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(1)

** 摘要

二次方程式ax2+bx+ = 有根的公式c 0

2 b D

x a

=− ± ,其中D=b2−4ac為判別式:

D> 時,方程式有兩個相異實根;當0 D= 時,方程式有二重根0 2 x b

a

=− ;當D< 時,方程式0

的兩根為共軛虛數。十六世紀的 義大利 數學家 卡丹諾 (G. Cardano﹐1501~1576)或 費拉里

(L. Ferrari﹐1522~1565)僅提供三次、四次方程式的解法,但沒有寫出具體的判別式與根的公 式!後來有多項式方程式的判別式(discriminant)或結式(resultant)可用來判別根的性質

1 。 在本刊第 14 期,我們已探討三次方程式根的判別,在本刊第 16 期,也已探討四次方程式的解 法,此處繼續引用行列式的方法探討四次方程式根的判別。

**內文

延續前一篇文章「三次方程式根的行列式判別」中行列式的符號(數亦優第 14 期,P.5~14),

考慮多項式函數 f x( )=a xn n+an1xn1+ + a x1 +a0與其導函數 f x′( )的關係,得

(

2 3

)

1

1 2 2 1

2 2

( ) ( ) n 1 n n n n

n n

x a

f x f x x x x

n n a n a

 

= ′ ⋅ + + ⋅ ∆ + ∆ + + ∆ + ∆

   (*)

其中∆ (1k ≤ ≤ − )為下列表達式第 1 列與第k n 1 k+ 列所成之二階行列式:1

1 2 1

1 2

0 1

( 1) 2

( 1) 2

n n

n n

a na

n a a

n a a

na a

 

 − 

 

 

 

 − 

 

 

 ,即 1

1

,1 1

( ) ( 1)

n n

k

n k n k

na a

k n n k a k a

− −

∆ = ≤ ≤ −

− + 。

在式子(*)兩側同乘n an nn1,得

( ) ( )

1 2 2 2 3

1 1 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n n

n n n n n n n

n a f x = na f x′ ⋅ na x+a + na ⋅ ∆x + ∆ x ++ ∆ x+ ∆ , 可將上式化成

(

na xn +an1

)

的函數,同時使次高項(

(

n− 次項)消失。 1

)

此處,我們討論n= 時的情形:4

註 1:方程式的判別式 discriminant 為方程式所有根差平方的乘積;多項式的結式 resultant 為多項式與其

葉善雲/臺北市東山高中

(2)

f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為四次多項式函數,e f x′( )=4ax3+3bx2+2cx+ ∆ (d, k k=1, 2,3)

為下列表達式第 1 列與第k+ 列所成之二階行列式:1 4 3 2 2 3 4 a b b c c d d e

 

 

 

 

 

 

 

,即 1 4 2 4

, ,

3 2 2 3

a b a b

b c c d

∆ = ∆ =

3

4 4 a b d e

∆ = 。

f x( )= f x( )4x+16ba+161a⋅ ∆

(

1x2+ ∆ + ∆2x 3

)

,得

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2 2 2

1 2 3

3 2 2 3 2 2 3

2 2 2 2 2

1 2 1 3 1 2

3 2

256 ( ) 16 4 3 2 4 16

4 3 4 3 4 8 4 3 4 16 8 2 4

16 4 2 4 2 4 16 4

4 8 3 4 4

3

a f x a ax bx cx d ax b a x x

ax b ax b ax b ac ax b b ax b a d abc b ax b

a x ax b b a b ax b a b ab

ax b ac b ax b a

⋅ = ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ ∆ + ∆ + ∆

 

= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + + − + ⋅ +

+ ∆ ⋅ + ⋅ + + ∆ − ∆ + + ∆ + ∆ − ∆

= + + − + +

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2

1 2 1 1 2 3

3

1 2 1

2 2 2

1 2 1 1 2 3

4 2 1

1

2

12 2 2 8 3 4

3

4 4 2 4 4 16

4 2

4 4 4

3 3

4 4 2 4 4 16

4 4

4 2 4 4 4

2

3 0

ad bc b ac b ax b

ax b a b ax b b ab a

a b

ax b ax b ax b

ax b a b ax b b ab a

a a

ax b ax b ax b b

b

 − − − ⋅ +

 

 

+ ∆ ⋅ + + ∆ − ∆ + + ∆ − ∆ + ∆

 

