行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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※ 快速原型收縮現象之有限元素分析 ※
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計畫類別：□個別型計畫 □整合型計畫 計畫編號：NSC89－2212－E－011－024－
執行期間：88 年 08 月 01 日至 89 年 07 月 31 日
計畫主持人：黃佑民 教授 共同主持人：鄭正元 教授
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立台灣科技大學機械工程系
中 華 民 國 89 年 8 月 12 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
快速原型收縮現象之有限元素分析
Shr inkage phenomenon of ster eolithogr aphy pr ocesses using the finite element method
計畫編號：NSC 88-2212-E-011-024 執行期限：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日
主持人：黃佑民 國立台灣科技大學機械工程系 共同主持人：鄭正元 國立台灣科技大學機械工程系 計畫參與人員：陳信旭 國立台灣科技大學機械工程系 計畫參與人員：黃信發 國立台灣科技大學機械工程系
一、中文摘要
本研究應用有限元素法分析樹脂類之快速原 型系統於成形加工過程中，因樹脂聚合化反應所造 成之收縮而導致彎曲（翹曲）變形現象。在樹脂類 之快速原型加工過程中，造成最後尺寸的誤差最主 要原因是因其體積收縮而導致的彎曲翹曲效應，有 效的控制其加工參數，如光源照射功率、掃瞄時間 與掃瞄間距，則可以有效的控制翹曲量。本研究所 發展之有限元素程式可分析整體之體積收縮與翹 曲量。
關鍵詞：快速原型，有限元素法，收縮，翹曲，聚 合化反應
Abstract
The finite element method has been applied to evaluate the shrinkage phenomenon of stereolitho - graphy process caused by volume change of polymerization. The shrinkage also leads to the distortion of the part. During the fabrication of the widely used photopolymer based rapid prototyping system, the final product will come with curl distortion.
This is necessary to control the process parameters, which include the laser power, scan speed, scan pitch, etc., to limit the distortion effect. This study has developed a program to analyze the overall shrinkage and distortion of the part.
Keywords: stereolithography, finite element method, shrinkage, distortion, polymerization 二、緣由與目的
所謂快速原型加工過程（如圖一）即是以電 腦輔助設計(CAD)繪出 3D 模型並輸出 stl 格式之檔 案，經由切層處理(slicing)軟體產生 2D 之 hpgl 格式 檔，輸入快速原型系統進行加工而得原型。對於快 速原型系統進行幾何形狀之加工模式，即是以切層 處理(slicing)而產生 2D 之 hpgl 格式檔控制雷射的運
動位置，照射於樹脂而得所需之幾何形狀。
尺寸的正確性是快速原型過程的主要關鍵。
造成 CAD 所定義之幾何形狀與最後原型尺寸的誤 差 量 最 主 要 的 原 因 是 樹 脂 的 翹 曲 彎 曲 (curl distortion)，翹曲是因樹脂固化而收縮造成。再者，
原型於製造過程中所得之原型並未完全固化(full curing)，經後加工過程使其完全固化將會造成再次 的縮收翹曲量。
