5 積分

5 ^積分

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5.1 ^{面積與位移距離}

面積問題

4 4

面積問題

一個簡單的面積問題是這樣的：給定函數 y = f(x) ，求 x 從 a 至 b 的範圍內，曲線下與 x 軸所夾的面積。

我們假設在這個範圍內 f(x) 是正的，這個面積問題也就是求 下圖中 S 代表藍色區塊的面積。

圗一

S = {(x, y) | a x b, 0 y f(x)}

面積問題

重新回想我們過去在中學時怎麼計算一些圖形面積。

一個矩形的面積便是長乘上寬。

任意的多邊形，則是可以切割成三角形，在計算各個三角形 面積最後加總，如下圖。

圖二

6 6

面積問題

然而若是一塊區域是由彎曲的曲線所圍成，我們便沒辦法直 接切割成有限個三角形來計算面積。

但我們可以利用這個觀點來逼近我們實際關心的問題。

怎麼逼近法？回想在前面幾節中，在小範圍內我們可以使用 切線來局部的逼近曲線。

於是我們應用相同的概念，首先我們可以用幾個不同的長方 塊去逼近曲線內圍成的面積，接著讓長方塊切的越來越細緻，

使得長方塊的邊界越來越貼近曲線。

實際的情況我們看以下的例子。

範例一

利用長方塊面積估計在 0 < x < 1 之間， y = x² 曲線下至 x 軸的面積，如下圖所示。

圖三

8 8

範例一 / 解

首先我們可以看出藍色區塊在邊長為 1 的正方形之內，因此 面積會在 0 ~ 1 之間。

接著我們考慮得更細緻的情況：

假設我們將 S 分割成四塊，分別在 x = , x = , 以及 x = 的地方畫三條鉛直線：

圗四 (a)

範例一 / 解

在這個分割之下，我們可以在每一個寬度為 ¼ 的區域用長方 形來逼近這四個區塊。考慮長方形的長度跟該區塊右端點的 函數值高度相同，覆蓋的結果如右下圖：

在四個區域 以及

區間的右端點分別是 ¼ , ½ ,

¾ 以及 1 ，所對應到的函數值則分 別為 (¼ )², (½ )², (¾ )², 1 。

圗四 (b)

cont’d

10 10

範例一 / 解

令 R₄ 為這四個區塊的面積總合：

從上圖我們可以知道真正的面積 A 值略小於 R₄ ， 因此

A < 0.46875

cont’d

範例一 / 解

若我們用比較小的長方塊來覆蓋區域呢？考慮每個長方塊的 高度為區間左端點的函數值如下右圖：

([0, ¼ ] 上的左端點函數值是 0 ，是退化的長方形。)

圗四 (b) 圗五

cont’d

12 12

範例一 / 解

同樣我們用 L₄ 代表這四塊區域的面積，計算得

由於 L₄ 略小於真實面積 A ，再加上前面 A < R₄ 的結果，我 們有

0.21875 < A < 0.46875

接下來我們可以再進一步考慮切分更細的區間。

cont’d

範例一 / 解

依照同樣方式，我們將 [0,1] 區間分成八塊，可以得到下面 兩種逼近：

cont’d

(a) 用左端點的函數值 (b) 用右端點的函數值

14 14

範例一 / 解

計算兩種長方塊的面積總合 L₈ 與 R₈ ，而真正的面積是介在 這兩者之間：

0.2734375 < A < 0.3984375

雖然我們仍不知道真實的面積為何，但這個數字的差距已經 更接近真實的面積。

我們可能可以猜測，當增加我們分割 [0,1] 的區間，或許可 以得到更好的估計值。

cont’d

範例一 / 解

右圖顯示了將區段分割成 n 段，再 依照左右端點的函數值決定長方塊 的高度，分別得到的長方塊面積總 合。

我們可以觀察到，再分割成 50 段，可知道真正的面積是落 在 0.3234 跟 0.3434 之間；而分成 1000 段時，則更可以拉 進到 0.3328335 跟 0.3338335 之間。

此時我們可以平均這兩個值得到一個好的逼近值：

A 

cont’d

16 16

面積問題

下圖可以大致刻劃出，當分割越細時，方塊的面積越貼近真 實的區塊面積：

由於 f(x) = x2 為遞增函數，右端點函數值給出的長方塊面積 總是比真實區塊的面積大。

圗八

面積問題

左端點函數值所給出的長方塊面積總是比真實區域的面積小。

於是，在數學上我們怎麼定義這塊函數圖形曲線下的面積呢？

在這個例子裡面，我們定義面積 A 為這樣的極限：

其極限值為 1/3

圗九

18 18

面積問題

更一般的狀況，我們考慮如下圖，將 S 切分為 n 段： S₁,

S

區間 [a, b] 的總寬為 b – a ，於是每一塊的寬度便是

圗十

面積問題

[a, b] 所分割成的 n 個區間分別為

[x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], . . . , [x_n–1, x_n] 其中 x₀ = a, x_n = b 。

