數 學 學 學 學 研 研 研 研 究 究 究 究 所 所 所 所 碩

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國 立 立 立 立 中 中 中 中 央 央 央 央 大 大 大 大 學 學 學 學

數 數 數

數 學 學 學 學 研 研 研 研 究 究 究 究 所 所 所 所 碩

碩 碩

碩 士 士 士 士 論 論 論 論 文 文 文 文

九十四學年度高一學生三角函數 九十四學年度高一學生三角函數 九十四學年度高一學生三角函數 九十四學年度高一學生三角函數

之 之 之

之學習 學習 學習狀況研究 學習 狀況研究 狀況研究 狀況研究

研 究 生:黃鈺芸

指導教授:單維彰博士

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論文摘要 論文摘要 論文摘要 論文摘要

本論文研究目的在於:針對三角函數之研究課題,了解九年一貫實施前後學生 的差異性,以及在高中所必須要修讀的三角函數內容,希望透過此研究,可以 作為九年一貫暫行綱要實施之後的成效探討,並對九十八學年度高中課程綱要 修訂有所助益。

本文研究對象為九十四學年度北台灣的高一學生二十個班級共 829 人、20 位高中教師、164 位大學教授的問卷,以及微積分、統計與線性代數三個領域 五冊大學用書。依據資料的蒐集分析,歸納出九年一貫實施後的錯誤類型、高 中教師的教學心得、大學教授的意見,以及根據大學用書歸納出高中需修讀的 三角函數課題。

研究結果建議:(1)拉長三角函數的授課時數(2)將三角函數拆成兩部 分(3)延後教授複數的極式(4)杜絕過於複雜或技巧性的題目。期盼本研究 對我國未來三角函數之數學課程以及數學綱要的修訂提供有益的參考。

關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字

九年一貫、三角函數、錯誤類型。

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Abstract Abstract Abstract Abstract

This is a thesis which mainly focuses on: (A) The distinction between those students who received “The General guidelines of Grade 1-9 Curriculum of Elementary & Junior High School Education” and those who did not on the difficulty in studying Trigonometric function they’ve faced in senior high schools; (B) The specific range of Trigonometric function which students should be required to study in senior high schools. Truly hope that this thesis will be some of the assistance to the development of future mathematics education in 2009 in Taiwan.

The targets of this research are senior high school students, in northern Taiwan, 829 students in total from different 20 classes, and 20 senior high school teachers, plus 164 university professors. Also, 5 academic books from three different fields are recruited in for the research, which are Calculus, Mathematical Statistics, and Elementary Linear Algebra. According to data analysis, the author pointed out that: (1) Students have much more difficulty in correctly answering some specific questions after receiving the General Guidelines of Grade 1-9 Curriculum of Elementary and Junior High School Education; (2) Teaching experience & thought from senior high school teachers;

(3) Professors’ opinions; (4) The appropriate range of Trigonometric function for senior high school students to study for further education in universities or colleges.

The results of the research suggest that (1) Extended & longer teaching hours for Trigonometric function; (2) Dividing Trigonometric function into two parts for students to learn in separate semesters; (3) Avoid teaching the Polar Form of a Complex Number in the first year of senior high schools; (4) Avoid teaching certain questions that are too difficult. It is our hope that these conclusions and suggestions can make beneficial contributions to the future mathematics education in senior high school in Taiwan.

Keywords: the General Guidelines of Grade 1-9 Curriculum of Elementary and Junior High School Education, Trigonometric function, specific questions.

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致謝 致謝 致謝 致謝

研究所的日子,讓我體驗了人生中的多種變化,短短的兩年,心境卻有截然不 同的變化。

首先,謝謝我的指導教授 單維彰老師,謝謝您給我的指導,也讓我對數 學教育的看法更為成熟,也謝謝袁媛老師以及張民杰老師,細心研讀我的論 文,並給予我相當多寶貴的意見,並給予肯定,讓我的論文架構更趨於完整。

也要感謝系上的老師,在研究所的日子中給予我的教導。

再來,謝謝我的學長姐,在我進入研究所時,給予我相當多的鼓勵與協助;

謝謝一直陪伴著我的豬爺,研究所的路上因為有你,讓我有面對挫折的動力;

謝謝一直陪伴著我的大學同學,擁有你們真的是我最大的福氣;以及感謝所有 在我需要協助時幫助我的人,因為有你們,讓我的研究生活可以順利的完成。

最後,謝謝我的家人,不論何時,您們給我的鼓勵總讓我可以打起精神,

謝謝您們給我的愛;也要謝謝我家的狗狗,每次總可以帶給我眾多的溫暖,讓 我感覺你們總在我背後支持著我。

謝謝所有幫助過我的人,因為有你們,讓我充滿勇氣去面對所有的挑戰。

並將此論文獻給爸爸。

爸爸,我碩士畢業了喔!

黃鈺芸 謹誌於 中央 中華民國九十六年六月

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目錄 目錄 目錄 目錄

論文摘要論文摘要

論文摘要論文摘要………IIII Abstract

Abstract Abstract

Abstract ………IIIIIIII 致謝致謝

致謝致謝 ………IIIIIIIII III 目錄

目錄 目錄

目錄 ………IVIVIV IV 圖目

圖目 圖目

圖目 ………VIVIVIVIIIII 表目

表目 表目

表目………VVVVIIIIIIIIII II 第

第 第

第 1111 章章章章 緒論緒論緒論 ………緒論 ………1111

1.1 研究動機 ………1

1.2 研究背景 ………2

1.3 研究目的與待答問題 ………4

1.4 名詞釋義 ………5

1.5 研究限制與範圍 ………5

第第 第第 2222 章章章章 文獻探討文獻探討文獻探討 ………文獻探討 ………7777

2.1 三角函數之教學目標 ………7

2.2 三角函數相關研究 ………11

2.2.1 三角函數課程之發展 ………12

2.2.2 三角函數相關論文 ………13

2.2.3 三角函數錯誤類型之研究 ………18

第 第 第 第 3333 章章章章 研究方法與實施步驟研究方法與實施步驟研究方法與實施步驟 ………研究方法與實施步驟 ………27………272727 3.1 研究設計理念 ………27

3.2 研究對象 ………27

3.3 研究方法與工具 ………30

3.3.1 調查研究法………30

3.3.2 研究工具 ………35

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3.4 實施步驟 ………37

3.5 資料處理與統計………42

第 第 第 第 4444 章章章章 研究結果分析研究結果分析研究結果分析 ………研究結果分析 ………46………464646 4.1 前、後測試題結果之分析………47

4.1.1 後測的錯誤類型-全體 ………47

4.1.2 後測的錯誤類型-各校 ………54

4.1.3 後測的錯誤類型-高、低分組 ………68

4.1.4 高、低分組的學習成效 ………74

4.2 各校段考試題結果之分析………82

4.2.1 後測試卷的信度………83

4.2.2 各校段考之錯誤題型………84

4.3 其他問卷之結果分析………94

4.3.1 高中教師訪談稿………94

4.3.2 大學教授問卷………95

4.3.3 大學用書分析………98

第 第 第 第 5555 章章章 結論與建議章 結論與建議結論與建議結論與建議………104104104104 5.1 結論 ………104

5.2 在數學授課時數與課程上的建議 ………108

參考書目 參考書目 參考書目 參考書目………110

附錄 附錄 附錄 附錄 附錄一 三角函數學習現況調查研究試卷(前測)………114

附錄二 三角函數學習現況調查研究試卷(後測)………116 附錄三 「九年一貫實施後學生進入高中學習三角函數現況之教師意見訪

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附錄四 「大學生在各科系學習或各領域所需三角函數相關知識的多

