高中数学常用公式及常用结论

(1)

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

, .

x∈A⇔ ∉x C AU x∈C A_U ⇔ ∉x A

2.德摩根公式

( ) ; ( ) .

U U U U U U

C A∩B =C A∪C B C A∪B =C A∩C B

3.包含关系

A∩B= A⇔ A∪B=B ⇔ A⊆B⇔C B_U ⊆C A_U A C BU

⇔ ∩ = Φ ⇔C A_U ∪B=R

4.容斥原理

( ) ( )

card A∪B =cardA cardB card A+ − ∩ B

( ) ( )

card A∪ ∪B C =cardA cardB cardC card A+ + − ∩ B

( ) ( ) ( ) ( ).

card A B card B C card C A card A B C

− ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

5．集合{ ,a a₁ ₂,⋯,a_n}的子集个数共有2ⁿ 个；真子集有2ⁿ–1 个；非空子集有2ⁿ –1 个；非空的真子集有2ⁿ–2 个.

6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f x( )=ax²+bx c a+ ( ≠0); (2)顶点式 f x( )=a x h( − )²+k a( ≠0); (3)零点式 f x( )=a x( −x₁)(x−x₂)(a≠0). 7.解连不等式N < f x( )<M 常有以下转化形式

N< f x( )<M ⇔[ ( )f x −M][ ( )f x −N]<0

⇔ | ( ) |

2 2

M N M N

f x + −

− < ⇔ ^{( )} 0

( ) f x N M f x

− >

−

⇔ 1 1 .

f x( )−N ^> M−N

8.方程 f(x)=0在(k₁,k₂)上有且只有一个实根,与 f(k₁)f(k₂)<0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax² +bx+c=0(a≠0)有且只有一个实根在

内,等价于 ,或且 ,或且

) ,

(k₁ k₂ f(k₁)f(k₂)<0 f(k₁)=0

2 2

2 1 1

k k a

k <− b < ⁺ f(k₂)=0

2.

2 1

2

2 k

a k b

k + <− <

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数 f(x)=ax²+bx+c(a≠0)在闭区间

[

p,q

]

上的最值只能在处及区

a x b

−2

= 间的两端点处取得，具体如下：

(1) 当 a>0 时，若

[

^p ^q

]

，则

a

x b ,

2 ∈

−

=

{ }

；

min max max

( ) ( ), ( ) ( ), ( )

2

f x f b f x f p f q

= − a =

，， .

[

p q

]

a

x b ,

2 ∉

−

= f x( )max =max

{

f p f q( ), ( )

}

f x( )min =min

{

f p f q( ), ( )

}

(2)

(2) 当 a<0 时，若

[

p q

]

，则，若

a

x b ,

2 ∈

−

= f x( )min =min

{

f p f q( ), ( )

}

，则， .

[

p q

]

a

x b ,

2 ∉

−

= f x( )max =max

{

f p f q( ), ( )

}

f x( )min =min

{

f p f q( ), ( )

}

10.一元二次方程的实根分布

依据：若 f m f n( ) ( )<0，则方程 f(x)=0在区间( , )m n 内至少有一个实根 . 设 f(x)=x₂+ px+q，则

（1）方程 f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为 f(m)=0或；

2 4 0

2

p q

p m

⎧ − ≥

⎪⎨

− >

⎪⎩

（2）方程 f(x)=0在区间( , )m n 内有根的充要条件为 f m f n <( ) ( ) 0或 ² ( ) 0 ( ) 0

4 0

2 f m f n

p q

m p n

⎧ >

⎪ >

⎪⎪

⎨ − ≥

⎪

⎪ < − <

⎪⎩ 或 ( ) 0或；

( ) 0 f m af n

⎧ =

⎨ >

⎩

( ) 0 ( ) 0 f n af m

⎧ =

⎨ >

⎩

（3）方程 f(x)=0在区间(−∞, )n 内有根的充要条件为 f m( )<0或 .

2 4 0

2

p q

p m

⎧ − ≥

⎪⎨

− <

⎪⎩ 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(−∞,+∞)的子区间（形如L

[

^α,^β

]

，

(

−∞,^β

]

，

[

α,+∞

)

不同）上含参数的二次不等式 f x t ≥( , ) 0( 为参数)恒成立的充要条件是t f x t( , )_min ≥0(x∉L).

(2)在给定区间(−∞,+∞)的子区间上含参数的二次不等式 f x t( , )≥0( 为参数)恒成立t

的充要条件是 f x t( , )_man ≤0(x∉L).