= + + ∆ ⋅ + + ⋅ ∆ − ⋅ ∆ ⋅ +

+ ∆ ⋅ + + ∆ − ∆ + + ∆ − ∆ + ∆

= + + ∆ ⋅ + + ⋅ ∆ ⋅ + +

1 2

3

0 4a

b

利用上面的寫法(實際上,也可反覆運用綜合除法求得),解四次方程式ax4+bx3+cx2+dx+ =e 0 就是解下列缺三次項的四次方程式

( )

4 1

( )

2 1

( )

12

2

3

4 0 4 4

4 2 4 4 4 0

2

3 0

a a

ax b ax b ax b b a

b b

∆ ∆

+ + ∆ ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ∆ =

∆ ∆

由 費拉里 解法的討論,解上述四次方程式相當於解下列三次(預解)方程式

1 2

2 1

3 2

1 1 2

2 3

4 0

16 4

4 4 4 4 0

2 0 9

a a

y y b a y

b b

 ∆ 

 ∆ 

 

+ ∆ + ∆ − ⋅ ∆∆ ⋅ − ⋅ ∆  =

(**)

而解上述三次方程式就是解下列缺二次項的三次方程式

2

(

3y+ ∆4 1

) (

3+ −12

)

⋅ ∆ +

(

12 3M

)

(

3y+ ∆ + Φ = , 4 1

)

0 註 2:三次方程式Ax3+Bx2+Cx+ = 可化成D 0

( )

3 1

( )

1

2

3 3

3 3 0

2

Ax B Ax B A

B

+ + ⋅ ∆ ⋅ + + ∆ =

,其中

1 3 2

6 2 2 2

A B

AC B

B C

∆ = = 2 3

3 9 A B

AD BC

C D

∆ = =

(3)

其中

1

2 2

2 1 2 3

3

4 0

4 4 16

0 a

M b a b ab a

b

= ∆ = ∆ − ∆ + ∆

( )

( )

( ) ( )

( )

2 1

2 3

1 2 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 1 2 1 3

2 2

2 1 2 1 1 3

1

2 1

3 2

8 3

3

4 16 4 2

16 48 48 12 8 3 9 4 16

64 12 3 2 36

4 0

64 3 3 2 9

M

a b M

a ab b ac b b ab a

a a b c a

a a b c

− ∆ +

Φ = ∆ − ⋅ ∆ − ∆ + ∆ − ∆ 

 

= − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ + − ∆ − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ 

= − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ − ∆ ∆

= − ⋅ ∆ ∆

∆ ∆

再由 卡丹諾 解法,解上述三次方程式相當於解下列二次方程式

(

2

)

3

2

4 1 12 0 z + Φ ⋅ + ∆ +z M = ,

而此方程式的判別式為ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4

(

4 12 12M

)

3,由此可得預解方程式(**)的三根,並解出四 次方程式。

接著,我們寫出判別式ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4

(

4 12 12M

)

3的行列式表示。

引理 1:

延續前面∆ (k k=1, 2,3)的符號,

1 1

2 2 1

3 3 2

4 0 4 0

4 , 64 3 3

0 2 9

a a

M b a a b

b c

∆ ∆

= ∆ Φ = − ⋅ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

,及判別式ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4

(

4 12 12M

)

3

1

2 1

16 3 4

1

3 2

3 2

3

4 0 0 0 0 3 4

2 3 2 3 2 0

0 0 0

a b a a c b d c d

∆ ∆ ℜ = − ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ∆ ∆

。(證明請參閱附錄的説明)

說得更明確些,若∆ ≠ ,則1 0

1 1

16 3 4

2 2 1

2 1

3 2

0 2 3 1

0 a

∆ Ω ℜ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ Ω Ω

∆ ∆ Ω

,其中Ω 為下列表達式第 1 列、k

(4)

第 2 列與第k+ 列所成之三階行列式:2

1

1 2

2 3

3

0 4

3 2

0 a b c d

 ∆ 

 ∆ ∆ 

 

 ∆ ∆ 

 

 ∆ 

 

,即

1

1 2 1

3 2

4 0

3 2 a b c

∆ Ω = ∆ ∆

∆ ∆ 且

1

2 2 1

3

4 0

3 0 a b d

∆ Ω = ∆ ∆

3

由實係數三次方程式根的判別定理,知判別式ℜ 的正負或為 0 可決定三次方程式根的性 質

4E A;再根據解四次方程式的討論,預解方程式三根的性質也決定了原四次方程式四根的性 質A

5E A。利用上述引理中判別式ℜ 的表示法及解四次方程式的討論,我們有下面的結論:

定理一(四次方程式根的判別)

f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為實係數四次多項式函數,符號e ∆ (k k=1, 2,3)如前所述,並令

1

2 1

*

1

3 2

2 3

3

0

4 0 0

0 3 4

2 3 2 0

0 0 0

a b a c b d c d

∆ ∆

ℜ = ∆ ∆ ∆

,則我們有下列方程式實根個數的判別:

6E

(1) f x( )= 有重根0 ⇔ ℜ = 。 * 0

(2) f x( )= 有 4 個相異實根或 4 個虛根0 ⇔ ℜ > 。 * 0 (3) f x( )= 有 2 個相異實根與 2 個虛根0 ⇔ ℜ < 。 * 0

註 3:關於k之選取:四次函數 f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 除以其導函數 ( )e f x 的餘式為

r x( )=161a⋅ ∆

(

1x2+ ∆ + ∆ ;2x 3

)

f x( )=4ax3+3bx2+2cx+ 除以 ( )d r x 的餘式為

( )

2

(

1 2

)

1

1 ⋅ Ω + Ωx

∆ 。

註 4:ℜ = 預解方程式有重根;0 ℜ < 預解方程式有三個相異實根;0 ℜ > 預解方程式有一個實根及兩個 0 共軛虛根。

註 5:若預解方程式有重根,則四次方程式有重根;若預解方程式有三個相異實根,則四次方程式有四個 相異實根或四個虛根;若預解方程式有一個實根及兩個共軛虛根,則四次方程式有兩個相異實根及 兩個共軛虛根。

註 6:在附錄我們推導:ℜ =* 256a R f f× ( , )=256a2×D f( ),讀者亦可經由網頁 http://www.wolframalpha.com/計算引擎來驗證。

(5)

定理二(四次方程式有四個相異實根的條件)

f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為實係數四次多項式函數,符號e ∆ (k k=1, 2,3)﹐Ω (j j=1, 2)

如前所述,則 ( ) 0f x = 有四個相異實根⇔ ∆ <1 0,aΩ < 且1 0

1 1

2 2 1

3 2

0 0 0

∆ Ω

∆ Ω Ω >

∆ Ω

7

首先,我們列出兩個證明需要引用的預備引理。

預備引理 1:

若實係數三次方程式x3+Ax2+Bx+ = 的三根為相異非負實數,則C 0 AB−9C< 。0

8 將此結果應用:

若三次方程式

1 2

2 1

3 2

1 1 2

2 3

4 0

16 4

4 4 4 4 0

9 2 0

a a

x x b a x

b b

 ∆ 

 ∆ 

 

+ ∆ + ∆ − ⋅ ∆∆ ⋅ − ⋅ ∆  =

的三根為相異非負實

數,則

1 2

2 1

1 1 2

2 3

4 0

4 4 4 4 16 4

0 2

a a

b a b b

 ∆ 

 ∆ 

 

∆ ⋅ ∆ − ⋅ ∆∆ + ⋅ ∆ 

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 2 3 2 1 2 1

2 2

1 1 2 1 3 2

1

2 1 1

3 2

16 8 3 4 16 16 16 4

16 4 2 3 4 4

4 0

64 3 64 0

2

ac b b ab a a ab b

a c b a a

a

a b a

c

 

= ⋅ − ∆ − ∆ ⋅ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ ∆ + ∆ 

= ⋅ ⋅ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆

= ⋅ ∆ ∆ = Ω <

∆ ∆

預備引理 2:

若實係數三次方程式x3+Ax2+Bx+ = 有三個相異實根滿足C 0 A<0,B> 且0 C≤ ,則0

3 2

0

x +Ax +Bx+ = 的三根為相異非負實數。C

9

註 7:此結論亦可由 Sturm 法則推得,關於 Sturm 法則請參考臺大數學系網站,微積分經典範例 http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/。

註 8:設方程式x3+Ax2+Bx+ = 的三根為 , ,C 0 α β γ ,因此三數為相異非負實數,由算幾不等式得 6αβγ α β α γ αβ< 2 + 2 + 2+β γ αγ2 + 2+βγ2,即9αβγ

(

α β γ αβ βγ αγ+ +

)(

+ +

)

<0,再由根與係數 的關係得AB9C< 。0

註 9:設方程式的三根為 , ,α β γ ,由C≤ 知三根為:三正根或「一正根兩負根」或有一根為 0, 0 (1)若三根有一根為 0,則由B> 知另兩根同正或同負,並由0 A< 知該兩根同正。 0

