CHAPTER 2 電磁波基礎

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(1)

CHAPTER 2 電磁波基礎

(2)

本章大綱

2.1 簡諧均勻平面電磁波

2.2 電磁波的極化

2.3 電磁波的反射與透射

2.4 電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層

(3)

2.1 簡諧均勻平面電磁波

(4)

2.1 簡諧均勻平面電磁波(1/2)

在簡諧即正弦時變條件下,可以通過求解複數波 動方程,即赫姆霍玆方程,得到簡諧均勻平面波 的解。

均勻平面電磁波是在均勻的簡單介質中,電磁波 傳播的最簡單的形式。

均勻平面波的電磁場在垂直於傳播方向的橫截面 上是均勻的和同相的,即垂直於傳播方向的平面 既是等相位面,又是等振幅面,稱為波前。

(5)

5

簡諧均勻平面電磁波(2/2)

2.1.1 不導電介質中的均勻平面波

2.1.2 沿任意方向傳播的均勻平面波

2.1.3 均勻平面波的能流與能量

2.1.4 有損介質中的平面波、電磁波的衰減

(6)

不導電介質中的均勻平面波(1/9)

在穩態簡諧條件下,線性、均向性、非色散、不 導電介質中,複數形式的無源馬克斯威爾方程是

(7)

7

不導電介質中的均勻平面波(2/9)

在與1.3.2節相同的均勻平面波條件下,即E和H都 只隨座標及時間變化,在方向不變。這時,根據 式(1-190)和(1-193)

電場及磁場都只有橫向,即垂直於的方向的分量 Ex、Ey、Hx、Hy,它們的關係是式(1-188)、

(1-189)、(1-191)和(1-192),化為複數形 式

(8)

不導電介質中的均勻平面波(3/9)

研究,即方程(2-1)和(2-2),它們可化為

正弦、餘弦函數和虛自變數指數函數之間可由歐 拉(Eula)公式互相變換。由此可得方程的解為

(9)

9

不導電介質中的均勻平面波(4/9)

考慮到、隨時間呈簡諧變化,其複數形式為e

jwt

, 於是有

這正是以前時域波動方程解(1-196)中,令

f(t)=e

jwt

所得的結果。式中 ,它們代表朝+z 和-z方向傳播的兩個等幅正弦行進波。

(10)

不導電介質中的均勻平面波(5/9)

將式(2-9)代入方程(2-1),得到

式中 。比較(2-10)和(2-11),得到

(11)

11

不導電介質中的均勻平面波(6/9)

時間參數

Š

角頻率w,週期T和頻率f,它們的關係是

空間參數

Š

縱向相位常數或稱角波數kz,波長λz,波數1/λz。它 們的關係是

(12)

不導電介質中的均勻平面波(7/9)

空間與時間的聯繫

Š

相速v

p

Š

均勻平面波的縱向相位常數等於空間相位常數

Š

其相速等於介質中的光速

(13)

13

不導電介質中的均勻平面波(8/9)

波阻抗 η

Š

均勻平面波的波阻抗為

Š

在真空中

(14)

不導電介質中的均勻平面波(9/9)

(15)

15

沿任意方向傳播的均勻平面波(1/9)

對於沿任意方向傳播的波,可定義一個「波向量

(wave vector)」,記做k,其大小就是波的相位 常數k,其方向就是波的傳播方向。它的三個座標 分量分別是kx、ky、kz,並有

(16)

沿任意方向傳播的均勻平面波(2/9)

參看圖2-2,設空間有任意點x,則穿過x,垂直於 k的平面應為等相位面,其方程是

因此電磁波在x點的相位可表示為

於是沿k的正方向傳播的均勻平面波的電場、磁場

(17)

17

沿任意方向傳播的均勻平面波(3/9)

其複數振幅為

對於空間座標函數為 的平面波,向量的空間 微分運算符號∇成為下列形式:

(18)

沿任意方向傳播的均勻平面波(4/9)

(19)

19

沿任意方向傳播的均勻平面波(5/9)

由式(2-30a)、(2-30b)和(2-30c)可得,對 函數

於是馬克斯威爾方程(1-96)∼(1-99)成為

(20)

沿任意方向傳播的均勻平面波(6/9)

作-jk與方程(2-31)的向量積,並應用方程(2- 32)和(2-33)及三向量叉積公

式 ,得到

因此有

即均勻平面波的波向量絕對值等於空間角波數。

(21)

21

沿任意方向傳播的均勻平面波(7/9)

式中, 為波向量方向的單位向量。

由方程(2-32)有

電場、磁場、波向量三者互相垂直,電場與磁場 複數振幅之比為 。並有

(22)

沿任意方向傳播的均勻平面波(8/9)

同理可得沿-k方向傳播的均勻平面波

沿任意方向傳播的平面波的等相位面方程為:wt- k*x=常數 ,它可化為

(23)

23

沿任意方向傳播的均勻平面波(9/9)

