** 摘要
二次方程式ax2+bx+ = 有根的公式c 0
2 b D
x a
=− ± ,其中D=b2−4ac為判別式:
當D> 時,方程式有兩個相異實根;當0 D= 時,方程式有二重根0 2 x b
a
=− ;當D< 時,方程式0
的兩根為共軛虛數。十六世紀的 義大利 數學家 卡丹諾 (G. Cardano﹐1501~1576)或 費拉里
(L. Ferrari﹐1522~1565)僅提供三次、四次方程式的解法,但沒有寫出具體的判別式與根的公 式!後來有多項式方程式的判別式(discriminant)或結式(resultant)可用來判別根的性質
○
1 。 在本刊第 14 期,我們已探討三次方程式根的判別,在本刊第 16 期,也已探討四次方程式的解 法,此處繼續引用行列式的方法探討四次方程式根的判別。**內文
延續前一篇文章「三次方程式根的行列式判別」中行列式的符號(數亦優第 14 期,P.5~14),
考慮多項式函數 f x( )=a xn n+an−1xn−1+ + a x1 +a0與其導函數 f x′( )的關係,得
(
2 3)
1
1 2 2 1
2 2
( ) ( ) n 1 n n n n
n n
x a
f x f x x x x
n n a n a
− −
− − −
= ′ ⋅ + + ⋅ ∆ + ∆ + + ∆ + ∆
(*)
其中∆ (1k ≤ ≤ − )為下列表達式第 1 列與第k n 1 k+ 列所成之二階行列式:1
1 2 1
1 2
0 1
( 1) 2
( 1) 2
n n
n n
a na
n a a
n a a
na a
−
−
−
−
−
,即 1
1
,1 1
( ) ( 1)
n n
k
n k n k
na a
k n n k a k a
−
− − −
∆ = ≤ ≤ −
− + 。
在式子(*)兩側同乘n an nn−1,得
( ) ( )
1 2 2 2 3
1 1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
n n n n n n n
n a − f x = na − f x′ ⋅ na x+a − + na − ⋅ ∆x − + ∆ x − ++ ∆ − x+ ∆ − , 可將上式化成
(
na xn +an−1)
的函數,同時使次高項((
n− 次項)消失。 1)
此處,我們討論n= 時的情形:4
註 1:方程式的判別式 discriminant 為方程式所有根差平方的乘積;多項式的結式 resultant 為多項式與其
葉善雲/臺北市東山高中
設 f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為四次多項式函數,e f x′( )=4ax3+3bx2+2cx+ ∆ (d, k k=1, 2,3)
為下列表達式第 1 列與第k+ 列所成之二階行列式:1 4 3 2 2 3 4 a b b c c d d e
,即 1 4 2 4
, ,
3 2 2 3
a b a b
b c c d
∆ = ∆ =
3
4 4 a b d e
∆ = 。
由 f x( )= f x′( )⋅4x+16ba+161a⋅ ∆
(
1x2+ ∆ + ∆2x 3)
,得( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3 2 3 2 2 2
1 2 3
3 2 2 3 2 2 3
2 2 2 2 2
1 2 1 3 1 2
3 2
256 ( ) 16 4 3 2 4 16
4 3 4 3 4 8 4 3 4 16 8 2 4
16 4 2 4 2 4 16 4
4 8 3 4 4
3
a f x a ax bx cx d ax b a x x
ax b ax b ax b ac ax b b ax b a d abc b ax b
a x ax b b a b ax b a b ab
ax b ac b ax b a
⋅ = ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ ∆ + ∆ + ∆
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + + − + ⋅ +
+ ∆ ⋅ + ⋅ + + ∆ − ∆ + + ∆ + ∆ − ∆
= + + − + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 2 1 1 2 3
3
1 2 1
2 2 2
1 2 1 1 2 3
4 2 1
1
2
12 2 2 8 3 4
3
4 4 2 4 4 16
4 2
4 4 4
3 3
4 4 2 4 4 16
4 4
4 2 4 4 4
2
3 0
ad bc b ac b ax b
ax b a b ax b b ab a
a b
ax b ax b ax b
ax b a b ax b b ab a
a a
ax b ax b ax b b
b
− − − ⋅ +
+ ∆ ⋅ + + ∆ − ∆ + + ∆ − ∆ + ∆
= + + ∆ ⋅ + + ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⋅ +
+ ∆ ⋅ + + ∆ − ∆ + + ∆ − ∆ + ∆
= + + ∆ ⋅ + + ⋅ ∆ ⋅ + +
∆
1 2
3
0 4a
b
∆
∆
∆
。