計算每一段的右端點，即為

x

x,

x

x

20 20

面積問題

同樣我們利用長方形逼近每一塊 S_i 的面積，考慮方塊的寬度 為

x 以及高度為 f(x

於是每一個方塊的面積為 f(x_i) x ，此時這個右端點函數值 所給出的方塊面積總合為

R

圗十一

面積問題

下圖示意在切分為 2, 4, 8, 12 段時，長方塊的面積總合的確 越漸貼近曲線下的面積。

圗十二

22 22

面積問題

於是對於一般的連續函數 f ， f(x) > 0，我們定義 f 曲線下的 面積如下：

事實上可以證明當函數 f 連續時，這個極限均存在。

另一方面，若我們取左端點的函數值做為長方塊高度，這個 極限值結果也會是一樣：

[定義] 連續函數 f 在區間內的曲線下面積 A 為在分割長方塊的面積總合的極限值

面積問題

更進一步，事實上在每個小區間 [x_i-1,x_i] 中，我們可以取裡面 的任意點 x_i



x

, x

, . . . , x



右圖為選擇一組取樣點所得 到的長方塊。

於是我們對曲線下面積，

有更一般的定義： _圗十三

24 24

面積問題

面積的另一種定義是：

對任意連續函數，每個小區間上的取樣點 x 都選擇在函數最 大值與最小值發生的點。如下圖，淺色方塊的高度都挑選小 區間內函數的最大值、深色方塊都挑選小區間內函數的最小 值。

我們定義淺色方塊的面積 總合為上和 (upper sum) ， 深色方塊的面積總合為下 和 (lower sum) 。

而面積則定義為上下和在分 割越切越細時所夾擠的極限

圗十四

面積問題

為了簡化符號我們用希臘字母的 Σ (sigma) 來表示加總 (sum)

因此右端點跟左端點分別的函數值所給出的長方塊面積總和 的極限為：

26 26

面積問題

位移距離問題

28 28

位移距離問題

現在我們來考慮位移距離的問題：假設我們知道一個物體在 某一段時間內的速度，計算該物體在這段時間內運動的位移 距離。

考慮最簡單的情況，若物體為等速運動，則 距離 = 速度



我們很輕易地就可以知道其位移距離。

但若速度也隨著時間改變，那麼我們該怎麼來計算位移距離？

範例

假設在汽車上的里程表壞掉了，但我們仍可以觀察在時間經 過 t 秒後，儀表板上的瞬時速度：

將時間轉換成相同單位，距離單位則選擇較小的呎：

時間

速度 (哩/小時)

時間

速度 (呎/秒)

30 30

範例四

若一開始速度變化並不多，我們仍可以將每個時間點觀察到 的速度，視為接近常速度。

因此在前一到五秒，我們把速度當成是常速度 25 ，則在這 段時間內的位移則可用

25  5 = 125 逼近。

cont’d

範例四

同樣的道理，在 t = 5 s 到 t = 10 s 之間，我們把速度看成是 常速度 31 ，則這段時間內的位移則可以用

31 ft/s  5 s = 155 ft 逼近。

因此我們可以用這個方式估計整段時間 t 從 0 ~ 30 的位移，

每五秒都以開始的第一秒速度當成是整體五秒的平均速度：

(25  5) + (31  5) + (35  5) + (43  5) + (47  5) + (46 5)

= 1135

cont’d

32 32

範例四

同樣的道理，若每五秒都以五秒鐘的最後一秒速度當成是整 個五秒內的平均速度，我們則會有另一個估計值：

(31













cont’d

位移距離問題

一般而言，假設物體運動的速度為 v = f(t) ，考慮時間在 a

 t  b 的範圍內，且 f(t) 

考慮我們觀測速度的各個時間點為 t₀ (= a), t₁, t₂,. . ., t_n (= b) ， 並假設在這些觀測時間點之間的速度為常數值。

若觀測時間點的間距相同，我們寫成時間間距

t = (b

34 34

位移距離問題

因此在時間區間 [a, b] 內，此物體位移的距離可以用

逼近。

同樣我們若以每個時間區間的末速度當成平均速度，則物體 位移的距離的逼近值則為

位移距離問題

若觀測時間的間距越短，速度變化的起伏大小便越小，那麼 我們可以預期的是間距越小所估計的位移距離便與真實的位 移距離越接近。

於是我們有這樣的結果：