(3) f(x)=ax⁴+bx²+c>0恒成立的充要条件是或 . 0

0 0 a b c

⎧ ≥

⎪ ≥

⎨

⎪ >

⎩

2

0

4 0

a b ac

⎧ <

⎨ − <

⎩ 12.真值表

13.常见结论的否定形式

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有个n ^至多有（n−1^）个小于不小于至多有个n 至少有（n+1）个对所有，x

成立

存在某，x

不成立 p或q ¬p^且¬q

对任何，x ^{存在某，}x

(3)

14.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ

互互

互为为互

否否

逆逆

否否

否命题逆否命题

若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若 p⇒q，则 p是充分条件.q

（2）必要条件：若q⇒ p，则p是必要条件.q

（3）充要条件：若 p⇒q，且q⇒ p，则 p是充要条件.q

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设x1⋅x2∈

[

a,b

]

,x1≠ x2那么

上是增函数；

[ ]

1 2 1 2

(x −x ) f x( )− f x( ) >0 ⇔ ^f ^x

[

^a ^b

]

x x

x f x

f( ) ( ) 0 ( ) ,

2 1

2

1 > ⇔ 在

−

上是减函数.

[ ]

1 2 1 2

(x −x ) f x( )− f x( ) <0⇔ f x

[

a b

]

x x

x f x

f( ) ( ) 0 ( ) ,

2 1

2

1 < ⇔ 在

−

(2)设函数 y= f(x)在某个区间内可导，如果 f′(x)>0，则 f(x)为增函数；如果

，则为减函数.

0 ) ( <

′ x

f f(x)

17.如果函数 f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f(x)+g(x)也是减函数 ; 如果函数 y = f(u)和u =g(x)在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数

是增函数.

)]

( [g x f y =

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数y= f(x)是偶函数，则 f(x+a)= f(−x−a)；若函数y= f(x+a)是偶函数，则 f(x+a)= f(−x+a).

20.对于函数 y= f(x)(x∈R), f(x+a)= f(b−x)恒成立 ,则函数 f(x)的对称轴

是函数 ;两个函数与的图象关于直线对称.

2 b

x= a⁺ y= f(x+a) y= f(b−x)

2 b x= a⁺

21. 若 f(x)=−f(−x+a) , 则函数 y = f(x) 的图象关于点 ,0) 对称 ; 若 (2a

,则函数为周期为的周期函数.

) ( )

(x f x a

f =− + y = f(x) 2a

22．多项式函数P x( )=a x_n ⁿ +a_n₋₁xⁿ⁻¹+⋯+a₀的奇偶性

多项式函数P x( )是奇函数⇔ P x( )的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P x( )是偶函数⇔ P x( )的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y= f x( )的图象的对称性

不成立成立 p且q ¬p^或¬q

(4)

(1)函数y= f x( )的图象关于直线x=a对称⇔ f a( +x)= f a( −x) (2 ) ( ).

f a x f x

⇔ − =

(2)函数y= f x( )的图象关于直线对称 2

x= a b⁺ ⇔ f a mx( + )= f b mx( − )

( ) ( ).

f a b mx f mx

⇔ + − =

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y= f x( )与函数y= f(−x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y= f mx a( − )与函数y= f b mx( − )的图象关于直线对称.

2 x a b

m

= + (3)函数y = f(x)和y = f ⁻¹(x)的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y = f(x)的图象右移、上移a b个单位，得到函数 y = f(x−a)+b的图象；若将曲线 f(x,y)=0的图象右移a、上移个单位，得到曲线b f(x−a,y−b)=0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

a.

b f b a

f( )= ⇔ ⁻¹( )=

27. 若函数 y= f(kx+b)存在反函数 , 则其反函数为 1[ ₁( ) ], 并不是

b x k f

y = ⁻ −

,而函数是的反函数.

) ( [f ¹ kx b

y = ⁻ + y =[f⁻¹(kx+b) 1[ ( ) ] b x k f

y= −

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数 f x( )=cx, f x( + y)= f x( )+ f y f( ), (1)=c. (2)指数函数 f x( )=a^x, f x( +y)= f x f y f( ) ( ), (1)=a≠0.

(3)对数函数 f x( )=log_a x, f xy( )= f x( )+ f y( ), ( )f a =1(a>0,a≠1). (4)幂函数 f x( )=x^α, f xy( )= f x f y( ) ( ), f^'(1)=α .

(5)余弦函数 f x( )=cosx,正弦函数g x( )=sinx， f x y( − )= f x f y( ) ( )+g x g y( ) ( )， .

0

(0) 1, lim ( ) 1

x

f g x

x

→

= =

29.几个函数方程的周期(约定 a>0)

（1） f(x)= f(x+a)，则 f(x)的周期 T=a；

（2） f(x)= f(x+a)=0，或 ( ( ) 0)，

) ( ) 1

( + = f x ≠

x a f

x f

或 1 ,

( )

f x a ( )

+ = −f x ( ( ) 0)f x ≠

或¹ ^{( )} ²^{( )} ⁽ ^{), ( ( )}

[

^{0,1 )}

]

,则的周期 T=2a；

2+ f x − f x = f x a+ f x ∈ f(x) (3) ( ( ) 0)，则的周期 T=3a；

) ( 1 1 )

( ≠

− +

= f x

a x x f

f f(x)

(4) 且，则

) ( ) ( 1

) ( ) ) (

(

2 1

2

1 f x f x

x f x x f

x

f −

= +

+ f a( )=1( ( )f x₁ ⋅f x( ₂)≠1, 0 |< x₁−x₂ | 2 )< a

的周期 T=4a；

) (x f

(5) f x( )+f x a( + +) f x( +2 ) (a f x+3 )a +f x( +4 )a

,则的周期 T=5a；

( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) f x f x a f x a f x a f x a

= + + + + f(x)

(5)

(6) f(x+a)= f(x)− f(x+a)，则 f(x)的周期 T=6a.

