Emmy Noether 的一生 (1882.3.23-1935.4.14)
顏一清
一 . 楔 子
1964 年在紐約舉行的萬國博覽會中有
一室專門開闢成與數學有關的展覽。 其中有
IBM 所提供, 很出色的約十三尺長壁畫。 題
名為 「現代數學名人錄」, 列出約從十世紀到
當時的數學發展史。 早些世紀的以藝術, 特
別是建築物來表達。 從十六世紀以後就列出
數學家們的肖像, 並附上他們的簡歷與或就。
有八十幅左右的人像畫集中在約十四平方呎
的面積裡面。 其中只有一幅是女士, 她便是
Emmy Noether。 由照片看來她是一位充滿
智慧, 有創意而和藹可親的人, 不過一點也稱
不上漂亮。 圍繞著她的肖像有 Joseph Liou-
ville (1809-1882), Georg Cantor (1845-
1918), David Hilbert(1862-1943) 等重量 級數學人物。(1)
二 . 家世
Amalie Emmy Noether 在 1882 年 3 月 23日出生於德國 Erlangen 市的一個猶太 家庭裡。父親是 Max Noether, 母親是 Ida Amalia Kaufmann.
Max Noether(1844.9.24-1921.12.13) 是 Erlangen 大學的教授, 為當時的代數幾 何學與代數函數論的權威。 Max 的祖先從事 五金批發。 父親 Elias Samuel(1774?-1846)
3
在 1797 年左右從德國黑森林的北方地區搬 到猶太人較容易被接納的 Bruchsal。 當時它 是 Baden 大公的屬地。 1809 年 Baden 大 公詔令每一猶太家庭的家長須為他的家族取 當地傳統的姓氏。 因此 Elias Samuel 就由 Netter(出自 Nathan) 改姓為 Noether(官 方紀錄為 N¨other)。 他那些未搬出的親戚們 仍姓 Netter。 他的一子 Hertz 改名為 Her- mann Noether。
Hermann是他家庭中第一個受高等教 育的人, 他在 Mannheim 的 Klaus School 學過神學, 不過後來還是從事祖業。 Her- mann 的太太 Amalia W¨urzburger 是 Mannheim 人。 她的父親雖然是生意人, 可 對數學有興趣。 Hermann 夫婦生了三男二 女。 小兒子 Max 不想做生意。 Max 不幸 地十四歲時得了小兒麻痺症, 終其一生都跛 腳。 所以他大學以前的教育都是在家裡完成 的。 後來 Max 在海德堡大學學數學, 得了 無須論文的博士學位, 他在那兒教過一陣後 1875 年到 Erlangen 大學教書。
Max在 1880 年因他的資歷與背景, 娶 到了 Cologne 非常富有的猶太家庭之女 Ida Amalia Kaufmann (1852,Cologne,- 1915,Erlangen)。 她有兄弟姊妹十個, 有事 彼此都很幫忙。 Ida Amalia 的祖先幾代都在 萊茵低地區。 他們因從事牛隻買賣與屠宰業 而致富。
Max與 Ida Amalia 除了 Emmy 外有 三個兒子 Alfred(1883-1918), Fritz(1884.
10.7-1928) 與 Gustav Robert(1889-1928)
。 他們的生活安定, 家庭氣氛祥和, 並有知識 階級的氣息。
參 . Erlangen時期
Emmy小時候功課並不怎麼出色。 她有 平凡的面孔, 還帶一副近視眼鏡。 不過老師和 小朋友們都知道她聰明, 友善, 很討喜。
1889 年至 1897 年 Emmy 唸 Erlan- gen 的女子高等學校。 課程內容差不多是現 今的中學程度, 沒有拉丁文, 而德文、 法文與 數學程度可能高一些。 Emmy 也免不了中等 階級的習俗, 學了鋼琴。 可是她的程度只止於 彈奏 「快樂的農夫」(舒曼的作品, 一首初級程 度的演奏曲) 的程度而已。 她也做家事, 但不 會喜歡。 課餘她喜愛唸英文與法文。 她還有一 個嗜好: 很愛跳舞。 她常常巴望有機會參加教 授們的家庭舞會。 家長們也都囑咐兒子們要 邀請 Emmy 跳舞, 可是男生對她不感興趣。
1900 年 Emmy 十八歲了。 四月她參 加 Bavaria 省的英文和法文的教師資格考 試。 考試成績分成十二等級。 第一級最高。
Emmy 兩學科的平均分數考到 1.2 級, 很不 錯。 這樣, 她擁有英文和法文教師的資格了。
但是家庭環境使然吧, Emmy 想深造。 依她 的個性, 她是溫順的, 要讀大學在當時是一件 違反習俗, 非常叛逆的行為。 不過時機幫上了 忙, 德國的大學之門逐漸開放給女生了。 最先 在1901年 Baden 省的 Freiburg 與 Heidel- berg 兩大學准許女子入學, 直到1908年各大 學才許可男女同校。 Erlangen 大學在 1900 年左右規定 「 在授課教授同意之下女生才可 以旁聽, 不得參加考試」。(1)
1900年至1902年 Emmy 在 Erlangen 大學旁聽之餘, 也準備考 N¨urnberg 有好 名聲的皇家準古典教育學院的學位考試, 以
便取得進大學的資格(2)。 1903 年 6 月 4 日她 考試通過。 過後她在 1903/04 的冬季學期在 G¨ottingen 大學當旁聽生。 教授有天文學家 Karl Schwarzschild(1873-1916), 數學家 Hermann Minkowski(1864-1909), Otto Blumenthal (1876-1944), Felix Klein (1849-1925) 與 David Hilbert。 一學期後 她回 Erlangen, 這時候 Erlangen 大學已經 准許女子入學了。
1904年10月24日 Emmy 得到 Erlan- gen 大學的入學許可, 登記號碼是 468。 她只 選數學為學習科目。 數學屬於哲學院第二部 門。 入學時, 共有男生 46 名, 她是唯一女生。
比 Emmy 小一歲的大弟 Alfred 也進 Er- langen 大學的化學科。 他除了1904/05冬季 學期在 Freiburg 外都待在 Erlangen, 並在 1909年獲得博士學位。 但是在1918年第一次 大戰末年的物質缺乏與諸多不便中, 他因體 弱早逝了。 Emmy 的二弟 Fritz 在 Erlan- gen 與 Munich 學數學與物理。 他在 Aurel Voss(1845-1931) 指導之下拿到 Munich 大 學的博士學位。 因此, 在 1900 年代 Noether 家有三個孩子從家裡趕路到 Erlangen 大學 上課。 Emmy與 Fritz 也上過他們父親的課。
