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中 華 大 學

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Academic year: 2022

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(1)

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目:複合單胞光子晶體光纖的雙折射特性

系 所 別:電機工程學系碩士班 學號姓名:M09401025 林 盈 闓 指導教授:吳 俊 傑 博 士

中華民國 97 年 1 月

(2)

摘要

本論文同時使用FDTD和FEM兩種方法研究兩種高雙折射光子晶體 光纖。其中一種的纖蕊是由二氧化矽材料組成,其周圍按照三角晶格 的排列包圍著空氣孔,另一種光子晶體光纖則是按照四角晶格的方式 排列空氣孔。數值結果顯示,如果在晶格中的單胞引入兩種尺寸的空 氣孔,我們將可以在波長從1.0到2.0μm的範圍達到 數量級的較高 雙折射模場。

102

(3)

Abstract

In this thesis, we used FDTD and FEM method investigates the propagation properties of two kinds of high birefringence index guiding photonic crystal fiber (PCF). One kind of PCF is composed of a solid silica core which is cladding with triangular lattice air holes, and the other is rectangular lattice. Numerical results show that by introducing the binary holes to each unit cell in the PCF, a higher modal birefringence of the order of has been achieved within the wavelength ranging from 1.0 to 2.0μm in the proposed photonic crystal fibers.

102

(4)

致謝

本論文之所以能順利完成,端整多位師長、同學與朋友的支持 與協助。首先得感謝指導老師吳俊傑博士,在這兩年研究生涯中,

給予我悉心指導與幫助,使得我能得以順利完成碩士學位。

其次,我也要感謝楊宗哲老師及沈林放老師的教導與幫助,解 決了許多我在研究上的疑惑。

最後我要感謝的是,我的家人、同學、朋友們,在我求學的期 間給我支持與鼓勵,使我能夠安心度過這兩年的研究生涯。最後,

僅將此論文獻給所有關心我的人。

(5)

目錄

中文摘要. . . I 英文摘要. . . II 致謝. . . III

第一章 引言. . . .1

1. 1 光子晶體簡介. . . .2

1. 2 光子晶體光纖的導光原理. . . .. . . .3

1.2.1 全內反射光子晶體光纖. . . 3

1.2.2 帶隙型光子晶體光纖. . . 3

1. 3 光子晶體的特性 . . . .4

1. 4 光子晶體的研究進展. . . .5

1. 5 研究目的 . . . . . . .6

第二章 時域有限差分法. . . .8

2.1 時域有限差分法簡介. . . 8

2.2 差分近似. . . 8

2.3 Yee 網格. . . 11

2.4 Maxwell 方程的差分推演. . . 13

2.5 三維FDTD方程. . . 14

(6)

2.6 數值穩定性. . . 20

2.6.1 單胞間隔的穩定性要求. . . .21

2.6.2 時間間隔的穩定性要求. . . .22

第三章 吸收邊界. . . 25

3.1 吸收邊界. . . .25

3.2 各向異性介質完美匹配層界. . . .25

3.2.1 PML 層的電磁場演算. . . .26

3.2.2 無反射條件. . . .22

3.3. 離散 UPML. . . . .33

3.4. 角落區. . . .42

3.5. PML 設置. . . .45

第四章 光子晶體光纖的摸擬分析. . . .46

4-1 引言. . . .46

4.2 三角晶格光子晶體光纖. . . . . . . 46

4.2.1 改變包層結構. . . .50

4.2.2 改變纖蕊結構. . . .55

4.2.3 高雙折射 PCF 的設計 . . . .60

4.3 四角晶格光子晶體光纖. . . .65

(7)

第五章 結論. . . 71 參考文獻. . . 72

(8)

第一章 引言

光子晶體(photonic crystal)這一概念可以追溯到 1987 年,由 E.

Yablonovitch[1]和 S. John[2]各自提出的,它是由不同介電常數的介 質材料週期排列構成,電磁波在其中傳播時由於布拉格散射,電磁波 會受到限制而形成能帶結構,這種能帶結構叫做光子能帶,或叫光子 禁帶。光子晶體的基本特徵是具有光子帶隙、頻率落在帶隙中的電磁 波是禁止傳播的,其變化週期是光波長的數量級。

圖1.1 左至右依序為一維光子晶體、二維光子晶體、三維光子晶體

而光子禁帶的存在有可能改變光在其中的傳播,因此有將光子晶 體應用在光纖技術上的提議,這種光纖被稱做光子晶體光纖(photonic crystal fiber; PCF)。光子晶體光纖的概念最早則是由 P. St. J. Russell

(9)

等人於 1992 年提出[3],它是由帶有線缺陷的二維光子晶體構成。

1996 年在 OFC 會議上,英國 Bath 大學的 J. C. Knight 等學者拉制成功 第一根 PCF[4],由於它特殊的光學特性,在此後的幾年裏,迅速發 展,成為光纖光學領域的一個亮點,引起廣大學者的興趣。