(2)若三根為一正根α與兩負根 ,β γ ,則由 = −

(

α β γ+ +

)

< α> −

(

β γ+

)

> ,得

(6)

定理證明:

當 ( ) 0f x = 有四個相異實根時,則根據解四次方程式的討論,

預解式

1 2

2 1

3 2

1 1 2

2 3

4 0

16 4

4 4 4 4 0

2 0 9

a a

x x b a x

b b

 ∆ 

 ∆ 

 

+ ∆ + ∆ − ⋅ ∆∆ ⋅ − ⋅ ∆  =

有三個相異非負實根,

此時判別式ℜ < ;另由三根和為0 − ∆(需為正數)得4 1 ∆ < ,且由預備引理 1 之應用得1 0 aΩ < ;1 0

再由∆ ≠ 及引理 1 得1 0

1 1

2 2 1

3 2

0 0 0

∆ Ω

∆ Ω Ω >

∆ Ω

反之,由∆ ≠ 與1 0

1 1

2 2 1

3 2

0 0 0

∆ Ω

∆ Ω Ω >

∆ Ω

及引理 1 得判別式ℜ < ,得預解方程式有三個相異實根;0

再由

1 2

2 1

1 1 1 2

2 3

4 0

64 4 4 4 4 16 4 0

0 2

a a

a b a

b b

 ∆ 

 ∆ 

 

⋅ Ω = ∆ ⋅ ∆ − ⋅ ∆∆ + ⋅ ∆  <

,得

1 2

1 1 2

3

4 0

4 4 4 4 0

0 a b a

b

 ∆ 

 

∆ ⋅ ∆ − ⋅ ∆ <

 ∆ 

 

,並由已知∆ < 得1 0

1 2

1 2

3

4 0

4 4 4 0

0 a b a

b

∆ − ⋅ ∆ >

於是根據預備引理 2,知預解方程式的三根為三相異非負實數,故根據解四次方程式的討論,

知 ( ) 0f x = 有四個相異實根。

推論(四次方程式沒有實根的條件)

f x( )=ax4+bx3+cx2+dx+ 為實係數四次多項式函數,符號e ∆ 與k Ω 同上,則 j

( ) 0

f x = 沒有實根

1

2 1

1

3 2

3 2

3

4 0 0 0 0 3 4

0 2 3

2 0

0 0 0

a b a c b d c d

∆ ∆

⇔ ∆ ∆ ∆ >

且(∆ ≥ 或1 0 aΩ ≥ )。 1 0

底下,我們舉些實例來說明上述定理的應用。

實例 1 》試就 k 值討論方程式3x4−8x3−6x2+24x− = 實根的分布。k 0

10

註 10:若令g x( )=3x48x36x2+24x,則g x( )=12

(

x32x2− +x 2

)

(1)令g x′( )=0得臨界點1, 2, 1− ;(2)函數 ( )g x 在臨界點1, 2, 1− 的值分別為13,8, 19− 。 可透過函數y=g x( )圖形與水平線相交狀況,判別原四次方程式的實根個數。

(7)

f x( )=3x48x36x2+24xk f x, ( ) 12=

(

x32x2− +x 2

)

由∆ 的表達式k

1 8 2 12 12 1 72

2 4k

 − 

− − 

 

⋅− 

 

 − 

 

,得

∆ =1 12⋅ −

(

28 ,

)

∆ =2 12 64,⋅ ∆ =3 12⋅ − +

(

4k 16

)

由Ω 的表達式k

( )

2

1 7 0

2 16 7 12 48

1 4 16

2 0 4

k k

 

− − 

 

⋅ − ⋅− − − 

 

 − 

 

,得

( ) ( )

2 2

1 12 48 7k 11 , 2 12 48 2k 106 Ω = ⋅ ⋅ − + Ω = ⋅ ⋅ − + ; 計算判別式

( ) ( )

( )( )( )