30.分数指数幂

(1) ^m_n 1 （，且）.

n m

a

= a>0, ,m n∈N^∗ n>1

(2) ^m_n 1 （，且）.

m n

a a

− = a>0, ,m n∈N^∗ n>1

31．根式的性质

（1）(ⁿa)ⁿ =a.

（2）当为奇数时，n ⁿ aⁿ =a；当为偶数时，n | | ^, ⁰ .

, 0

n n a a

a a

a a

⎧ ≥

= = ⎨

− <

⎩ 32．有理指数幂的运算性质

(1) a a^r⋅ ^s =a^{r s}⁺ (a>0, ,r s∈Q). (2) (a^{r s}) =a^rs(a>0, ,r s∈Q). (3)(ab)^r =a b a^r ^r( >0,b>0,r∈Q).

注：若 a＞0，p 是一个无理数，则 a^p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log_aN =b⇔a^b =N (a>0,a≠1,N>0).

34.对数的换底公式

( ,且 , ,且 , ).

log log

log

m a

m

N N

= a a>0 a≠1 m>0 m≠1 N >0

推论 log m log ( ,且 , ,且 , , ).

n a a

b n b

= m a>0 a>1 m n, >0 m≠1 n≠1 N>0 35．对数的四则运算法则

若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)log (_a MN)=log_a M +log_a N; (2) log_a M log_a log_a ;

M N

N ⁼ ⁻

(3)log_aMⁿ =nlog_aM n( ∈R).

36.设函数 f(x)=log_m(ax² +bx+c)(a≠0),记∆=b² −4ac.若 f(x)的定义域为 ,则，且 ;若的值域为 ,则，且 .对于的情形,需要

R a>0 ∆<0 f(x) R a>0 ∆≥0 a=0 单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

若a>0,b>0,x>0, 1,则函数

x≠a y=log (_ax bx)

(1)当a>b时,在 1 和上为增函数.

(0, ) a

( ,1 )

a ^+∞ y=^{log (}^ax bx⁾

， (2)当a<b时,在 1 和上为减函数.

(0, ) a

( ,1 )

a ^+∞ y=^{log (}^ax bx⁾

推论:设n>m>1，p >0，a>0，且a≠1，则

(6)

（1）log_{m p}₊ (n+ p)<log_m n.

（2）log log log ² .

a a a 2

m n< m n⁺

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x的总产值 y，有 (1 )^x.

y=N +p

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

( 数列的前 n 项的和为 ).

1

, 1

, 2

n

n n

s n

a s s ₋ n

⎧ =

= ⎨⎩ − ≥

{ }a_n s_n =a₁+a₂ +⋯+a_n

40.等差数列的通项公式

* ；

1 ( 1) 1 ( )

an =a + n− d =dn a+ −d n∈N

其前 n 项和公式为 ( 1 )

2

n n

n a a

s = ⁺ ₁ ( 1)

2 na n n⁻ d

= +

2 .

1

( 1 )

2 2

d n a d n

= + −

41.等比数列的通项公式

1 1 * ；

1 ⁿ ⁿ( )

n

a a q a q n N q

= − = ⋅ ∈

其前 n 项的和公式为

1

(1 )

, 1

1

, 1

n

a q

s q q

na q

⎧ −

⎪ ≠

=⎨ −

⎪ =

⎩

或 .

1

, 1

1

, 1

n n

a a q q q s

na q

⎧ −

⎪ ≠

= ⎨ −

⎪ =

⎩

42.等比差数列

{ }

a_n :a_n₊₁=qa_n +d a, ₁ =b q( ≠0)的通项公式为

；

1

( 1) , 1

( )

, 1

1

n n

n

b n d q

a bq d b q d

q q

−

+ − =

⎧

=⎪⎨ + − −

⎪ − ≠

⎩

其前 n 项和公式为

. ( 1) , ( 1)

( )1 , ( 1)

1 1 1

n n

nb n n d q

s d q d

b n q

q q q

+ − =

⎧⎪

=⎨ −

− + ≠

⎪ − − −

⎩

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款 (1 ) 元(贷款元, 次还清,每期利率为 ).

(1 ) 1

n n

ab b

x b

= +

+ − a n b

44．常见三角不等式

(7)

（1）若 (0, )，则 .

x π2

∈ sinx<x<tanx

(2) 若 (0, )，则 .

x π2

∈ 1 sin< x+cosx≤ 2 (3) | sin |x +| cos | 1x ≥ .

45.同角三角函数的基本关系式

， = ， .