1.1 光子晶體光纖簡介

光子晶體光纖是在中心位置延軸製造線缺陷的二微光子晶體,光 纖包層一般為空氣孔和石英所構成的週期結構,因此又被稱為多孔光 纖(holey fiber)或微結構光纖(micro-structured fiber)。光纖蕊 蕊則是破壞週期結構的缺陷,這缺陷可以是空氣或石英,能將光波限 制在缺陷內傳播。根據纖蕊引入缺陷材料的不同,形成了不同光子晶 體光纖的導光機制[5],可分為全內反射光子晶體光纖(TIR-PCF),光 子晶體禁帶光子晶體光纖(PBG-PCF)。

(a)全內反射光子晶體光纖 (b)光子禁帶光子晶體光纖 圖1.2 全內反射光子晶體光纖及光子禁帶光子晶體光纖

(10)

1.2. 光子晶體光纖的導光原理 1.2.1 全內反射光子晶體光纖

利用全內反射效應導光的光子晶體光纖,這種光纖是由純石英纖 蕊和具有石英-空氣機值的包層材料組成(如圖 1.2-a 所示),與傳 統光纖導光原理相同是基於全內反射效應,而不依賴周期性結構產生 的光子帶隙效應,只要求纖蕊的有效折射率大於包層的等效折射率,

就可以使光波在其中傳播。空氣包層區域的折射率由空氣和玻璃的比 率決定,可用有效折射率 Neff 來代表。由於 Neff 小於纖蕊玻璃的折 射率,所以形成全內反射傳輸。雖然這種 PCF 的導光機制與傳統光纖 相類似,但由於在包層中引入了空氣孔,可以更靈活的控制纖蕊與包 層的折射率差,而不需要像傳統光纖一樣對包層的幾何結構做變化,

製作上就會比較簡單。

目前這類光纖的製作比較成熟,已有一些公司作為商品推入市 場。大多數的研究和應用也都是對這種類型的光纖。本論文中探討的 光纖特性與應用也主要以這類光纖為主。

1.2.2 光子禁帶光子晶體光纖

此種光纖是從光子晶體的概念出發利用,光子晶體禁帶效應導 光的光子晶體光纖,這種光纖包層是石英和空氣孔週期排列,其纖蕊

(11)

是引入一個空氣孔作為缺陷,光被侷限在空氣孔纖蕊部分做傳播。由 於纖蕊為空氣孔,其折射率小於包層的折射率,因此可以確定不是利 用全內反射的機制來導光。但是這種 PCF 對空氣孔的大小和排列的要 求比較高,由於製作難度的問題,所以沒有比較廣泛的研究與應用。

1.3 光子晶體光纖的特性

光子晶體光纖與傳統光纖相比有許多比較特別的特性,有效的 拓展且增加光纖的應用領域。

無限單模特性

光子晶體光纖最引人注目的一個特點是,結構合理設計的 PCF 具備在 337nm 到 1550nm 波長範圍內都支持單模的特性[6],它的這種 特性被稱為無限單模特性。實現單模傳輸的條件與光纖結構的絕對尺 寸無關,只與空氣孔直徑和空氣孔間距離的比值有關。實際中因為存 在彎曲損耗等因素,使得傳輸不可能是全波段進行,所以只能在一定 的波長範圍內實現。

單模光纖場模面積

光子晶體光纖的無限單模特性與光纖結構的絕對尺寸無關,光纖 放大或縮小照樣可以保持單模傳輸。英國 Bath 大學研究指出光子晶 體光纖中的傳輸模的數量是由空氣孔直徑 d 和空氣孔間距

Λ

的比值

(12)

決定,這表明可以根據特定需要來設計光纖模場面積[7]。當需要傳 輸高功率光時,可以設計大的模場面積,而無須擔心出現非線性效 應。當需要強的非線性效應時,可以減小光纖的模場面積。

高雙折射現象

高雙折射是光子晶體光纖的一個重要特點[8,9],雙折射主要是 破壞纖蕊和包層的對稱性而製成的。傳統的光纖雙折射特性較弱,受 到扭曲壓擠等外界的影響,當輸入偏振光時,輸出端就變得難以控 制。而製作高雙折射的傳統光纖在技術上比較難實現,PCF 因為有特 殊的包層結構,只需在對稱方向上減少一些空氣孔或是改變空氣孔的 尺寸,就可以輕易的提高雙折射。

單模光纖場模面積

光子晶體光纖的一個特點就是可以靈活的控制色散特性。由於 PCF 是由單一材料( )構成,不會出現材料不匹配現象。由於石英 與空氣有較大的折射率差,所以只要合理的調整空氣孔的尺寸和間距 [10],便可以將零色散波長轉移到短波長光源區。

SiO

2

1.4 光子晶體光纖的研究進展

光子晶體光纖研究初期,大家把注意力集中在光纖包層區空氣孔 周期性結構的均勻和完整性上。在研究過程中,週期結構的不對稱對

(13)

光纖雙折射特性有所影響,使得往後許多的研究利用了不對稱性 結構來提高光纖的雙折射。

首先研制出光子晶體光纖的是 1996 年由 J. C. Knight 等人[4],

包層的空氣孔成六角形的週期性結構,中心缺陷不是空氣而是實心介 質(石英)的纖蕊。2000 年最早出現的高雙折射光子晶體光纖[11],

是引入了兩種尺寸的空氣孔到光子晶體光纖中,在波長

1.54 m μ

處雙 折射可以達到 。M. J. Steel 在 2001 年[12]提出了將 PCF 中原型的空氣柱改成橢圓形的空氣柱,破壞結構的對稱性,有效提高 雙折射。2006 年,沈林放等人[13]也對雙缺陷與單缺陷結構的雙折 射做比較,且研究光子晶體光纖材料色散的全波分析。2007 年,趙 遠鳳[14]等人也引入了兩種尺寸的空氣孔來做複合式的光子晶體光 纖,在波長

1.