樹 脂 經 光 源 照 射 後 即 發 生 聚 合 化 反 應 。 Hiroyuki[1]等人發展 situ 快速原型機以不同的掃瞄 方式進行樹脂固化，量測並觀察樹脂在聚合化反應 過程所經歷的線性收縮，溫度分佈與固化時間之關 係。發現聚合化反應（如圖二）包含樹脂收縮→熱 釋放→冷卻而收縮；間斷式(skip)的掃瞄之溫度分 佈與翹曲量低於連續式(continue)的掃瞄方式。
Weissman[2]等人針對後處理加工所造成的收 縮進行線縮收之真實時間(real time)量測，應用線性 縮收量測儀於三種光硬化樹脂，以 Argon-Ion 雷射 為光源計算照射時間 40 秒之縮收率，再進行以長 時間之照射下的再次收縮率，發現後加工過程所造 成之收縮率亦是造成尺寸變形的主要因素之一。
根據以上文獻所述，快速原型系統之尺寸正 確性的改良是重要目標，數值的分析更是預測翹曲 與變形的利器，故本文將進行理論推導，實驗驗證 與有限元素程式碼撰寫以期對快速原型的加工製 程有所助益。
三、理論推導
當進行單一方向光源的照射，樹脂由液態收 縮硬化到固態，稱之逐次成形固化[3]。樹脂經過相 的變化會發生下列經歷：
（一）累積效果：硬化後樹脂再受到光源的 照射，再次收縮硬化。
（二）高溫黏性流動效應：樹脂經照射而聚 合化造成溫度釋放，周圍樹脂吸收固 化所釋放之熱而溫度升高；當固化完 成時，冷卻造成熱收縮。
（三）黏性造成時間效果：因固化所釋放的 高溫造成周圍樹脂的黏度增加，而影
響逐次加工的時間效應。
經由以上所述，假設材料為均質(Homogeneous) 的、且具有等方向性，依微小應變理論[4]可知總應 變量為：
{ } ε & = { } { } { } { } { } ε &
e+ ε &
p+ ε &
v+ ε &
t+ ε &
r (1)其中
{ } ε
&表為總應變量，{ } ε &
e 為彈性應變量，{ } ε &
p 表為塑性應變量（忽略不計），{ } ε &
v 表為黏性應變量（忽略不計），
{ } ε &
t 表為熱變形應變，{ } ε &
r 表為光源照射所造成的收縮應變。因此，（1）式可 簡化為下式所示：
{ } ε & = { } { } { } ε &
e+ ε &
t+ ε &
r (2)將其他分量移至左方，並乘以
dV [ ] [ ] B
TD
∫
v ，已知
{ } σ & = [ ] D { } ε &
e 與{ } ε
& =[ ] B { } u
&，故可得下式：[ ] [ ][ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }
{ }
∫
− − −v
T r T t
T e
T D B u B D B D B D
B
dV & ε& ε& ε&
[ ] [ ][ ] { } [ ] { } [ ] { ( ) }
{ }
∫
− − ∆ +∆=
v
T T
T
D B u B B K T I
B
dV
&σ
3α β
=0 (3)
其中
[ ] D { } ε &
t=
3K ( α ∆ T )
，[ ] D { } ε &
r=
3K ∆ β ( ) I
，α
表為線性縮收係數，∆ T
表為溫度差，K
表為體積 膨脹係數。將其以構成方程式表示：[ ] K { } { } u
−f
=0 (4)其中剛性矩陣
[ ] K
與等價結點力{ } f
分別表示為：
[ ]
=∫ [ [ ] [ ][ ] ]
v
T
D B
B dV
K
(5){ }
=∫ [ [ ] { }
−[ {
∆ +∆( ) } ] ]
v
T
T
B K T I
B dV
f
&σ
& 3α β
(6)其中
[ ]
( )
+
−
−
−
−
=
ν ν ν
ν νν
ν
1 0 2 0
1 0 1
1 0 1
2 2
2 2
E E E
E E D
，
ν
是材料之浦菘比，∆β
為增加之收縮量，
I
為光源露光亮。且若以 2D 之元 素分析之，則應力-位移矩陣[ ] B
為：[ ]
∂
∂ ∂
∂
=
y N x N B
i i
0
0
， N
i為形狀函數(shape function)。由方程式(2)可知，總應變量=彈性變形應變量+
熱膨脹收縮變形應變量+粘性變形應變量+照射收 縮硬化變形應變量。熱膨脹收縮變形應變量定義為
T
t=
a
∆ε
，其中a
表為線膨脹係數；粘性變形應變 量定義為ε
c= b (
1− e
−mt) + nt
，由粘度實驗可得係數( ) T
b
，m ( ) T
與n ( ) T
，為溫度的函數。本研究依據 Jocabs[5]對樹脂硬化之楊氏係數公 式(photomodulus equation)求得不同照射量之楊氏 係數值，公式說明如下：
−
−
−
=
1 exp 1/ max
E
cY E
Y β
(7)其 中
E
表 示 為 照 射 在 樹 脂 單 位 面 積 的 露 光 量，E
c為該樹脂由液態轉換固態所需之露光量，β