寡」 ………119 附錄五 各校期中考、期末考試卷與高中教師訪談逐字稿………120 附錄六 錯誤類型之研究整理 ………121

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圖目 圖目 圖目 圖目

圖4-1-1 高、低分組後測答對題數折線圖-全體………75

圖4-1-2 高、低分組後測答對題數折線圖-大直………76

圖4-1-3 高、低分組後測答對題數折線圖-成功………77

圖4-1-4 高、低分組後測答對題數折線圖-萬芳………77

圖4-1-5 高、低分組後測答對題數折線圖-徐匯………78

圖4-1-6 高、低分組後測答對題數折線圖-六和………78

圖4-1-7 高、低分組後測答對題數折線圖-香山………79

圖4-1-8 Normal 分佈雙側試驗的拒絕域………82

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表目 表目 表目 表目

表2-2-1 國中三角函數課程之演變………12

表2-2-2 三角函數的錯誤類型………15

表2-2-3 國內三角函數相關文獻………19

表2-2-4 三角函數錯誤類型統整………25

表3-2-1 各校人數統計表………29

表3-4-1 時間流程表………39

表3-5-1 各校人數與有效之前、後測試卷數………42

表3-5-2 各校段考、期末考有效試卷數………43

表3-5-3 各系教授問卷回收數………44

表3-5-4 三角函數檢核表………45

表4-1-1 後測答對率-全體 ………47

表4-1-2 錯誤類型-全體 ………53

表 4-1-3 各校人數與後測之有效試卷數 ………54

表4-1-4 後測答對率-大直高中 ………54

表4-1-5 錯誤題型-大直高中 ………56

表4-1-6 後測答對率-成功高中 ………56

表4-1-7 錯誤題型-成功高中 ………57

表4-1-8 後測答對率-萬芳高中 ………58

表4-1-9 錯誤題型-萬芳高中 ………59

表4-1-10 後測答對率-徐匯高中 ………59

表4-1-11 錯誤題型-徐匯高中 ………61

表4-1-12 後測答對率-六和高中 ………61

表4-1-13 錯誤題型-六和高中 ………63

表4-1-14 後測答對率-香山高中………63

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表4-1-15 錯誤題型-香山高中………65

表4-1-16 錯誤類型-綜合討論………65

表4-1-17 前測之答對題數人數表 ………68

表4-1-18 後測答對率-高分組………69

表4-1-19 錯誤題型-高分組………71

表4-1-20 後測答對率-低分組………71

表4-1-21 錯誤題型-低分組………72

表4-1-22 錯誤類型-高、低分組綜合比較………73

表4-1-23 後測答對題數-高分組………75

表4-1-24 後測答對題數-低分組………75

表4-1-25 高、低分組-各校人數表………76

表4-1-26 前測高、低分組與後測高、低分組之矩陣表 ………80

表4-2-1 刪題後信度 ………83

表4-2-2 餘弦定理答對率………86

表4-2-3 三角函數的疊合之答對率………89

表4-2-4 複數的極式之答對率 ………93

表4-3-1 大學教授問卷統計表………95

表5-1-1 與以往文獻錯誤類型之比較 ………105

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第 第

第 第1 11 1章 章 章 章 緒論 緒論 緒論 緒論

本章節將對本研究之研究動機、研究背景、研究目的與待答問題、名詞釋義及研 究範圍與限制作一通盤描述,共分為五小節。

1.1 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機

我國在近三十年來的課程變動中,國小數學課程發展共歷經四次的修訂,分別是 民國 64 年公布、67 學年度實施的國小數學課程標準,民國 82 年公布、85 學年 度實施的國小數學新課程,民國 87 年公布、90 學年度實施的九年一貫數學課程 暫行綱要及民國 92 年公布、94 學年度正式實施的九年一貫數學課程綱要。國中 數學課程的發展也歷經民國 74 年、83 年、87 年的九年一貫數學課程暫行綱要及 民國 92 年公布、94 學年度正式施行的九年一貫數學課程綱要之四次修訂。高中 數學課程則歷經民國 73 年、84 年及 94 年修訂且於 95 八月實施的高中數學課程 暫行綱要,以及未來即將要實施取代九五暫綱的「九八課綱」,目前剛公佈了「九 八課綱」的總綱(普通高級中學課程綱要資訊網,2007)。

九年一貫的施行是教育史上的一大推動,係以「課程綱要」代替「課程標準」, 強調的是讓學生有帶著走的能力而不再是背不動的書包和繁重的知識教材。在國 中小學之課程理念方面希望可以以生活為中心,配合學生身心能力發展歷程,更 強調希望學生可以擁有「了解自我與發展潛能」、「欣賞、表現與創新」、「生涯規 劃與終身學習」、「表達、溝通與分享」、「尊重、關懷與團隊合作」、「文化學習與 國際了解」、「規劃、組織與實踐」、「運用科技和資訊」、「主動探索與研究」、「獨 立思考與解決問題」這十大能力。

而九十四學年度的高一學生即是九年一貫課程施行以來的第一屆高中一年 級學生,在面臨了教材的更新、教學模式的改變以及課程綱要的頒佈下,我們希 望可以了解這一屆學生的學習狀況與學習效果。綜觀高中數學裡,三角函數普遍 被視為高一學生學習數學的夢魘,新的觀念建立、短時間的加深加廣、眾多公式 的推導與應用,在在帶給學生莫大的壓力,所以選定三角函數為課題,想要透過

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三角函數了解九年一貫下的學生是否和以往的學生學習狀況有所差異?經過國 中課程的薰陶是否有助於在數學方面的思考?本研究擬以學生的錯誤類型、學習 狀況對九年一貫的學生做更進一步的探討與評析,期盼本文可以在「九八課綱」

中對於課程的編排、綱要的修訂、十二年國教的推行計畫以及教師在教學上提供 有用之參考。

1.2 研究背景 研究背景 研究背景 研究背景

本研究選定三角函數為課題的理由有以下兩項:

1. 三角函數的概念中,涵蓋數與量、代數、幾何三大主題能力指標

民國 83 年課程綱要將「三角函數」列為國中選修教材,但是因為國中學力基本 測驗不將選修內容納入命題中,所以在國中課程中大都以較少的篇幅、時數來介 紹三角函數,這也間接的影響到高中學習此單元的基礎。而在九年一貫數學領域 正式綱要公布後,三角函數的內容已從國中教科書中刪除。然而在此項的措施下 唯恐造成國中與高中教科書內容上的落差,在《九年一貫數學學習領域九十四學 年度銜接高中課程教材》中,把「平面幾何的基本性質」與「三角函數的基本概 念」列入十大銜接教材 (國立中正大學數學系,2005)。

在小學至國中教科書中三角函數相關課題的鋪陳範圍非常廣泛,包括三角形 的認識、角的定義、三角形的面積、平面坐標、圓周率、比與比值、相似三角形 性質與畢氏定理,以及高一上學期介紹函數的概念。因此,可以看出三角函數的 先備知識橫跨十個年級的學習。而這十個年級的概念更是涵蓋了九年一貫中的四 大主題—數與量、代數、幾何、統計與機率中的數與量、代數和幾何。三角函數 的課題涉及數與量領域中整數、分數與小數的大量計算,代數領域中未知數、直 角坐標系、二元一次方程式等與幾何領域中各種形體的角度、面積與三角形的各 種性質等能力,並架構於函數概念之上。

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楊淑芬(1993)指出三角函數學具有千百年歷史而且在實際生活上有極廣泛 的應用(引自陳忠雄,2003)。

因此,本研究欲以此主題分析九年一貫的第一屆高中學生學習現況與錯誤類 型。

2. 三角函數佔高中課程內容極大的篇幅

依據教育部指導,中正大學執行之九年一貫數學學習領域九十四學年度銜接高中 課程教材中,主題包括「乘法公式與多項式」、「因式分解」、「平方根與立方根」、

「一元二次方程式」、「線型函數與二次函數」、「不等式」、「數列與級數」與附錄 中的「集合的概念」、「平面幾何的基本性質」與「三角函數的基本概念」等十個 單元。其中以長達六頁的篇幅來介紹三角函數的源起、三角函數的定義以及角邊 性質等,而且在高中的課程中,唯有三角函數橫跨兩個章節,分別是高一下第二 章的「三角函數基本概念」與第三章的「三角函數的性質與運用」,在教科書中 以如此大的篇幅希望可以傳授給學生相關的知識,甚至將三角函數列入十大銜接 課程中,三角函數的重要性可見一斑。