利用上面的寫法(實際上,也可反覆運用綜合除法求得),解四次方程式ax4+bx3+cx2+dx+ =e 0 就是解下列缺三次項的四次方程式
( )
4 1( )
2 1( )
122
3
4 0 4 4
4 2 4 4 4 0
2
3 0
a a
ax b ax b ax b b a
b b
∆ ∆
+ + ∆ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ∆ =
∆ ∆
。
由 費拉里 解法的討論,解上述四次方程式相當於解下列三次(預解)方程式
1 2
2 1
3 2
1 1 2
2 3
4 0
16 4
4 4 4 4 0
2 0 9
a a
y y b a y
b b
∆
∆
+ ∆ + ∆ − ⋅ ∆∆ ⋅ − ⋅ ∆ =
(**)
而解上述三次方程式就是解下列缺二次項的三次方程式
○
2(
3y+ ∆4 1) (
3+ −12)
⋅ ∆ +(
12 3M)
⋅(
3y+ ∆ + Φ = , 4 1)
0 註 2:三次方程式Ax3+Bx2+Cx+ = 可化成D 0( )
3 1( )
12
3 3
3 3 0
2
Ax B Ax B A
B
+ + ⋅ ∆ ⋅ + + ∆ =
∆ ,其中
1 3 2
6 2 2 2
A B
AC B
B C
∆ = = − 且 2 3
3 9 A B
AD BC
C D
∆ = = − 。
其中
1
2 2
2 1 2 3
3
4 0
4 4 16
0 a
M b a b ab a
b
∆
= ∆ = ∆ − ∆ + ∆
∆
,
( )
( )
( ) ( )
( )
2 1
2 3
1 2 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 1 2 1 3
2 2
2 1 2 1 1 3
1
2 1
3 2
8 3
3
4 16 4 2
16 48 48 12 8 3 9 4 16
64 12 3 2 36
4 0
64 3 3 2 9
M
a b M
a ab b ac b b ab a
a a b c a
a a b c
− ∆ +
Φ = ∆ − ⋅ ∆ − ∆ + ∆ − ∆
= − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ + − ∆ − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆
= − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ − ∆ ∆
∆
= − ⋅ ∆ ∆
∆ ∆
。
再由 卡丹諾 解法,解上述三次方程式相當於解下列二次方程式
(
2)
32
4 1 12 0 z + Φ ⋅ + ∆ +z M = ,
而此方程式的判別式為ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4
(
4 12 12M)
3,由此可得預解方程式(**)的三根,並解出四 次方程式。接著,我們寫出判別式ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4
(
4 12 12M)
3的行列式表示。引理 1:
延續前面∆ (k k=1, 2,3)的符號,
設
1 1
2 2 1
3 3 2
4 0 4 0
4 , 64 3 3
0 2 9
a a
M b a a b
b c
∆ ∆
= ∆ Φ = − ⋅ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
,及判別式ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4
(
4 12 12M)
3,則
1
2 1
16 3 4
1
3 2
3 2
3
4 0 0 0 0 3 4
2 3 2 3 2 0
0 0 0
a b a a c b d c d
∆
∆ ∆ ℜ = − ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
。(證明請參閱附錄的説明)
說得更明確些,若∆ ≠ ,則1 0
1 1
16 3 4
2 2 1
2 1
3 2
0 2 3 1
0 a
∆ Ω ℜ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ Ω Ω
∆ ∆ Ω
,其中Ω 為下列表達式第 1 列、k
第 2 列與第k+ 列所成之三階行列式:2
1
1 2
2 3
3
0 4
3 2
0 a b c d
∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
,即
1
1 2 1
3 2
4 0
3 2 a b c
∆ Ω = ∆ ∆
∆ ∆ 且
1
2 2 1
3
4 0
3 0 a b d
∆ Ω = ∆ ∆
∆
。
○
3由實係數三次方程式根的判別定理,知判別式ℜ 的正負或為 0 可決定三次方程式根的性 質
○
4E A;再根據解四次方程式的討論,預解方程式三根的性質也決定了原四次方程式四根的性 質A○
5E A。利用上述引理中判別式ℜ 的表示法及解四次方程式的討論,我們有下面的結論:定理一(四次方程式根的判別) :
設 f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為實係數四次多項式函數,符號e ∆ (k k=1, 2,3)如前所述,並令
