第六章微分中值定理及其应用

(1)

第六章微分中值定理及其应用

目的：用 f ^来研究 f 的性质。微分中值定理建立了 f ^与 f 之间的桥梁。

§1 拉格朗日定理和函数的单调性

【一】罗尔定理

定理 1 （罗尔(Rolle)中值定理）若函数 f 满足如下条件：

(i)f 在闭区间

 

^a,^b ^上连续；

(ii) f 在开区间

 

a,b 上可导；

(iii)f

 

a  f

 

b ，

则在



a,b



^{上至少存在一点}，使得

 

0



f .

 

1 几何意义：见图．

证因为 f 在

 

^a,^b 上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与表示，现分两种情况来讨论：

m

(1)若mM，则 f 在



^a,^b



上必为常数，从而结论显然成立．

(2)若mM，则因 f

 

a  f

 

b ^{，使得最大值}M ^与最小值 ^{至少有一个在} ^上的

某点

m



a,b



处取得，从而是 f 的极值点．由条件(ii)， f 在点处可导，故由费马定理推知

 

0



f ．

(2)

【注】定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。见下图：

例 1 设a b c, , 为实数。求证方程

2

ex ax bx c

的实根不超过三个．

证令 ^{f x}^{( )}^^e^x^



^ax²^^{bx c}^



^{。用反证法如下：}

倘若 f

 

x 0有 4 个实根：x₁x₂ x₃ x₄^，对 f ^在



x x1, 2

 

, x x2, 3

 

, x x₃, ₄



^上用

Rolle 定理， ₁



x x₁, ₂



,₂



x₂,x₃



,₃



x3,x4



，使得

 

₁

 

₂ f

 

3 0 f   f    ，再对 f  ^在



 1, 2

 

, ₂, ₃



 

 上用 Rolle 定理，

 

1 1, 2 , 2 2, 3

      

  ，使得

 

1



2

f  ^ f 



^⁰

再对 f 在



 1, 2



^上用Rolle 定理， x0



 1, 2



，使得

 

0 0 f x  但 f( )x e^x 0，矛盾。

例 2 设 f 在[ ,a b]上可导，且 f a( ) f b( ) 0 ，证明  ( , )a b ，使得

( ) ( ) 0 f   f  

证令F x( )e f x^x ( )，对F在[ ,a b]上用Rolle 定理即得证。

【思考】设 f 在[ ,a b]上可导，且 f a( ) f b( ) 0 ，证明：  R，  ( , )a b ，使得

( ) ( )

f f

    

2

(3)

[作辅助函数F x( )e^^^xf x( )]

例 3 设f 在[0,1]^{上连续，在}(0,1)^上可导， f(0) f(1) 0 ^，且存在x₀(0,1)^使得 ( )0 ₀

f x  x ，证明：  (0,1)使得f( ) 1 

证令F x( ) f x( )x，F(0) 0, (1) F  1, ( ) 0F x₀  ，由根的存在定理，

1 ( ,1)x0



  ，使得F( ) 0₁  。在[0, ]₁ 上对F 用Rolle 定理，  (0, )₁ (0,1)，使得

( ) 0

F  ^，即 f( ) 1  。

【二】拉格朗日定理

定理 2（拉格朗日(Lagrange)中值定理）若函数 f 满足如下条件：

(i) f 在闭区间

 

a,b 上连续；

(i i) f ^在开区间

 

^内可导，



b a,

则在



^a,^b ^{上至少存在一点}，使得

     

a b

a f b f f



 

 .

 

²

显然，特别当 f

 

a  f



b



时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．其几何意义见图。

证作辅助函数

     

^{f b}

 

^{f a}

   

F x f x f a x a

b a



 

     

a  b

( ) y f x

( ) ( ) ( ) f b f a ( )

y f a x a

b a

   



O

(4)

显然，^{F a}

 

^^{F b}

  

^⁰ ，且^F ^在

 

^a,^b 上满足罗尔定理的另两个条件．故存在( ba, ),

使

( ) ( ) ( ) ( ) f b f a 0

F f

  b a^

    