另外瀏覽了中正大學執行之「九年一貫數學學習領域九十四學年度銜接高中 課程教材」,與「九年一貫數學學習領域九十五暨九十六學年度銜接高中課程教 材」這兩份教材中,可以發現雖其目錄在課程編排上稍有變化,但是卻都將「三 角函數的基本概念」明列其中。在引出三角函數之前,也都有13 頁的「平面幾 何基本性質」作為對幾何的導引,在「平面幾何基本性質」中也明白指出在高一 課程中並未有幾何的章節,但是因為在某些三角函數的推導過程中,涉及幾何知 識,所以在銜接課程中以一個章節共13 頁的份量介紹平面幾何的基本性質。另 外「三角函數的基本概念」在兩份教材中的份量,九十四學年度以6 頁的篇幅作 為介紹(全文127 頁),而在九十五暨九十六學年度中,以 18 頁的篇幅作為介紹

(全文189 頁),九十五暨九十六學年度介紹三角函數的篇幅是九十四學年度的 三倍,以「三角函數的基本概念」與全文的百分比作為比較,九十四學年度「三

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角函數的基本概念」約佔全文的5%,但在九十五暨九十六學年度中,「三角函 數的基本概念」約佔全文的10%。以這樣的數據可以大膽的推測,在經歷九十 四學年度課程之後,銜接教材的製作計畫相關人員有鑑於高一學生對三角函數相 關知識的薄弱,所以在九十五暨九十六學年度中,特別增加了近三倍的相關知 識,以期讓之後的高一學生對三角函數有更多的認識,可見三角函數的相關課題 是相當受到重視的。

1.3 研究目的與待答問題 研究目的與待答問題 研究目的與待答問題 研究目的與待答問題

本研究的主要目的在於:

1. 瞭解九十四學年度入學的高一學生,學習三角函數內容上的錯誤類型。

2. 以九十四學年度入學的高一學生,和以往文獻上的錯誤類型作一比較。

3. 瞭解學習時間與錯誤類型的關係。

4. 瞭解學習時間與學習成效的關係。

5. 為銜接大學課程,希望了解高中所必須修讀的三角函數相關內容。

希望透過此研究,可作為「九八課綱」在課程綱要上編排的參考,也希望可以做 為教師施行教學、補救教學與未來研究等之參考資料。

根據研究目的,本研究針對三角函數的課題提出以下五個具體問題:

1. 九十四學年度入學高一學生在三角函數上的錯誤類型有哪些?

2. 將錯誤類型與文獻作比較,看看近年來高一學生在三角函數上的錯誤類型 是否有所差異?

3. 提早接觸三角函數者與跟著學校進度學習三角函數者,在學期末對於三角 函數的錯誤類型是否會相同?

4. 提早接觸三角函數者在學期末的評量結果是否會比較好?

5. 普查五本大學用書,觀察哪些三角函數是大學課程中會用到的?

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1.4 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義 名詞釋義

1. 高一學生:本研究所提及的高一學生,指的是九十四學年度入學的高一學 生。

2. 錯誤類型:本研究所指的錯誤類型是以本研究自編的「三角函數學習現況 調查研究試卷(前、後測)」,以及各校的第二次段考、期末考試卷中,將 答對率不足 60%的題型,定義為本研究的錯誤類型。

3. 學習成效:本研究所提及的學習成效,是以期末評量中的錯誤類型多寡,

來定義學生的學習成效優劣。

1.5 研究限制與範圍 研究限制與範圍 研究限制與範圍 研究限制與範圍

1. 本研究範圍設定於以三角函數為相關課題。

2. 受限於人力、物力、時間與經濟等因素,以北台灣之大台北地區、桃園地區 以及新竹地區中六所學校,二十個班級共 829 人為施測對象。推論上宜與此相 類似的對象為之。

3. 在研究工具方面,本研究是以自編的「三角函數學習現況調查研究試卷(前、

後測)」、各校的第二次段考考卷以及各校的期末考考卷,作為錯誤類型來源的 依據。以「九年一貫實施後學生進入高中學習三角函數現況之教師意見訪談大 綱」作為訪談二十位高中教師的依據。以「大學生在各科系學習或各領域所需 三角函數相關知識的多寡」為問卷訪談六個國立中央大學系所(生命科學系、

化學系、企管系、財金系、資訊系與經濟系)的教授。並參考以下三大領域的 大學用書來探討大學生所會用到的三角函數相關知識:

˙微積分

Thomas' Calculus (11E)(新月圖書、東華代理)。

Instructor' s Solutions Manual Part 1 & Part 2(根據 Thomas' Calculus(11E)推出的習 題詳解)。

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Larson and Edwards,Calculus(6E)。

˙統計

D. D. Wackerly,W. Mendenhall III and R. L. Scheaffer,Mathematical Statistics with Applications (6E)。

˙線性代數

B. Kolman and D. R. Hill,Elemetary Linear Algebra (7E)。

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第 第

第 第2 22 2章 章 章 章 文獻探討 文獻探討 文獻探討 文獻探討

三角學源於探討三角形的邊角關係,特別是從三角形的三內角與三邊長所組成的 六個元素中的某三個元素決定出三角形的其他元素;埃及、中國與巴比倫都各自 發展出一些三角學的知識,一般相信三角學的創立者是古希臘的西帕修斯

(Hipparchus of Greece,約 190BC~120BC)(翰林數學課本第二冊,2007),而因 為天文學的觀測和研究,到 15 世紀時三角學發展成一門獨立的學科。然而三角 函數的由來是因為三角學而興起,隨著微積分的發展,三角函數的研究也越來越 多,並且有了三角函數的應用。到了 18 世紀初,六個三角函數被認為是圓內和 某弧有關的線段長。直到 1748 年,在數學家 Euler 之後,三角學才真正成為一門 具有解析性的數學(余酈惠,2003)。

在此章的文獻探討中,先概述三角函數的學習目標,再將所查閱到的三角函 數相關論文以錯誤類型及三角函數錯誤類型等兩大類文獻一一概述,最後以各論 文中的錯誤類型整理為本章之小結。

2.1 2.1 2.1 2.1 三角函數之教學目標 三角函數之教學目標 三角函數之教學目標 三角函數之教學目標

在張琇涵(2006)的論文「台灣與新加坡三角函數課程之教科書比較」中第 4.1.1 節台灣數學課程之三角函數教學目標以及南一版教師手冊第二冊中提到,三角函 數的課程內容編寫在高一下學期第二章與第三章。

第二章「三角函數的基本概念」中,引入廣義角與三角函數的概念,探討三 角形邊角之間的關係,導出正弦定理、餘弦定理,並討論解三角形的問題及測量 上的應用。共分六節,教學目標如下:

˙銳角三角函數

1. 了解兩直角三角形中,若有一雙銳角對應相等,則其任意兩對應邊所成的 六個比的比值也對應相等。

2. 了解銳角θ的六個三角函數值:sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ、cscθ

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的意義,並知道它們隨θ的度數而變。θ給定,這六個值也跟著確定,它 們都是θ的函數。

˙三角函數的基本關係

1. 能利用銳角三角函數的定義,證明倒數關係、商數關係及平方關係。

2. 知道銳角的某一三角函數值,利用上述關係,求得其餘五個三角函數值。

3. 能利用上述關係,證明一些簡單的三角恆等式。

4. 能利用銳角三角函數值的定義,證明餘角關係。

5. 能利用倒數關係、商數關係、平方關係及餘角關係,簡化三角函數值的計 算。

˙簡易測量與三角函數值表

1. 能認識測量術語:仰角、俯角及方位,並了解方位的表示法。

2. 能根據所附的三角函數值表,及利用線性內插法求得銳角的三角函數值。

3. 給一個三角函數值,能利用所附的三角函數值表,查得其所對應的銳角。

4. 能將簡單的測量問題轉化為三角形邊角的問題,並利用三角函數的概念求 解。

˙廣義角的三角函數

1. 能了解始邊、終邊、旋轉量、正角、負角及廣義角的意義。

2. 能了解廣義角及同界角的意義,並知道同界角的三角函數值相同。

3. 給定一廣義角,能求出其介於0 與° 360 之間的同界角。 ° 4. 能判斷每一象限角各三角函數值正負。

5. 能知道當θ為±90 的同界角時,° tan 與θ sec 無意義。 θ 6. 能知道當θ為0 或° 180 的同界角時,° cot 與θ csc 無意義。 θ