1
2 1
*
1
3 2
2 3
3
0
4 0 0
0 3 4
2 3 2 0
0 0 0
a b a c b d c d
∆
∆ ∆
ℜ = ∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
,則我們有下列方程式實根個數的判別:
○
6E(1) f x( )= 有重根0 ⇔ ℜ = 。 * 0
(2) f x( )= 有 4 個相異實根或 4 個虛根0 ⇔ ℜ > 。 * 0 (3) f x( )= 有 2 個相異實根與 2 個虛根0 ⇔ ℜ < 。 * 0
註 3:關於Ωk之選取:四次函數 f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 除以其導函數 ( )e f x′ 的餘式為
r x( )=161a⋅ ∆
(
1x2+ ∆ + ∆ ;2x 3)
f x′( )=4ax3+3bx2+2cx+ 除以 ( )d r x 的餘式為( )
2(
1 2)
11 ⋅ Ω + Ωx
∆ 。
註 4:ℜ = 預解方程式有重根;0 ℜ < 預解方程式有三個相異實根;0 ℜ > 預解方程式有一個實根及兩個 0 共軛虛根。
註 5:若預解方程式有重根,則四次方程式有重根;若預解方程式有三個相異實根,則四次方程式有四個 相異實根或四個虛根;若預解方程式有一個實根及兩個共軛虛根,則四次方程式有兩個相異實根及 兩個共軛虛根。
註 6:在附錄我們推導:ℜ =* 256a R f f× ( , ′)=256a2×D f( ),讀者亦可經由網頁 http://www.wolframalpha.com/計算引擎來驗證。
定理二(四次方程式有四個相異實根的條件) :
設 f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為實係數四次多項式函數,符號e ∆ (k k=1, 2,3)﹐Ω (j j=1, 2)
如前所述,則 ( ) 0f x = 有四個相異實根⇔ ∆ <1 0,aΩ < 且1 0
1 1
2 2 1
3 2
0 0 0
∆ Ω
∆ Ω Ω >
∆ Ω
。
○
7首先,我們列出兩個證明需要引用的預備引理。
預備引理 1:
若實係數三次方程式x3+Ax2+Bx+ = 的三根為相異非負實數,則C 0 AB−9C< 。0
○
8 將此結果應用:若三次方程式
1 2
2 1
3 2
1 1 2
2 3
4 0
16 4
4 4 4 4 0
9 2 0
a a
x x b a x
b b
∆
∆
+ ∆ + ∆ − ⋅ ∆∆ ⋅ − ⋅ ∆ =
的三根為相異非負實
數,則
1 2
2 1
1 1 2
2 3
4 0
4 4 4 4 16 4
0 2
a a
b a b b
∆
∆
∆ ⋅ ∆ − ⋅ ∆∆ + ⋅ ∆
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 2 3 2 1 2 1
2 2
1 1 2 1 3 2
1
2 1 1
3 2
16 8 3 4 16 16 16 4
16 4 2 3 4 4
4 0
64 3 64 0
2
ac b b ab a a ab b
a c b a a
a
a b a
c
= ⋅ − ∆ − ∆ ⋅ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ ∆ + ∆
= ⋅ ⋅ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆
∆
= ⋅ ∆ ∆ = Ω <
∆ ∆
。
預備引理 2:
若實係數三次方程式x3+Ax2+Bx+ = 有三個相異實根滿足C 0 A<0,B> 且0 C≤ ,則0
3 2
0
x +Ax +Bx+ = 的三根為相異非負實數。C
○
9註 7:此結論亦可由 Sturm 法則推得,關於 Sturm 法則請參考臺大數學系網站,微積分經典範例 http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/。
註 8:設方程式x3+Ax2+Bx+ = 的三根為 , ,C 0 α β γ ,因此三數為相異非負實數,由算幾不等式得 6αβγ α β α γ αβ< 2 + 2 + 2+β γ αγ2 + 2+βγ2,即9αβγ −
(
α β γ αβ βγ αγ+ +)(
+ +)
<0,再由根與係數 的關係得AB−9C< 。0註 9:設方程式的三根為 , ,α β γ ,由C≤ 知三根為:三正根或「一正根兩負根」或有一根為 0, 0 (1)若三根有一根為 0,則由B> 知另兩根同正或同負,並由0 A< 知該兩根同正。 0
(2)若三根為一正根α與兩負根 ,β γ ,則由 = −
(
α β γ+ +)
< 知α> −(
β γ+)
> ,得定理證明:
當 ( ) 0f x = 有四個相異實根時,則根據解四次方程式的討論,
預解式
1 2
2 1
3 2
1 1 2
2 3
4 0
16 4
4 4 4 4 0
2 0 9
a a
x x b a x
b b
∆
∆
+ ∆ + ∆ − ⋅ ∆∆ ⋅ − ⋅ ∆ =
有三個相異非負實根,
此時判別式ℜ < ;另由三根和為0 − ∆(需為正數)得4 1 ∆ < ,且由預備引理 1 之應用得1 0 aΩ < ;1 0
再由∆ ≠ 及引理 1 得1 0
1 1
2 2 1
3 2
0 0 0
∆ Ω
∆ Ω Ω >
∆ Ω
。