當時 Max Noether 與 Paul Gordan(1837- 1912) 教數學部門的主要課程。
在 Gordan 的影響之下 Emmy 做不變 量理論的研究, 寫了博士論文“On the con- struction of the system of forms for the ternary biquadratic forms”(英譯), 發 表在 Journal f¨ur die reine und ange- wandte Mathematik,(又稱 Crelle’s Jour- nal)134, 1908, pp23-90。 1907 年 12 月 13
Emmy 以最優等通過博士學位的口試。 1908 年開始 Emmy 在 Erlangen 大學無薪無職 地工作。 她一邊為自己做研究, 一邊照顧老 父。 Max 生病時她就替他上課。 這時候她已 然決定要終身獻身數學了。 1908 年她成為意 大利 Palermo 數學學會會員, 1909年她又成 為德國數學學會 (DMV) 會員。 DMV的年 會可以使年輕的數學家們聚在一起交談, 彼 此溝通, 也看得到那些大牌們在做些什麼。 早 些年 Emmy 是與會者中唯一女性。 Emmy 很喜歡這種集會, 她說這是在 「談數學」。 從 1909 年至 1929 她一共在 DMV 中演講過九 次, 並在 1928 年, 32 年的國際數學家會議中 演講了兩次。
Gordan在 1910 年退休, 繼任者是 Er- hard Schmidt(1876-1959)。 後來由 Ernst Fischer(1875-1954) 繼任。 Fischer 的的確 確是 Emmy 的好導師。 Fischer引導 Emmy 從 Gordan 的演算方式的研究轉變成為採用 Hilbert 的抽象代數模式來研究不變量理論。
Emmy與 Fischer 經常 「談數學」。 他們都 住在 Erlangen, 在學校裡也常有見面的機 會。 可是他們還是很勤快地寫明信片討論數 學。通訊期間從 1911年持續到1929年。 尤其 在 Fischer 被徵調當兵的1915年信寫得最勤 快也最多。 難能可貴的是 Fischer 把這些信 珍藏到二次大戰後。
往後 Emmy 走向抽象代數的研究, 對 以前寫博士論文那一段時期使用的不變量理 論形式化的運算方式不復記憶。 當有人提及 她的博士論文時她會說 「那只是一堆雜碎」。
Emmy在 1913 年間在維也納待過一陣, 有時她會去拜訪數學家 Franz Carl Joseph
Mertens(1840-1927)。 Mertens 的孫子描 述他當時對 Emmy 的印象, 說:「 她像從偏 僻地區來的神父般穿及踝的黑長袍, 套上難 以名狀的外衣, 在短髮 (當時的女人稀有) 上 帶著一頂男用帽子, 還斜背著皮包, 就像帝政 時代的鐵路督導員那般。 看來她的年紀近三 十歲,. . . 」。(1)
1914 年 5 月 Emmy 完成論文“Fields and systems of ratonal functions.”(英 譯)。 她承認 Fischer 與她的討論引導了她 對抽象代數學的興趣, 讓她決定她日後研究 的方向與目標。 這是她在 Fischer 影響之下 寫成的第一篇論文。 因深入研究 Hilbert 的 n 變數不變量的問題, 她在當時已經被認為 是有關不變量理論的專家了。(6)
四 . G¨ottingen時期
1915 年 4 月底 Felix Klein (1849- 1925) 與 Hilbert 邀請 Emmy 去 G¨ot- tingen 大學 (公立大學) 當私講師 (Privat dozent, 由學生付學費, 不領學校薪水的講師 職) 的候補者。 他們請 Emmy 去 G¨ottingen 除了她是同行 Max Noether 的女兒, 想給 她一個工作機會外主要是要借重於她對不變 量理論的知識。 他們當時在研究一般相對論, 很用得著這方面的知識, 而 Emmy 也真幫 上了忙。
Emmy去 G¨ottingen 整兩星期後她的 母親 Ida Amalia 突然去世了, 她早先只 是在治療眼疾而已, 這很出人意料之外。 Ida Amalia 生前操持家務非常節儉, 有空她喜 歡彈鋼琴自娛。 Emmy與 Fritz 是她喜悅的
源泉, 但是 Alfred 與 Gustav Robert 體 弱多病, 常使她憂傷。 1915 年, 即第一次世 界大戰第二年,Emmy 為了多少要照料家, 就 G¨ottingen 與 Erlangen 兩地來回跑。
1915 年 11 月, 為要得私講師資格, Emmy 在 G¨ottingen 數學學會演講“On transcen- dental integers”(英譯)。 但是 因哲學部與歷史部的教授們的反對而申請沒 有成功。 他們反對的理由是性別問題。 他們 說:「讓女性當私講師, 往後她有資格當教授, 這樣她就可以成為學校評議會會員。 評議會 會員怎麼可以有女性?」。 Hilbert很氣忿地回 答他們:「諸位, 大學評議會並不是澡堂, 為什 麼女性就進不得?」。 Hilbert等人向教育當局 申訴過, 但是沒有用, 被駁回。 Hilbert 無奈, 從 1916 年冬季學期開始一直到 1919 年夏天, 在他的名下開一些課, 但是讓 Emmy 以助 教的名義講解課程, 不收費。(1)
在第一次大戰世界期間 (1914-1918) 德國的海上運輸長期遭到英軍的封鎖, 德國 境內物質非常缺乏。 1918 年末海軍陸續有叛 變, 並繼續擴大。 到了 11月 7日, 饑餓的人民 發動革命, 指摘德皇威廉二世領導國家無方。
戰事又節節敗退的情況之下, 德皇終於 11 月 9 日遜位, 由剛成立的臨時政府在 11 月 11 日 11 點與協約國簽定停戰協議, 於是第一次世 界大戰宣告結束。 直至 1919年 8月 11日德國 國會在威瑪 (Weimar) 開會, 德國才正式為 威瑪共和國。
大戰中參戰雙方死者逾九百萬人, 傷者 約兩千萬人, 他們大都是年輕男子。 他們的死 傷改變了各國的社會結構。 婦女們須得出現
在許多行業中, 這使婦女們獲得比戰前更多 的平等與自由, 她們的社會地位隨著也提高 了。