7. 能將(−θ)、(180° ±θ)、(360°−θ)、(90° ±θ)、(270° ±θ)的三角函數值 化為θ的三角函數值。

(22)

2. 能證明餘弦定理。

3. 能利用正弦定理、餘弦定理理解三角形,並推導其他幾何性質。

˙基本三角測量

能將日常測量問題轉化為解三角形問題,並利用各種三角關係式求解。

第三章「三角函數的性質與應用」中,引入角的弧度度量,將三角函數視為 實數間的對應,並在坐標平面描繪其圖形,了解其特性,然後導出和、差角公式,

倍角、半角公式,和、差與積的互化公式,進而討論正、餘弦函數之疊合問題及 反三角函數的基本概念,最後介紹複數的極式、隸美弗定理,並介紹極坐標。共 分為七節,教學目標如下:

˙三角函數的圖形

1. 知道「弧度」單位的意義及度量方法,及作「弧度」與「度」間的轉換。

2. 能由圓半徑及圓心角求其所對的弧長與所成之扇形的面積。

3. 能利用描點法描繪正弦函數的圖形,並知道如何透過平移及伸縮,由 sin

y= x的圖形描出y=asin(bx+c)+ 及d y=cosx之圖形。

4. 能透過平移和伸縮,由y=cosx的圖形描出y=acos(bx+c)+ 之圖形。 d 5. 能利用描點法描繪出正切函數的圖形,並利用平移及鏡射的方法,由

tan

y= x的圖形描出y=cotx的圖形。

6. 能利用倒數關係,由y=cosx的圖形描出y=secx的圖形。

7. 能利用平移的方法,由y=secx的圖形描出y=cscx的圖形。

8. 能知道六個三角函數的定義域、遞增或遞減之變化情形、週期、最大值與 最小值以及判斷是為奇函數或偶函數。

˙和角公式

1. 能證明正弦函數與餘弦函數的和角公式,且應用其求值。

2. 能導出正切函數的和角公式。

(23)

˙倍角、半角公式

1. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的倍角公式。

2. 能導出正弦函數、餘弦函數及正切函數的半角公式。

˙和、差與積的互化

1. 能利用和、差角公式導出積化和差與和差化積的公式。

2. 能利用上述公式求值及轉換三角函數式。

˙正餘弦函數的疊合

1. 能將y=asinx+bcosx轉化成

y= a2+b2sin(x+θ)或y= a2+b2cos(x+φ) 的形式。

2. 能應用上述的方法,能解最大值或最小值的實際問題。

˙反三角函數的基本關係

1. 能了解符號sin a1 的定義,並知道定義域為[-1,1],值域為[ , ] 2 2

−π π ,且與

定義於[ , ] 2 2

−π π 上之正弦函數y=sinx互為反函數。

2. 能了解符號cos a1 的定義,並知道定義域為[-1,1],值域為 [0, ]π ,且與定 義於[0, ]π 上之餘弦函數y=cosx互為反函數。

3. 能了解符號tan a1 的定義,並知道定義域為 R ,值域為( , ) 2 2

−π π ,且與定

義於( , ) 2 2

−π π 上之正切函數y=tanx互為反函數。

˙複數的極式

1. 了解複數平面上一點之向徑、幅角及主幅角之意義。

2. 了解複數的極式表示法,並能將給定的複數化為極式。

3. 能透過複數的極式,了解兩複數相乘的幾何意義。

(24)

5. 能利用隸美弗定理做複數的乘、除運算。

6. 能利用隸美弗定理推出正、餘弦函數的倍角公式。

7. 能利用隸美弗定理解方程式xn =α(α∈R)。

8. 能知道xn =α之解恰為以原點為圓心, 半徑為n |α|之圓內接正 n 邊形

(其一頂點為 | |(cos sin ) i n

n θn θ

α + ,θ=0 或θ=π) 的 n 個頂點。

9. 了解極、極軸的意義及極坐標的表示法。

10. 給定極坐標, 能在極坐標格子圖中標出其所代表的點。

11. 給定極坐標格子圖上一點, 能寫出其極坐標。

2.2 2.2 2.2

2.2 三 三 三角函數相關研究 角函數相關研究 角函數相關研究 角函數相關研究

有關三角函數的研究相當多。其中有若干研究指出若將「數學史」融入高一學生 數學學習中,融入數學史的實驗組學生,學習成效會優於傳統教學法的控制組

(如:蔡佳燕,2004)。亦有若干研究指出若將動態幾何系統(如:GSP)融入高 中數學科廣義角三角函數單元中,則接受 GSP 電腦輔助教學的學生在數學學習 態度上有正面的影響(如:鄭志明,2003)。這些研究是屬於在研究三角函數的 教學部分。雖然有如此多的研究在探討三角函數的教學部分,但是,因為本研究 所要探討的為高一學生學習三角函數狀況的部分,所以在此並不加以贅述,而單 以與三角函數有關的論文作為探討。

以下我們選定以與三角函數的錯誤類型為探討的目標。第一小節探討近年來 我國課程在三角函數上的變化與發展,第二小節探討國內有關三角函數的相關論 文,在第三小節中則專門探討有關三角函數之錯誤類型的論文,並將其做一比較。

(25)

2.2.1 2.2.1 2.2.1

2.2.1 三角函數課程之發展 三角函數課程之發展 三角函數課程之發展 三角函數課程之發展

三角函數的課程經過多次的精簡或變動。民國 74 年教育部公佈國民中學數學課 程標準,其中明訂將相似形、二次函數等相關內容列入三角函數的先備知識並且 將「數值三角及其應用」列入課程編排中,讓國中學生可以對三角函數有一基本 的認識。民國 83 年,教育部公佈國民中學數學課程標準,編寫了銳角三角函數 與三角函數的應用相關內容,相關教材內容如下:

表2-2-1 國中三角函數課程之演變

民國八十三年十月教育部修訂公布的國民中 學數學課程標準對相關教材之變革

民國七十四年四月教育部修訂 公布的國民中學數學課程標準

內容 列入必

修教材

列入選 修教材

大幅精簡 或刪除

備 註

第一章 相似形 1-1 比例線段 1-2 相似形的意義 1-3 相似三角形 1-4 相似形的應用







  直角三角形

相似定理列 為選修教材。

第二章 二次函數 2-1 變數與函數 2-2 二次函數的圖形 二次函數的最大值與最 小值







(26)

第三章 數值三角及其應用 3-1 銳角三角函數 3-2 三角函數的基本關係

3-3 用查表法求三角函數值 3-4 三角函數的應用









只介紹正、餘 弦與正切函 數之函數值。

(張琇涵,2006)

民國 83 年中,將三角函數列入選修教材,使得國中學生在進入高中前對三 角函數基礎認識的不一致。民國 87 年九年一貫數學課程暫行綱要的公佈,將三 角函數從國中課程中刪除,所以國中學生在進入高中前,對三角函數的認識僅 有:相似形、二次函數圖形的概念、三角形的幾何性質等認識。因為上述課程的 變動,造成各界恐慌數學能力的低落,所以教育部發行了「樂在數學參考手冊」

來順應輿論對提昇國小學生計算能力的呼籲,更於 92 年召開數學小組諮詢會 議,針對九年一貫數學課程的影響與改進進行討論。教育部更鑑於國民中學與高 級中學課程之落差,委任國立中正大學數學系編寫高中銜接教材,提供九十四學 年度高中入學新生作為數學領域補救教學之用。

國立中正大學並對高中三角函數課程提出兩點建議:1. 只處理正弦、餘弦 和正切三個三角函數的圖形,至於餘切、正割和餘割的圖形可列為參考資料。2.