反之,由∆ ≠ 與1 0
1 1
2 2 1
3 2
0 0 0
∆ Ω
∆ Ω Ω >
∆ Ω
及引理 1 得判別式ℜ < ,得預解方程式有三個相異實根;0
再由
1 2
2 1
1 1 1 2
2 3
4 0
64 4 4 4 4 16 4 0
0 2
a a
a b a
b b
∆
∆
⋅ Ω = ∆ ⋅ ∆ − ⋅ ∆∆ + ⋅ ∆ <
,得
1 2
1 1 2
3
4 0
4 4 4 4 0
0 a b a
b
∆
∆ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ <
∆
,並由已知∆ < 得1 0
1 2
1 2
3
4 0
4 4 4 0
0 a b a
b
∆
∆ − ⋅ ∆ >
∆
,
於是根據預備引理 2,知預解方程式的三根為三相異非負實數,故根據解四次方程式的討論,
知 ( ) 0f x = 有四個相異實根。
推論(四次方程式沒有實根的條件) :
設 f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為實係數四次多項式函數,符號e ∆ 與k Ω 同上,則 j
( ) 0
f x = 沒有實根
1
2 1
1
3 2
3 2
3
4 0 0 0 0 3 4
0 2 3
2 0
0 0 0
a b a c b d c d
∆
∆ ∆
⇔ ∆ ∆ ∆ >
∆
∆
∆
且(∆ ≥ 或1 0 aΩ ≥ )。 1 0
底下,我們舉些實例來說明上述定理的應用。
實例 1 》試就 k 值討論方程式3x4−8x3−6x2+24x− = 實根的分布。k 0
○
10註 10:若令g x( )=3x4−8x3−6x2+24x,則g x′( )=12
(
x3−2x2− +x 2)
。(1)令g x′( )=0得臨界點1, 2, 1− ;(2)函數 ( )g x 在臨界點1, 2, 1− 的值分別為13,8, 19− 。 可透過函數y=g x( )圖形與水平線相交狀況,判別原四次方程式的實根個數。
令 f x( )=3x4−8x3−6x2+24x−k f x, ′( ) 12=
(
x3−2x2− +x 2)
,由∆ 的表達式k
1 8 2 12 12 1 72
2 4k
−
− −
⋅−
−
,得
∆ =1 12⋅ −
(
28 ,)
∆ =2 12 64,⋅ ∆ =3 12⋅ − +(
4k 16)
;由Ω 的表達式k
( )
21 7 0
2 16 7 12 48
1 4 16
2 0 4
k k
− −
⋅ − ⋅− − −
−
,得
( ) ( )
2 2
1 12 48 7k 11 , 2 12 48 2k 106 Ω = ⋅ ⋅ − + Ω = ⋅ ⋅ − + ; 計算判別式
( ) ( )
( )( )( )
2 2
1 1
*
2 2 1
2 2 2
1
3 2
16 5
0 7 7 11 0
12 4 12 48
1 16 2 106 7 11
12 28
0 4 0 2 106
2 3 8 13 19
k
k k
k k
k k k
∆ Ω × − × − × −
ℜ = ⋅ ∆ Ω Ω = ⋅ − − −
∆ ×
∆ Ω − −
= − × × − − + 。 根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有
(1) 當 ( )f x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k=8,13或 19−
○
11E若k= ,則方程式的四根為 2(重根)與兩實根8 2 10
3
− ± 。
若k =13,則方程式的四根為 1(重根)與兩實根1 2 10 3
± 。
若k = − ,則方程式的四根為 119 − (重根)與兩共軛虛根7 2 2 3
± i
。 (2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時:由0 ℜ > ∆ < 且* 0, 1 0 3Ω < ,得81 0 < <k 13。
(3) 當 ( )f x = 沒有實根,即 ( ) 00 f x = 有四個虛根時:由ℜ > 且* 0 3Ω ≥ ,得1 0 k< − 。 19 (4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時:由0 ℜ < ,得 19* 0 − < < 或13 kk 8 < 。
註 11:經移根 2
x− 調整,原方程式成為3
4 2
2 14 2 80 2 104 9 3 3 3 27 3 27 0
x x x − k
− − ⋅ − + ⋅ − + =
,其預解方程
+
實例 2 》試就 k 值討論方程式x4−4x2+kx− = 實根的分布。 1 0 令 f x( )=x4−4x2+kx−1,f x′( )=4x3−8x+ ,得 k
1 32, 2 12 ,k 3 16
∆ = − ∆ = ∆ = − ;Ω =1 42⋅ ⋅4 9
(
k2−160 ,)
Ω =2 4 162⋅ k;計算判別式
( )
( )( ) ( )
2 2
1 1 3
* 2
2 2 1
2 10
1
3 2
8 2
0 8 9 160 0
4 4
1 3 4 9 160
0 2 4 0 4
2 4 4 27 400
k
k k k
k
k k k
∆ Ω − ⋅ −
ℜ = ⋅ ∆ Ω Ω = ⋅ − −
∆ ∆ Ω
= − ⋅ − + − 。