2 2

sin θ +cos θ =1 tanθ θ θ cos

sin tanθ⋅cotθ =1 46.正弦、余弦的诱导公式

2

1 2

( 1) sin ,

sin( )

2 ( 1) s ,

n

co π α

α

−

⎧ − + = ⎨⎪

⎪ −⎩

2

1 2

( 1) s ,

s( )

2 ( 1) sin ,

n

n co

co π α

α

+

⎧ − + = ⎨⎪

⎪ −⎩ 47.和角与差角公式

sin(α±β)=sinαcosβ ±cos sinα β ;

cos(α±β)=cos cosα β∓sin sinα β; tan tan .

tan( )

1 tan tan

α β

± = ±

∓

(平方正弦公式);

2 2

sin(α+β) sin(α−β)=sin α −sin β

2 2 .

cos(α+β) cos(α−β)=cos α−sin β

= ( 辅助角所在象限由点的象限决

sin cos

a α+b α a² +b²sin(α+ϕ) ϕ ( , )a b

定,tan b ).

ϕ= a

48.二倍角公式 sin 2α =sinαcosα.

2 2 2 2 .

cos 2α=cos α−sin α=2cos α− = −1 1 2sin α

2 . 2 tan tan 2

1 tan α α

= α

− 49. 三倍角公式

3 .

sin 3 3sin 4 sin 4 sin sin( ) sin( )

3 3

π π

θ = θ − θ = θ −θ +θ

3 .

cos 3 4cos 3cos 4cos cos( ) cos( )

3 3

π π

θ = θ− θ = θ −θ +θ

.

3

2

3 tan tan

tan 3 tan tan( ) tan( )

1 3 tan 3 3

θ θ π π

θ θ θ θ

θ

= − = − +

−

50.三角函数的周期公式

函数 y=sin(ωx+ϕ)，x∈R 及函数y=cos(ωx+ϕ)，x∈R(A,ω,ϕ为常数，且 A≠0，

ω＞0)的周期 2 ；函数， (A,ω, 为常数，且 A

T π

= ω y=tan(ωx+ϕ) ,

x k π2 k Z π

≠ + ∈ ϕ

(n 为偶数)

(n 为奇数) (n 为偶数)

(n 为奇数)

(8)

≠0，ω＞0)的周期T π .

=ω

51.正弦定理

2 .

sin sin sin

a b c

A= B = C = R

52.余弦定理

2 2 2 ;

2 cos a =b +c − bc A

2 2 2 ;

2 cos b =c +a − ca B

2 2 2 .

2 cos c =a +b − ab C

53.面积定理

（1） 1 1 1 （分别表示 a、b、c 边上的高）.

2 ^a 2 ^b 2 ^c

S= ah = bh = ch h_a^{、、}h_b h_c

（2） 1 1 1 .

sin sin sin

2 2 2

S= ab C= bc A= ca B

(3) 1 ² ² .

(| | | |) ( )

OAB 2

S_∆ = OA�� ⋅ OB�� − OA OB�� ⋅ 54.三角形内角和定理

在△ABC 中，有 A B C+ + =π ⇔C =π −(A B+ ) .

2 2 2

C π A+B

⇔ = − ⇔2C =2π−2(A B+ ) 55. 简单的三角方程的通解

sinx=a⇔ x=kπ+ −( 1) arcsin (^k a k∈Z a,| | 1)≤ .

s 2 arccos ( ,| | 1).

co x=a⇔ x= kπ ± a k∈Z a ≤ tanx=a⇒x=kπ+arctan (a k∈Z a, ∈R). 特别地,有

sinα=sinβ ⇔α =kπ+ −( 1)^kβ(k∈Z).

s cos 2 ( ).

co α= β ⇔α= kπ ±β k∈Z tanα =tanβ⇒α=kπ+β(k∈Z). 56.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a a(| | 1)≤ ⇔ ∈x (2kπ+arcsin , 2a kπ π+ −arcsin ),a k∈Z . sinx<a a(| | 1)≤ ⇔ ∈x (2kπ−π−arcsin , 2a kπ+arcsin ),a k∈Z.

cosx>a a(| | 1)≤ ⇔ ∈x (2kπ−arccos , 2a kπ+arccos ),a k∈Z.

cosx<a a(| | 1)≤ ⇔ ∈x (2kπ +arccos , 2a kπ+2π−arccos ),a k∈Z.

tan ( ) ( arctan , ), .

x a a R x k a k π2 k Z

π π

> ∈ ⇒ ∈ + + ∈

tan ( ) ( , arctan ), .

x a a R x k π2 k a k Z

π π

< ∈ ⇒ ∈ − + ∈

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;

(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

(9)

59.平面向量基本定理

如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设 a=( ,x y₁ ₁),b=(x y₂, ₂)，且 b≠0，则 a b(b� ≠0)⇔ x y₁ ₂−x y₂ ₁=0. 53. a与 b 的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

61. aaaa·bbbb 的几何意义

数量积 aaaa·bbbb 等于 aaaa 的长度|aaaa|与 bbbb 在 aaaa 的方向上的投影|bbbb|cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1)设 a=( ,x y₁ ₁),b=(x y₂, ₂)，则 a+b=(x₁+x y₂, ₁+y₂). (2)设 a=( ,x y₁ ₁),b=(x y₂, ₂)，则 a-b=(x₁−x y₂, ₁−y₂).