2 2

1 1

*

2 2 1

2 2 2

1

3 2

16 5

0 7 7 11 0

12 4 12 48

1 16 2 106 7 11

12 28

0 4 0 2 106

2 3 8 13 19

k

k k

k k

k k k

∆ Ω × − × − × −

ℜ = ⋅ ∆ Ω Ω = ⋅ − − −

∆ ×

∆ Ω − −

= − × × − − + 。 根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有

(1) 當 ( )f x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k=8,13或 19−

11E

k= ,則方程式的四根為 2(重根)與兩實根8 2 10

3

− ± 。

k =13,則方程式的四根為 1(重根)與兩實根1 2 10 3

± 。

k = − ,則方程式的四根為 119 − (重根)與兩共軛虛根7 2 2 3

± i

。 (2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時:由0 ℜ > ∆ < 且* 0, 1 0 3Ω < ,得81 0 < <k 13。

(3) 當 ( )f x = 沒有實根,即 ( ) 00 f x = 有四個虛根時:由ℜ > 且* 0 3Ω ≥ ,得1 0 k< − 。 19 (4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時:由0 ℜ < ,得 19* 0 − < < 或13 kk 8 < 。

註 11:經移根 2

x− 調整,原方程式成為3

4 2

2 14 2 80 2 104 9 3 3 3 27 3 27 0

x x x k

+ + =

,其預解方程

+

(8)

實例 2 》試就 k 值討論方程式x4−4x2+kx− = 實根的分布。 1 0 令 f x( )=x4−4x2+kx−1,f x′( )=4x3−8x+ ,得 k

1 32, 2 12 ,k 3 16

∆ = − ∆ = ∆ = − ;Ω =1 42⋅ ⋅4 9

(

k2160 ,

)

Ω =2 4 162 k

計算判別式

( )

( )( ) ( )

2 2

1 1 3

* 2

2 2 1

2 10

1

3 2

8 2

0 8 9 160 0

4 4

1 3 4 9 160

0 2 4 0 4

2 4 4 27 400

k

k k k

k

k k k

∆ Ω − ⋅ −

ℜ = ⋅ ∆ Ω Ω = ⋅ − −

∆ ∆ Ω

= − ⋅ − + − 。

根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有

(1) 當 ( )f x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k= ± 或4 20 3

± 9 。

12E

k= ,則方程式的四根為 1(重根)與兩實根 14 − ± 2。

k= − ,則方程式的四根為 14 − (重根)與兩實根1± 2。 若 20 3

k = 9 ,則方程式的四根為 3

3 (重根)與兩實根 3 30 3

− ±

若 20 3

k= − 9 ,則方程式的四根為 3

− 3 (重根)與兩實根 3 30 3

± 。

(2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時:由0 ℜ > ∆ < 且* 0, 1 0 Ω < , 1 0

( )( ) (

2

)

2

4 4 27 400 0 9 160 0

k k k

k

 + − − <



− <

 ,取 20 3

4 k 9

− < < − 或20 3

9 < < 。 k 4

(3) 當 ( )f x = 沒有實根時:由0 ℜ > 且* 0 Ω ≥ , 1 0

(

k+4

)(

k4 27

) (

k2400

)

< 且0 9k2160≥ ,此時 k 無實數解。 0 也就是說,不論 k 為何實數值, ( ) 0f x = 恆有實根。

(4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時:由0 ℜ < , * 0 得 20 3 20 3

4, 9 9

k< − − < <k 或 4 k< 。

註 12:預解方程式為y38y2+20yk2 = 。 0

k= ± 時,三根為 2(重根)﹐4;當4 20 3

k= ± 9 時,三根為10

3 (重根)4 3

(9)

實例 3 》討論方程式3x4−4kx3+ = 實根的分布。1 0

13(取材自 91 年指考數甲考題)

方法一:

f x( )=3x4−4kx3+1,f x′( ) 12= x3−12kx2,得

2

1 48k , 2 0, 3 48

∆ = − ∆ = ∆ = ;Ω =1 210⋅ ⋅33 k2,Ω = −2 210⋅ ⋅ 。 33 k3 就∆ 是否為 0 討論: 1

情形 1:當k= 時,方程式0 3x4−4kx3+ = 沒有實根。 1 0 情形 2:當k≠ 時,0 ∆ ≠ ,計算判別式 1 0

( )

( ) ( )

2 2

10 3 2

1 1

* 16 5 4

2 2 1

2 2 2

1

3 2

0 1 0

48 2 3

1 0 1 2 3 1

0 48 1 0

k k

k k

k k

∆ Ω

− ⋅ ⋅ ⋅

ℜ = ⋅ ∆ Ω Ω = ⋅ − = − ⋅ ⋅ −

∆ ∆ Ω − −

根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有 (1) 當 ( )f x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k= ± , 1

k= ,則方程式的四根為 1(重根)與兩共軛虛根1 1 2 3

− ± i

。 若k = − ,則方程式的四根為 11 − (重根)與兩共軛虛根1 2

3

± i

(2) 當 ( )f x = 有四個相異實根時:由0 ℜ > ∆ < 且* 0, 1 0 3Ω < ,得1 0

( )( ) (

2

)