社會形態的改變有利於 Emmy 申請私 講師資格了。 Emmy 在 1917/18 年間, 專 注於微分不變量的研究。 1918 年, 她把結果 寫成“Invariant variational problems”(英 譯), 發表在 G¨ottinger Nachrichten, 1918, pp.235-257 上。 它便是 Emmy 申請私講師 資格的論文。 1919 年 5 月 21 日 G¨ottingen 同仁通過 Emmy 的資格申請, 5 月 28 日 有論文演講。 於是 6 月 4 日她在 Courant (1888-1972), Debye(1884-1966), Hilbert, Klein, E. Landau(1877-1938), Prandtl (1875-1953), Runge(1856-1927) 與 Voigt (1850-1919) 等大人物面前做她申請私講師 後的第一堂試課。
在 Emmy 名下的第一個課程是1919年 9 月 22 日至 12 月 20 日特別為退伍軍人開的
「解析幾何學」。 1919的冬季學期開始 Emmy 有機會開她研究的專長科目了, 如高等代數、
有窮論、 體論、 數論、 代數數論等。 這些課程 每星期都有四堂課。
學生們上 Emmy 的課所產生的反應 走兩極端。 有些學生後來成為有名的數學教 授。 其中有一個人說他覺得 Emmy 沒有充 分準備課程內容。 而且學生如果沒有好好預 習過, 很難跟上她天馬行空式的教法。 有一 回, 上一點鐘要結束的課時他在筆記邊緣塗 寫: 「好極, 已經到十二點五十分了!」。 可是有 些 Emmy 最出色的學生卻說, 上她的課是
「很好的經驗」, 受益良多。 這是因為 Emmy
上課時常以思考與推論方式漸進, 以期能達 到某一結果。 她未必全部說完, 以便聽者有發 揮的餘地。 她不會有頭緒地把概論, 定理等從 頭到尾清清楚楚地說出來。 所以她授課的方 式未必能迎合眾人的胃口。
B.L. van der Waerden(1903- ) 在 1923/24 來 G¨ottingen 前已經是成形的數 學家了。 他來受教於 Emmy, 很快地吸收了 Emmy 的方法, 加上他自己的觀念, 使抽 象代數學得以發揚光大。 他寫的 「近世代數」
是膾炙人口, 影響深遠的代數學書。 它的內 容多少採用了 Emil Artin(1898-1962) 與 Emmy 的授課內容。 Van der Waerden 就 形容過 Emmy 上課的一個情景: Emmy要 證明 Maschke(1853-1908) 的一個定理。 她 想以公理與概念的方式漸進, 應該寫很少, 也 用不著運算就可以導出結果來。 她事先想過, 沒有完全做出來, 她以為在課堂上可以推縯 得出來。 但是眼看下課前沒法子完成它, 她生 氣了, 扔掉粉筆, 用腳去踩碎它, 還叫出:「討 厭, 我只能用我不喜歡的方式導出這個定理 了!」 就以傳統的方式無誤地證出 Maschke 定理來。(1)
Emmy上課時常把手帕塞在她的胸口。
要用時她會不經心地抽出手帕來, 使用完了 她又塞回原處。 她的頭髮可能早先是夾得好 好的, 但是上課後一下子這裡一束, 那裡一綹 地垂掉下來。 她又長得胖, 穿好的上衣經過上 課時手的比畫而變了樣, 那一副狼狽相成為 上她課的學生們的看頭。
而上課時 「正常班」 的學生都佔據前 座。 坐後面的旁聽生半個小時後往往聽不下
去了, 便退席。 這時候前座的人會回過頭來叫 道:「敵人已被擊敗, 退卻了!」。
Emmy對不苟同她的想法的人態度相當 不友善。 她會用她的大嗓門粗魯地, 還帶嘲 弄的語氣把她的想法直接地說出來而得罪人。
但是對須要她幫忙的人她是慈愛而無私的。
她會竭她所能去幫助人。 她也時常與人分享 她的創意。(1)
Emmy是一位忠實的朋友兼而是一位嚴 苛的批判者。 因此她很適合當數學雜誌編輯。
她的確也從事 Mathematische Annalen 的 編輯工作多年, 但是她這份工作也是不掛名 的, 這頗使她傷感。(3)
Emmy在 1915 年赴 Erlangen 奔母喪 後又幾次回去奔喪:1918年是她大弟 Alfred, 1921 年是父親, 而 1928 年是她的幼弟 Gus- tav Robert。 因而她養成一種習慣把她的哀 傷、 心思都默默地壓在她的心底。 可是一看 到別人遇到同樣的遭遇她會表達出十分的同 情心來。 每當非猶太朋友幫助她時她也由衷 地表示感激。 幾次家人故去後她的親人只剩 下二弟 Fritz。 他在 Breslau 當數學教授。
Emmy 跟他的家庭很親近, 也會跟他們一起 渡假。 Fritz 生有兩男, Emmy尤其寵愛有數 學天份的小姪兒 Gottfried(1915- )。 他後來 成為數理統計學家, 1939 年移居美國。 Fritz 一家人在 1934 年因納粹的追逐, 移民到蘇俄 後 Fritz 在西伯利亞 Tomsk 的 「數學力學 研究所」 當教授。
1922 年 G¨ottingen 大學的自然科學與 數學部門向教育當局申請 Emmy 的升等。 文 件中說 「Emmy Noether 無疑是一位很出
色的數學家, 不適合當私講師教大班學生的 一般課程。 她有能力影響一批優秀學生, 其 中有人甚至於有教授資格。」 終於在當年 4 月 6 日 Emmy 收到普魯士 (地方) 科學部長 發給她 「非文官副教授」 (nichtbeamteter Ausserordenticher Professor) 的證書, 也 就是說, 她雖然升任副教教, 但是像私講師一 樣不支薪。 不過 Emmy 還是滿開心的。 她 寫信給 1920 年代開始跟她合作, 並研究非可 換代數的 Helmut Hasse(1898-1979):「這 個冬天我終於可以講授有關超複數, 這對 於我和學生們都有趣多了。」(1) 直到 1923 年 Courant(他除了數學外組織與管理能力也廣 被稱許), 當 G¨ottingen 大學的主任 ( Di- rector) 時替 Emmy 力爭才得到 「委任教 學」(Lehrauftrag) 的名義, 她這才領到少許 薪水, 一個月在 200 至 400 馬克之譜, 而且這 個 「委任教學」 每年還得覆審。(4)
1930 年 Hermann Weyl(1885-1955) 繼任 Hilbert 的教授席。 這在當時的德國是 最崇高的地位。 他認為 Emmy 在數學上各方 面都比他強許多, 他的職位卻比 Emmy 高高 在上, 這使他不安。 因此他向教育當局爭取過 她的名位, 也爭取 Emmy 成為 G¨ottingen 大學科學會會員, 但是都沒有成功。(5)