由此可得沿任意方向x的相速為

式中θ為x與波向量k的夾角。

θ=0 時,即得到沿波向量方向的相速

(24)

均勻平面波的能流與能量(1/2)

將均勻平面波電場磁場關係式(2-36)代入複數 坡印廷向量的定義式(1-239),得到

由上述三向量叉積公式及方程(2-33),上式化 為

(25)

25

均勻平面波的能流與能量(2/2)

在不導電介質中複數坡印廷向量為實數,平均坡 印廷向量與位置無關。即

由複數坡印廷定理(1-242),考慮到σ=0,J=0 得到

(26)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(1/15)

當介質有極化損耗時,介電係數成為複數

於是空間相位常數k的運算式(1-218)成為

當介質內有自由電子從而呈現導電時,設導電率 為σ,則根據式(1-213),k成為

(27)

27

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(2/15)

若介質同時存在導電損耗及極化損耗,則用ε代 替上式的ε ,成為

k成為複數,可以寫成

(28)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(3/15)

將以上各式結合,可得

故有

(29)

29

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(4/15)

由此得到

有損耗介質中平面波的波阻抗成為複數

(30)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(5/15)

沿+z方向傳播的平面波電磁場成為

不導電介質只有極化損耗,式(2-46)和(2- 46’)成為

(31)

31

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(6/15)

若 ,即小損耗情況,以上二式簡化為

α與β的關係為

(32)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(7/15)

當介質為導體,且 ,可略去極化損耗 , 於是式(2-46)和(2-46‘)成為

波阻抗η成為

(33)

33

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(8/15)

不良導體

Š

此時σ很小而頻率較高,即

Š

這時,式(2-50)和(2-50‘)可化為

Š

Β>>α,且衰減係數與頻率無關。

(34)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(9/15)

定義場的振幅衰減為初始值 的距離為電磁波 的穿透深度或趨膚深度,記做δ,則

對於不良導體

(35)

35

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(10/15)

良導體

Š

此時介質導電率σ很大,頻率w不是很高,即

Š

式(2-50)和(2-50‘)化為

Š

穿透深度δ成為

(36)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(11/15)

波阻抗η的式(2-51)成為

良導體中平面波的電場儲能密度與磁場儲能密度 也不再相等,它們的比值可由式(2-58)計算

(37)

37

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(12/15)

(38)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(13/15)

這就是式(1-168)指出的良導體表面的邊界條件 或表面阻抗。

良導體中的複數坡印廷向量為

(39)

39

損介質中的平面波、電磁波的衰減(14/15)

進入良導體的有功功率密度為

(40)

有損介質中的平面波、電磁波的衰減(15/15)

理想導體

Š

當σ→∞時,稱為理想導體或完純導體。這時

ƒ α→∞

Š

磁波在理想導體內衰減常數為∞,不能進入,因此,

在理想導體內電場磁場都為零,在理想導體表面外側 電場切向分量亦為零

ƒ n×E=0

Š

但理想導體表面可有面電流,故在理想導體表面外側 磁場切向分量不為零

(41)

2.2 電磁波的極化

(42)

2.2 電磁波的極化

2.2.1 兩個線極化波合成任意極化態的波

2.2.2 瓊斯矩陣

2.2.3 兩個圓極化波合成任意極化態的波

2.2.4 斯托克斯參數和邦加球

2.2.5 單色波和多色波、完全極化波、部分極化波 和非極化波

(43)

43

兩個線極化波合成任意極化態的波(1/16)

設平面波的電場為E

x

與E

y

的向量和

δ

x

及δ

y

分別為E

x

、 E

y

的初相,其相位差為

於是合成電場成為

(44)

兩個線極化波合成任意極化態的波(2/16)

該平面波的磁場為

由馬克斯威爾方程有

於是合成磁場成為

(45)

45

兩個線極化波合成任意極化態的波(3/16)

寫出電場兩個分量(2-62)和(2-63)的瞬間值 形式

應用式(2-71)、(2-72)和(2-64),可得

(46)

兩個線極化波合成任意極化態的波(4/16)

求以上二式的平方和,則可消去式中的τ,得到

(47)

47

兩個線極化波合成任意極化態的波(5/16)

同理,磁場的兩個分量(2-67)和(2-68)也可 化為瞬間值形式

同樣可消去τ,得到

(48)

兩個線極化波合成任意極化態的波(6/16)

H向量端點軌跡是一與E向量端點橢圓軌跡垂直的 橢圓

(49)

49

兩個線極化波合成任意極化態的波(7/16)

(50)

兩個線極化波合成任意極化態的波(8/16)

在這個旋轉後的座標系 中電場的兩個分量為 及 ,它們E

x

與E

y

的關係為

在 座標系中,該橢圓是正橢圓,其參數方程 為

(51)

51

兩個線極化波合成任意極化態的波(9/16)

以上式(2-79)等於式(2-77),式(2-80)等於 式(2-78),其中E

x

、E

y

的用式(2-71)和(2- 72)代入,得到

(52)