移项后即得到所要证明的（2）式。

【注】拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

f b( ) f a( ) f( )( b a a ),   b （3）

f b( ) f a( ) f a( (b a ))(b a ),0  1 （4）

f a(  h) f a( ) f a( h h) ,0  1 (5)

其中（4）式对ab也成立，（5）式对h0也成立。

推论 1 若函数f 在区间I上可导，且 f(x)0,xI ，则f 为I 上一个常量函数．

证 x x₁, ₂I x( ₁x₂)^，在



x x1, 2



^上用Lag，  ( , )x x₁ ₂ ^，使得

2 1 2 1

( ) ( ) ( )( ) 0

f x  f x  f x x 

这就证得 f x( )₁  f x( )2 ^，说明 f ^为I 上的常量函数。

推论 2 若函数 f 和 g 均在区间I 上可导，且 f(x)g(x),，xI ，则在区间I上与只相差某一常数，即

) (x

f g(x)

c x g x

f( ) ( ) (c为某一常数)．

例 4 证明：arcsin arccos , [ 1,1]

x x 2 x

   

证



^arcsin ^arccos



¹ ₂ ¹ ₂ ^0, ^{( 1,1)}

1 1

x x x

x x

     

  

arcsinxarccosxc x,  ( 1,1)

取x0，得

c_2

。直接验证所证等式对x 1也成立。

例 5 [教材例 2]证明：arctanbarctana b a，其中ab。证记 f x( ) arctan x，用Lag，  ( , )a b ，使得

4

(5)

2

( ) ( ) ( )( ) 1 ( )

f b f a f  b a 1 b a b a

 

      



例 6 证明对一切h1,h0成立不等式

 h  h

1 ln(1 )h h

证设 f(x)ln(1x)，由Lag 得

( ) (0) ( ) ,0 1

f h  f  fh h  

即

ln(1 ) ,0 1.

1 h h

h 

   

 

当h>0 时，由1 1 h 1 h得

1 1

h h

h ^ h^h

 

当   01 h 时，由0 1   h 1 h1得

1 1

h h

h ^ h^h

 

【注】特别地

1 1

ln(1 ) 1

n n

1

  n



由此可证明（作为思考）：数列

1 1

1 l

n 2 n

x n

     n

单调递减且有下界0，从而极限存在，这个极限叫做Euler 常数 0.5772.

例 7 设 f 在[ ,a b]上二阶可导。若 f a( ) f b( ) 0, ( ) ( ) 0 f a f b   ，则  ( , )a b ，使得 f( ) 0

证法 1 不妨假设 f a( ) 0, ( ) 0 f b ，则由导数定义和极限保号性可知，存在

2



1, 2 ( , ), 1

x x  a b x x ，使得

1 2

( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 f x  f a  f x  f b 

而 f x( )在[ ,a b]上连续，故由介值定理可知存在c( , )x x₁ ₂ ，使得

( ) 0 f c 

(6)

对函数 f ^在[ ,a c],[ , ]c b ^{上用由罗尔定理，存在}₁( , ),a c ₂( , )c b ，使得

1 2

( ) ( ) 0 f  f 

对函数 f 在[ , ] ₁ ₂ 再用罗尔定理，存在( , )a b ，使得

( ) 0 f 

证法 2 不妨设 f a( ) 0, ( ) 0 f b  ，显然 f x( ) 0 ^，不妨设 f c( ) 0 ^，a c b^。由Lag 定理，

( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,

f b  f c  f b c  f  c  b

又，对 f x( )在[ , ],[ , ]a  b 上用根的存在定理

1 1

( ) 0, ( ) 0 ( ) 0,

f a  f   f  a 

2 2

( ) 0, ( ) 0 ( ) 0,

f b  f   f    b

对 f x( )在[ , ] ₁ ₂ 上用Rolle 定理

1 2

( ) 0, ( , ) ( , ) f      a b

证法 3（由导数介值定理证明，见下面例16）

例 8 [习题 6.1：9] 设f 在[ ,a b]上二阶可导，f a( ) f b( ) 0 ，并存在一点

使得。证明

( , ) c a b ( ) 0

f c    ( , )a b ，使得 f( ) 0。证 f x( )在[ ,a c]上用Lag 定理， ₁ ( , )a c ，使得

( ) ( ) ( )(1 ) f c  f a  f  c a

由于 f a( ) 0, ( ) 0, f c  c a 0，故 f( ) 0₁  。

( )