刪除反三角函數,希望能讓學生在整體的知識上有連貫的學習(張琇涵,2006)。

這些建議都反映在九五暫綱內。

2.2.

2.2.

2.2.

2.2.2 2 2 三角函數相關論文 2 三角函數相關論文 三角函數相關論文 三角函數相關論文

在這一節中,研究者找到了眾多與數學相關概念、課程與錯誤類型的論文,將其 全面的整理並放置在附錄六。在此僅討論與三角函數有關的論文。

(27)

黃建興(2004)「國小教師數學單元教學之探討─以圓周率教學為例」中發現,

學生學習圓周率困難的原因有二:一是對於圓心、直徑、半徑和圓周長相關概念 的知識不足;二是缺少長度測量的能力,不會測量圓周長。

吳佳起(2003)「函數單元學習前後的概念成長探討」,國中二年級學生在函數方 面存在許多錯誤類型,以及對於函數的迷思概念:

(1) 在學生初次學習函數的概念前後,其函數概念有顯著的不同。

(2) 函數單元的學習,最有助於「壓縮」層次的學生進階到「物化」層次。

(3) 學生存在著許多錯誤類型。如:自變數與應變數的角色混淆顛倒。

黃振乾(2005)「高一學生解反函數問題之研究」,研究結果指出,學生普遍在非 映成函數的概念發生錯誤,此外對於以合成函數定義反函數的定義,存在一些迷 思。在個案方面顯示將函數的對應域、值域混淆,導致判斷非映成函數其反函數 是否存在上發生錯誤。但學生可以使用變數變換的方式求變數表徵函數之反函 數,以合成函數的方式驗證。此外,學生誤解反函數的定義,使其解題過程中發 生部分錯誤。

曾淑鑾(1990)「高中生線性內插法瞭解的研究」,內插法概念知識方面發現約六 成學生對內插法表徵系統圖形到數學式的轉換能力不夠好;在過程知識方面發 現,計算錯誤為可線性估算函數值問題的錯誤主因之一;解題方面發現, 有規 律的非局部線性圖形,會因其規律性使學生認為可以使用內插法,且估算函數值 時,不管函數是否局部線性,似乎線性內插法是學生主要的估測策略。

(28)

於教學中。而台灣的先備知識完備性較新加坡的多且深,讓學生可以有充足的時 間奠定良好的基礎,但是教材的連慣性卻不足新加坡的編制,所以建議可以在教 材的設計上,拉長三角函數的教學時程,可以讓學生發揮較好的學習成效。

郜錦程(2006)「台灣與英國三角函數課程之教科書比較」,對課程設計者的建議:

希望可以更留意各單元與三角函數的關連性、調整單元內主題比重、順序、分段 實施三角函數單元內容、並注意三角函數的銜接課程是否足以讓學生學習有關三 角函數的內容基礎與潛在課程的編制。

綜觀國內研究三角函數的相關論文相當多,張琇涵(2006)曾對三角函數的 文獻依研究者、年代、研究題目、研究內容等類別整理,在此依此表格為依據將 其較新或再尋找到的文獻資料整理如下。

表2-2-2 國內三角函數相關文獻

研究者(年代) 研究題目 研究內容

曾淑鑾 (1990)

高中生線性內插法瞭 解的研究

(1) 探討高中生在估測函數值問題的解題 表現,並分析其解題策略。(2) 檢驗不同 的變因對線性內插法概念瞭解的影響。(3) 歸納研究結果,試提若干建議供教學上參 考。

姚如芬

(1993)

高雄地區高一學生數 學學習態度與其學習 成就之相關研究

探究我國高中學生數學之學習態度與學 習成就的相關性,並歸納影響高中學生數 學學習態度的主要因素。

(29)

張景媛 (1994)

國中生數學學習歷程 統整模式的驗證及應 用:學生建構數學概 念的分析及數學文字 題教學策略的研究

(1) 以模式考驗的方式驗證本研究之「國 中生數學學習歷程統整模式」;(2) 以質的 研究方法探討學生在數學文字題上所產 生的錯誤概念,並探究學生如何建構出正 確的數學概念;(3) 編製「後設認知與動 機信念訓練課程」及「數學文字題解題策 略訓練課程」,並以教學實驗的方式利用 這些課程進行策略教學效果的考驗。

施盈蘭 (1995)

五專生的三角函數學 習現象

探討五專生對三角函數在廣義角,廣義數 值三角及三角函數概念三部份的認知情 形。

陳姿妍

(1996)

中學生處理有輔助線 需求之幾何證明的錯 誤分析

探討中學生在幾何證明題的錯誤類型和 錯誤原因。

黃純杏 (2001)

高中學生廣義角的三 角函數運算錯誤概念 類型之研究

探討高中學生在廣義角的三角函數運算 的錯誤類型及錯誤原因。

陳美卿

(2002)

高雄市高中生複數絕 對值概念及運算錯誤 類型之分析研究

探討高中學生在複數絕對概念及運算之 錯誤類型與錯誤原因。

吳佳起 (2003)

函數單元學習前後的 概念成長探討

探討國二學生在函數的單元學習前後,其 函數概念層次的變化情形,及學生的錯誤 類型與迷思概念。

(30)

陳忠雄 (2003)

高中學生三角函數概 念學習錯誤類型研究

探討高中學生在三角函數單元存在那些 錯誤概念,並分析學生的三角函數錯誤概 念的類型與形成錯誤概念的原因。

黃建興

(2004)

國小教師數學單元教 學之探討─以圓周率 教學為例

分析現有教科書中圓周率課程設計的內 容,瞭解圓周率課程的設計梗概,並從中 探討學生學習的困難。

簡志明 (2004)

高一學生銳角及廣義 角三角函數基本概念 應用運算錯誤類型之 研究

探討高一學生學習銳角及廣義角三角函 數的基本概念後,其概念發展情形與學生 運算錯誤的類型及造成錯誤之原因。

賴潔芳 (2004)

二階段評量應用在高 中生三角函數學習成 效之研究

探討運用二階段診斷評量分析高中學生 學習三角函數的錯誤概念類型,與錯誤概 念形成的原因,並依據此項發現來設計高 中學生學習三角函數之教學活動,據此探 究教學活動對學生學習三角函數單元的 成效。

黃振乾 (2005)

高一學生解反函數問 題之研究

以反函數定義的認知、反函數的求解及反 函數的驗證,三個階段進行測驗及訪談。

黃世穎 (2005)

台灣與日本高中現行 數學教材比較

探討兩國高中數學課程之設計,就數系、

多項式、不等式、三角函數、指數與對數、

圓錐曲線、平面向量與空間圖形、矩陣、

微積分、數值計算和機率與統計等十一個 主題進行教材比較。

黃見益

(2005)

中部地區高二學生複 數極式之錯誤類型

探討學生在複數的極式上的錯誤類型與 錯誤原因,以及高中學生對複數概念。

(31)

林依伊

(2006)

反三角函數錯誤類型 分析之研究

探討高中學生在反三角函數概念及運算 的錯誤類型與錯誤原因。

張琇涵

(2006)

台灣與新加坡三角函 數課程之教科書比較

探討台灣與新加坡從一到十年級的數學 教材中三角函數的相關主題,並比較兩國 鋪陳三角函數相關課題的異同。

郜錦程

(2006)

台灣與英國三角函數 課程之教科書比較

探討台灣與英國從一到十年級的數學教 材中三角函數的相關主題,並比較兩國鋪 陳三角函數相關課題的異同。

對本研究的啟示

三角函數是一門橫跨了眾多主題的科目,他包含了三大主題能力指標—數與 量、代數與幾何,並且架構在函數之上,但是課程研究者認為在台灣的教材中,

以三角函數的先備知識而言,比起新加坡與英國是足夠的,但是因為將三角函數 變為國中的選修教材後與九年一貫實施後,刪除了國中有關三角函數的單元,造 成國中生並未接觸過三角函數的單元,所以對學生在高中一年級學習時會有比較 大的負擔。所以也希望透過本研究可以看出端倪,看看是否如課程研究者所述,