3.7 10× 3

55 m μ

處可以達到8.8 10× 3。2005 年,賴英杰[15]等人 則是用四方與正方晶格的光子晶體光纖,並且用橢圓空氣柱來探討其 光纖的雙折射及損耗,雙折射在波長

1.6 m μ

可以高達2.8 10× 2

1.5 研究目的

本文首先對光子晶體光纖模擬的計算方法做介紹,所採取的方法 為時域有限差分法(FDTD),由於 FDTD 方法較為簡便,並且可以達到 相當的程度,廣泛的被人所使用,所以我們也是用這種方法。

(14)

於光 子禁帶光纖應用較為普遍,製造也比較容易。而跟傳統光纖相比較,

也有

文運用了這些種種對包層和纖蕊不對稱的結構,來設計一種高 雙折

本文主要研究全內反射型光子晶體光纖,因為此種光纖相較

比較高的雙折射及無限單模特性。高雙折射是光子晶體光纖的重 要優點,所以我們主要的研究目的就是提高雙折射,使光纖的傳輸能 比較有效率。一般光子晶體光纖的雙折射是受到纖蕊和包層的部分影 響,可以經由設計一個缺陷纖蕊或包層的不對稱,使得雙折射能夠提 升。

在參考了高雙折射光纖的設計原理,以及其他研究人員的研究成 果,本

射的光子晶體光纖。在包層部分是引用兩種尺寸的空氣孔做搭 配,在加上橢圓率的變化以及四角晶格的光子晶體光纖來提高雙折 射。另外也就纖蕊部分幾何結構做改變,藉此研究對雙折射的影響。

(15)

第二章 時域有限差分法

2.1 時域有限差分法簡介

20世紀60年代以來,隨著電腦技術的發展,電磁場的數值計算方 法逐步發展起來,並得到廣泛應用。目前已經出現了很多求解Maxwell 方程的數值計算方法,FDTD是其中一種已經獲得廣泛應用的時域數 值計算方法。早在1966年K. S. Yee首次提出一種電磁數值計算方法-

域有限差分(Finite Difference Time Domain, FDTD)方法[16]。把 Yee網格作為空間離散方式,將含時間變量的Maxwell旋度方程轉化 為差分方程,有不錯的穩定性和收斂性。但是由於當時理論的不成熟 和電腦軟硬體條件的限制,該方法並未得到相應的發展。經過了20 年不斷的改進後,再加上近代科學的發展,隨著上述兩個條件限制的 逐漸解除,FDTD便能夠得以迅速發展。它能根據實際分析的問題特 點,簡化算法提高計算效率,如此便能方便、精確地預測實際工程中 的複雜電磁問題,應用範圍幾乎涉及所有電磁領域,成為電磁工程界 和理論界研究的一個熱點。目前FDTD 日趨成熟,並成為分析大部分 實際電磁問題的首選方法。

2.2 差分近似

(16)

時域有限差分法(FDTD)為一種純數值計算方法。該方法是用變 數離散的、含有有限個未知數的差分方程式近似地替代連續變數的微 分方程,因此首要任務是建構合理的差分格式,使得它的解能保持原 問題的主要性質,並有相當高的精確度。建立差分方程的基本步驟是 把變數按某種方式離散化,然後用差分方程近似代替微分方程中的微 分。差分法是一個將連續變化函數的微分值以左右鄰近函數值的差作 近似的方法,對微分方程進行離散化本文是採用泰勒級數法建立差分 方程。如果以 F 為 x 軸上連續變化的函數其微分值的近似法分為如下 三種:

(1) 前差:

x x F x x F x

x F

Δ

− Δ

≈ +

∂ ( ) ( ) ( )

(2) 後差:

x x x F x F x

x F

Δ Δ

≈ −

∂ ( ) ( ) ( )

(3) 中差:

x x x x F

x F x

x F

Δ

−Δ Δ −

≈ +

∂ )

( 2 2 )

) (

(

上列三式近似法的效果以中差法最好。

下面以一元函數來加以說明,假設 f(x)為 x 的連續函數(如圖 2.1 所示),在 x 軸上每隔Δx取一點,其中任一點以

x 表示,則 f(x)在

0

x

1

(17)

2 3

2 3

1 0 0 2 0 3 0

1 1

( ) ( ) ( )

2! 3!

df d f d f

f f x x x

dx dx dx

= − Δ + Δ − Δ +L

(2.1.1)

2 3

2 3

2 0 0 2 0 3 0

1 1

( ) ( ) ( )

2! 3!

df d f d f

f f x x x

dx dx dx

= + Δ + Δ + Δ +L

(2.1.2)

由(2.1.1)得前差表達式為:

0 1 0 1

0 1 0

(

df

)

f f

( ) (

df

)

f f R x

dx x dx x

− −

= + Δ ⇒ =

Δ Δ

由(2.1.2)得後差表達式為:

2 0 2 0

0 2 0

(

df

)

f f

( ) (

df

)

f f R x

dx x dx x

− −

= + Δ ⇒ =

Δ Δ

將(2.1.1)(2.1.2)相減可得中差表達式為:

2 1 2 1

0 3 0

( ) ( ) ( )

2 2

df f f df f f

R x

dx x dx x

− −

= + Δ ⇒ =

Δ Δ

由推導過程可知,誤差項差了Δx的二次方,所以 FDTD 法採用中差法 作近似。

2 x−Δx

2 x Δx

+ x x

F

圖 2.1 中間差分的示意圖

(18)

2.3 Yee 網格

在 FDTD 離散中電場和碰場各節點的空間分佈如圖 2.2 所示。由 圖可見每一個磁場分量由四個電場分量環繞;同樣,每一個電場分量 由四個磁場分量環繞。這種電磁場分量的空間取樣方式不僅符合法拉 第感應定徑和安培環路定律的自然結構,而且這種電磁場各分量的空 間相對位置也適合於 Maxwell 方程的差分計算,能夠恰當的描述電磁 場的傳播特性。

Δz

Δx Δy

圖 2.2 FDTD 離散的 Yee 單胞

電場和磁場所在的時間座標可以表示成如圖 2.3。電場所在的時 間 座 標 為 t =(n−1)ΔtnΔt、(n+1)Δt 等 , 磁 場 所 在 的 時 間 座 標 為

t n

t n

t = − Δ + )Δ 2 ( 1 2)

( 1 、 等。實際計算時En的電場可由t =(n−1)Δt的電場

1

Ent= n− )Δt 2

( 1 的磁場 2

1

Hn 來求得,並由 2

1

HnEn來求得 2

+1

Hn 。所

以利用此公式便可由格子點之前的電場和磁場來求得該格子點的磁 場值和電場值。

(19)

t n− )1Δ (

t n− )Δ

2 ( 1

nΔt

t n+ )Δ

2 ( 1

t n+ )1Δ (

1

En En En+1

2

1 n

H 2

+1

Hn

圖 2.3 FDTD 電磁場時間分布圖

此外,電場和磁場在時間順序上交替取樣,取樣時間間隔彼此相 差半個時間步,使 Maxwell 旋度方程式離散以後構成顯示差分方程,

從而可以在時間上疊代求解。因而由給定相應電磁問題的初始值,

FDTD 方法就逐步推進地求得以後各個時刻空間電磁場的分佈。

Yee 單胞中 E,H 各分量空間節點與時間步取值的設定如下表所 示

表 2.1 Yee 單胞中 E,H 各分量節點的位置

(20)

2.4 Maxwell方程的有限差分推導

假設在自由空間中,其介質的參數不隨時間變化且各向同性則 Maxwell旋度方程可寫成

Jm

t Ev Bv − v

−∂

=

×

t J

Hv Dv + v

= ∂

×

∇ 式中

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

2 2 2

2

m V J

m A H

m A J

m C D

m Wb B

m V E

m 磁流密度。

磁場強度。

電流密度。

電通量密度。

磁通量密度。

電場強度。

v v

v v

v v

連結關係式為

H M

J E J

J

H B E D

source m

source

v v

v v v

v

v v v v

+

= +

=

=

=

σ σ

μ ε

其中

) / ( :

) / ( :

) / ( :

) / ( :

m m

S

m H m

F

導磁率。Ω

電導率。

導磁係數。

介電係數。

σ σ

μ ε

在一般的電磁運算中,我們是不考慮Jvm

項的,但是為了與之後的 PML 吸收邊界層呼應,我們統一在 Maxwell 方程中考慮此項。

假設沒有電流源或磁流源,且傳遞介質為線性(linear)、等向性 (isotropic)及非色散(non-dispersive),則 Maxwell 的旋度方程式可為

E t H

Hv v v

×

∂ =

μ μ

σ

1

H t E

Ev v v

×

∇ +

∂ =

ε ε

σ

1

(21)

上二個旋度方程式可以寫成下列形式

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

∂ +

= ∂

−∂

∂ +

= ∂

−∂

∂ +

= ∂

−∂

z x z

y

y z y

x

x y x

z

t E E y

H x H

t E E x

H z H

t E E z

H y H

σ ε

σ ε

σ ε

(2.2)

⎪⎪

⎪⎪

∂ −

− ∂

∂ =

−∂

∂ −

− ∂

∂ =

−∂

∂ −

− ∂

∂ =

−∂

z z

y x

y z y

x

x y x

z

t H H y

E x E

t H H x

E z E

t H H z

E y E

σ μ

σ μ

σ μ

(2.3)

2.5 三維FDTD方程

這六個偏微分方程式,是 FDTD 演算法的基礎。

由於 FDTD 法將時間座標分割成如圖 2.2 所示的許多小單胞 (cell) , 時 間 座 標 變 成 離 散 而 非 連 續 , 因 此 每 個 格 子 點 的 座 標 (x,y,z,t)可表示成