f x 在[ ,c b]上用Lag 定理， ₂ ( , )c b ，使得

( ) ( ) ( )(2 ) f b  f c  f  b c

由于 f b( ) 0, ( ) 0, f c  b c 0，故 f( ) 0₂  。

因a  ₁ c ₂b， f x( )在[ , ] ₁ ₂ 上可导， f x( )在[ , ] ₁ ₂ 上再用 Lag 定理，

1 2

( , ) ( , )a b

  

   ，使得

6

(7)

 

2 1 2

( ) ( ) ( )

f  f  f  ₁

得 f( ) 0  ^。

【三】导数极限定理

定理 3 （右侧导数极限定理）设函数 f 在点x₀的某右邻域[ ,x x₀ ₀)上连续，在

0 0

( ,x x )^{上可导，若导函数} f x( )在点x₀的右极限

0

lim ( )

x x

( 0 0)

f x _ f

 x

    ^存在，则 ^在

点的右导数一定存在，且

f

x0

0 0

( ) ( 0)

f x_  f x  . (6) 证任取x( ,x x₀ ₀)， f(x)在[x ,₀ x]上满足拉格朗日定理条件，则存在( , )x x₀ ，使得

0 0

( ) ( ) f x f x ( )

x^x  f

 (7)

当xx₀^时， x₀，（7）式两边取极限得

0 0

0 0 0

0

( ) ( )

( ) lim lim ( ) lim ( ) ( 0)

x xo x x x

f x f x

f x f f f x

x x  ^ 

  

   

        

 

【注】是x的函数  ( )x ，这里用了变量替换法（即复合函数极限定理 1），其中三个条件是：

（1）

0

lim ( )

u x_ f u

  存在，（2）

0

lim ( ) 0

x x_ x x

  ，（3）( )x  x₀

类似可得“左侧导数极限定理”。

右（左）侧导数极限定理，统称为单侧导数极限定理。

（与教材不同，在分段函数求导时，实际上用的是单侧）

推论 1（导数极限定理）设 f 在U x( )₀ 上连续，在U x^( )₀ 上可导，若

0

lim ( )

x x f x

  存在，

则 f x( )₀ 一定存在，且f x( )₀  li

0

( )

xmx f x

 

证由，又

0 0 0

lim ( ) ( 0) ( 0)

x x f x f x f x

       

0 0 0 0

( ) ( 0), ( ) ( 0)

f x_  f x  f x_  f x 

(8)

所以

0

0 0

( ) ( ) lim ( )

x x

f_ x f x_ f

      x ，即

0

( ) lim0 ( )

x x

f x f

 x

   。

推论 2 导函数的间断点一定是第二类的。

证设 f 在U x( )₀ 可导， f x( ₀0)都存在，由单侧导数极限定理

0 0 0 0

( ) ( 0), ( ) ( 0)

f x_  f x  f x_  f x 

又 f x( )₀  f x_( )₀  f x_( )₀ ，所以

0 0

( 0) ( 0) ( ₀) f x   f x   f x

说明x₀^必是 f x( )的连续点。

推论 3 设 f 在( ,a b)^{上可导，如果} f 在( , )a b 上单调，则 f 在( , )a b 上必连续。

证由单调函数只可能有第一类间断点，又 f 不存在第一类间断点，所以 f 连续。

【注】

0

lim ( )

x x f x

  不存在 f x( )0 不存在。

例如：

2 1

sin , 0

( )

0, 0

x x

f x x

x

 

 

 



， 1 1

( ) 2 sin cos ,( 0)

f x x x

x x

   

lim ( )0

x f x

  不存在，但 f (0) 0

例 9 [教材例 3] 求分段函数

sin ,2 0, ( ) ln(1 ), 0

x x x

f x x x

  

   

的导数。

解首先易得

1 2 cos ,2 0,

( ) 1

, 0

1

x x x

f x

x x



.