2

1 1 1 0

0

k k k

k

 + − + <



 < ,

此時 k 無解。也就是說,不論 k 為何實數值, ( )f x = 都不會有四個相異實根。 0 (3) 當 ( )f x = 沒有實根時: 0

情形 1:當k = 時,方程式0 3x4−4kx3+ = 沒有實根。 1 0 情形 2:當k ≠ 時,0 ∆ ≠ ,由1 0 ℜ > 且* 0 ∆ ≥ 或1 0 Ω ≥ , 1 0

( )( ) (

2

)

2

1 1 1 0

0, 0

k k k

k k

 + − + <



≥ ≠

 且

,取 1− < < 但k 1 k≠ 。合併上述結果,取 10 − < < 。 k 1

(4) 當 ( )f x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時:由0 ℜ < ,得* 0 k< − 或1 k1 < 。

註 13:經移根 3

x− 調整,原方程式成為k

4 2 2 2 8 3 9 4

3 3 3 27 3 27 0

k k k k k k

x x x

+ =

(10)

方法二:作倒根變換

方程式3x4−4kx3+ = 實根的分布相當於方程式1 0 x4−4kx+ = 實根的分布。 3 0 令g x( )=x4−4kx+3,g x′( )=4x3−4k,得∆ = ∆ = −1 0, 2 48 ,k ∆ =3 48;計算判別式

14

( )

1

2 1

* 2 3 16 3 4

3 2 1

2 3

3

0

4 0 0 1 0 0 0 0

0

3 4 0 1 0 0

4 48 2 3 1

2 3 0 0 1 0

2 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1

a

b a k

k

c b k

d c k k

d k

∆ ∆ −

ℜ = ∆ ∆ ∆ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

∆ − −

∆ −

根據四次方程式實根個數的判別定理,我們有 (1) 當 ( )g x = 有重根時:由0 ℜ = ,得* 0 k= ± 。 1

(2) 不論 k 為何實數值, ( )g x = 都不會有四個相異實根(因0 ∆ = )。 1 0

(3) 當 ( )g x = 沒有實根時:由0 ℜ > (因* 0 ∆ = ),得1 0

(

k+1

)(

k1

) (

k2+ < ,取 11

)

0 − < < 。 k 1 (4) 當 ( )g x = 有兩個相異實根與兩個共軛虛根時: 0

由ℜ < ,得* 0

(

k+1

)(

k1

) (

k2+ > ,取1

)

0 k< − 或1 k1 < 。

《附錄一》說明ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4

(

4 12 12M

)

3=216⋅ −

( )

3 3a4⋅ℜ 。 * 1. 將 5 階行列式展開化簡:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2 1

*

1

3 2

2 3

3

3 3 3 2 2 2

2 2 2

1 2 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

0

4 0 0

3 4 0 2 3

2 0

0 0 0

4 16 3 2 9 16

4 6 12 8 12 6

a b a c b d c d

d ad a bd cd b ac

c bd ab ac ad bc

∆ ∆

ℜ = ∆ ∆ ∆

∆ ∆

= ∆ − ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆ 。

2. 計算判別式ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4

(

4 12 12M

)

3

(1) 12 1 8 2

(

22 1 3 2 1 1

)

3 2

4 0

64 3 3 2 3 9 4 9

2 9 a

a b a c bd

c

Φ = − ⋅ ∆ ∆ = − ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ − ∆

∆ ∆

(2) 4∆ +12 12M =16a

(

2c∆ − ∆ +1 3b 2 12a∆ =3

)

16a4a

(

4c29bd+ ∆3 3

)

註 14:當∆ =1 0時,判別方程式根的分布不需計算k

(11)

( )

(

2

)

2

( ( ) )

3

16 4 2 2 2

2 1 3 1 3

(3) ℜ =2 a ⋅ 3∆ − ∆ ∆ +9 4c −9bd ∆ −16a ⋅ 4c −9bd + ∆3 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

