代数结构 代数结构

1

代数结构

代数结构部分





3

第 5 章 代数系统的一般性质



5.1



5.2



5.3

5.1

 二元运算定义及其实例

 一元运算定义及其实例

 运算的表示

 二元运算的性质

 交换律、结合律、幂等律、消去律

 分配律、吸收律

 二元运算的特异元素

 单位元

 零元

 可逆元素及其逆元

5

二元运算的定义及其实例

定义 设 S 为集合 , 函数 f ： S×S→S 称为 S 上 的二元运算 , 简称为二元运算

.

.

例 1

(1) N

(2) Z

(3)

法 .

(4)

, a

, … , a

}, a

∘a

= a

元运算 .

二元运算的实例（续）

(

5)

(R)

 

矩阵加法和乘法都是 M_n

(R)

(6)

(7) S









































 a i j n

a a

a

a a

a

a a

a

M _ij

nn n

n

n n

n(R) R, , 1,2,...,

2 1

2 22

21

1 12

11









7

一元运算的定义与实例

定义 设 S 为集合，函数 f ： S→S 称为 S 上 的一元运算，简称为一元运算

.

例 2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算 : 求相反数

(2)

元

运算 : 求倒数

(3)

(4)

(5) A

:

反

函数

(6)

M

(R) ( n≥2 )

二元与一元运算的表示

算符：

∘ ^{, , · ,}

表示二元或一元运算

对二元运算

∘

x ∘ ^{y = z}

对一元运算

∘ ^{, x}

∘ ^x

表示二元或一元运算的方法：

公式、 运算表

注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符

9

公式表示

例 3 设 R 为实数集合，如下定义

R

x, y R,

x

那么 3 4 = 3∗

0.5 (-3) = 0.5

运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）

二元与一元运算的表示（续）

运算表的形式

∘ ^a

^a

… a

∘a

a

a

. . . a

a

∘a

a

∘a

∘a

a

∘a

a

∘a

∘a

. . .

. . . . . .

a

∘a

a

∘a

∘a

a

a

. . . a

∘a

∘a

. . .

∘a

11

运算表的实例

例 4 A = P({a, b}), , ∼ 分别为对称差和绝对补运算 （ {a,b} 为全集）

 的运算表 ∼ 的运算 表   {a} {b} {a,b}

X



{a}

{b}

{a,b}

 {a} {b} {a,b}

{a}  {a.b} {b}

{b} {a,b}  {a}

{a,b} {b} {a} 



{a}

{b}

{a,b}

{a,b}

{a}

{b}



运算表的实例（续）

例 5 Z₅

= { 0, 1, 2, 3, 4 },

 的运算表  的运算 表 0 1 2 3 4  0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0

0 1 2 3 4

0 2 4 1 3

0 3 1 4 2

0 4 3 2 1

13

二元运算的性质

定义 设 ∘ 为 S 上的二元运算 ,

(1)

x ∘ y = y ∘ x,

则称运算在 S 上满足交换律

. (2)

(x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z),

则称运算在 S 上满足结合律

. (3)

x ∘ x = x,

则称运算在 S 上满足幂等律

.

实例分析

Z, Q, R 分别为整数、有理数、实数集； M_n(R) 为 n 阶 实矩阵集合 , n2 ； P(B) 为幂集； A^A 为 A 上 A ， |A|2 . 集合 运算 交换律 结合律 幂等律

Z, Q, R 普通加法 + 有 有 无

普通乘法 有 有 无

M_n(R) 矩阵加法 + 有 有 无

矩阵乘法 无 有 无

P(B) 并 有 有 有

交 有 有 有

相对补 无 无 无

对称差 有 有 无

A^A 函数符合 无 有 无

15

二元运算的性质（续）

定义 设 ∘ 和 为 ∗

S

(1)

x, y, z

(x

z) (

z ∘(x

x) (

则称 ∘ 运算对 运算满足∗ 分配律

.

(2)

,

x, y

x ∘ (x

x (

则称 ∘ 和 运算满足∗ 吸收律

.

实例分析

集合 运算 分配律 吸收律

Z,Q,R

  对 + 可分配 无 + 对  不分配

M

(R)

  对 + 可分配 无 + 对  不分配

P(B)

 对  可分配

交  与对称差   对  可分配 无

 对  不分配

Z, Q, R 分别为整数、有理数、实数集； M_n(R) 为 n 阶 实矩阵集合 , n2 ； P(B) 为幂集； A^A 为 A 上 A ， |A|2 .

17

二元运算的特异元素

单位元

定义 设∘为 S 上的二元运算 , 如果存在 e_l

（或 e_r ） S ，使得对任意 x∈S 都有

e

∘ ^{x = x (}

∘ ^e

^{= x )}

则称 e_l

(

)

.

若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位 元，则称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的 单位元

.