 

  

  



由于 f 在点x0连续，且

²

0 0

(0 0) lim (1 2 cos ) 1, (0 0) lim 1 1, 1

x x

f x x f

  x

 

        



所以lim ( ) 1.依据导数极限定理推知在

0  

 f x

x f x0处可导,且f(0)1.

例 10 求a b, 使得

8

(9)

ln( ), 0

( ) ^x , 0

a x x

f x e b x

 

   

在点x0处可导，并求f (0)。

解 f ^在点x0^处连续， f(0 0)  f(0 0)  f(0)  1 b lna

1 , 0

( )

, 0

x

f x a x x

e x

 

  

 



1 1

(0 0) , (0 0) 1 (0) , (0) 1

f f f f

a ^ a ^

          

f ^在点x0^处可导， 1

(0) (0) 1

f f

    a

1, 1, (0) 1 a b  f  

【四】单调函数

定理 4 设 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上递增（递减）的充要条件是

0 ) ( 

 x

f (0).

证若 f 为增函数,则对每一x₀I,当x x₀时,有 . ) 0 ( ) (

0

0 



 x x

x f x f

令xx₀，即得 f x( ₀)0.

反之,若 f(x)在区间 I 上恒有 f x( )0,则对任意x₁,x₂I (设 < )，应用拉格朗日定理，存在

x1 x₂ I

x ) , ₂

 (x₁

 ，使得

. 0 ) )(

( ) ( )

(x₂  f x₁  f x₂ x₁ 

f 

由此证得 f 在 I 上为增函数．

定理 5 若函数 在( )上可导，则在( )上严格递增（严格递减）的充要条件是：

f a,b f a,b

(i) 对一切x( ba, )，有 f x( )0( f x( )0)；

(10)

(ii) 在(a,b)的任何子区间上 f x( ) 0 ^。

证若f 在(a,b)上严格递增，由 f x( )0，(i)成立。现在用反证法证明(ii)成立。如果在某个子区间I ( , )a b 上，f x( )0，则 f x( )c x( I)，这与在( )上严格递增矛盾。

f a,b

反之，由(i)知， f 在(a,b)上递增。如不是严格增，即x x₁, ₂( , ),a b x₁x₂

2

，使得

( )1 ( )

f x  f x 。从而 f x( )c x( [ , ])x x₁ ₂ ，因此 f x( )0(x[ , ])x x₁ ₂ ，这与条件(ii)矛盾。

推论设函数在区间 I 上可导，若f(x)0(f(x)0)，则 f 在I 上严格递增(严格递减)．

引理（教材中的注） f ^在( ,a b)^{上严格增，在点}xa^{右连续，则} f ^在[ , ^上也严格

增。

) a b

证只需证 x₀ a^，有f a( ) f x( )₀ ^，取a  x x₁ x₀，则

( ) ( ),1

f x  f x 令xa^ f a( ) f x( )₁

从而 f a( ) f x( )₁  f x( )₀ 。

例 11 讨论下面函数在 R 上的单调性：

（1）f x( )x³；（2） f x( ) x sinx

解（1） f x( ) 3 x² 0, f x( ) 0 ^{的点只有一个}x0^，故 f 严格增。

（2） f x( ) 1 cos  x0， f x( ) 0 ^的点为x2k  (k    0, 1, 2, )^，这

些点不构成区间，所以故 f 严格增。

例 12 [教材例 4]设 f(x)x³ x．试讨论函数 f 的单调区间．

解由于

), 1 3 )(

1 3 ( 1 3 )

(  ²    

 x x x x

f 1 1

( ) 0 ,

3 3

f x    x ，因此

10

(11)

( , 1

  3) 1 1

( ,

3 3

 ) 1

( , 3 

x )

f  _ _ _

f   

其大致图像如图

例 13 [教材例 5] 证明不等式

e^x 1x,x0.