為樹脂之無因次露光量損失係數。液態樹脂內部 之露光量分佈是以光源強度與樹脂的收縮率有 關，根據下式 Beer-Lambert 法則[6]求得：( )
Roy Dzps
f
e e
V R z P
y E
−
= − 2
2 2
0
, 2
π
(8)其中
P
f為雷射光之功率，V
s為掃瞄速度，R
0 雷射光束徑與D
p樹脂之滲透深度。四、結果與討論
本研究先針對藍光雷射（波長 405nm，功率 5mW），以不同的雷射光束直徑（0.2mm，1mm 與 2mm）與固定的掃瞄速度(10mm/s)，做自由液面單 一線段成形以求得樹脂之固化特性，如表一所示，
固化樹脂線段之固化深度(
C
d)對線寬(C
w)比率隨 著雷射的束徑放大而縮小，在相同的掃瞄速度下，光束徑越小則固化深度越深且寬度越窄。依據雷射 光之特性，聚焦後之微小光點的能量為最高，高斯 發散角較小。
利用 雙 懸 臂 樑 (Twin cantilever)之 幾 何 形 狀 [7](如圖三所示)為數值分析與實驗驗證之模型，並 以八節點之 isoparametric 元素分析之，因雙懸臂樑 為軸對稱，故化簡為半面分析以減少計算時間，如 圖四所示。經由實驗與數值分析發現，當雷射束徑 為 1.0mm 時，有限元素分析之翹曲與變形趨勢相當 的吻合（如圖六所示），而雷射束徑為 0.2mm 與 2.0mm 之有限元素分析之翹曲量均大於實際實驗 值，造成誤差最主要的因素是在有限元素分析中，
對於樹脂吸收光源能量的效率為理想狀態（公式 7 與 8），亦即掃瞄路徑中的任一點所吸收的能量值 均一，實際則有損失。
當雷射束徑為 2.0mm 時（如圖七所示），實 驗發現單一線條之固化翹曲曲線呈現負值，造成原 因為大束徑之雷射光點能量不集中，無法完全固化 (partial curing)，且固化面積大，質量較重於其他小 雷射束徑所固化之質量，故無法向上翹曲而下沈。
快速原型於加工過程中乃是由點成線，線成 面，面成體之過程，故於實際成形過程中，層與層 之累積翹曲會浮出樹脂面而造成次層網格的規劃 不易，如圖八所示。當翹曲量已超越下層建構之厚 度 ， 則 造 成 下 層 之 網 格 無 法 與 翹 曲 網 格 相 連 (connect)，以致無法分析。故本研究將對整體分析 之翹曲量（如圖九所示）與實際之翹曲量做比較，
以觀察誤差值，其加工條件是以雷射光束徑 1.0mm 為依據。由表二可知，以整體之數值分析所得之最 大翹曲量約小於實際值 13%（64 個元素為依據），
且隨著網格的細分越接近實際值。
五、結論
本研究發展之快速原型有限元素分析程式與實 驗驗證發現，可歸納以下要點：
1. 樹脂線段之固化深度(
C
d)對線寬(C
w)比率 將隨著雷射的束徑放大而縮小，在相同的 掃瞄速度下，光束徑越小則固化深度越深 且寬度越窄。2. 層與層之間的建構會因為翹曲量過大浮出 樹脂液面，而造成網格之設定不易。
3. 經由實驗驗證發現，整體之有限元素分析 模式可有效預測實驗翹曲量的大小。
4. 有限元素之網格分割越細，則數值分析越 接近實際翹曲值。
六、參考文獻
[1] Hiroyuki Narahara, Fumiki tanaka, “Reaction heat effects on initial linear shrinkage and deformation in stereolithography”, Rapid Prototyping Journal, Vol. 5,Nu. 3, 1999, pp. 120- 128
[2] Peter T. Weissman, Richard P. Chartoff, Stanley J. Rodrigues and Shwn-Meeei Linden, “Real time measurements of linear shrinkage during laser photopolymerization: Implications concerning post cure shrinkage”, Proceeding of the 4th International Conference on Rapid prototyping, Dayton, pp.263-269
[3] 徐毅,栗山慎鋒,今村正人與中川威雄, “考慮光 造型硬化物的微構造彎曲變形之有限元素解 析”, 第 11 回快速原型會議, pp.71-75
[4] 山田嘉昭, “非線性有限元素基礎”,亞東書局，
1985, pp.102~134
[5] Paul F. Jacob, “Rapid Prototyping &
Manufacturing: Fundamentals of Stereo- Lithography”, 1st ed., SME published, pp.