(

x,y,z,t

) (

= iΔx, jΔy,kΔz,nΔt

)

其中Δx, y, z分別是指在x,y,z軸方向上空間增加的間距,Δt 是時間間距,i,j,k,n則表示變化的整數。

Δ Δ

若令F(x,y,z,t)表示Ev或Hv 在直角座標系中某一分量,在時間和空

間域中的離散表達式為 )

, , ( ) , , ( ) , , ,

(x y z t F i x j y k z F i j k

F = Δ Δ Δ = n (2.3)

(22)

則對F(x,y,z,t)關於空間和時間取一階偏微分的表示式為

x

k j i F k j i F x F

n n

Δ

≈ +

∂ , , )

2 ( 1 ) , 2, ( 1

(2.4)

t

k j i F k j i F t

F n n

Δ

≈ −

+ (, , ) 2(, , )

1 2

1

(2.5)

對於(2.2)中第一式,將偏微分以差分近似取代,整理後可得

) , 2, ( 1 ) , 2, ( 1 )

, 2,

(i 1 j k C i j k E 1 i j k

Exn + = EX + xn +

⎭⎬

− ⎫ +

⎩ −

⎨⎧

+ + +

+ , )

2 , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1 )

, 2,

( 1 2

1 2

1

k j i H k j i H k j i

CEXLY zn zn

⎭⎬

⎩⎨

⎧ + + − + −

− +

)

2 , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1 2)

, 1 2,

( 1 2

1 2

1

k j i H k

j i H k

j i

CEXLZ yn ny (2.6)

式中

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1 ) , 2, ( 1

k j i

t k j i

k j i

t k j i

k j i CEX

+

Δ + +

+

Δ

− +

= +

ε σ

ε σ

(2.7)

y k j i

t k j i

k j i t k

j i CEXLY

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1

) , 2, ( 1 )

, 2, ( 1

ε σ

ε (2.8)

(23)

z k j i

t k j i

k j i t k

j i CEXLZ

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) , 2, ( 1 2

) , 2, ( 1 1

) , 2, ( 1 )

, 2, ( 1

ε σ

ε (2.9)

同樣,可以得到(2.2)其餘兩式的離散結果

) 2, , 1 ( ) 2, , 1 ( )

2, , 1

(i j k C i j k E 1 i j k

Eny + = EY + ny +

⎭⎬

− ⎫ +

⎩ −

⎨⎧

+ + +

+ )

2 , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 ( )

2, , 1

( 2

1 2

1

k j i H k

j i H k j i

CEYLZ xn xn

⎭⎬

⎩⎨

⎧ + + − − +

+

, )

2 , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1

( 2

1 2

1

k j i H k j i H k j i

CEYLX zn zn (2.10)

2) , 1 , ( 2) , 1 , ( 2)

, 1 ,

(i j k+ =C i j k+ E 1 i j k+

Ezn EZ zn

⎭⎬ + ⎫

⎩ −

⎨⎧

+ +

+

+ )

2 , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1 2)

, 1 ,

( 2

1 2

1

k j i H k

j i H k

j i

CEZLX yn ny

⎭⎬

⎩⎨

⎧ + + − − +

+

)

2 , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 ( 2)

, 1 ,

( 2

1 2

1

k j i H k

j i H k

j i

CEZLY xn xn (2.11)

其中

(24)

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1 ) 2, , 1 (

k j i

t k j i

k j i

t k j i

k j i CEY

+ Δ + +

+ Δ

− +

= +

ε σ

ε σ

(2.12)

z k j i

t k j i

k j i t k

j i CEYLZ

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1

) 2, , 1 ( )

2, , 1 (

ε σ

ε (2.13)

x k j i

t k j i

k j i t k

j i CEYLX

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

) 2, , 1 ( 2

) 2, , 1 ( 1

) 2, , 1 ( )

2, , 1 (

ε σ

ε (2.14)

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1 2) , 1 , (

+ Δ + +

+ Δ

− +

= +

k j i

t k

j i

k j i

t k

j i

k j i CEZ

ε σ

ε σ

(2.15)

x k

j i

t k

j i

k j i t k

j i CEZLX

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

2) , 1 , ( 2

2) , 1 , ( 1

2) , 1 , ( 2)

, 1 , (

ε σ

ε (2.16)

y k

j i

t k

j i

k j i t k

j i CEZLY

Δ +

Δ + +

+ Δ

=

+ 1

1) , , ( 2

2) , 1 , ( 1

2) , 1 , ( 2)

, 1 , (

ε σ

ε (2.17)

(25)

同樣地, (2.3-1)第一式的離散表達式可寫為

2) , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1

( 2

1 2

1

+ +

= +

+

+

k j i H C k

j i

Hxn HX xn

⎭⎬ + ⎫

⎩ −

⎨⎧ + +

+ +

− )

2 , 1 , ( 2)

, 1 1 , ( 2) , 1 2 , 1

(i j k E i j k E i j k

CHXLY zn zn

⎭⎬ + ⎫

⎩⎨

⎧ + + −

+ +

+ , )

2 , 1 ( ) 1 2, , 1 ( 2) , 1 2 , 1

(i j k E i j k E i j k

CHXLZ ny yn (2.18)