根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有
(1) 當 ( )f x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k= ± 或4 20 3
± 9 。
○
12E若k= ,則方程式的四根為 1(重根)與兩實根 14 − ± 2。
若k= − ,則方程式的四根為 14 − (重根)與兩實根1± 2。 若 20 3
k = 9 ,則方程式的四根為 3
3 (重根)與兩實根 3 30 3
− ±
。
若 20 3
k= − 9 ,則方程式的四根為 3
− 3 (重根)與兩實根 3 30 3
± 。
(2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時:由0 ℜ > ∆ < 且* 0, 1 0 Ω < , 1 0
得
( )( ) (
2)
2
4 4 27 400 0 9 160 0
k k k
k
+ − − <
− <
,取 20 3
4 k 9
− < < − 或20 3
9 < < 。 k 4
(3) 當 ( )f x = 沒有實根時:由0 ℜ > 且* 0 Ω ≥ , 1 0
得
(
k+4)(
k−4 27) (
k2−400)
< 且0 9k2−160≥ ,此時 k 無實數解。 0 也就是說,不論 k 為何實數值, ( ) 0f x = 恆有實根。(4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時:由0 ℜ < , * 0 得 20 3 20 3
4, 9 9
k< − − < <k 或 4 k< 。
註 12:預解方程式為y3−8y2+20y−k2 = 。 0
當k= ± 時,三根為 2(重根)﹐4;當4 20 3
k= ± 9 時,三根為10
3 (重根)﹐4 3。
實例 3 》討論方程式3x4−4kx3+ = 實根的分布。1 0
○
13(取材自 91 年指考數甲考題)方法一:
令 f x( )=3x4−4kx3+1,f x′( ) 12= x3−12kx2,得
2
1 48k , 2 0, 3 48
∆ = − ∆ = ∆ = ;Ω =1 210⋅ ⋅33 k2,Ω = −2 210⋅ ⋅ 。 33 k3 就∆ 是否為 0 討論: 1
情形 1:當k= 時,方程式0 3x4−4kx3+ = 沒有實根。 1 0 情形 2:當k≠ 時,0 ∆ ≠ ,計算判別式 1 0
( )
( ) ( )
2 2
10 3 2
1 1
* 16 5 4
2 2 1
2 2 2
1
3 2
0 1 0
48 2 3
1 0 1 2 3 1
0 48 1 0
k k
k k
k k
∆ Ω
− ⋅ ⋅ ⋅
ℜ = ⋅ ∆ Ω Ω = ⋅ − = − ⋅ ⋅ −
∆ ∆ Ω − −
。
根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有 (1) 當 ( )f x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k= ± , 1
若k= ,則方程式的四根為 1(重根)與兩共軛虛根1 1 2 3
− ± i
。 若k = − ,則方程式的四根為 11 − (重根)與兩共軛虛根1 2
3
± i
。
(2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時:由0 ℜ > ∆ < 且* 0, 1 0 3Ω < ,得1 0
( )( ) (
2)
2
1 1 1 0
0
k k k
k
+ − + <
< ,
此時 k 無解。也就是說,不論 k 為何實數值, ( )f x = 都不會有四個相異實根。 0 (3) 當 ( )f x = 沒有實根時: 0
情形 1:當k = 時,方程式0 3x4−4kx3+ = 沒有實根。 1 0 情形 2:當k ≠ 時,0 ∆ ≠ ,由1 0 ℜ > 且* 0 ∆ ≥ 或1 0 Ω ≥ , 1 0
得
( )( ) (
2)
2
1 1 1 0
0, 0
k k k
k k
+ − + <
≥ ≠
且
,取 1− < < 但k 1 k≠ 。合併上述結果,取 10 − < < 。 k 1
(4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時:由0 ℜ < ,得* 0 k< − 或1 k1 < 。
註 13:經移根 3
x− 調整,原方程式成為k
4 2 2 2 8 3 9 4
3 3 3 27 3 27 0
k k k k k k
x x x −
− − ⋅ − − ⋅ − + =
,
方法二:作倒根變換
方程式3x4−4kx3+ = 實根的分布相當於方程式1 0 x4−4kx+ = 實根的分布。 3 0 令g x( )=x4−4kx+3,g x′( )=4x3−4k,得∆ = ∆ = −1 0, 2 48 ,k ∆ =3 48;計算判別式
○
14( )
1
2 1
* 2 3 16 3 4
3 2 1
2 3
3
0
4 0 0 1 0 0 0 0
0
3 4 0 1 0 0
4 48 2 3 1
2 3 0 0 1 0
2 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1
a
b a k
k
c b k
d c k k
d k
∆
∆ ∆ −
ℜ = ∆ ∆ ∆ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −
∆
∆ − −
∆ −
。
根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有 (1) 當 ( )g x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k= ± 。 1
(2) 不論 k 為何實數值, ( )g x = 都不會有四個相異實根(因0 ∆ = )。 1 0
(3) 當 ( )g x = 沒有實根時:由0 ℜ > (因* 0 ∆ = ),得1 0
(
k+1)(
k−1) (
k2+ < ,取 11)
0 − < < 。 k 1 (4) 當 ( )g x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時: 0由ℜ < ,得* 0
(
k+1)(
k−1) (
k2+ > ,取1)
0 k< − 或1 k1 < 。《附錄一》說明ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4
(
4 12 12M)
3=216⋅ −( )
3 3⋅a4⋅ℜ 。 * 1. 將 5 階行列式展開化簡:( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2 1
*
1
3 2
2 3
3
3 3 3 2 2 2
2 2 2
1 2 3 1 2 1 2 1 3
2 2 2
2
1 3 2 3 2 3 1 2 3
0
4 0 0
3 4 0 2 3
2 0
0 0 0
4 16 3 2 9 16
4 6 12 8 12 6
a b a c b d c d
d ad a bd cd b ac
c bd ab ac ad bc
∆
∆ ∆
ℜ = ∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆
= ∆ − ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆ 。
2. 計算判別式ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4
(
4 12 12M)
3:(1) 12 1 8 2
(
22 1 3 2 1 1)
3 2
4 0
64 3 3 2 3 9 4 9
2 9 a
a b a c bd
c
∆
Φ = − ⋅ ∆ ∆ = − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ − ∆
∆ ∆
(2) 4∆ +12 12M =16a⋅
(
2c∆ − ∆ +1 3b 2 12a∆ =3)
16a⋅4a⋅(
4c2−9bd+ ∆3 3)
註 14:當∆ =1 0時,判別方程式根的分布不需計算Ωk。
( )
(
2)
2( ( ) )
316 4 2 2 2
2 1 3 1 3
(3) ℜ =2 a ⋅ 3∆ − ∆ ∆ +9 4c −9bd ∆ −16a ⋅ 4c −9bd + ∆3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
4 2 2 2 2 2
16 4 2 2
2 1 2 3 1 3 1 2 1 3
2 2 2 3 2
2
1 3 1 2 3
2 2
2 2
1 1 2 2 3
2 2
2 2 2
1 1 2 2
4 2 2 2
16 4 2
2 1 2 3 1 3
2 9 54 81 6 4 9 18 4 9
4 9 27 4 27 4 2 3
9 4 12 9
4 9 4 12 9
2 9 54 81 24 5
a c bd c bd
c bd a a c b
c bc b
c bd c bc b
a c
= ⋅ ∆ − ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ⋅ − ∆ ∆ − ⋅ − ∆ ∆ + − ∆ − ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ∆ − ∆ ∆
− ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆
− − ∆ − ∆ ∆ + ∆
= ⋅ ∆ − ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ +
(
−) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
1 2 1 3
2 3 2
2 2 2 2
1 3 1 3
2 2 2
2 3 1 2 3 2 3
2 2 2 2
1 2 2
4 108 162
36 81 432 216
324 108 81
4 9 12 4 9 9
bd c bd
bc d b d a ac
ab bc b
c bd bc c bd b
∆ ∆ + − + ∆ ∆
+ − + ∆ − ∆ − ∆ ∆
+ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ⋅ ∆ ∆ − − ⋅ ∆
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2 2
16 4 2 2
2 2 2 1 2 3
2 2 2
2 2 2
1 3 1 2 1 3