证记 f(x)e^x 1x，则 f(x)e^x 1．故当x0时，f x( )0，严格递增；

当，严格递减．又由于在

f 0

) ( 

 x f

,

0 f

x f x0处连续，则当x0时，总有（参见上

面引理）

, 0 ) 0 ( )

(x  f  f

从而证得

. 0 , 1 

 x x e^x

例 14 证明：当x0时，sin ³ 3!

x x x 。

证

3

( ) sin

3!

f x x x x 

   

 ^， f(0) 0 ，

2

( ) cos 1 , (0) 0 2

f x  x  x f  ，

( ) sin 0( 0) f x  x x x ，

 f 在[0,)严格增（见引理） f x( ) f(0)(x0)  f 在[0,)严格增（见引理） ( )f x  f(0) 0( x0)。

(12)

例 15 设 f x( ) 0₀  。能否推出f ^在某U x( )₀ 增。[总练习题：11]

答不能。例如

2 1

sin , 0

( ) 2

0, 0

x x x

f x x

x

  

 

 



易求得（用定义）

1 1 1

2 sin cos , 0 ( ) 2

1, 0

2

x x

f x

x

   

  

 



(0) 1 0 f   2 。

但对任意U(0)， f 在U(0)既不是增，也不是减。因为：

取 1

0( )

n 2

x n

n 

     

 ^，

( ) 3 0

n 2 f x   

取 1

0( )

n 2

x n

n

      ^， 1

( ) 0

n 2

f x    

【五】导数介值定理[达布（Darboux）定理]

定理 6（Darboux 定理）若函数 f 在[ ba, ]上可导，且 f_(a) f_(b)，k为介于，之间任一实数，则至少存在一点

) (a f_ )

(b

f_ ( ba, )，使得

k f )(  .

证设F(x) f(x)kx，则F(x)在[a,b]上可导，且 F_(a)F_(b)(f_(a)k)(f_(b)k)0.

不妨设．由导数的定义及极限的保号性，分别存在

，且 0 ) ( , 0 )

(   

 _

 a F b

F

) ( ),

(a x₂ U_⁰ a

0

1 U

x  _ x₁  x₂，使得

), ( ) (x₁ F a

F  F(x₂)F(b).

因为F在[a,b]上可导，所以连续．根据最值定理，存在一点[a,b]，使F在点^取得

12

(13)

最大值．由上式可知 a,b^{。这就说明}^是F的极大值点．由费马定理得F()0，即

).

, (

( k a b

f  ) ,

推论设 f 在区间 I 上可导，且 f x( ) 0( xI) ，则 f x( ) 0( x I) 或

( ) 0( )

f x  xI ，从而 f 在区间I 上严格单调。

例 16 （即例 7）设 f 在[ ,a b]上二阶可导。若 f a( ) f b( ) 0, f ( ) a f b( ) 0 ，则

( , )a b



  ^，使得 f ( ) 0 ( ) 0b 

证 f a( ) f ，在[ ,a b]^用Rolle 定理

( ) 0,

f c  a c b

对 f x( )在[ ,a c],[c, ]b 上用Lag 定理

( ) (

 ) ( )(₁ ) ( ) 0,₁ ₁

f c  f a  f  c a  f  a  c (



2 ) 2

) ( ) ( ) 0, ₂

( ) (

f b  f c  f  b c  f  c b )



由导数介值定理，  ( , ) ₁ ₂ ( ,a b ^， f( ) 0  。

(14)

§2 柯西中值定理和不定式极限

【一】柯西中值定理

定理 1 (柯西中值定理) 设函数 f 和g满足:

(i)在[ ba, ]上都连续；

(ii)在(a,b)上都可导；

(iii) f 和(x) g(x)不同时为零；

(iv)g(a) g(b), 则存在( ba, ),使得

). ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

a g b g

a f b f g

f



 





证作辅助函数

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) .

( ) ( ) f b f a

F x f x f a g x g a

g b g a

  

     

易见F在[ ba, ]上满足罗尔定理条件，故存在( ba, )，使得

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0.