同理,其餘兩式可以表示為

2) , 1 2, ( 1 2)

, 1 2,

( 1 2

1 2

1

+ +

= +

+

+

i j k C H i j k

H

yn HY yn

⎭ ⎬ + ⎫

⎩ −

⎨ ⎧ + +

+ +

− , , )

2 ( 1 )

1 , 2 , ( 1 2 )

, 1 2 ,

(

i

1

j k E i j k E i j k

CHYLZ xn xn

⎭ ⎬ + ⎫

⎩ ⎨

⎧ + + −

+ +

+ )

2 , 1 , ( 2 )

, 1 , 1 ( 2 ) , 1 2 ,

(

i

1

j k E i j k E i j k

CHYLZ zn zn (2.19)

) 2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2

( 1 2

1 2

1

k j

i H C k j

i

H

zn+ + + = HZ zn + +

⎭ ⎬ + ⎫

⎩ −

⎨ ⎧ + + +

+

− , )

2 , 1 ( ) 2 , , 1 1 ( ) 2 , , 1 2

(

i

1

j k E i j k E i j k

CHZLX yn yn

⎭ ⎬ + ⎫

⎩ ⎨

⎧ + + −

+ +

+ , , )

2 ( 1 ) , 1 2 , ( 1 ) 2 , , 1 2

(

i

1

j k E i j k E i j k

CHZLY xn xn (2.20)

上列式子中的係數設定為

(26)

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1 2) , 1 2 , 1 (

+ +

Δ + + +

+ +

Δ +

− +

= + +

k j i

t k

j i

k j i

t k

j i

k j i CHX

μ σ

μ σ

(2.21)

z k

j i

t k

j i

k j i t k

j i CHXLZ

Δ + +

Δ + + +

+ + Δ

= + +

1

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1

2) , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 (

μ σ

μ (2.22)

y k

j i

t k

j i

k j i t k

j i CHXLY

Δ + +

Δ + + +

+ + Δ

= + +

1

2) , 1 2 , 1 ( 2

2) , 1 2 , 1 ( 1

2) , 1 2 , 1 ( 2)

, 1 2 , 1 (

μ σ

μ (2.23)

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1 2) , 1 2, ( 1

+ +

Δ + + +

+ +

Δ +

− +

= + +

k j i

t k

j i

k j i

t k

j i

k j i CHY

μ σ

μ σ

(2.24)

z k

j i

t k

j i

k j i t k

j i CHYLZ

Δ + +

Δ + + +

+ +

Δ

= + +

1

2) , 1 2, ( 1 2

2) , 1 2, ( 1 1

2) , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1

μ σ

μ (2.25)

x k

j i

t k

j i

k j i t k

j i CHYLX

Δ + +

Δ + + +

+ +

Δ

= + +

1

1) , 1, ( 2

2) , 1 2, ( 1 1

2) , 1 2, ( 1 2)

, 1 2, ( 1

μ σ

μ (2.26)

(27)

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1 ) 2, , 1 2 ( 1

k j i

t k j i

k j i

t k j i

k j i CHZ

+ +

Δ +

+ +

+ +

Δ +

− +

= +

+

μ σ

μ σ

(2.27)

x k j i

t k j i

k j i t k

j i CHZLX

Δ +

+

Δ + + +

+ + Δ

= +

+

1

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1

) 2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1

μ σ

μ (2.28)

y k j i

t k j i

k j i t k

j i CHZLY

Δ +

+

Δ +

+ +

+ + Δ

= +

+

1

) 2, , 1 2 ( 1 2

) 2, , 1 2 ( 1 1

) 2, , 1 2 ( 1 )

2, , 1 2 ( 1

μ σ

μ

Δ Δ

(2.29)

2.6 數值穩定性

由 Maxwell 旋度方程按 Yee 氏網格所導出的差分方程是一種顯示 差分格式,它的執行是通過按時間步推進計算電磁場在計算空間內的 變化規律:這種差分格式存在穩定性問題,即時間變量步長 t 與空 間變量步長 x, y 和Δz 之間必須滿足一定條件,否則將出現數值 不穩定性。這種不穩定性表現為,隨著計算步數的增加,被計算的場 量的數值也將無限制地增大。其原因不同於誤差的積累,而是由於電 磁波傳播的因果關系被破壞而造成的。因此,為了用所導出的差分方

Δ

(28)

程進行穩定的計算,就需要合理地選取時間步長與單胞間距之間的關 係。我們分別討論如下:

2.6.1 單胞間隔的穩定性要求 一維之波動方程式 2 0

2 2 2

=

∂ +

f

c x

f

ω

(2.30)

考慮平面波的解 f(x,t)= f0exp

[

j(kx

ω

t)

]

(2.31) 將(2.31)代入(2.30)得 2 0

2

2 ⎟⎟⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎛− + f

k

ω

c

k =ωc (2.32) 另外,從(2.31)可得知波的相速為

V ωk

φ = (2.33) 對於無損耗介質。

ε

和μ 與頻率無關,由(2.32)和(2.33)式,平面波

的相速 φ

με

= 1

V 與頻率無關,即無色散。

x f x k

x f

x jk x

jk x

x x f x f x x f x

f

2 2

2 2

2 2

2 ) (

2 ) ( sin

) (

) exp(

2 ) exp(

) (

) (

) ( 2 ) (

Δ Δ

=

Δ

Δ

− +

= Δ Δ

Δ

− +

− Δ

≈ +

(2.34)