2 3 3 2 2
2 2 2 2
1 1 3 1 3 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 108 36 216 108 648
648 243 24 54 108 162
36 216 27 432 216 324
108 324 54
a ad b c abcd bc ad
ac b c bd c bd
bc d acd d a ac ab
bc ad bc
= ⋅ ∆ + ∆ − ∆ + − ∆ ∆ ∆
+ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − + ∆ ∆
+ − + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆
+ ∆ ∆ ∆ +
(
∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ −)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 3
2 2 2 3 2 2 2
1 2 1 2 2
3 3 3 2 2 2
16 4 2 2 2
2 1 3 1 2 1 2 1 3
2 2 2
2
1 3 2 3 2 3 1 2 3
3 2 2
2
216
36 24 81 36
2 108 27 432 36 54 162 108
432 243 216 324 162 324
81 216 36
ac
cd c b d b c
a ad d a cd bd bd c
ac b ac ab bc ad
b d abcd bc
∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆
= ⋅ ∆ − ∆ − ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ ∆
+ − ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆
+ − ∆ + −
(
d+216acd2)
∆ 12
[ ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2
16 4 2 2 2
1 2 3 1 2 1 2 1 3
2 2 2
2
1 3 2 3 2 3 1 2 3
2 2
1 2 1 2
3 3 3 3 2 2
16 4 2 2
1 2 3 1 2 1 2
2 27 108 432 54 36 432 243
162 108 324 216 162 324
27 18
2 3 4 16 3 2 9
a d ad a bd cd ac b
bd c ab ac bc ad
bd cd
a d ad a bd cd
= ⋅ − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆
+ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆
− ∆ ∆ + ∆ ∆
= ⋅ − ⋅ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ +
( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 3
2 2 2
2
1 3 2 3 2 3 1 2 3
16
4 6 12 8 12 6
b ac
c bd ab ac ad bc
− ∆ ∆
+ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆ 所以ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4
(
4 12 12M)
3=216⋅ −( )
3 3⋅a4⋅ℜ*。《附錄二》說明行列式轉換。
1. 行列式性質Ⅰ(三階轉換成五階):
令Ω 為下列表達式第 1 列、第 2 列與第k k+ 列所成之三階行列式: 2 0
0 A X B Y X C Z Y
D Z
,即 1
0 A X B Y X C Z Y
Ω = 且 2
0 0 A X B Y X
D Z
Ω = ,若X ≠ , 0
則
1
2
2 1
2
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
A X
X B A Y X
Y X C B Z Y X
Z D C Z Y
D Z
Ω
Ω Ω = ⋅ Ω
。
說明:
1
2 2 1 2 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
(1) 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 A X
B Y X X C Z Y
Y D Z C Z Y
Z D Z
A X B Y X
A X A X A X
B Y X B Y X B Y X
D Z C Z Y C Z Y C Z Y
X Y Z
D Z D Z D C Z Y
A X A X A X
B Y X B Y X B Y X
X
X Y Z Y
= ⋅ − ⋅ + ⋅
Ω
= ⋅ Ω ⋅ Ω − ⋅ Ω ⋅ Ω + ⋅ Ω ⋅ Ω = Ω2 1 0 2
Z
Ω Ω
1