( ) ( ) f b f a

F f g

g b g a

  ^ 

     



因为g()0 (否则由上式f ()也为零)，所以改写上式便得证．

【注 1】几何意义， ( ) ( ), u g x

a x b v f x

 

   

 ^{，见下图．}

【注 2】令g x( )x，则为Lag 定理

14

(15)

【注 3】若 ，则由Darboux 定理的推论，严格单调，条件（iii）

和（iv）都满足。

( ) 0, ( , )

g x  x a b g x( )

例 1（教材例 1）设函数f 在[ ,a b a]( 0)上连续，在(a,b)上可导，则存在( ba, )^，

使得

( ) ( ) ( ) lnb

f b f a f

   a

 

证把要证的结论变形为

( ) ( ) ( ) ln ln 1

f b f a f

b a



  



取g(x)lnx，对f g, 用柯西中值定理便得证。

【例 2】（总练习题：3）设函数 在[ , 上连续，在( )上可导，且，证明存在

f a b] a,b a b 0

) , ( ba

 ，使得

1 ( ) ( )

( ) ( )

a b

f f

f a f b

a b    



证结论变形

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

x

f f f x

f b f a b a x

b a

x _

  





 

  

    

 

 

  

对 ( ) 1

( ) f x , ( )

F x G x

x x

  用柯西中值定理便得证。

【二】不定式极限

我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为

0 0型或



型的不定式极限．现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达

(L’Hospital)法则．柯西中值定理则是建立洛必达法则的理论依据．

定理 2 (

0

0型不定式极限) 若函数 f 和g满足：

(16)

(i) lim ( ) lim ( ) 0；

0 0



 

 f x g x

x x x

x

(ii) 在点x₀的某空心邻域U^(x₀)上两者都可导，且g x( )0；

(iii) A x g

x f

x

x 



 ( )

) lim (

0

(A可为实数，也可为 或)，则

) . (

) lim ( ) (

) lim (

0 0

x A g

x f x

g x f

x x x

x 



 



证补充定义 f(x₀)g(x₀)0，使得 f 与g在点x₀处连续．任取xU^(x₀)^，在

区间[x ,₀ x]或[x,x₀]上应用柯西中值定理，有

0 0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ), f x f x

f x f

g x g x g x g



 

 

  x⁰   x^或x  x₀

当xx₀时, x₀,因此

0 0 0

( ) ( ) ( )

lim lim lim .

( ) ( ) ( )

x x x x u x

f x f f u

g x g g u A



  

 

 

  

【注】上面极限的理由完全同导数极限的证明(变量替换法）。

【定理 3】（



 型不定式极限）若函数 f 和g 满足：

（i）在x₀的某右邻域U_⁰(x₀)上两者都可导，且g x( )0; (ii)

0

lim ( ) ;

x x_g x

  

（iii）

0

lim ( ) ( )

x x

f x A

 g x



 

 ⁽A^{可为实数，也可为±},) 则

0 0

( ) ( )

lim lim .

( ) ( )

x x x x

f x f x

g x g x A

 

 

  

 [证明略]

例 1 用洛必达法则证明下面等价无穷小

（1）x~ sin ~x e^x1 ~ ln(1x x), 0

（2） 1 ²

1 cos ~ , 0

x 2x x

 

16

(17)

（3）(1x)^ 1 ~ x( 0),x0

例 2（几个无穷大的比较）

 

^ln^x ^ ⁽^ ^⁰⁾^^x^⁽^ ^⁰⁾^^{e x}^x^, ^

（1）

 

/

ln ln

lim lim

x x

 

 

 

 

  ^ 

/ / 1

1

ln 1

lim lim lim 0

( ) ( )

x x x

x x

x^{ }   x^{ }   x^{ }



      _/ 

（2）lim _x lim _x_/

x x

e e

 

  

 

  

/ /

lim lim 1 0

(1 )

x x

x

e ^  e ^



   

例 3

0 0

0 0 0

cos 1 cos sin 2sin cos

lim lim lim

sin 1 cos sin

x x x

x x x x x x x x x

x x x x

  

     

 

lim 20 cos 2 1 3 sin

x

x x

 x

 

    

  

例 4 lim0 lim0 1 1 1

t x x t

x t

e e

 



   

  

例 5

0 / 0

0 0 0

1 1 sin 1 cos

lim lim lim

sin sin sin sin

x x x

x x x x x x

  



  

 

    

  

  x

0 / 0

0

lim sin 0

2cos sin

x

x x x

 

 



例 6 ^ln ⁰ ，其中

0 0

lim ^x lim ^x ^x 1

x x

x e e

 

     ^1/

0

lim ln ^t ^xlim ln 0

x t

x x t

 t



 