並對新的課程編排有所助益。

2.2.3 2.2.3 2.2.3

2.2.3 三角函數錯誤類型之研究 三角函數錯誤類型之研究 三角函數錯誤類型之研究 三角函數錯誤類型之研究

Browm & Burton (1978) 指出分析學生錯誤類型的過程對教師及學生皆有幫 助(陳忠雄,2003)。 Borasi (1987)提出教師藉由詳實的錯誤類型分析,可發現學 生的學習困難,並瞭解學生錯誤的可能原因是否是由於錯誤的思考過程或其他原 因所造成,而得到的診斷資料可作為設計補救教學時的參考依據,並針對學生的 問題作有效的矯治(陳忠雄,2003)。黃敏晃(1998)認為行為(包含由不是不

(32)

比較容易進行補救性教學(簡志明,2004)。而部分國中生的學習心態都是經由 練習再練習(drill and practice),然而太多練習加強了連結,卻忽略理解,這種情 況常發生在台灣的升學背景下,造成學生只背公式,不理會真正的意義(簡志明,

2004)。

所以 在此節中,整理了七篇有關三角函數錯誤類型之研究,並且將他們分 述如下。在本研究的最後,找到了九十四學年度入學高一學生的錯誤類型之後,

會與此節的內容作一比較,看看經過地區上與教育政策的不同,錯誤類型是否會 有所差異。

施盈蘭(1995)「五專生的三角函數學習現象」,廣義角三角函數概念方面的錯誤 類型有:

1. 多數學生對於廣義角的認識模糊不清,易受到思維經驗及典型的視覺心像影 響,而將坐標平面、象限、始邊的位置等非本質屬性納入廣義角的概念中 2. 在求值廣義三角函數的過程中,常易受到思維經驗中銳角三角函數定義的概

念心像影響,使得在利用教科書上的操作型定義圖解題目時,形成錯誤的程 序性知識

3. 對於三角的函數概念沒有很明確的認識,且易受到思維經驗的影響,產生知 識的負遷移(對新知識的學習起干擾或抑制作用)而進行錯誤的判斷或代數 運算。

表2-2-3 三角函數的錯誤類型 單元內容 錯誤概念類型

廣義角 圖形錯覺,由圖形誤導廣義角度數。

誤認一圈等於180 度,對於一圈 360 度做不當推論。

對於旋轉量的認知沒有深刻的體認,難以想像大於360 度的角度。

有向角方向錯誤或忽略始邊、終邊這些本質屬性所附與廣義角的意

(33)

義,將角度所涵蓋的象限當成有向角性質符號的判定依據。

學生對於同界角的概念非常模糊,傾向以幾何圖形判斷法。

角度的單位換算有問題。

銳角 三角函數

定義的理解不清楚。

三角形三邊長性質的誤用。

三角形邊角關係先備知識不足,對於圖形中呈現的直角三角形一律當 成所認知的特別角角度的三角形。

廣義 三角函數

定義的理解不清楚。

各三角函數值範圍錯誤。

代數性質的誤用:乘法性質的誤用、誤認三角函數具有線性性質、三 角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的正負不會判斷。

廣義三角函數的求值解題策略偏愛使用代數記憶公式,但不是很符合 概念地學習公式,導致不能很正確地運用公式。

對於定義操作步驟的程序性知識亦不夠熟稔,求值時,易忽略有向線 段的性質符號,或是邊長的比例錯誤。

對於同界角三角函數,少從同界角的方向去判斷其值相等。

對於廣義三角函數定義的圖解步驟,步驟執行技巧不夠熟練,缺乏完 整的程序性知識。

對於三角函數的概念性知識不夠完備,自行綜合歸納,做過度的歸論 類化。

三角函數 的圖形

函數週期的定義概念不清楚。

三角函數的遞增與遞減不清楚。

三角函數的圖形與平移認識、對稱性概念、三角函數的週期與振幅性 質認識不清。

(34)

黃純杏(2001)「高中學生廣義角的三角函數運算錯誤概念類型之研究」,錯誤類 型有:

1. 廣義角部分的錯誤類型有:圖形錯覺、由圖形誤導廣義角度數、地理方向錯 誤、有向角方向錯誤、廣義角大小錯誤及數值計算錯誤。

2. 廣義角的三角函數部分的錯誤類型有:三角函數基本定義錯誤、三角函數值 錯誤、各三角函數值範圍錯誤與其他錯誤類型

錯誤原因有:

1. 因概念不清產生的錯誤:對廣義角定義不瞭解、廣義角與三角函數值定義混 淆,相似概念混淆產生錯誤、三角函數基本定義產生錯誤、三角函數值與角度 產生錯誤、三角函數關係式誤解用法、不瞭解三角函數符號。

2. 對圖形的錯覺:學生會將題目所附的圖形以自己的方式去分析。

3. 題目數字影響:學生將題目所給的數字,用自己認為合理的運算找出答案。

4. 受先前學習過的知識或本單元學習經驗影響作錯誤推論:學生會因為舊經驗 學習不夠熟悉容易遺忘,或是過度的依賴舊有經驗,而將其做不當或過度的 推論。如將一圈 360 度或者分配律作不當的推論、將題目與自己熟悉的三角 函數值聯想在一起、將三角函數值產生的基本運算看成與角度之度數產生的 基本運算性質一樣、誤認一圈為 180 度、常用的直角三角形邊長比例弄混淆 等。

5.誤譯語文:學生將數學問題原文轉譯成數學語言時所產生的錯誤。

6.其他錯誤:如粗心計算錯誤、拼湊答案等。

陳忠雄(2003)「高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究」,研究結果發現學生 錯誤類型主要有下列六部份:

1. 三角函數與反三角函數定義的概念不清:三角函數與反三角函數的定義混 淆、不瞭解三角函數的定義域、不瞭解三角函數的值域、不瞭解反三角函數

(35)

的定義域。

2. 三角函數符號運用的概念不清:乘法性質的誤用、函數與反函數合成的誤用、

三角形三邊長性質的誤用。

3. 三角函數運算性質的概念錯誤:三角函數的遞增與遞減不清楚、三角函數的 平方關係不清楚、誤認三角函數具有線性性質、三角函數的正負不會判斷、

三角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的疊合性不清楚、三角函數值相等的概 念不清。

4. 角度的基本性質概念不清:角度的單位換算有問題、同界角的認識不清 5. 三角函數的圖形概念不清:三角函數的圖形與平移認識不清、三角函數圖形

的對稱性概念不清。

6. 三角函數的週期與振幅概念不清:函數週期的定義概念不清、三角函數的週 期與振幅性質認識不清。

錯誤原因有:

1. 未能達成「概念的獲得」的錯誤概念原因有:對三角函數與反三角函數定義 的概念缺乏、三角函數的定義域概念缺乏、三角函數值域的概念缺乏、反三 角函數的定義域概念缺乏、角度的單位換算不清楚、同界角的概念缺乏、函 數週期的定義概念缺乏

2. 未能達到「概念的同化」的錯誤概念原因有:乘法性質的誤用、函數與反函 數合成的誤用、三角形三邊長性質的誤用、三角函數的遞增與遞減性概念缺 乏、三角函數的平方關係的概念缺乏、誤以為三角函數具有線性性質、三角 函數的正負號判斷錯誤、三角函數的奇偶性概念缺乏、三角函數的疊和性概 念缺乏、三角函數圖形與平移概念缺乏、三角函數圖形的對稱性概念缺乏、

三角函數的週期與振幅的概念缺乏。

(36)

簡志明(2004)「高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤類型之 研究」,錯誤類型有:

1. 銳角三角函數:對定義不清楚、角度與邊長的對應關係為片段性的認知、無 理數運算過程出錯、解聯立方程式產生錯誤、對恆等式轉換不熟悉而產生誤 用、代數觀念薄弱,無法作答、沒有記憶 30°—60°—90°三角形的三角函數 值、運算不完整。

2. 廣義角三角函數:對同界角、廣義角定義不清楚、角度的範圍無法使用不等 式表示、各象限角的三角函數值正負判斷錯誤、角度轉換錯誤、三角函數方 程式不會分解、象限角的三角函數值為錯誤值、不會查閱三角函數值表、運 算不完整。