4 2 2 2 2 2

16 4 2 2

2 1 2 3 1 3 1 2 1 3

2 2 2 3 2

2

1 3 1 2 3

2 2

2 2

1 1 2 2 3

2 2

2 2 2

1 1 2 2

4 2 2 2

16 4 2

2 1 2 3 1 3

2 9 54 81 6 4 9 18 4 9

4 9 27 4 27 4 2 3

9 4 12 9

4 9 4 12 9

2 9 54 81 24 5

a c bd c bd

c bd a a c b

c bc b

c bd c bc b

a c

= ⋅ ∆ − ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ⋅ − ∆ ∆ − ⋅ − ∆ ∆ + − ∆ − ⋅ ∆ − ⋅ ⋅ ∆ − ∆ ∆

− ⋅ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆

− − ∆ − ∆ ∆ + ∆ 

= ⋅ ∆ − ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ +

(

) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2

1 2 1 3

2 3 2

2 2 2 2

1 3 1 3

2 2 2

2 3 1 2 3 2 3

2 2 2 2

1 2 2

4 108 162

36 81 432 216

324 108 81

4 9 12 4 9 9

bd c bd

bc d b d a ac

ab bc b

c bd bc c bd b

 ∆ ∆ + − + ∆ ∆

+ − + ∆ − ∆ − ∆ ∆

+ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ⋅ ∆ ∆ − − ⋅ ∆ 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

3 2 2

16 4 2 2

2 2 2 1 2 3

2 2 2

2 2 2

1 3 1 2 1 3

2 3 3 2 2

2 2 2 2

1 1 3 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 108 36 216 108 648

648 243 24 54 108 162

36 216 27 432 216 324

108 324 54

a ad b c abcd bc ad

ac b c bd c bd

bc d acd d a ac ab

bc ad bc

= ⋅ ∆ + ∆ − ∆ + − ∆ ∆ ∆

+ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + − + ∆ ∆

+ − + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆

+ ∆ ∆ ∆ +

(

∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ −

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2

2 3

2 2 2 3 2 2 2

1 2 1 2 2

3 3 3 2 2 2

16 4 2 2 2

2 1 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

3 2 2

2

216

36 24 81 36

2 108 27 432 36 54 162 108

432 243 216 324 162 324

81 216 36

ac

cd c b d b c

a ad d a cd bd bd c

ac b ac ab bc ad

b d abcd bc

∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ 

= ⋅ ∆ − ∆ − ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ ∆

+ − ∆ ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆

+ − ∆ + −

(

d+216acd2

)

∆ 12

[ ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3 2 2 2

16 4 2 2 2

1 2 3 1 2 1 2 1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

2 2

1 2 1 2

3 3 3 3 2 2

16 4 2 2

1 2 3 1 2 1 2

2 27 108 432 54 36 432 243

162 108 324 216 162 324

27 18

2 3 4 16 3 2 9

a d ad a bd cd ac b

bd c ab ac bc ad

bd cd

a d ad a bd cd

= ⋅ − ∆ + ∆ − ∆ − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆

+ − ∆ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆

− ∆ ∆ + ∆ ∆ 

= ⋅ − ⋅ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ +

( )

( ) ( ) ( )

2 2

1 3

2 2 2

2

1 3 2 3 2 3 1 2 3

16

4 6 12 8 12 6

b ac

c bd ab ac ad bc

 − ∆ ∆

+ − ∆ ∆ + − ∆ ∆ + ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆  所以ℜ = Φ − ⋅ ∆ +2 4

(

4 12 12M

)

3=216⋅ −

( )

3 3a4⋅ℜ*

(12)

《附錄二》說明行列式轉換。

1. 行列式性質Ⅰ(三階轉換成五階):

令Ω 為下列表達式第 1 列、第 2 列與第k k+ 列所成之三階行列式: 2 0

0 A X B Y X C Z Y

D Z

 

 

 

 

 

 

 

,即 1

0 A X B Y X C Z Y

Ω = 且 2

0 0 A X B Y X

D Z

Ω = ,若X ≠ , 0

1

2

2 1

2

0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

A X

X B A Y X

Y X C B Z Y X

Z D C Z Y

D Z

Ω Ω = ⋅ Ω

說明:

1

2 2 1 2 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

(1) 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 A X

B Y X X C Z Y

Y D Z C Z Y

Z D Z

A X B Y X

A X A X A X

B Y X B Y X B Y X

D Z C Z Y C Z Y C Z Y

X Y Z

D Z D Z D C Z Y

A X A X A X

B Y X B Y X B Y X

X

X Y Z Y

= ⋅ − ⋅ + ⋅

= ⋅ Ω ⋅ Ω − ⋅ Ω ⋅ Ω + ⋅ Ω ⋅ Ω = Ω2 1 0 2

Z

Ω Ω

1

2 1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

(2) 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

A X A X

B Y X B Y X

X X C Z Y X C Z Y

Y Y D Z C Z Y D Z C Z Y

Z Z D Z D Z

A X A X

B Y X X B Y X

Ω Ω = =

(13)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

A X

A X A X

B Y X

B Y X B Y X X

X C Z Y

D Z C Z Y D Z C Y

X X

D Z C Z Y

D Z D Z

D Z

A X A X

A X

C Z Y B Y X C Z Y B X

C Z Y B Y X

= = ⋅ = ⋅

2 2

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 A X

A X A X

B Y X A

B Y X A B A Y X

D Z C Y

X X D Z C Y X C B Z Y X

D Z

D Z D C Z Y

A X

C Z Y B X D Z

C Z Y B X

= ⋅ = ⋅ = ⋅

例如,在四次方程式中,

( ) ( )

1

1 1 2 1

2 2 *

2 2 1 1 3 2 1 1

3 2 3 2

3

4 0 0 0

0 3 4 0

2 3

0 2 0

0 0 0

a b a c b d c d

∆ Ω ∆ ∆

∆ Ω Ω = ∆ ⋅ ∆ ∆ ∆ = ∆ ⋅ℜ

∆ Ω ∆ ∆

2. 行列式性質Ⅱ(五階轉換成七階):

令Ω 為下列表達式第 1 列、第 2 列與第k k+ 列所成之三階行列式: 2 0

0 A W B X W C Y X D Z Y

E Z

 

 

 

 

 

 

 

 

,即 1

0 A W B X W C Y X

Ω = , 2

0 A W B X W D Z Y

Ω = ,且 3

0

0 A W B X W

E Z

Ω = ,

W ≠ ,則0

1

2 1

4

3 2 1

3 2

3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A W

W B A X W

X W C B A Y X W

Y X W D C B Z Y X W

Z Y E D C Z Y X

Z E D Z Y

E Z

Ω Ω Ω

= ⋅ Ω Ω Ω

Ω Ω Ω

(14)

說明:

1

2 1

3 2 1 1 1

3 2 2 1 2

3 3 2 3

3

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

A W

A W B X W

W B X W W C Y X

X W W C Y X X W D Z Y C Y X

Y X X W D Z Y Y X E Z D Z Y

Z Y Y X E Z Z Y E Z

Z Z Y Z

Z A W

B X W

Ω Ω

= =

Ω Ω Ω Ω Ω

Ω Ω Ω Ω Ω

Ω Ω Ω Ω

4

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 A W

B X W

W C Y X A W

X W D Z Y C Y X B A X W

Y X E Z D Z Y C Y X C B A Y X W

Z Y E Z D Z Y W D C B Z Y X W

Z E Z E D C Z Y X

A W E D Z Y

B X W E Z

A W B X W

= = ⋅

例如,在四次方程式中,

1

4 3 2

a b b c

∆ = , 2 4 2 3

a b c d

∆ = , 3 4

4 a b d e

∆ = 的三階表示法為

1

4 0 1 3 4

2 3 a a b b a a c c b

∆ = ⋅ , 2

4 0 1 3 4

2 a a b b a a d d c

∆ = ⋅ ,且 3

4 0 1 3 4

0 a a b b a

a e d

∆ = ⋅ 。

因此,

( )

( ) ( )

1 2 1 4

*

1

3 2 3

3 2

3

2

0 0 4 0 0 0

4 0 0 0 0 3 4 0 0

0

3 4 2 3 4 0

2 3 4 2 3 4

2 0 0 2 3

0 0 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 256 , 256

a a

a b a b a

b a c b a c b a

c b a d c b d c b a

d c a e d c d c b

d e d d c

e d

a R f f a D f

∆ ∆

ℜ = ∆ ∆ ∆ = ⋅

= ⋅ ′ = ⋅

(15)

參考資料︰

1. 康明昌,幾個有名的數學問題,數學傳播季刊選輯(1985)。

2. 北京大學數學科學學院http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/algebra/。

3. 臺大數學系,微積分經典範例http://scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/。

4. 葉善雲,三次方程式根的行列式判別,龍騰數亦優,第 14 期,P.5~14。

5. 葉善雲,解四次方程式,龍騰數亦優,第 16 期,P.37~45。

參考文獻

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