(3)设 A( ,x y₁ ₁)，B(x y₂, ₂),则�� AB=OB OA− =(x₂−x y₁, ₂− y₁). (4)设 a=( , ),x y λ ∈R，则λa=(λ λx, y).

(5)设 a=( ,x y₁ ₁),b=(x y₂, ₂)，则 a·b=(x x_{1 2}+y y₁ ₂). 63.两向量的夹角公式

(a= ,b= ).

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos x x y y

x y x y

θ = ⁺

+ ⋅ + ¹ ¹

( ,x y ) (x y₂, ₂) 64.平面两点间的距离公式

, =

dA B |��AB|= �� AB AB⋅

(A ，B ).

2 2

2 1 2 1

(x x) (y y)

= − + − ( ,x y₁ ₁) (x y₂, ₂) 65.向量的平行与垂直

设 a=( ,x y₁ ₁),b=(x y₂, ₂)，且 b≠0，则 A||b⇔b=λa ⇔ x y₁ ₂−x y₂ ₁ =0.

a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x x₁ ₂+ y y₁ ₂ =0. 66.线段的定比分公式

设P x y₁( ,₁ ₁)，P x y₂( ₂, ₂)，P x y( , )是线段P P_{1 2}的分点,λ是实数，且P P��1 =λPP��2，则

1 2

1 1

x x

x

y y

y

λ λ λ λ

⎧ +

⎪ =

⎪ +

⎨ +

⎪ =⎪ +

⎩

⇔ ¹ ²

1

OP OP

OP λ

λ

= + +

��

（）.

⇔OP��=tOP��₁+(1−t OP)��₂ ₁ t 1

= λ + 67.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x ,y )₁ ₁ 、B(x ,y )₂ ₂ 、C(x ,y )₃ ₃ ,则△ABC 的重心的坐标是 ( ¹ ² ³, ¹ ² ³).

3 3

x x x y y y

G ⁺ ⁺ ⁺ ⁺

68.点的平移公式

.

' '

x x h x x h

y y k y y k

⎧ = + ⎧ = −

⎪ ⎪

⎨ ⇔⎨

= + = −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

' '

OP OP PP

⇔ = +

��

注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 F^'上的对应点为P x y^'( ,^' ^')，且PP^'的

��

(10)

坐标为( , )h k .

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P x y( , )按向量 a=( , )h k 平移后得到点P x h y^'( + , +k).

(2) 函数 y= f x( )的图象C按向量 a=( , )h k 平移后得到图象C^',则C^'的函数解析式为y= f x h( − )+k.

(3) 图象C^'按向量 a=( , )h k 平移后得到图象C,若C的解析式y= f x( ),则C^'的函数解析式为y= f x h( + )−k.

(4) 曲线 C : f x y( , )=0按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 C^' , 则 C^' 的方程为

( , ) 0.

f x h y k− − =

(5) 向量 m=( , )x y 按向量 a=( , )h k 平移后得到的向量仍然为 m=( , )x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为∆ABC所在平面上一点，角 A B C, , 所对边长分别为a b c, , ，则

（1）O为∆ABC的外心⇔OA��² =OB��² =OC��².

（2）O为∆ABC的重心⇔OA OB OC�� + + =0.

（3）O为∆ABC的垂心⇔OA OB�� ⋅ =OB OC⋅ =OC OA⋅ .

（4）O为∆ABC的内心⇔aOA bOB��+ ��+cOC�� =0.

（5）O为∆ABC的∠A的旁心⇔aOA��=bOB��+cOC�� . 71.常用不等式：

（1）a b, ∈R⇒ a²+b² ≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“=”号)．

（2）a b, ∈R⁺⇒ (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．

2

a b⁺ ≥ ab

（3）a³+b³+c³≥3abc a( >0,b>0,c>0).

（4）柯西不等式

2 2 2 2 2

(a +b )(c +d )≥(ac bd+ ) , , , ,a b c d∈R.

（5） a − b ≤ a+b ≤ a + b . 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x= y时和x+y有最小值2 p；

（2）若和x+y是定值，则当s x= y时积xy有最大值 ².

4 1s

推广已知x,y∈R，则有(x+y)² =(x−y)² +2xy

（1）若积xy是定值,则当| x−y|最大时,| x+y|最大；

当| x −y|最小时,|x +y|最小.

（2）若和| x+y|是定值,则当| x−y|最大时, | xy|最小；

当| x−y|最小时, |xy|最大.

73. 一元二次不等式 ax²+bx c+ >0(或<0) (a≠0,∆ =b²−4ac>0)，如果 a 与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之

ax2+bx c+ a ax²+bx c+

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间 .