Emmy的生活一向很簡樸。 她起先無 薪, 即使在 1923 年後從國家獲得的薪水也很 少。 她雖然稍有遺產, 但是在她多病的幼弟生 前, 她幾乎都把錢用在他身上。 1933 年她被 普魯士 (地方) 政府趕出職位時就靠這份遺產 過日子。 1934 年她受聘美國的 Bryn Mawr 學院, 她那些在 Princeton 的 G¨ottingen
老同事問她: 「現在日子可以過得好些了吧!」
她說 : 「那裡, 我只花一半, 一半要留給姪兒 呢。」
有一次下著雨 Emmy 雖然撐著傘, 但 不怎麼管用, 一個學生看不過去說 「傘該修 了」, 她答 : 「是的, 但是單知道沒有用, 不下 雨時我不會想到它, 下雨時我又用得著它。」
Emmy經常在一間簡陋的餐廳裡同一時 間、 同一座位上吃她同樣的簡單晚餐。 在 禮拜天她也會在她閣樓的房間裡煮食, 不 過這時候差不多都有她的學生們在一起。 在 G¨ottingen, 大家稱 Emmy 為”Der No- ether”(Der, 男性冠詞) 表示尊敬, 而她的學 生們被稱為”Noether boys”, 她跟學生們被 合稱為”Noether family”。 她學生們往往從 下午就跟她邊散步邊 「談數學」, 最後落腳在 她的住處吃晚餐, 再繼續談數學。
Hermann Weyl 說 : 「Emmy 這個人 就像剛烘培出爐的麵包, 暖烘烘的」。(5) 她照 顧她的學生無微不至, 就像母雞呵護小雞般。
她的學生遇到攻擊, 她是會很兇猛地反擊的。
可是她受到委曲, 她可以一笑置之。 就如, 有 一次她被 「請出」 學校的公寓, 因為有一批學 生提出抗議說:「不願意跟親馬克斯主義的猶 太婆共屋頂」, 而事實上她在 1918 年左右較 親社會民主黨外對政治一向是不干不預的。
伍 . 指導的學生們
在 Erlangen 時 Emmy 就指導過兩次 博士論文。 第一次是指導 Hans Falckenberg (1885-1946)。 他是 Emmy 父執輩的孩子,
也是弟弟 Fritz 的朋友。 他在 1911 年拿到 學位。 後來當了 Giessen 大學的數學教授。
Emmy 在 Erlangen 與 G¨ottingen 來 回跑的 1915 年間 Landau 介紹給她 Dede- kind(1831-1916) 提出的問題 : 「任何置換 群是否可為某一方程的 Galois 群?」 她開始 想這個問題。 剛好那時候 Fritz Seidelmann (1890- ) 在 Erlangen 一所學校當講師。 早 先他在 Munich 大學跟 Friedrich Hartogs (1874-1943) 學過。 當時他做出: 「給定一群, 可求得一四次方程」 的特殊情形。 他問 Max Noether 是否可以用它寫成博士論文? Max Noether 認為他的題目與 Emmy 研究的課 題相近, 就介紹給 Emmy。 Emmy 建議 Sei- delmann 用參數表示法試一試。 結果他成功 地做出三次和四次方程的一般情形。 寫成的 博士論文是: “The set of cubic and bi- quadratic equations with affect over an arbitrary field”(英譯)。 1916 年付印, 他還 寫著: 「獻給 Emmy Noether 博士」。 他以 最優成績通過口試, Emmy 跟他一樣, 好高 興! Emmy 也完成了一篇 “Equations with pre-assigned group”(英譯), Mathematis- che Annalen, vol. 78(1917/18)。 它是這類 問題在當時的最佳文獻。
在 G¨ottingen 大學 Emmy 指導博士 論文的第一人是 Grete Hermann (1901-?), 她在 1925 年 2 月 25 得到學位。 過後 Grete 一直很感戴 Emmy 的指導。 Emmy指導的 其他 G¨ottingen 大學的博士學位的學生都 是男生。 跟 Grete Hermann 差不多時候 有 Rudolf H¨ofzer(1903-1926) 與 Heinrich
Grell(1903-1974)。 Rudolf H¨olzer 完成論 文但未得學位前因肺病在 23 歲病亡。 Grell 在 1926 年得學位。 後來當 Humboldt 大學 教授。 Emmy 對 Grell 的評價很高。 Grell 對 Emmy 也很感恩。 因他,Emmy 的“Ideal differentiation and the difference”(英譯), Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik 188, 1950, pp.1-21, 才得以 付梓。這是 Emmy 遺留下, 生前未及出版的 著述。
Emmy 的另一個學生 Werner Weber (1906-194?) 在 1929 年得博士學位。 他在 「 Dedekind 全集」 的編纂及 van der Wae- den 的 「近世代數」 第一版上幫了些忙。
Jakob Levitzki(1904-1956) 在烏克 蘭出生, 之後全家移民到巴勒斯坦。 他從特 拉維夫來 G¨ottingen 唸書, 經濟情況很差。
Emmy 儘力替他申請助教獎學金。 後來他拿 Sterling 獎學金在耶魯大學學習。 1931 年起 在希伯來大學教書。 在美國與巴勒斯坦他的 表現俱佳。
1930 年經 Emmy 指導拿到學位的有 Max Deuring(1907-1984)。 Emmy 對他 的期許很高。 他寫的 「非可換代數」 很符合 Emmy 的意思。 後來他在 Marburg 與 Hamburg 教書。 1950年後在 G¨ottingen 教 書當到永久教授。 清大徐道寧教授是 Deur- ing 的學生。 (博士學位口試:1961 年 12 月 20 日)。
1931年由 Emmy 指導而獲得博士學位 的有 Hans Fitting(1906-1938)。 他後來在 K¨onigsberg 大學當講師, 但因骨癌在 1938
年 32 歲去世。 至今在代數構造中留有 Fit- ting’s lemma, Fitting’s radical 這些名詞。
1933年 Emmy 指導的學生還有 Ernst Witt(1911-1991)。 他因 1933 年 6 月的考試 與入營卡在一起, Emmy又已被停職, 由 G.