  

例 7

2 2

1 1 1lnsin 6

0 0

lim sin lim

x x

x e

x



e^

 

   

 

  ^，其中

2

2 2

0 0 0

sin cos sin

ln sin cos sin

lim lim lim

2 2

x x x

x x x x x

sin

x x x

   x

  

 

3 2

0 0

cos sin sin 1

lim lim

2 6

x x

x x x x x

x x

  6

 

^{等价无穷小替换}   

例 8 cos limx

x x

 x



(18)

由于 ( cos ) 1 sin

lim lim

( ) 1

x x

x x x

 x 

  

  不存在，洛必达法则失效。但

cos cos

lim lim 1 1

x x

 

    

例 9

2 / 2 / 2

2

1 1 1

lim lim lim lim

1 1

x x x x

x

x x x x

x x x

   

   

     

 ^循环，但

2

1 1

lim lim 1 1

x x

x

x x

 

   

例 10 （教材例 14）设

( ), 0 ( )

0, 0

g x x

f x x

x

 

 

 



且已知g(0) g(0)0，g(0)3，试求 f (0).

解因为 ( ), 0

) 0 ( ) (

x2

x g x

f x

f 



所以由洛必达法则得

0 0 2

( ) (0) ( ) ( )

(0) lim lim lim

0 2

x x x 0

f x f g x g x

f ^ x ^ x ^ x

 

   



0

1 ( ) (0) 1

lim (0)

2^x 0 2

g x g x g



3 2

   

 

 

【思考】

(1)上例解法中，已知条件g(0)0用在何处?

(2)如果用两次洛必达法则，得到



(0)

f x

x g

x 2

) lim (

0



 .

2 ) 3 0 2 ( 1 2

) lim (

0    

  g x g

x

错在何处?

例 11 （教材例 15）求数列极限 ⁿ

n n1 n1 )

1 (

lim   ₂





解

2 2

2

1 1 ln(1 ) ln

lim ln(1 ) lim

1

x x

x x x

x

 

  

  

18

(19)

2 2

2 1 2

1 2

lim lim 1,

1 1

x x

x

x x

x x x

x x

x

 

  

   

  



由归结原则

2

ln 1 1 1

2 2

1 1 1 1

lim(1 )ⁿ lim (1 )^x lim ^x ^{x x}

n x x e e

n n x x

  

 

 

         

例 12 设 f x( )在[0,)上可导， ^lim



^{( )} ^{( )}



^.

x f x f x A

    证明：

lim ( )

x f x A

 

证 x^{lim ( )} x^lim ^x x^{( )} x^lim ^x



^{( )}x ^{( )}



x^lim



^{( )} ^{( )}



e f x f x e f x

f x f

e e



   

 

x f x A

   





(20)

§3 泰勒公式

多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容．实际上人（计算机）只会做加减乘除运算，对于一个复杂的函数（如sin ,x e^x

等）能否用只含加减乘除运算的函数（如多项式，有理分式等）近似，这是非常重要的。

【一】带有佩亚诺型余项的泰勒公式

先看多项式的系数与其导数的关系。

设

2

0 1 0 2 0 0

( ) ( ) ( ) _n( )ⁿ.

p x a a xx a xx   a xx

(0)

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( )

p x a a  p x  p x

1

1 2 0 0

( ) 2 ( ) _n( )ⁿ

p x  a a xx   na xx ^

(1)

0 1 1 0 0

( ) ( ) ( )

p x  a a  p x  p x

类似地，p^{( )}^k ( )x₀ k a! _k

( ) 0

1 ( ),( 0,1, 2, , )

!

k

ak p x k

 k   n (1) 由此可见，多项式p x( )的各项系数由其在点x₀的各阶导数值所唯一确定．

对于一般函数f ，设它在点x₀存在直到阶的导数．系数按公式（1）构造下面多项式： n

( )

0 0 2 0

0 0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1! 2! !

n

n n

f x f x f x

T x f x x x x x x x

n

 

        ₀

( )

0 0

0

( )(

!

n k

k k

f x

) x x

 k





^ （2）

称多项式（2）为函数 f 在点x₀处的泰勒(Taylor)多项式，T_n(x)的各项系数

( )

! f k x

k ( )0

(k0,1, , ) n

称为泰勒系数．

20

(21)

由（1）知 f x( )^与T x_n( )^在点x₀^有直到n阶导数值（有的书上叫有阶接触），即 n .