.

二元运算的特异元素（续）

零元

设 ∘ 为 S 上的二元运算 , 如果存在 θ_l （或 θ

r ）∈ S ，使得对任意 x∈S 都有

θ

∘ ^{x =θ}

⁽

∘ ^θ

^=θ

⁾

则称 θ_l

(

)

.

若 θ∈S 关于∘运算既是左零元又是右零元，则 称 θ 为 S 上关于运算 ∘ 的 零元

.

19

二元运算的特异元素（续）

可逆元素及其逆元

令 e 为 S 中关于运算∘的单位元 . 对于 x∈S

，如果存在 y_l （或 y_r ）∈ S 使得

y

∘ ^{x = e}

∘ ^y

^{= e}

则称 y_l

(

)

).

关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y 为 x 的逆元

.

如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的

.

实例分析

集合 运算 单位元 零元 逆元

Z, Q, R

普通加法+ 0 无 X 的逆元  x 普通乘法 1 0 X 的逆元 x^1

(x^-1属于给定集合 ) M_n(R) 矩阵加法

+ n 阶全 0 矩

阵 无 X 逆元 X

矩阵乘法 n 阶单位 矩阵

n 阶全 0 矩阵

X 的逆元 X^1

（ X 是可逆矩阵）

P(B) 并  B  的逆元为 

交 B  B 的逆元为 B

21

惟一性定理

定理 设 ∘为 S 上的二元运算， e_l 和 e_r 分别为

S

= e

= e

S

证 e_l

= e

∘ ^e

^{= e}

∘ ^e

^{= e}

所以 e_l

= e

,

e’ = e ∘ ^{e’ = e.}

惟一性得证 .

类似地可以证明关于零元的惟一性定理 .

注意：当 |S|  2 ，单位元与零元是不同的；

当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元

.

22

惟一性定理（续）

定理 设 ∘为 S 上可结合的二元运算 , e 为该运 算的单位元 , 对于 x∈S 如果存在左逆元 y_l 和右 逆元 y_r

,

= y

= y,

证 由 y_l

∘ ^{x = e}

∘ ^y

^{= e}

y

= y

∘ ^{e = y}

∘ ^(x ∘ ^y

^{) = (y}

∘ ^x) ∘ ^y

^{= e} ∘ ^y

⁼

y

令 y_l

= y

= y,

y'= y’ ∘ ^{e = y’} ∘ ^(x ∘ ^{y) = (y’} ∘ ^x) ∘ ^{y = e} ∘ ^{y =}

y

所以 y 是 x 惟一的逆元 .

说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有 惟一的逆元，记作 x^1

.

23

消去律

定义 设∘为 V 上二元运算，如果 x, y, zV ， 若 x ∘ y = x ∘ z ，且 x 不是零元，则 y = z 若 y ∘ x = z ∘ x, 且 x 不是零元，则 y = z 那么称 ∘ 运算满足 消去律

.

实例 : Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律 .

M

(R)

Z

例题分析

解 (1) ∘ 运算可交换，可结合 . 任取 x, yQ,

x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x,

(x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz

x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz

例 6 设

∘

x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy,

(1) ∘

.

(2)

25

给定 x ，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立

，即

x+y+2xy = 0  (x  = 1/2)

x y x

2 1





x y x

2 1





例题分析（续）

(2)

e

x+e+2xe = x  e = 0

由于 运算可交换，所以 ∘

0

∘  = 

x++2 x  =   x + 2 x  = 0   = 1/2

例题分析（续）

例 7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的 .

(2)

 a b c ∘ ^{a b c}  a b c

a b c

c a b a b c b c a

a b c

a a a b b b c c c

a b c

a b c b c c c c c

解 (1)  满足交换、结合律；∘ 满足结合、幂等律；

 满足交换、结合律 .

(2)

a

= c, b

= b, c

= a

 的单位元为 a ，零元为 c, a^1

=a. b, c

27

例题分析（续）

例 8 设 A = { a, b, c }, 构造 A 上的二元运算 * 使得 a*b =c, c*b = b, 且 * 运算是幂等的、可交换 的，给出关于 * 运算的一个运算表，说明它是否可 结合，为什么？

* a b c a

b c

a c b

b c

c b





根据幂等律和已知条件 a*b =c,

c*b = b

根据交换律得到新的运算表 方框  可以填入 a, b, c 中任 一选定的符号 , 完成运算表

不结合，因为 (a*b)*b = c*b = b, a*(b*b) = a*b = c

由运算表判别算律的一般方法

 交换律：运算表关于主对角线对称

 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致

 消去律：所在的行与列中没有重复元素

 单位元 : 所在的行与列的元素排列都与表头一致

 零元：元素的行与列都由该元素自身构成



A

i

a

 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有 3 个 元素的组合验证表示结合律的等式是否成立