

(2) ∠A的分角線即直線AD x: = 2

11. L 為過 A(2，1)且與 L1：2x − y = 0，L2：2x + y = 0 各交於 P，Q 之直線，若 A 為PQ的中 點，則 L 之方程式為 _____________ 。

解答： y = 8x − 15 詳解：

設 P(a，2a)，則 Q 可由中點公式得(4 − a，2 − 2a)，又 Q 在 L2上

∴ 2(4 − a) + (2 − 2a) = 0 ⇒ a = 2

5 ⇒ P(

2

5，5)，Q(

2

3，− 3)，則 L：y = 8x − 15 12. 過 2x − 3y = 5 與 x + 2y = 1 交點且過點(3，1)之直線為 。

解答：5x − 4y = 11 詳解：

直線系：設所求直線 L：(2x − 3y − 5) + k(x + 2y − 1) = 0 (3，1)代入 L ⇒ ( − 2) + 4k = 0 ⇒ k =

2 1 則 L：(2x − 3y − 5) +

2

1(x + 2y − 1) = 0，即 L：5x − 4y = 11

13. 不論 k 為任何實數，直線 L_k：x + y − 11 + k(x − y + 5) = 0 恆過一定點 P，

(1)此定點 P 的坐標為 。(2)如果直線 L_k與 y 軸平行，則 k = 。 解答：(1) (3，8) (2) 1

詳解：

(1) Lk：x + y − 11 + k(x − y + 5) = 0 恆成立，則





= +

−

=

− +

0 5

0 11 y x

y

x ，得





=

= 8 3 y

x ，定點 P(3，8)

(2) Lk：(k + 1)x + (1 − k)y + (5k − 11) = 0，Lk // y 軸，則斜率 1 1

− + k

k 不存在(分母為 0)，k = 1

14.設ABC 之三頂點為 A(3，

2

1)，B( − 1，1)，C(1，− 3)，若直線 L：mx − y − 2m + 3 = 0 與ABC 相交，則 m 之範圍為 _____________ 。

解答： m ≤ 2

−5或 m ≥ 3 2 詳解：

L：m(x − 2) − (y − 3) = 0，解





=

−

=

− 0 3

0 2 y

x ，得





=

= 3 2 y

x ，L 恆過定點 P(2，3)

PA 之斜率 m1 = 2

−5

， PB 之斜率 m2 = 3

2，且 L 之斜率為 m 當 m ≤

2

−5或 m ≥ 3

2時，L 與ABC 相交

15.設 A(3，− 2)，B(1，2)，C(2，a)，若ABC 為直角三角形，則 a =___________________。

解答： ± 2

5，± 5 詳解：

三邊所在之直線的斜率分別為 mAB = − 2，mBC = (a − 2)，mAC = − (a + 2)

(1)若∠A = 90°，則 m_AB．m_AC = (− 2)．( − a − 2) = − 1，a = 2

−5 (2)若∠B = 90°，則 mAB．mBC = (− 2)．(a − 2) = − 1，a =

2 5

(3)若∠C = 90°，則 mAC．mBC = ( − a − 2)．(a − 2) = − 1，a = ± 5 ∴ a = ±

2

5，± 5

16.若直線 L 通過點 A(2，3)，且與兩軸在第一象限所圍成的三角形面積為 12，試求直線 L 的方程式________________________________。

解答： y = − 2

3(x − 2) + 3 詳解：

設直線 L 方程式為 y − 3= m(x − 2) ，則 L 交兩軸於 B(0， − 2m + 3)，C(

m

−3+ 2，0)兩點

∴ 2

1( − 2m + 3)(

m

−3+ 2) = 12

⇒ ( − 2m + 3)( − 3 + 2m) = 24m ⇒ 4m² + 12m + 9 = 0

⇒ (2m + 3)² = 0 ⇒ m = − 2 3 故直線 L 的方程式為 y = −

2

3(x − 2) + 3

17. 直線 L 通過點 A(2，3)，且與x 軸正向夾角為120° ，試求 L 的方程式_____________。

解答：y− = −3 3(x−2) 詳解：

直線 L 斜率為 tan120° = − 3，又過點 A(2，3) ⇒ y− = −3 3(x−2)

※18.設 A( − 1，4)，B(3，2)，C(1，5)，求ABC 的重心坐標____________，外心坐標_________

與垂心坐標______________。

解答： 重心(1，

3

11)，外心(

8 7，

4

11)，垂心(

4 5，

2 11) 詳解：

(1)重心 = ( 3

1 3 1+ +

− ，

3 5 2

4+ + ) = (1，

3 11) (2)設 L₁，L₂分別為AB， BC 邊上之中垂線 則





−

=

−

−

=

−

) 2 3( 2 2 7

) 1 ( 2 3

2 1

x y

L

x y

L

：

：

，解 L1，L2之交點，得外心(

8 7，

4 11)

(3)設 ，₁  分別為2 ^AB， BC 邊上之高 則





+

=

−

−

=

−

) 1 3( 4 2

) 1 ( 2 5

2 1

x y

L

x y

L

：

：

，解 ，₁  之交點，得垂心(2

4 5，

2 11)