賴潔芳(2004)「二階段評量應用在高中生三角函數學習成效之研究」,錯誤類型 有:弧度與函數值概念的錯誤概念、圖形概念的錯誤、正餘弦疊合概念的錯誤概 念、廣義三角函數的錯誤概念、三角函數的運算性質錯誤概念、反三角函數概念 的錯誤概念、角度單位換算的錯誤概念。

林依伊(2006)「反三角函數錯誤類型分析之研究」,研究中指出錯誤原因有:基 本概念知識不足、沒有能力運用適當的符號表徵溝通數學概念、憑直覺或關鍵字 做反應、未能檢核題目所需條件是否成立、對符號結構缺乏深層認識、先前不穩 固的學習造成知識的負遷移、用固定的思路與解題策略解決問題。

黃見益(2005)「中部地區高二學生複數極式之錯誤類型」,研究中指出在「將複 數化為極式及隸美弗定理的應用」的錯誤原因有:高一上學期時,對於虛數的概 念不清,導致於對複數的形式更無法接受;對於複數與高斯平面的一對一對應的 概念無法理解,導致於更不能接受複數有絕對值的概念;三角函數的學習情形不 佳,導致在化複數為極式時發生主幅角錯誤的情形;運算過程中發生邏輯推理不

(37)

正確的情形;計算錯誤;題意理解不清,導致誤用公式。

受測學生對於「複數絕對值、複數極式、隸美弗定理以及複數的 n 次方根」

的概念發展情形為:許多學生對於複數上只停留在高一所學之虛數 i 的概念,仍 然無法理解複數是由實部及虛部所組合而成的一個數系;學生的三角函數部份之 學習狀況不佳,對於三角函數在四個象限中的正負號仍然模糊不清;複數的引入 更無法接受,完全不能理解所代表的意義。

而將研究三角函數錯誤類型的七篇文獻,依其研究者、年份、論文名稱以及 所找到的研究對象分別如下:

˙施盈蘭(1995)「五專生的三角函數學習現象」。

˙黃純杏(2001)「高中學生廣義角的三角函數運算錯誤概念類型之研究」,研究 對象為台南的兩所國立高中,八個班,共311 位學生。

˙陳忠雄(2003)「高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究」,研究對象為嘉義 的某高中,高二、高三各一個班,共78 位學生。

˙簡志明(2004)「高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤類型 之研究」,研究對象為高雄某高中,高一,三個班級,共113 位學生。

˙賴潔芳(2004)「二階段評量應用在高中生三角函數學習成效之研究」,錯誤類 型的研究對象為台南某高中,高三學生,37 位學生。

˙林依伊(2006)「反三角函數錯誤類型分析之研究」,研究對象為台南某高中,

高一,共210 位學生。

˙黃見益(2005)「中部地區高二學生複數極式之錯誤類型」,研究對象為中部地 區某高中二年級,共95 人。

綜合他們提出的錯誤類型整理如下表。

(38)

表2-2-4 三角函數錯誤類型統整

三角函數相關概念

施 盈 蘭

黃 純 杏

陳 忠 雄

簡 志 明

賴 潔 芳

林 依 伊

黃 見 益 三角函數的定義(包括定義域、值域、各象限角

正負值、三角函數奇偶性等)

    

平方關係、倒數關係等恆等式的轉換    

同界角    

廣義角的定義    

角度關係(包含餘角關係、角度與弧度、角度與 邊長關係)

    

特殊三角形的三角函數值    

代數觀念太過於薄弱    

反三角函數   

誤以為三角函數有線性關係   角度比較大小(三角函數的遞增與遞減)  

三角函數的疊合  

三角函數的圖形(包含振幅、週期、平移、對稱)    

運算錯誤  

角度範圍不會以不等式表示 

查閱三角函數表 

複數的極式 

(39)

對本研究的啟示

在這些論文上我們可以看到國內對於三角函數的錯誤類型研究從 1995 年起 就有所研究。在這份研究中,我們將會以九年一貫第一屆畢業生在高一時期的三 角函數錯誤類型來與歷年來研究出錯誤類型的論文加以比較,看看經過了時代、

課程的改變,高中學生在三角函數上的錯誤類型是否有所差異?或者不論時空的 改變,學生對三角函數的錯誤類型依舊。來探討三角函數對於高中學生是否會太 過於艱深?以期可以對「九八課綱」做出建議,讓教師在教學過程中有所參考。

(40)

第 第

第 第3 33 3章 章 章 章 研究方法與實施步驟 研究方法與實施步驟 研究方法與實施步驟 研究方法與實施步驟

本章旨在說明本研究的的研究設計理念、研究對象與研究工具、施行步驟和資料 處理與統計,共分為五節,分述如下。

3.1 3.1 3.1

3.1 研究設計理念 研究設計理念 研究設計理念 研究設計理念

本研究主要目的在探討九十四學年度入學的高一學生對於三角函數的錯誤類 型,並分析哪些題型對高一學生太過於艱深,以作為日後數學教師實施補救教學 或改進教學策略的參考,亦將與以往的文獻作一比較,以期可以作為「九八課綱」

的參考。

本研究採用的方法分成四方面進行:

˙高一學生方面:藉由研究者自編的「三角函數學習現況調查研究試卷(前、後 測)」、蒐集各校第二次段考考卷以及各校期末考考卷的學生試卷,作為錯誤類 型來源的依據。

˙高中教師方面:以「九年一貫實施後學生進入高中學習三角函數現況之教師意 見訪談大綱」,對二十個班級的數學老師進行半結構性訪談,並以「九年一貫 實施後學生進入高中學習三角函數現況之教師意見訪談大綱」為原則,讓二十 位教師們發表他們自己的想法。

˙大學教授方面:以「大學生在各科系學習或各領域所需三角函數相關知識的多 寡」為問卷,發給中央大學六個系所的教授;問卷題目中採取以封閉式問題和 開放式問題並列的方式,讓各教授們填寫回答。

˙在大學用書方面:參考微積分、線性代數與統計等三大領域的大學用書共五冊 來探討大學生所會用到的三角函數相關知識。

3.2 3.2 3.2

3.2 研究對 研究對 研究對 研究對象 象 象 象

本研究是以北台灣的大台北地區、桃園地區、新竹地區的六所高中其中二十個班 的學生進行調查。

(41)

為配合高中教師的訪談,希望以帶領九十四學年度的高一數學教師,並且在 九十四學年度之前近三年內,有過另一次帶領高一數學經驗之教師為訪談對象,

以期可以藉由高中教師的記憶比較出九年一貫實施前後的差異。請求符合此條件 的數學老師及其班級,接受我們的訪問,而有二十位老師以其所帶領的數學班級 共襄盛舉,以下是各學校的大致資料:

大台北地區(以筆畫順序排列)

台北市立大直高中,三個班,共103 位學生。

台北市立成功高中,四個班,共170 位學生。

台北市立萬芳高中,四個班,共159 位學生。

台北縣私立徐匯高中,兩個班,共100 位學生。

根據全國教師會選聘服務網(http://www.nta.org.tw/exam)中,「九四年基北 區公立高中最低錄取分數」一文中,台北市立成功高中為九十四學年度的男生第 四志願,最低錄取分數為269 分,台北市立大直高中為 256 分(男生),台北市 立萬芳高中為229 分(女生)。而在本研究的第四章錯誤類型分析中,以這三校 作一整體表現的整理。

桃園地區

桃園縣私立六和高中,四個班,共185 位學生。

新竹地區

新竹市立香山高中,三個班,共112 位學生。

本研究希望透過這二十個班級的樣本,涵蓋數學學習成就高、中、低三種成

(42)