0 2

sin 2

0 2

2 2

2

2 2 2

2 − =

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ Δ

=

∂ +

x c x k c f

x

f

ω ω

(2.35)

) (數值色散 產生色散

相速與頻率有關 為非線性關係

ω

⇒ ⇒

k

時,

2 2

2

sin 2 ⎟

⎜ ⎞

≈⎛ Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ Δk x k x

k c k c

x c x k

ω ω

ω

= = =

⎟⎞

⎜⎛ Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ Δ

0 2 0

sin

2 2 2 2

2 2

2

(2.36)

(29)

根據三角函數,當

12

ξ ≤ π 時,sinξ ≈ξ,

於是要求

12 2

≤ π Δx k

即 12

≤ λ Δx

這是我們在設定 FDTD 單胞大小時,所必須滿足的條件。

2.6.2 時間間隔的穩定性要求

考慮時諧場情形 f(x,y,z,t)= f0(x,y,z)exp(j

ω

t) (2.37) 上式為 j f

t f = ω

∂ 的解

利用差分近似,可將上式變為 n

n n

f t j

f

f =

ω

Δ

+1/2 1/2

(2.38) 式中 fn = f(x,y,z,nΔt)

定義數值增長因數 q 為 1/2 1/2

+ =

= n n n n f

f f

q f

代入(2.38)式得 q2j

ω

Δtq−1=0

可解得

2

1 2

2 ⎟

⎜ ⎞

−⎛ Δ Δ ±

= t t

j

q ω ω (2.39)

而數值穩定性要求在時間步階 n→∞ 時, q ≤1 令 t =a

⎜ ⎞

⎛ Δ 2

ω ,則(2.39)式可化為q= ja± 1 a2

我們討論如下:

) (

1 1

1 1

1 2

) 1 ( 2 1 2

1 2

1 1

1 1

, 1

2 2

2 2

2 2

2 2

>

+

±

=

±

=

±

=

±

=

±

=

>

>

q a

a a a

a a a

q

a a j a

j ja a

ja q a

a

不恒滿足 故

不一定小於 則

即 當

(30)

( 1 ) 1 1

1 1

,

1

2 2 2

2

<

a

<

q

=

ja

± −

a

q

=

a

+ −

a

=

q

a

即 則 滿足

1 1

1 1

,

2 =1 a= q= jq = q

a 即 則 滿足

由上述討論可知,滿足q ≤1的條件為:

2Δt ≤1

ω

Courant 穩定性條件:

電磁場任意直角分量均滿足波動方程式

2 0

2 2 2 2 2 2

2 + =

∂ +∂

∂ +∂

f

V z

f y

f x

f

ω

(2.40)

考慮平面波的解 f(x,y,z,t)= f0exp

[

j(kxx+kyy+kzz−ωt)

]

(2.41) 採用差分近似得 22 2

) (

) (

) ( 2 ) (

x

x x f x f x x f x

f

Δ

Δ

− +

− Δ

≈ +

∂ (2.42)

將(2.40)代入上式得

x f x k x f

x jk x

jk x

f

x x

x

2 2

2 2

2

2 ) (

2 ) ( sin )

(

) exp(

2 ) exp(

Δ Δ

− Δ =

Δ

− +

≈ Δ

∂ (2.43)

可化為 0

2 ) (

2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin

2 2

2 2

2 2

2 2

= Δ −

Δ Δ +

Δ Δ +

Δ

z V z k y

y k x

x

kx y z

ω (2.44)

1

) 2 ( 2

2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin 2 )

( 2 ) ( sin 2

2

2 2

2 2

2 2 2

⎟ ≤

⎜ ⎞

=⎛ Δ

⎥⎥

⎤ Δ

Δ Δ +

Δ +

⎢⎢

⎡ Δ

Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⇒⎛ Δ t

z z k y

y k x

x k t

V

y z

x

ω

(2.45)

上式對任何kx,ky,kz均成立的條件是 ) 1 (

1 )

( 1 )

( ) 1

( 2 2 2 2⎥≤

⎢ ⎤

+ Δ + Δ

Δ Δ

z y

t x

V (2.46)

(31)

亦即

2 2

2 ( )

1 )

( 1 )

( 1

1

z y

V x t

+ Δ + Δ

Δ

Δ (2.47)

這是我們在設定時間間格時,所必須滿足的條件。其中V 是所模 擬的解析空間中,所存在的最大波速(一般是設定為光速)。

(32)

第三章 吸收邊界

3.1 吸收邊界

用 FDTD 法求解電磁場問題時,電磁波的傳波空間是無限大的,

由於 FDTD 計算時,每個單胞上的六個場分量均需在任一時間步作計 算。因此所求解問題的空間愈大,要求存儲量也愈大,所需的網格空 間就成為無限大。然而,任何計算機的存儲空間都是有限的。為了讓 這種有限空間與無限空間等效,需對有限空間的周圍邊介面做特殊處 理,使得向邊介面行進的波在邊界處能像無限空間一樣保持向外行進 的特徵,而不產生明顯的反射現象,並且將傳播到邊界的電磁波吸收 不使其對內部空間的場產生干擾。具有這種功能的邊界條件,稱為吸 收邊界條件。