1 2 ( 1)( 2) 0( 1 2)；

x < x< x ⇔ x−x x−x < x <x

1, 2 ( 1)( 2) 0( 1 2).

x<x 或x>x ⇔ x−x x−x > x <x

74.含有绝对值的不等式当 a> 0 时，有

(11)

2 .

x <a⇔ x2 <a ⇔ − <a x<a

或 .

2 2

x >a⇔x >a ⇔ x>a x < −a

75.无理不等式

（1） .

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) f x

f x g x g x

f x g x

⎧ ≥

> ⇔⎪⎨ ≥

⎪ >

⎩

（2） .

2

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0 ( ) [ ( )]

f x f x

f x g x g x

⎧ ≥

> ⇔⎪⎨ ≥ ⎨

⎩ <

⎪ >

⎩

或

（3） .

2

( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) [ ( )]

f x f x g x g x

f x g x

⎧ ≥

< ⇔⎪⎨ >

⎪ <

⎩ 76.指数不等式与对数不等式 (1)当a>1时,

( ) ( ) ;

( ) ( )

f x g x

a >a ⇔ f x >g x

. ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

a a

f x

f x g x g x

f x g x

⎧ >

> ⇔⎪⎨ >

⎪ >

⎩ (2)当0<a<1时,

( ) ( ) ;

( ) ( )

f x g x

a >a ⇔ f x <g x

( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0

( ) ( )

a a

f x

f x g x g x

f x g x

⎧ >

> ⇔⎪⎨ >

⎪ <

⎩ 77.斜率公式

（、）.

2 1

y y k x x

= −

− P x y¹( ,¹ ¹) P x y₂( ₂, ₂) 78.直线的五种方程

（1）点斜式 y−y₁=k x( −x₁) (直线过点l P x y₁( ,₁ ₁)，且斜率为 )．k

（2）斜截式 y=kx b+ (b 为直线在 y 轴上的截距).l

（3）两点式 ¹ ¹ ( )( 、 ( )).

2 1 2 1

y y x x

y y x x

− −

− = − y¹ ≠ y² P x y₁( ,₁ ₁) P x y₂( ₂, ₂) x₁ ≠x₂

(4)截距式 x y 1( 分别为直线的横、纵截距， )

a⁺b ⁼ a b^、 a b、 ≠0

（5）一般式 Ax+By C+ =0(其中 A、B 不同时为 0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l₁:y=k x b₁ + ₁，l₂:y=k x b₂ + ₂

①l₁||l₂ ⇔k₁ =k b₂, ₁ ≠b₂_;

②l₁ ⊥l₂ ⇔k k_{1 2} = −1.

(2)若l₁:A x₁ +B y C₁ + ₁ =0,l₂:A x₂ +B y C₂ + ₂ =0,且 A1、A2、B1、B2都不为零,

(12)

① ₁ ₂ ¹ ¹ ¹ ；

2 2 2

|| A B C

l l

A B C

⇔ = ≠

②l₁ ⊥l₂ ⇔A A₁ ₂+B B₁ ₂ =0； 80.夹角公式

(1) ² ¹ .

2 1

tan | |

1 k k α = ⁻k k

+

(l₁:y=k x b₁ + ₁，l₂:y=k x b₂ + ₂,k k_{1 2} ≠ −1) (2) ¹ ² ² ¹ .

1 2 1 2

tan |A B A B | A A B B

α = ⁻

+

(l₁:A x₁ +B y C₁ + ₁ =0,l₂:A x₂ +B y C₂ + ₂ =0,A A₁ ₂+B B₁ ₂ ≠0).

直线l₁⊥l₂时，直线l1与l2的夹角是 ....

2 π

81. l₁到的角公式l₂

(1) ² ¹ .

2 1

tan 1

k k α = k k⁻

+

(l₁:y=k x b₁ + ₁，l₂:y=k x b₂ + ₂,k k_{1 2} ≠ −1) (2) ¹ ² ² ¹ .

1 2 1 2

tan A B A B

A A B B

α = ⁻

+

(l₁:A x₁ +B y C₁ + ₁ =0,l₂:A x₂ +B y C₂ + ₂ =0,A A₁ ₂+B B₁ ₂ ≠0).

直线l₁⊥l₂时，直线l1到l2的角是 ....

2 π

82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P x y₀( ₀, ₀)的直线系方程为 y−y₀ =k x( −x₀)(除直线 ), 其中是待定的系数 ; 经过定点的直线系方程为

x=x0 k P x y0( 0, 0)

,其中是待定的系数．

0 0

( ) ( ) 0

A x−x +B y−y = A B,

(2)共点直线系方程：经过两直线l₁:A x₁ +B y C₁ + ₁ =0,l₂:A x₂ +B y C₂ + ₂ =0的交点的直线系方程为(A x₁ +B y C₁ + ₁)+λ(A x₂ +B y C₂ + ₂)=0(除 )，其中λ是待定的系数．l₂

(3)平行直线系方程：直线y=kx b+ 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax+By C+ =0平行的直线系方程是 Ax+By+λ=0(λ≠0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线 Ax+By C+ =0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量．

Bx−Ay λ+ =0

83.点到直线的距离

(点 ,直线： ).