Herglotz(1881-1953) 當審稿者。(1)
中國學生曾炯之 (1898-1940) 的論文 題目是“Algebrasover function fields”(英 譯)。 他由 Emmy 指導論文, 但是他的論文 口試在 1933年 12月 6日, Emmy 赴美之後。
曾烔之後來回中國大陸, 1935至1937年間在 浙江大學當教授, 1937 年後在天津北海大學 教書, 中日戰爭時他隨校輾轉遷移到四川, 在 1940 年病逝(6)。 他在代數學上留有 Tsen’s Theorem。
Emmy在 G¨ottingen 最後指導的學 生是 Ottosschiling(1911-1993)。 他同時也 研究 Hasse 的專長。 Emmy 赴美後一 年 (1934), 他在 Hasse 所在的 Mar- burg 大學得到博士學位, 一年後他也移居 美國。 他最出色的著作是“The Theory of Valuations”(1950)。(1)
陸 . Emmy Noether與學者們
G¨ottingen大學在十九世紀有 Gauss, Riemann, 二十世紀有 Klein 與 Hilbert 等數學大師, 蔚然成為 「數學界的麥加」; 許 多國家的數學都想赴 G¨ottingen 大學 「朝 聖」 一番。 第一次大戰後 G¨ottingen 的數 學陣容有 Hilbert, E. Noether, Landau, C. Caratheodory(1873-1950)。 Courant (接 Klein 的教授席)、Herglotz、Hermann
Weyl 等人。 來 G¨ottingen 浸洷在 Noether 圈的法國數學家有 A. Chˆatelet (1883- 1960), C. Chevalley(1909-1984), A.
Weil(1906- ), Jacques Herbrand (1908- 1931)。 後者很優秀, 但因登法屬阿爾卑斯山 失事而早亡。 朋友們為紀念他出了一本刊物, 其中有 Emmy 生前最後一篇文章“Split- ting crossed products and their maximal orders”(英譯)。 Actualit´es Scientifiques Industrielles, Paris, 148(1934)。 Emmy 悲嘆: 「我不能忘懷 Herbrand 的早逝。」
日本學人從東大來 G¨ottingen 跟 Em- my 學習的有高木貞治 (1875-1960) 的 高足正田建次郎 (1902-1977) 與末綱恕一 (1898-1970)。 在 Emmy 的影響之下正田建 次郎在 1932年寫出 「抽象代數學」。(6)末綱恕 一在 1950 年出版 「解析的整數論」 等, 這些 書廣被使用, 成為日本代數學家走向國際舞 台的誘因之一、 二。 又, 正田從 1935 年至 61 年擔任大阪大學校長。 他是 Osaka Journel of Mathematics 與日本數學學會的成立的 一位關鍵性人物。
美國學者中有 Solomon Lefschetz (1884-1972),Oswald Veblen(1880-1973), Saunders Mac Lane 等來 G¨ottingen。 Lef- schetz 的想法與 Emmy 相近, Veblen 對 以後德國數學家移居美國幫了大忙。(1) Mac Lane 聽過 Emmy 的課。 他與 G. Birkholf (1911-1996) 合著的 “A Survey of Mod- ern Algebra” 出過好幾版, 是一本著名的代 數書。
蘇俄數學家 P. S. Alexandrov(1896- 1982) 是莫斯哥大學教授。 他英、 德語都很
流暢, 從 1923 年起他經常來德國, 尤其幾 次到 G¨ottingen 大學當客座。 他跟 Em- my 不但是好朋友, 他還很尊敬她。 Heinz Hopf(1894-1971) 與 Alexandrov 的交誼很 深, 他們常彼此溝通想法。 他們在拓撲學的代 數化上的確受過 Emmy 的影響。 又 Alexan- drov 在當時赤化的蘇俄可以自由出入蘇俄國 境, 對東西歐文化, 尤其是數學的交流與推展 功不可沒。
Emmy 跟蘇俄數學家, 如數學家兼北極 探險家 Otto Juljewitsch Schmidt (1891- 1956), W. W. Stepanov (1889-1950), N.
G. Tschebotar¨ov(1894-1947) 等人也經常 有連繫。
1928 年冬天至 1929 年夏 Emmy 應 Alexandrov 的邀請去莫斯哥大學當客座。
她享受 Alexandrov 與他的朋友們的友誼。
回國後她還受到 G¨ottingen 同仁的羨慕, 因 為由於她的影響, I. A. Arnold(1900-1984) 與 L. S. Pontrjagin(1908-1988,1935 當莫 斯哥大學教授) 分別用德文發表了他們心得 的文章。(1)
Emmy向來不跟人爭奪著作優先發表 權。 她甚至由她的構思而誘導出學生的結論 成為學生獨有的作品。 像在 1914 年, Kurt Hentzelt(?-1914) 在 Erlangen 完成論文, 但是論文還沒有發表, 他就被調去當兵, 那年 十月傳出他出任務失蹤的消息。 在 1921 年的 DMV 的年會中 Emmy 簡述 Hentzelt 論文 的內容, 並替他登載在 Mathematishe An- nalen 上。 題名為“On the theory of poly- nomial ideals”(英譯)。 1923 年冬到 1924 年夏, Emmy 根據 Hentzelt 的概念得到
很好的結果, 使在課當上講起。 1924 年秋天 van der Waerden 來 G¨ottingen, 他也從 Hentzelt 的論文中得到啟示, 導至 Emmy 同樣的結果。 後來他由 Emmy 的學生 H.
Grell 口中才知道有這一回事。 Emmy 沒 跟他爭優先權。 van der Waerden 便把 結果發表在 Mathematishe Annalen vol.