2 1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
(2) 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
A X A X
B Y X B Y X
X X C Z Y X C Z Y
Y Y D Z C Z Y D Z C Z Y
Z Z D Z D Z
A X A X
B Y X X B Y X
Ω
Ω Ω = =
Ω
−
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
A X
A X A X
B Y X
B Y X B Y X X
X C Z Y
D Z C Z Y D Z C Y
X X
D Z C Z Y
D Z D Z
D Z
A X A X
A X
C Z Y B Y X C Z Y B X
C Z Y B Y X
−
= = ⋅ = ⋅
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 A X
A X A X
B Y X A
B Y X A B A Y X
D Z C Y
X X D Z C Y X C B Z Y X
D Z
D Z D C Z Y
A X
C Z Y B X D Z
C Z Y B X
= ⋅ = ⋅ = ⋅
例如,在四次方程式中,
( ) ( )
1
1 1 2 1
2 2 *
2 2 1 1 3 2 1 1
3 2 3 2
3
4 0 0 0
0 3 4 0
2 3
0 2 0
0 0 0
a b a c b d c d
∆
∆ Ω ∆ ∆
∆ Ω Ω = ∆ ⋅ ∆ ∆ ∆ = ∆ ⋅ℜ
∆ Ω ∆ ∆
∆
。
2. 行列式性質Ⅱ(五階轉換成七階):
令Ω 為下列表達式第 1 列、第 2 列與第k k+ 列所成之三階行列式: 2 0
0 A W B X W C Y X D Z Y
E Z
,即 1
0 A W B X W C Y X
Ω = , 2
0 A W B X W D Z Y
Ω = ,且 3
0
0 A W B X W
E Z
Ω = ,
若W ≠ ,則0
1
2 1
4
3 2 1
3 2
3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
A W
W B A X W
X W C B A Y X W
Y X W D C B Z Y X W
Z Y E D C Z Y X
Z E D Z Y
E Z
Ω Ω Ω
= ⋅ Ω Ω Ω
Ω Ω Ω
。
說明:
1
2 1
3 2 1 1 1
3 2 2 1 2
3 3 2 3
3
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A W
A W B X W
W B X W W C Y X
X W W C Y X X W D Z Y C Y X
Y X X W D Z Y Y X E Z D Z Y
Z Y Y X E Z Z Y E Z
Z Z Y Z
Z A W
B X W Ω
Ω Ω
= =
Ω Ω Ω Ω Ω
Ω Ω Ω Ω Ω
Ω Ω Ω Ω
Ω
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 A W
B X W
W C Y X A W
X W D Z Y C Y X B A X W
Y X E Z D Z Y C Y X C B A Y X W
Z Y E Z D Z Y W D C B Z Y X W
Z E Z E D C Z Y X
A W E D Z Y
B X W E Z
A W B X W
= = ⋅
例如,在四次方程式中,
1
4 3 2
a b b c
∆ = , 2 4 2 3
a b c d
∆ = , 3 4
4 a b d e
∆ = 的三階表示法為
1
4 0 1 3 4
2 3 a a b b a a c c b
∆ = ⋅ , 2
4 0 1 3 4
2 a a b b a a d d c
∆ = ⋅ ,且 3
4 0 1 3 4
0 a a b b a
a e d
∆ = ⋅ 。
因此,
( )
( ) ( )
1 2 1 4
*
1
3 2 3
3 2
3
2
0 0 4 0 0 0
4 0 0 0 0 3 4 0 0
0
3 4 2 3 4 0
2 3 4 2 3 4
2 0 0 2 3
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 256 , 256
a a
a b a b a
b a c b a c b a
c b a d c b d c b a
d c a e d c d c b
d e d d c
e d
a R f f a D f
∆
∆ ∆
ℜ = ∆ ∆ ∆ = ⋅
∆
∆
∆
= ⋅ ′ = ⋅
參考資料︰
1. 康明昌,幾個有名的數學問題,數學傳播季刊選輯(1985)。
2. 北京大學數學科學學院http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/algebra/。
3. 臺大數學系,微積分經典範例http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/。
4. 葉善雲,三次方程式根的行列式判別,龍騰數亦優,第 14 期,P.5~14。
5. 葉善雲,解四次方程式,龍騰數亦優,第 16 期,P.37~45。