0 0

2 2

|Ax By C| d

A B

+ +

=

+ ⁰ ⁰

( , )

P x y l Ax By C+ + =0

84. Ax By C+ + >0或<0所表示的平面区域

设直线l Ax: +By C+ =0，则Ax+By C+ >0或<0所表示的平面区域是：

若 B≠0，当 B 与 Ax+By C+ 同号时，表示直线 l 的上方的区域；当 B 与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

Ax+By C+ l

若 B=0 ，当 A与 Ax+By C+ 同号时，表示直线 l 的右方的区域；当 A与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

Ax+By C+ l

85. (A x₁ +B y C₁ + ₁)(A x₂ +B y C₂ + ₂)>0或<0所表示的平面区域

(13)

设曲线C: (A x₁ +B y C₁ + ₁)(A x₂ +B y C₂ + ₂)=0（A A B B₁ ₂ ₁ ₂ ≠0），则或所表示的平面区域是：

1 1 1 2 2 2

(A x+B y C+ )(A x+B y C+ )>0 <0

所表示的平面区域上下两部分；

1 1 1 2 2 2

(A x+B y C+ )(A x+B y C+ )>0

所表示的平面区域上下两部分.

1 1 1 2 2 2

(A x+B y C+ )(A x+B y C+ )<0 86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x a− )²+(y b− )² =r².

（2）圆的一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F =0(D²+E²−4F＞0).

（3）圆的参数方程 cos . sin x a r y b r

θ θ

= +

⎧⎨

⎩ = +

（ 4 ）圆的直径式方程 (x−x₁)(x−x₂)+(y−y₁)(y−y₂)=0( 圆的直径的端点是

、 ).

1 1

( , )

A x y B x y( ₂, ₂) 87. 圆系方程

(1)过点A x y( ,₁ ₁),B x y( ₂, ₂)的圆系方程是

1 2 1 2 1 1 2 1 1 2

(x−x )(x−x )+(y−y )(y−y )+λ[(x−x )(y −y ) (− y−y )(x −x )]=0

, 其中是直线

1 2 1 2

(x x)(x x ) (y y )(y y ) λ(ax by c) 0

⇔ − − + − − + + + = ax by c+ + =0

的方程,λ是待定的系数．

AB

(2)过直线 :l Ax By C+ + =0与圆C:x²+y²+Dx+Ey+F =0的交点的圆系方程是x²+y²+Dx+Ey+F+λ(Ax+By C+ )=0,λ是待定的系数．

(3) 过圆C₁:x²+y²+D x₁ +E y₁ +F₁=0与圆C₂:x²+y²+D x E y F₂ + ₂ + ₂ =0的交点的圆系方程是 x²+y²+D x₁ +E y₁ +F₁+λ(x²+y²+D x₂ +E y₂ +F₂)=0,λ是待定的系数．

88.点与圆的位置关系

点P x y( ₀, ₀)与圆(x−a)² +(y−b)² =r²的位置关系有三种若d = (a−x₀)² +(b−y₀)² ，则

点在圆外; 点在圆上; 点在圆内.

d > ⇔r P d = ⇔r P d < ⇔r P

89.直线与圆的位置关系

直线 Ax+By+C=0与圆(x−a)² +(y−b)² =r²的位置关系有三种:

0;

<

∆

⇔

>r 相离 d

0;

=

∆

⇔

=r 相切

d

0.

>

∆

⇔

<r 相交 d

其中 .

2

2 B

A

C Bb d Aa

+ +

= +

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，O₁O₂ =d 条公切线;

外离 4

2

1+ ⇔ ⇔

>r r d

条公切线;

外切 3

2

1+ ⇔ ⇔

=r r d

条公切线;

相交 2

2 1 2

1−r < d <r +r ⇔ ⇔

r

条公切线;

内切 1

2

1 − ⇔ ⇔

= r r d

无公切线.

内含 ⇔

⇔

−

<

< ₁ ₂

0 d r r

91.圆的切线方程

(14)

(1)已知圆x²+y²+Dx+Ey+F =0．

①若已知切点( ,x y₀ ₀)在圆上，则切线只有一条，其方程是 .

0 0

( ) ( )

2 2 0

D x x E y y

x x+y y+ ⁺ + ⁺ +F =

当(x y₀, ₀)圆外时 , ₀ ₀ ⁽ ⁰ ⁾ ⁽ ⁰ ⁾ 0表示过两个切点

2 2

D x x E y y

x x+y y+ ⁺ + ⁺ +F= 的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为 y−y₀ =k x( −x₀)，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．

③斜率为 k 的切线方程可设为 y=kx b+ ，再利用相切条件求 b，必有两条切线．

(2)已知圆x²+y² =r²．

①过圆上的P x y₀( ₀, ₀)点的切线方程为x x₀ +y y₀ =r²;

②斜率为k的圆的切线方程为y=kx r± 1+k² .