96(1927) 上, 是為“Theory of zeros of polynomial ideals”(英譯)。 在代數幾何學 上它是一篇有份量的論文。 Emmy只是在給 Hasse 的信中慨嘆過: 「我的方法像蔓藤般, 到處爬行。」(1)
柒 . G¨ottingen時期的黃昏
1929 年 Rockefeller 基金會捐款在 G¨ottingen 大學蓋成新大樓, 裡面有一些小 辦公室是給講師和助教的。 Emmy分得了特 別的一間, 蠻有校方酬庸她多年來優異的教 導的意思。
1930-32 年間 G¨ottingen 大學出版
「Dedekind 全集」。 Dedekind留下五十來本 備忘錄。 要整理這些著實不容易。 編纂者是 Robert Fricke (1861-1930), ¨Oystein Ore (1899-1968) 與 Emmy N¨oether 。 Fricke 只做了少許, 其他都由 Ore 與 Emmy 所 完成。(1) 由此 Emmy 對 Dedekind 的著作 更加了解, 對他的人品也就更加祟敬, 她說:
「Dedekind 都沒有犯過錯誤。」(6)
1932 年 Emmy 與 Artin 因他們 在數學上的貢獻同時被頒授 Alfred-Acker- mann-Teubner紀念獎。 同年 G¨ottingen 大 學的代數學家們慶賀 Emmy 的五十大壽。 這
一年九月在 Zurich 有國際數學家會議。 它 像一個大家族的會合, 與會者有 420 人。 9 月 7 日 Emmy 演講“Hypercomplex systems in their relations to commutative alge- bra and number theory”(英譯)。 開完會後 不久 G¨ottingen 的好日子便過去了, 麻煩事 開始發生。
早在 1929 年 10 月 29 日, 紐約證券市 場大暴跌引發世界性大蕭條。 第一大戰後德 國的繁榮仰賴美國的信用貸款與活躍的國際 貿易。 這兩項財源涸渴後德國人民窮困不堪, 對威瑪政府的溫和派作風也就失去了信心。
於是希特勒 (1889-1945) 領導的國家社會 黨 ( 簡稱納粹黨) 及共黨的勢力趁機而盛。
到 1932 年德國境內失業人口高達六百萬人 以上, 人民對政府的失望更甚。 同年 11 月 納粹黨在德國國會選舉中大舉得勝, 獲可觀 席位。 1933 年 1 月 30 日當時的威瑪政府總 統興登堡 (1847-1934, 第一次世界大戰時 德國名將) 無奈, 任命希特勒為總理, 組成 聯合內閣。 同年 2 月 27 日希特勒假借國會大 廈被共黨縱火, 搜捕共黨, 除去異己, 攫取 獨裁權。 4 月 1 日納粹黨公然採取迫害猶太 人政策: 抵制猶太人經營的生意; 在公職 人員方面, 凡是猶太人及有猶太血統 (追溯 到祖父或祖母是猶太人) 的人都在被迫退職 之列。(2) 4 月 2 日教育局發令禁止 Emmy Noether在 G¨ottingen 大學教書。 理由是 她是 「危險人物」, 說她曾經借房間給左翼學 生開會過。 遭遇到同樣禁令者有 Courant, Max Born(1882-1970, 1954 年諾具爾物理 學獎得主) 與 James Franck (1882-1964, 1925 年諾具爾物理學獎及第一次大戰鐵十
字架勳章得主)。 Otto Neugebauer (1899- 1990), Landau與 Paul Bernays (1888- 1945) 先被停止一切教學與行政工作。 他們 都是猶太人。 Hermann Weyl 繼任 Courant 為數學部門主任。
捌 . 赴Bryn Mawr女子學院
1933 年間世界性不景氣還在持續中。 在 歐美各國一職難求。 不過 Weyl 積極為 Emmy 安排在美國的出路。 據 P. S.
Alexandrov 說, 他當時也替 Emmy 奔走莫 斯哥大學的差使, 但是進行得很緩慢, Emmy 等不住, 終於接受 Weyl 給她找到的美國 Bryn Mawr (女子) 學院客座教授一年的 職位。(4) 薪水由 Rockefeller 基金會支付。
1933 年 10 月底 Emmy 整裝赴美。
在美國賓州東南部的 Bryn Mawr 學 院 1933 年秋季開學典禮時 Park 校長告訴 師生將有一位最出色的德國女學者 Emmy Noether 蒞校教書。 她的名字對學數學的 人來說如雷貫耳, 大家都很振奮。 學校當局 為 Emmy 要來教書還募款設立 「 Emmy Noether 獎學金」。 當時的數學系系主任是 Anna Pell Wheeler(1883-1966)。 她在 1906/07 年間在 G¨ottingen 待過, 1910 年 得 Chicago 大學博士。 Wheeler 太太的安排 是, 讓拿 Emmy Noether 獎學金的 Marie Weiss(已得 Stanford 博士, 1903-1949) 與 在 Bryn Mawr獎學金之下攻讀博士學位的 Ruth Stauffer(1910- ) 跟隨 Emmy 讀書。
她們師生之間可能須要一段緩衝時期, 等到 Emmy 準備妥當方始。 起初學生沒有碰過抽
象代數。 Emmy 讓她們從 van der Waerden 的 「近世代數」 第一冊學起, 還唸 E. Hecke 的“Theory of Algebraic Numbers”。 學生 們對德文名稱的英譯感到困惑。 Emmy教她 們以德文專有名詞來了解。 這樣, 她們德、 英 文並用, 結果還蠻好。 Emmy上課就像開討 論會, 好像她也是學生之一, 大家一起討論, 解答。 兩位女生覺得很受用。(2)
1934 年夏天 Emmy 回德國看弟弟 Fritz 一家人與老朋友。 那裡的政治氣候越來 越險惡。 有些朋友甚至於迴避 Emmy。 Fritz 是猶太人, 被迫從 Bruslau 大學退休。 他 倒是拿到了退休金。 為了兩個兒子的前途, Fritz 打算移民到蘇俄西伯利亞。(1)
Emmy在美國第二年的差使還沒有著 落。 不過朋有們應該會幫忙。 看來她再回德國 的機會很渺芒。 她便清理自己在德國的財物, 夏天過後又回美國, 並參加美國數學學會。(6)
為了要獲得學人的支持留住 Emmy, Bryn Mawr 的 Jacob Billikopf 透過數學家 Arnold Dresden 請 Solomon Lefschetz, Norbert Wiener(1849-1964) 與 George D. Birkholf(1884-1944) 表示對 Emmy 的 意見。 他們都齊口稱讚 Emmy 是至今最優秀 的女數學家, 理當給她留任的機會。 不過他們 也有共識, Emmy 不適合教大學部課程。
至於經費方面, 有 Emmy 的朋友典當 物品獲得 1700 美元, 他願意捐出這筆錢來。
Princeton高等究所願意負擔 1500 美元做為 Emmy 每星期去 Princeton 授課的報酬, 而 Bryn Mawr 付給 Emmy 的年薪是 3000 美元, 因此在 Rockefeller 基金會答應
補助 2800 美元的情況下 Emmy 在 Bryn Mawr 學院從 1935 年至 1937 年的薪水便有 眉目了。(6)
在 Bryn Mawr 的第二年, Emmy 多 出兩名學生。 一名是 Grace Shover(1906- ), Grace 跟 Mac Duffee 學過抽象 代數學, 這回她拿到 1934/35 年 Emmy Noether獎學金來做博士後研究。 另一名是 Olga Taussky (1906-1995)。 Olga 是 Emmy 在 G¨ottingen 的舊識, 維也納大學博 士。 她本來早一年就有 Bryn Mawr 外國人 獎學金, 但 Bryn Mayr 因財務困難, 延後一 年。 剛好 Emmy 又在 Bryn Mawr, Olga 便 拖延一年她稍後才獲得的劍橋大學 Girton 學院的三年獎學金, 先來 Bryn Mawr。(6)
Olga早年是奧匈帝國子民。 第一次大戰 後她的國家獨立, 她便成為捷克人了。(7)她在 1930 年的 DMV 與 Emmy 相識。 那時候 她已是漸露頭角的數學家了, 專長是 Class field theory。 剛好 G¨ottingen 大學打算 在 1932 年出版 Hilbert 的數論第一冊來慶 賀他的七十大壽, 急需 Class field the- ory 方面的年輕專家來整理 Hilbert 的資 料。 Courant便在1931年至1932年6月間請 Olga 來當編纂者之一。 在這期間 Emmy 與 Olga 常有接觸的機會。 那時候 Emmy 老嫌 Olga 的德語帶奧地利腔。 不過這回她們在異 鄉相逢, Olga 的德語 Emmy 聽來都覺得親 切了。(6)
Emmy與她的四名研究生一起討論功 課, 一起玩, 彷彿她又組成了一個 Noether 家庭。 有時候她們會邊談邊穿過田野, 越過鐵
軌。 Emmy 體態臃腫, 行動可還蠻靈活哩。 最 後她們會聚集在某個人的住處或是 Wheeler 太太的客廳。 Wheeler 太太跟她們也都很合 得來。(2)
1934 年 2 月起 Emmy 每星期二一早 便搭火車去 Princeton 教書。 Olga 來後 間或陪 Emmy 一起去。 有時候四個女生 搭 Wheeler 太太的便車去聽講。 據 Olga 說, Emmy 星期一給她們上什麼課, 星期 二就去 Princeton 講這些, 等於她都預演 過了。 Princeton 的聽眾差不多是研究員以 上, 他們習慣於實際演算, Emmy 的抽象討 論法對他們還是新穎的。 教完課後 Emmy 經 常與 Weyl(1933 年來 Princeton) 與 R.