完全匹配層PML(Perfectly Matcahed Layer)首先由Berenger(

1994年)提出。在計算空間周圍邊界設置特殊的介面層,該層介質的 波阻抗與相鄰介質的波阻抗完全匹配,使得入射波將無反射的穿過介 面而進入PML層。由於PML層為有耗介質,進入PML層的波將會衰減而 達到吸收的效果。

3.2各向異性介質完全匹配層

(33)

適當的選擇單軸各向異性介質的本構參數也可以形成完全匹配 層。Sack(1995 年)和 Gedney(1995 年)提出各向異性介質 PML(UMPL) 理論應用在 FDTD 區域的吸收邊界。

而本論文則是選擇採用各向異性介質完全匹配層(Anisotropic Perfectly Matched Layer)作為計算上的吸收邊界條件。

3.2.1 PML 層的電磁場演算

假設兩介質的交界面是 z=0 的平面,z<0 區域為均勻介質

0 r

ε ε

μ μ

0 r,z>0 區域為單軸各向異性介質

ε

μ

,入射波

$

0

exp[ ( )]

yi ix iz

H = yHj k x + k z uuv

θ

i

μ

O

μ μ ε ε

ε

0 r 0 r

r

r

μ μ

ε ε

0 0

z

k v

i

k v

t

k v r

(34)

圖 3.1 平面波入射到單軸介質表面

在各向異性介質中的 Maxwell 旋度方程式為:

∇ × = − uv E j ωμ μ μ

0 r

H uvu

(3.1)

∇ × uuv H = j ωε ε μ

0 r

E uv

(3.2) 其中各向異性介質

ε

μ

為:

0 0 0

0 0 a

a b

ε 0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(3.3)

0 0

0 0

0 0 c

c d μ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

(3.4)

⎢ ⎥

⎣ ⎦

由(3.1)代入(3.2)

0

0

( 1 )

r

r

E j E

j ωε ε μ

ωμ μ μ

∇ × − ∇ × uv = uv

在平面波的情況下,

∇ → − jk v

t

0 0

1 2

0 0

1 2

0

( 1 )

( )

( )

t t r

r

t t r r

t t

jk jk E j E

j

k k E E

k k E k E

ωε ε ε ωμ μ μ

μ ω μ μ ε ε ε

μ ε

− × − ⋅ − × =

× ⋅ × = −

× ⋅ × = −

v v uv

v v uv uv

v v uv uv

uv

其中令

k

02

= ω μ μ ε ε

2 0 r 0 r

(35)

$

( )

- j( ) k( )

t tz y

tx z tz x

tx y

k E i k E

k E k E k E

× = −

− v uv $

$

1

1 1

1

( )

x

tz y

t y tz x tx z

tx y z

tz y x

tz tx

x z

y y

tx y z

k E

k E k E k E

k E

k E

k k

E E

k E μ

μ μ

μ

μ

μ μ

μ

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥ −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⋅ × = ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

v uv

$

1 2

2 2

2

( ) (

-

)

j( )

k( )

tz tx tz

t t x z

y y

tx tz

y y

z x

tx tz tx

x z

y y

k k k

k k E i E

k k

E E

k k k

E

E E

μ μ μ

μ μ

μ μ

× ⋅ × = +

+

v v uv $

$

因為

1 2

( )

0

t t

k v × μ

⋅ × k v uv E = − k ε uv E

(36)

所以

2

2 0

2 2

2 0

2

2 0

tz tx tz

x z x x

y y

tx tz

y y y

z x

tx tz tx

z y

x z z

y y

k k k

E E k E

k k

E E k E

k k k

E E k E

μ μ ε

μ μ ε

μ μ ε

⎧− + = −

⎪ ⎪

⎪ ⎪ − − = −

⎨ ⎪

⎪ ⎪ − = −

⎪⎩

(3.5)

將(3.3)、(3.4)代入(3.5)式中

ε

μ

2 1 2 1

0

2 1 2 2 1

0

1 2 1 2

0

( ) 0

( ) 0

( ) 0

tz x tx tz z

tx tz y

tx tz x tx z

k c k a E k k c E k d k a k c E k k c E k c k b E

⎧ − + + =

⎪ − + − =

⎨ ⎪ − − =

2

0

) = 0

整理後得

2 1 2 1

0

2 1 2 2 1

0

1 2 1

0

0

0 0

0

tz tx tz x

tx tz y

tx tz tx z

k c k a k k c E

k d k a k c E

k k c k c k b E

⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤

⎢ − + − ⎥ ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

(3.6) 欲使上式為非零解,其係數行列式應等於 0,由此可得

2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

0 0

( k ak d

tx

k c

tz

)( k ck a

tz

k b

tx

) = 0

所以

2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

0 0

( k ak d

tx

k c

tz

) = 0 , or ( k ck a

tz

k b

tx

參考文獻

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