, , 2 , 1 , 0 ), ( )

( ₀ ⁽ ⁾ ₀

)

( x T x k n

f ^k  _n ^k   （3）

下面讨论误差R x_n( ) f x( )T x_n( )（称为泰勒余项）的大小。

定理 1 （带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数f 在点x₀存在直至阶导数，则 n ( ) ( ) ( ) (( 0) )ⁿ

n n

R x  f x T x  xx

即

0 2

0 0 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2!

f x

f x f x f x x x  x x

      

( )

0 0

( )( ) (( )

!

n

f x n

x x x x

n 

    ₀ ⁿ) （4）

证记Q x_n( ) ( xx₀)ⁿ，现在只要证 . ) 0 (

) lim (

0

 Q x 

x R

n n x x

由 f⁽^k⁾(x₀)T_n⁽^k⁾(x₀),k 0,1,2,,n.知，

( )

0 0 0

( ) ( ) ⁿ ( ) 0

n n n

R x R x R x 

又易知，

( 1) ( )

0 0 0 0

( ) ( ) ⁿ ( ) 0, ⁿ ( ) !

n n n n

Q x Q x Q ^ x  Q x n

因为 f⁽ⁿ⁾(x₀)存在，所以在点x₀的某邻域U x( )₀ 上f 存在n1阶导函数．于是，接连使用洛必达法则n—1 次，得

) (x f

0 0 0

( 1) ( 1)

( ) ( ) ( )

lim lim lim

( ) ( ) ( )

n

n n n

x x x x x x n

n n

R x R x R

Q x Q x Q x



   

   

  x

0

( 1) ( 1) ( )

0 0

0

( ) ( ) ( )( )

lim ( 1) 2( )

n n n

x x

f x f x f x x x0

n n x x

 



 

   

   

0

( 1) ( 1)

0 ( )

0 0

( ) ( )

1 lim ( )

!

n n

n x x

f x f x

f x

n x x

 



  

    0

形如((xx₀)ⁿ)的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．

【注 1】满足

(22)



0



( ) _n( ) ( )ⁿ

f x  p x o xx （5）

的多项式

2

0 1 0 2 0 0

( ) ( ) ( ) _n( )ⁿ

p x a a xx a xx   a xx

不一定泰勒多项式。例如

( ) ⁿ 1 ( ) f x x ^D x

其中D x( )狄利克雷函数。除 f (0) 0 外， f 不存在其他任何阶导数。但

0 0

lim ( )_n lim ( ) 0

x x

f x xD x

 x   

即 f x( )o x( )ⁿ 。若取

( ) 0 0 0 2 0 ⁿ 0

p xn        x x  x 

则（5）式成立，但p x_n( )不是 f 的泰勒多项式。

【注 2】满足（5）的多项式p x_n( )是唯一的。

设 f x( ) p x_n( )o



(xx0)ⁿ



q x_n( )o



(xx0)ⁿ



，其中

2

0 1 0 2 0 0

( ) ( ) ( ) ( )ⁿ

n n

p x a a xx a xx   a xx

2

0 1 0 2 0 0

( ) ( ) ( ) ( )ⁿ

n n

q x  b b xx b xx   b xx

则



0



( ) ( ) ( )ⁿ

n n

p x q x o xx

即

 

2

0 0 1 1 0 2 2 0 0 0

(a b ) ( a b)(xx ) ( a b )(xx )   (a_nb_n)(xx )ⁿ o (xx )ⁿ

令xx₀，得a₀ b₀

 

1 1

1 1 2 2 0 0 0

(a b) ( a b )(xx )  (a_n b_n)(xx )ⁿ^ o (xx )ⁿ^

再令xx₀，得a₁b₁。同理，a₂ b₂, , a_n b_n

注2 说明：泰勒公式的唯一。

以后用得较多的是泰勒公式在x₀ 0时的特殊形式：

22

第六章 微分中值定理及其应用