Brauer(1934 年來 Princeton) 相聚。(6) Emmy 對 Olga 是滿任性的, 她會對 Olga 使性子。 還會批評 Olga 這個那個, 再 責備 Olga 在乎她那些話。 Olga這個人也比 較敏感, 她總覺得 Emmy 在美國這一陣與 在 G¨ottingen 時不一樣, 好像有什麼心事積 壓在她心裡。
原來 Emmy 身體有毛病, 她想拖到夏 天回德國去治療。 她跟 Bryn Mawr 的醫生 商量的結果, 醫生勸她趁早開刀治療才好。(6)
47 年後 Grace Shover 回憶起 1935 年 3 月 31 日至 4 月 14 日的事: 那時候, 學校 正放春假, 宿舍關閉, 大家各自散了。 Grace 住靠近學校的朋友家。 3 月 31 日 Emmy 找 Grace 陪她去太平洋城看在那裡的 Olga, 三 個人談得很開心。 過後 Grace 有德國來的朋 友,Grace 在 4 月 7 日 (禮拜天) 傍晚便帶她 去見 Emmy。 朋友與 Emmy 用德語談故國
事。 但是在 4 月 8 日 Wheeler 太太告訴女學 生們 Emmy 當天進 Bryn Mawr的醫院要 開刀切除子宮瘤。(2) Emmy離家赴醫院前被 要求寫出一份名單捐贈她的所有物以備萬一。
Olga與 Grace 也都在名單之內。(6) 4 月 9 日 四名女生們去醫院看 Emmy 並送她“Town and Country”的複印本。 10 日 Emmy 開 刀, 聽說過程很順利, Emmy還高興只取出病 灶 (一個大卵巢瘤), 不必割除其他部位。 13 日女生們想去探病房, 但是還謝絕訪客。 14 日是星期天, 大家都在宿舍裡, 想著 Emmy 的病大概快好了。 突然間有 Ruth 的電話:
Wheeler太太來電話告訴 Ruth, Emmy 的 病況發生變化, 她因栓塞 (embolism) 剛剛 斷氣。 這真是青天霹靂, 女孩子們聽後當夜無 法合眼。(2)
4 月 7 日 Emmy 還發信給 Hasse, 長 篇討論 Ruth 的論文。 但是 Hasse 又收到 Fritz Noether 4 月 15 日由柏林寄的信, 告 訴他姊姊 Emmy Noether 在 4月 14日過世 了。 (1)
九 . 終局
1935 年 4 月 15 日的紐約時報簡略報導 Emmy 去世的消息。 當天的 New York Herold Tribune 刊載得多一些。 (1)
4 月 18 日 Emmy Noether 的遺體在 火化前, Bryn Mayr學院 Park 校長的客廳 裡舉行了一場 Quaker 教的告別儀式。 在柔 和哀傷的音樂中 Emmy 的德國和美國的少 數知己, 如 Weyl, Brauer, Wheeler 太太 和 Olga 等以各自的語言向她告別。 骨灰埋
在 M. Carey Thomas 圖書館的迴廊磚道底 下, 與首任校長 M. Carey Thomas 的骨灰 為鄰。(6)
4 月 19 日 S. Lefschetz 告訴在哥倫 比亞大學開會的美國數學學會會員 Emmy Noether去世的消息, 大家起立默禱一分鐘。
4月26日 Emmy Noether 逝世紀念禮 拜在 Bryn Mawr 的 Goodhert 禮堂舉行。
許多人來參加, 由 Hermann Weyl 用英語 很感性地說及 Emmy Noether 的生平與著 述。(6)他說 Emmy 是很有創意且影響眾人的 代數學家。 她並不是上蒼的巧手用粘土塑造 成的人, 而是一個石塊由祂吹進創造的生命 力而成的人。 她心地善良, 不知惡為何物。(5) 他的演講詞附上 Emmy 的照片在第二次大 戰後分贈給連繫到的 Emmy 的親友們。(1)
愛因斯坦 (1879-1955) 在 5 月 1 日投 稿給紐約時報編輯, 題名為 「故 Emmy Noether」, 內容是: 「人類生而為食賣力, 有 一些人得天獨厚, 可免去這一份勞力, 他們便 去追逐人世間的享受。 在他們的下意識裡認 為這便是人生中最值得追求的目標。 幸而有 少數人從他們生命的早期就認定人類最完美 的經驗不是來自外界, 而是由個人內心的感 覺、 思想與行為啟發出來。 這些人便是真正的 藝術家、 做研究的人與思想家等。 這些人的一 生不管是否多不起眼, 他們所得到的成果是 這一代傳給下一代最珍貴的貢獻。
幾天前 Emmy Noether 教授去世了, 享年 53 歲。 她是代數界的奇芭, 女性受高等 教育以來最傑出的學者。 她在代數領域中發 現的概念式方法證實可使現代代數學發展起
來。 她在 G¨ottingen 大學教學多年, 雖經 Hilbert 等人的極力爭取, 於公無法取得她 該有的名位。 但是她還是無怨無悔地教導, 影 響週遭的學生與學者。 可是, 她無私的奉獻所 換得的報酬卻是因猶太人而被停止教學, 讓 她失去維持簡單的生活與做研究的機會。 幸 好經有識人士的安排她得以在美國 Bryen Mawr 學院與 Princeton 執教。 由於同事們 的友愛及學生們的愛戴, 使她的晚年過得快 樂、 充實。」(8)
Mathematische Annalen 雜誌社在 6 月 21日收到 van der Waerden 的 「Emmy Noether 事略」, 便登載在該雜誌 111 卷 (1935)pp.469-476 上。 van der Waerden 在文章中給 Emmy 在學術上的成就定位。(3) 1935 年 9 月 5 日莫斯哥數學學會在莫斯 哥開 「Emmy Noether 追悼會」。 在 Tomsk 大學的 Fritz Noether 也參加。 與會者 還有來莫斯哥參加第一屆國際拓撲學會的學 者們。 主席 P.S. Alexandrov 告訴大家 Emmy Noether 在 4 月 14 日去世。 眾人起 立默禱後 Alexandrov 生動地描述他所認識 的 Emmy。(4)
9 月 25 日 DMV 的年會中祕書告訴 大家 Emmy Noether 是近年內去逝的第 十四位數學家。 會員們全部起立悼念。 從此 Emmy Noether 便從 DMV 除名了。
Emmy所指導論文的最後一名 Ruth Stauffer 後來轉由 Brauer 指導, 在 1936 年 拿到博士學位。 她離開數學界, 在賓州州政府 做研究員, 但還是稱讚 Emmy 的教學法對她 處理資料有幫助。(2)
