《数值分析》 13

《数值分析》 13

主要内容：

切比雪夫插值结点

埃尔米特插值函数

分段插值函数

切比雪夫插值结点

) )! (

1 (

) ) (

( )

( )

(

x

n x f

L x

f x

R

 



  

) (

) )(

( )

(

1 n

n_

x  x  x x  x  x  x



其中 ,

目标 /做什么 ：如何选取 x ₀ ^, x ₁ ^,···, x _n ^更好？

（这里：切比雪夫多项式）

拉格朗日插值余项

切比雪夫插值结点

2

n ^{阶切比雪夫多项式} : T _n =cos(n  ₎

f(x)∈C[–1, 1], 令 x = cos  , 则有 [–1, 1]  [0,  _]

将 g (  _{) = f(cos}  _{)展开成余弦级数}









0 1

cos

2 ) 1

(

n

a

n

a

g  

0

 1

T T 

x







 _{2 cos cos cos( 1 )}

) 1

cos( n   n  n 

1

1

2







n

xT T

T ( n  1 , 2 ,  ) 1

2

2

 x 

T ^x

^{  1} ₂ ^{, x}

^{ 1} ₂ x

x

T

 4

 3

2 , 3

0 2 ,

3

) 2 3 1( )

3

0(

  x  x 

x

百度百科中：正弦级数和余弦级数

切比雪夫插值结点

) ) 1 2

cos( ( 

 k

x 



( k=0,1,···,n-1 )

n次多项插值的切比雪夫结点

2 )

) 1 2

cos( (

n

x

k  

  2

) 1 2

( 

  k ^ 0 n

cos _n   

n k

2

) 1 2

( 

  ^



n x k

2

) 1 2

arccos (  

 

x

x arccos

cos     

( k=0,1,···,n )

切比雪夫插值结点

4

1

) 1

( x x

f  

例 1. 函数

取等距插值结点 : -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 x∈[-5, 5]



(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) )

! ( 11

) ) (

( )

( x L

x f

x

f 







 _{11 (x)} ^

切比雪夫插值结点

-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491

在 [-5, 5] ^区间上 ,取11个切比雪夫结点

22 ) ) 1 2

cos( (

5  

 k

x

( k= 10, 9, 8, ···, 1, 0 )



_{(x)=(x – x}

_{)(x – x}

_{)(x – x}

)···(x – x

)

 _{11 (x)} 

切比雪夫插值结点

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2

插值函数 L

(x)取 切比雪夫结点插值

插值函数 L

(x)取

等距结点插值

埃尔米特插值

插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，

即:

已知2n+2个条件

) (

i

f x

y    y

y

y

求:一个次数不超过2n+1的多项式 H ( x )

埃尔米特插值

8 0

0

)

( x y

f  f ( x

)  y

0 0

)

( x m

f   f  ( x

)  m

插值条件：

三次 Hermite插值问题 设 f ( x )  C

[ x

, x

]

已知在插值节点x

和 x

的函数值和导数值为：

可以求到次数为 3次的多项式 H ₃ (x), ^称为三次

Hermite 插值多项式

埃尔米特插值

插值条件：

采用基函数方式构造 H(x)：

插值条件表

埃尔米特插值

10

如何求

埃尔米特插值

埃尔米特插值

12

最终求得所有 4个基函数 ^{（针对三次 Hermite插值）}

代入 4个基函数 即可得：三次 Hermite插值多项式

2

埃尔米特插值

14

1 2 0

) 4 (

3

[( )( )]

! 4

) ) (

( )

( )

( x f x H x f x x x x

R      

定理：两点三次 Hermite插值的误差估计式

证明 : 由插值条件知

构造辅助函数

1 2 0

)

( ) )(

( )

( )

( )

( t f t H t C x t x t x

F     

利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x ₀ ) ² (x – x ₁ ) ²

1 2

0

)

( )

)(

( )

( x C x x x x x

R   

取 x ^异于 x ₀ ^和 x ₁ , ^有

0 )

( )

( x

 R  x



R R ( x

)  R  ( x

)  0

埃尔米特插值

1 2

0

)

( )

)(

( )

( )

( )

( t f t H t C x t x t x

F     

 F

(  )  f

(  )  C ( x )( 4 ! )  0

 4 !

) ) (

( _f



x

C 

) 4

(

( )

f 

显然 , F(t) ^{有三个零点} x ₀ , x, x ₁ , ^由 Roll定理知,存在

两个零点 F (t ) t ₀ , t ₁ . ^故 有四个相异零点 F (t )

1 1

0

0 t x t x

x    

反复应用 Roll 定理 , ^得 F ⁽⁴⁾ (t) ^{知一个零点设为} 

埃尔米特插值

16

插值节点满足 : x ₀ <x ₁ <···<x _n 已知 y _j =f (x _j ) ( j= 0,1,2,···, n)

···

·

1 1 1

)

(









 



 

j j

j j j

j j

h

y

x x

x y x

x x

x x x

L ( j= ^0,1,···, n- ¹ )

x ^∈ [x _j ， x _j+1 ] ^时 , 线性插值函数

分段线性插值

分段插值

分段三次 Hermite插值

j j

j j j

j

h j

y

x x

x x

x x

x x x

H

1 1 1

) )(

2 1

( )

( 





 









已知函数值和导数值 y

 f ( x

), m

 f  ( x

)

2 1 1

1

1

)( )

2 1

(













 



j j

j j

j

j

y

x x

x x

x x

x x

j j

j j

j

m

x x

x x x

x

1

1

)

)(

( 

 







2 1

1

)(

)

(







 



j j

j

j

m

x x

x x x

x

( j= ^{0,1,2,···,} n)

分段插值

学到了什么？

切比雪夫插值结点 埃尔米特插值

分段插值函数