79~101
[6] Siegman, A. E. “An Introduction to Lasers and Masers”, McGraw-Hill Inc., New York, 1971, pp.
312-314
[7] Gabriel Bugeda, Migul Cervera, Guillermo and Eugenio Onate, “Numerical analysis of stereolithography processes using the finite element method”, Rapid Prototyping Journal, Vol.
1, Nu. 2, 1995, pp.13-23
表一 自由液面單一線段之固化寬度與深度表 雷射光束直徑(mm) 0.2 1.0 2.0 固化寬度
C
w(mm) 0.23 1.02 1.68 固化深度C
d(mm) 1.27 0.95 0.74 固化深寬比(C /d Cw) 5.52 0.93 0.44 表二 數值分析與實驗之最大翹曲數據表節點 位移 8 元素 16 元素 32 元素 64 元素 實際值 A H 0.013 0.0132 0.0175 0.025 0.026 A V 0.811 0.825 1.036 1.106 1.177 B H -0.05 -0.05 -0.051 -0.057 -0.055 B V 0.456 0.821 1.0345 1.105 1.171 C H -0.082 -0.115 -0.1212 -0.131 -0.126 C V 0.462 0.833 1.032 1.112 1.173 註：A 節點：翹曲懸臂樑最低點；B 節點：翹曲懸
臂樑轉曲點；C 節點：翹曲懸臂樑最高點
圖一 液態類快速原型建構程序圖
(a)光硬化樹脂吸收光 子 後 進 行 聚 合 化 反 應，釋放熱。當光子 照射於光硬化樹脂，
改變為激態後，碳原 子結合並釋放熱。
(b)聚合化反應之溫度 趨勢圖。聚合化之樹 脂釋放熱而升溫，經 由擴散而冷卻。
(c)在聚合化反應之線 性收縮改變量。樹脂 因聚合化而收縮，熱 釋放膨脹，隨即因冷 卻再次收縮。
圖二 光硬化樹脂聚合化反應說明圖
圖三 雙懸臂幾何形狀尺寸圖(單位：mm)
C B A
圖四 簡半分析之雙懸臂樑 FEM 模型圖
0 5 10
ca n tile ve r Le n gth [m m ] 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
CurlDistortion[mm]
E xpe rim e nt FE M
圖五 實驗與 FEM 分析翹曲趨勢圖 (雷射束徑 0.2mm)
0 5 10
ca ntile ve r Le n gth [m m ] 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
CurlDistortion[mm]
Expe rime nt FEM
圖六 實驗與 FEM 分析翹曲趨勢圖 (雷射束徑 1mm)
0 5 10
ca ntile ve r Le n gth [m m ] -0.2
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
CurlDistortion[mm]
Expe rime nt FEM
圖七實驗與 FEM 分析翹曲趨勢圖 (雷射束徑 2mm)
圖八 數值分析網格之扭曲示意圖
圖九 有限元素整體分析之示意圖
（A,B 與 C 點為與實驗值比較點）