92.椭圆的参数方程是 .

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b a ⁺b ⁼ ^> ^>

cos sin x a y b

θ θ

⎧ =

⎨ =

⎩

93.椭圆焦半径公式

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b a ⁺b ⁼ ^> ^>

， .

) (

2

1 c

x a e

PF = + ( )

2

2 x

c e a

PF = −

94．椭圆的的内外部

（1）点P x y( ₀, ₀)在椭圆的内部 .

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b a ⁺ b ⁼ ^> ^>

2 2

0 0

2 2 1

x y a b

⇔ + <

（2）点P x y( ₀, ₀)在椭圆的外部 .

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b a ⁺ b ⁼ ^> ^>

2 2

0 0

2 2 1

x y a b

⇔ + >

95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆上一点处的切线方程是 .

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b

a ⁺b ⁼ ^> ^> P x y^{( ,}⁰ ⁰⁾ x x⁰₂ y y⁰₂ 1 a ⁺ b ⁼

（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b

a ⁺b ⁼ ^> ^> P x y⁽ ⁰^, ⁰⁾

.

0 0

2 2 1

x x y y a ⁺ b ⁼

（ 3 ）椭圆与直线相切的条件是

2 2

2 2 1( 0)

x y

a b

a ⁺b ⁼ ^> ^> Ax+By C+ =⁰

2 2 2 2 2.

A a +B b =c

96.双曲线的焦半径公式

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a ⁻b ⁼ ^> ^>

， .

2

1 | ( a ) |

PF e x

= + c

2

2 | (a ) |

PF e x

= c −

97.双曲线的内外部

(1)点P x y( ,₀ ₀)在双曲线的内部 .

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a ⁻ b ⁼ ^> ^>

2 2

0 0

2 2 1

x y a b

⇔ − >

(15)

(2)点P x y( ,₀ ₀)在双曲线的外部 .

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a ⁻ b ⁼ ^> ^>

2 2

0 0

2 2 1

x y a b

⇔ − <

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为 ₂ 1 渐近线方程： .

2

2 2

=

−b y a

x ⇒

2 2

2 2 0

x y

a ⁻b ⁼ ^⇔ a^x y=±b

(2)若渐近线方程为 x 双曲线可设为 .

a

y=±b ⇔ ± =0 b y a

x ⇒ − ₂ =λ

2

2 2

b y a x

(3)若双曲线与 ₂ 1有公共渐近线，可设为（，焦点在 x

2

2 2

=

−b y a

x − ₂ =λ

2

2 2

b y a

x λ>0 轴上，λ<0，焦点在 y 轴上）.

99. 双曲线的切线方程

(1)双曲线上一点处的切线方程是 .

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a ⁻b ⁼ ^> ^> P x y^{( ,}⁰ ⁰⁾ x x⁰₂ y y⁰₂ 1 a ⁻ b ⁼

（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a ⁻b ⁼ ^> ^> P x y⁽ ⁰^, ⁰⁾

.

0 0

2 2 1

x x y y a ⁻ b ⁼

（ 3 ）双曲线与直线相切的条件是

2 2

2 2 1( 0, 0)

x y

a b

a ⁻b ⁼ ^> ^> Ax+By C+ =⁰

2 2 2 2 2.

A a −B b =c

100. 抛物线 y² =2px的焦半径公式

抛物线y² =2px p( >0)焦半径 ₀ . 2 CF =x + p

过焦点弦长 p x x p.

p x x

CD = ₁+ + ₂ + = ₁ + ₂ + 2

2

101.抛物线y² =2px上的动点可设为 P , )或 P ，其中 (2

2

�

� y

p

y P(2pt²,2pt)或 ( ,x y_� _�)

2 .

y_� =2px_�

102.二次函数的图象是抛物线：（ 1）顶

2

2 2 4

( )

2 4

b ac b

y ax bx c a x

a a

= + + = + + − (a≠0)

点坐标为；（ 2）焦点的坐标为；（ 3）准线方程是

4 2

( , )

2 4

b ac b

a a

− −

4 2 1

( , )

2 4

b ac b

a a

− +

− .

4 2 1

4 y ac b

a

− −

=

103.抛物线的内外部

(1)点P x y( ,₀ ₀)在抛物线y² =2px p( >0)的内部⇔ y² <2px p( >0). 点P x y( ₀, ₀)在抛物线y² =2px p( >0)的外部⇔ y² >2px p( >0). (2)点P x y( ,₀ ₀)在抛物线y² = −2px p( >0)的内部⇔ y² < −2px p( >0). 点P x y( ₀, ₀)在抛物线y² = −2px p( >0)的外部⇔ y² > −2px p( >0). (3)点P x y( ,₀ ₀)在抛物线x² =2py p( >0)的内部⇔x²<2py p( >0). 点P x y( ₀, ₀)在抛物线x² =2py p( >0)的外部⇔x² >2py p( >0).