Emmy在 Bryn Mawr 的其他學生如 Marie Weiss 在 Tulane 大學 Newcomb 學院教書, 她寫了廣被使用的“Higher Alge- bra for the Undergraduate”(1949)。 在序 文中她強調 van der Werden 等人給她的影 響。 第二版還沒問世她就去世了。(6)
Grace Shover 在美國大學 (American Uiniversity) 教書。 1936 年她去 Oslo 參加 國際數學家會議時 Courant 特地給她介紹 信, 她便取道 G¨ottingen 會見 Hilbert 夫婦 與 Hasse。 為的是這些 Emmy 的故舊很想 知道 Emmy 在美國最後一年來的情況。 在 大會中 Grace 也會見了 Fritz Noether。(2)
Olga Taussky 在 1938 年 9 月與 John Todd 在英國結婚。 夫婦從 1957 年開始在美 國加州理工學院執教一直到退休。(8)Olga 於 1995 年去世。 她生前在代數學上的表現很出 色。
1945 年第二次世界大戰結束。 一切逐漸 回復正常, 學術交流更是沒有國界。 抽象代數 學以 G¨ottingen 精神 (其中包括 E. Artin 與 Emmy Noether 等) 繼續發展開來。
德國學術界開始為當年被放逐的學人 (其中 數學家最多) 做一些補償工作。 為 Emmy Noether 做的有:1957 年 Erlarger 大學慶 祝 Emmy Noether 得博士學位五十週年 紀念。 1960 年 Erlangen 市更以一條新住宅 區的街名命名為 Noether Strasse, 來紀念 Noether 父女。 1982 年是 Emmy Noether 誕生一百週年。 2 月 27 日 Erlangen 數學研 究所舉行 Noether 紀念碑揭幕典禮。 Erlan- gen 市還建立一所男女合校, 強調數學、 科
學、 現代語言學的 「Emmy Noether 高中 (Gymnasium)」。(20
在美國,1982 年 3 月 17 日至 19 日 Bryn Mawr 學院在女數學家學會贊助之下舉辦 了 「 Emmy Noether 百年誕辰紀念會」。
有九場演講, 還有 Emmy 當年在 Bryn Mawr的學生與 Gottgried Noether 講述他 們所認識的 Emmy Noether。 這些都付印 成冊為“Emmy Noether in Bryn Mawr”, Springer Verlag, New York, 1983。 會 後 Grace Shover Quinn 把她掛看的首飾, Emmy的遺物, 取下轉送給 Gottfried 的獨 生女 Monica 做為姑婆 Emmy 的紀念品。(2) 這些, 如果 Emmy 地下有知, 一定覺得 很窩心的吧。
據 van der Waerden 在 1924 年後的 了解, Emmy看一個定理或課題須得把它抽 象化, 在她的心目中變成透明的架構她才能 夠把握它。 她只能以概念而非公式來思考, 所 以也想出概念化的形式來, 它可適用於一般 化的數學理論。 而她所採用的工具便是代數 與算學。(1)
Emmy Noether 早年 (1907-1919) 的 作品第一篇是在 Gordan 完全以運算方式的 指導之下完成的博士論文。 不久她受 E. Fis- cher 的影響, 被 Hilbert 的思考方式所吸引, 完成一些研究。 如, 有關 differential invar- ints 的論文。 它在一般相對論上是很好用的 文獻。 在這期間她最重要的工作是 : 「給定一 Galois 群, 求出方程式」。
1919 年第一次世界大戰後 Emmy 開 始自己摸索研究的方向。 在 1920 年她與 W.
Schmeider 完成論文“Modulu in nich- tkommutativen Bereichen, ins beson- dere aus Differential-und Differenize nausdr¨ucken”Math Zs 8 (1920) pp.1-35。
這是她往後一連串一般 ideal 理論的先聲。
1927年後 Emmy 研究的方向轉向不可 交換系統的理論上。 她在還有充沛創意中去 世, 發表的論文共有 44篇。(6)
參考文獻
1. Auguste Dick, Emmy Noether, Birk- ha¨user, Boston, 1981.
2. Emmy Noether in Bryn Mawr, Springer Verlag, New York, 1983.
3. B. L. van der Waerden, Obituaries of Emmy Noether, Mathermatische An- nalen 111, 1935, 469-476.
4. P. S. Alexandrov, In memory of Emmy Noether, Memorial adress delivered before the Mathematical Society of Moscow, Moscow, Sptember 5, 1935.
5. Hermann Weyl, Emmy Noether, Scripta Mathematica III, 3, 1935, 201- 220.
6. Emmy Noether, A Tribute to Her Life and Work, edited by J. W. Brewer and M. K. Smith, Marcel Dckker lnc. 1981, New York and Basel.
7. Albers Alexanderson, Mathemati- cal People (Profiles and Interviews), Birkha¨user, Boston 1985.
8. Albert Einstein, The Late Emmy Noether, The New York Times. May 4, 1935, 12.
—本文作者任教於輔仁大學數學系—