表3-2-1 各校人數統計表 人數

學校

總班級數 回收問卷總數

台北市立大直高中 3 103

台北市立成功高中 4 170

台北市立萬芳高中 4 159

台北縣私立徐匯高中 2 100

桃園縣私立六和高中 4 185

新竹市立香山高中 3 112

總計 20 829

在大學教授部分,因為英文版的微積分教科書,多將教科書分為兩大類—理 工用微積分與商管、生物用微積分,理工用書的微積分中,用到的三角函數並不 少,這是大眾所熟知的。所以在本研究中特別針對商管、生物用書擬訂「大學生 在各科系學習或各領域所需三角函數相關知識的多寡」為問卷,發放給國立中央 大學校內之生命科學學系、化學學系、企業管理學系、資訊管理學系、財務金融 學系與經濟學系,這六個系所共 164 位教授,也希望藉由商管、生物用微積分以 及大學教授的意見,整理出商管、生物類也就是高中時修讀數乙的學生,在大學 時所需要用到的三角函數相關知識,以期可以了解數乙的學生,到底需要修讀多 少的三角函數相關內容。

在大學用書部分,參考以下三大領域用書:

˙微積分

Thomas' Calculus (11E)(新月圖書、東華代理,屬於理工用書)。

Instructor' s Solutions Manual Part 1 & Part 2(根據 Thomas' Calculus(11E)推出的習

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題詳解)。

Larson and Edwards,Calculus(6E,屬於生物、管科用書)。

˙統計

D. D. Wackerly,W. Mendenhall III and R. L. Scheaffer,Mathematical Statistics with Applications (6E)。

˙線性代數

B. Kolman and D. R. Hill,Elemetary Linear Algebra (7E)。

觀察這三大領域用書中,各是哪些單元會使用到三角函數並且使用三角函數 的哪些部分,將其統整做一綜合整理,以期可以推測出大學生所需用到的三角函 數概念。

3.3 3.3 3.3

3.3 研究 研究 研究 研究方法與工具 方法與工具 方法與工具 方法與工具

本研究欲探討九十四學年度高一學生在三角函數上的錯誤類型、並將錯誤類型與 文獻作比較,看是有否有差異。透過錯誤類型的比較,看提早接觸三角函數者與 跟著學校進度學習三角函數者,在學期末的表現是否有差異。基於此研究主題本 研究採用「調查研究法」為本研究之基本研究法,並以「調查研究法」為原則,

設計研究工具。以下兩節分別敘述「調查研究法」與本研究的「研究工具」。

3.3.1 3.3.1 3.3.1

3.3.1 調查研究法 調查研究法 調查研究法 調查研究法

調查研究法是教育學者常用的一種標準方法,也是大家所熟知的方法,但是為 了方便以後的學弟妹有一個依據的參考,還是將所參考的三本書中的定義與分類 分述如下。

調查研究法(survey research methods)是科學研究方法中的一種,近代的調

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學、教育學、社會學、政治學以及公共衛生學等各領域的研究方法。到了 1960 年代,實證主義成為教育研究的主流,實證主義的學者主張,要充分了解社會現 象,唯有透過客觀的測量,提出科學的數據,這樣才能夠符合科學的要求(葉重 新,2004)。在教育的領域中,運用調查研究法所進行的研究文獻或專題報告,

為數相當的多。美國兩位學者採用內容分析法,分析 1964 年的四十種教育期刊 發現,約有三分之一的研究採用調查研究法(Lazarsfeld & Sieber,1964;郭生玉,

1981)。根據 1972 年英國社會科學研究委員會的調查發現,有 60%的社會科學研 究報告採用調查科學法(Marsh,1982)。民國 60 年至 73 年國內的教育博士、碩 士論文有 66.66%採用調查研究法(陳伯璋,1987)。民國 61 年至 73 年我國 66 篇教育專案研究中,採調查研究法的比率更高達 87.88%(林新發,1991)。除了 在學術研究上時常採用調查研究法之外,商業界也經常使用市場調查來蒐集商業 情報,藉以了解消費者對其產品的態度與使用情形,以便在商業競爭中提高產品 的市場佔有率。如:美國蓋洛普(Gallup)公司所做的民意調查,在了解受調查 者的意見或態度具有相當高的準確性,因而聞名於世(葉重新,2004)。因此本 研究以調查研究法為準則,研究學生的錯誤類型、教師的訪談記錄與大學教授的 問卷。

在教育上,調查研究的目的,在探討教育現象的實際情況,以作為研擬教育 計畫、改進教育現況、解決教育問題的依據。分析而言有以下五項:蒐集現況是 十、確立改進標準、研擬教育計畫、決定採行錯失與提供研究依據(林新發,

1991)。王文科(2000)定義調查研究是「研究者採用問卷(questionnaire)、訪 問(interview)或觀察(observation)等技術,從母群體成員中,蒐集所需的資 料,已決定母群體在一個或多個社會學變項或心裡學變項上的現況,或諸變項間 的關係。」;郭生玉(1995)認為調查研究是「根據母群體(population)所選出 來的樣本,從事探求社會學變項與心裡學變項的發生、分配及彼此互相關係的一 種研究法(Kerlinger,1973)。」簡單來說,調查研究就是對母體性質作描述的 一種研究(林重新,2001)。而調查研究的特徵有以下三點(郭生玉,1995):

(45)

1. 調查研究通常是以從母體抽取樣本為研究對象,有時也被稱為樣本調查研究

(sample survey research)。

2. 調查研究的變項多為心裡學或社會學的變項,社會學的變項是用來描述各人 所處的社會的特徵,如:性別、年齡、社會、職業、收入、宗教等;而心裡變 項包括個人的態度、行為、信念、動機等。

3. 調查研究可以是簡單的設計或複雜的設計,簡單的設計如屬於描述現況的調 查,而複雜的設計不僅只在描述現況也在探討變項間的關係。

調查研究的種類繁多,依名詞定義的不同,所包含的範圍也略有不同。以下 綜合參考郭生玉(1981)、蔡保田(1987)、林新發(1991)、王文科(2000)、蔡 重新(2004)等學者對調查研究的分類將其綜合整理如下:

˙依描述內容而分:

1. 描述性的調查(descriptive surveys):描述性的調查旨在對現況(status quo)

加以描繪,但並不解釋變項間的關係或因果關係。此類調查多為事實,爭 議較少。

2. 解釋性的調查(explanatory surreys):解釋性的調查是屬於事後回溯研究的 一種。目的在蒐集資料並且解釋變項間的因果關係。此類調查大抵只能解 釋變項間的關係而非因果。

˙依調查的範圍來區分可分為:

1. 普查(censuses):普查是將母體內的元素都納入為觀察的對象,基於時間、

經濟上考量,普查比較少見,但有時母群體不是很大時,普查是可以進行 的。

2. 樣本調查(sample survey):是從母體中抽出某些樣本作為調查的對象,

(46)

˙若以對象的性質可區分為真實事物(tangible)與非真實事物(intangible);態 度、動機與行為發生次數等是屬於非真實事物,而學校大小、桌椅與設備等 則是屬於真實的事物,在教育研究中多數是屬於非真實事物(抽象)的調查。

˙依照研究變項的性質分為:狀況調查(有形的變項)、調查研究(無形的變項); 狀況調查的研究變項如桌椅、教室、電腦與圖書設備等,而例如成績、績效、

態度、意見與工作動機等,則為調查研究。

˙依資料蒐集的方法可分為:

1. 問卷調查(questionnaire survey)

2. 訪問調查(interview survey)

2-1 訪問調查依照人數可區分為:個別訪問、團體訪問。

2-2 訪問調查依詢問的方式可分為:結構性訪問(標準化訪問)、無結構性 訪問、半結構性訪問。

2-2-1 無結構訪問又可分為:重點訪問法、客觀陳述法、深度訪談。

3. 控制觀察(controlled observation)又稱調查表調查:研究者可以使用標準 化測驗來蒐集資料,或者請求學校提供一些學生的基本資料(考試成績、

一般記錄)。

˙依照資料蒐集時間的長短可分為橫斷式調查(cross-section survey)與縱貫式 調查(longitudinal survey)。

縱貫式調查可分為:趨向研究、同一團體研究、小組研究。

˙教育上的調查研究又可依其他標準分為:學校調查、電話調查 學校調查又可分為:綜合調查、教育調查、校舍調查

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