兩個線極化波合成任意極化態的波(10/16)

以上二式中,左右兩邊sinτ的係數、cosτ的係數 應分別相等,得到下列四式:

求式(2-83)與(2-84)的平方和及式(2-85)與

(2-86)的平方和,再將兩個平方和式相加,得

(53)

53

兩個線極化波合成任意極化態的波(11/16)

將式(2-83)與(2-85)相乘,式(2-84)與(2- 86)相乘,再將兩個乘積式相加,得到

將式(2-85)除以(2-83),式(2-86)除以(2- 84),兩個除式都等於 ,因此兩除式相等,

整理後得到

(54)

兩個線極化波合成任意極化態的波(12/16)

有時用E

ym

與E

xm

的比值及與的比值更為方便,設

X稱為橢圓角。

用式(2-88)與式(2-87)的除式代替(2-88),

得到

(55)

55

兩個線極化波合成任意極化態的波(13/16)

於是式(2-87)、(2-92)和(2-89)成為

(56)

兩個線極化波合成任意極化態的波(14/16)

△=0,即δ

x

= δ

y

=δ,E

x

與E

y

同相,由式(2-94)可知,

χ=0,橢圓的短軸為零,成為線極化波。極化面的取向角 可由式(2-95)和(2-90)求出

任意取向的線極化波的電場、磁場運算式為

(57)

57

兩個線極化波合成任意極化態的波(15/16)

△=±π/2,E

x

與E

y

相位差π/2 ,由式(2-95)可 知, Ψ=0 ,這是正橢圓極化波,橢圓的長、短軸 與座標x、y重合, χ=0 。

△=±π/2 ,同時E

xm

與E

ym

,即E

x

與E

y

相位差

π/2 ,且振幅相等。這時χ= Φ = π/4,b=a,

橢圓的長軸與短軸相等,成為圓極化波。△為

π/2時是逆時針(左旋)圓極化波(CCW), △ 為-π/2時是順時針(右旋)圓極化波(CW)。

(58)

兩個線極化波合成任意極化態的波(16/16)

順時針(右旋)圓極化波的電場和磁場為

逆時針(左旋)圓極化波的電場和磁場為

(59)

59

瓊斯矩陣

將描述任意極化波的極化態的參數E

ym

、 E

xm

、 δ

x

、δ

y

寫成矩陣形式,即將式(2-62)和(2- 63)的複數振幅組成一個列矩陣

這個矩陣稱為瓊斯(Jones)矩陣。

(60)

兩個圓極化波合成任意極化態的波(1/4)

根據圓極化波的運算式(2-99)∼(2-102)可寫 出合成電場、磁場的運算式

式中,α

1

、α

2

依次為CW波和CCCW波的初相,

兩個圓極化波的初相差為

(61)

61

兩個圓極化波合成任意極化態的波(2/4)

一般情況下,式(2-104)和(2-105)描述的是 一橢圓極化波,其半長軸α,半短軸b及取向角為

橢圓角為

(62)

兩個圓極化波合成任意極化態的波(3/4)

(63)

63

兩個圓極化波合成任意極化態的波(4/4)

特殊情況

Š E

cw

=E

ccw

,b=0,χ=0,是線極化波。

Š E

ccw

=0,a=b,E=E

cw

,是順時針圓極化波。

Š E

cw

=0,a=b, E=E

ccw

是逆時針圓極化波。

Š α

2

=-α

1

 ,ψ=0,是正橢圓極化波。

Š 一般情況,E

cw

≠E

ccw

≠0 , α

2

≠-α

1

則是斜橢圓極化波。

以上指出三套描述極化態的參數:

Š

兩互相垂直的線極化波振幅E

xm

、E

ym

及其相位差△。

Š

兩反向旋轉的圓極化波的振幅E

cw

、E

ccw

及其相位差△

α。

Š

橢圓軌跡的半長軸α ,半短軸b及橢圓取向角ψ。

(64)

斯托克斯參數和邦加球(1/3)

定義四個參數S

0

、S

1

、S

2

、S

3

,它們與

E xm

E ym

的關係如下:

(65)

65

斯托克斯參數和邦加球(2/3)

斯托克斯參數與E

cw

、E

ccw

、△α的關係為

斯托克斯參數與a、b、Ψ的關係為

(66)

斯托克斯參數和邦加球(3/3)

(67)

67

單色波和多色波、完全極化波、部分極化波 和非極化波(1/2)

單色波必然是橢圓極化波、圓極化及線極化都是 橢圓極化的特例,前者長、短軸相等,後者短軸 等於零。這種單色橢圓極化波屬於完全極化波,

簡稱極化波。

多頻的電磁波或稱多色波,其極化態比較複雜。

Š

完全極化波

Š

部分極化波

Š

非極化波

(68)

單色波和多色波、完全極化波、部分極化波 和非極化波(2/2)

非極化波

Š

電場向量和磁場向量端點作隨機運動,它的幅度、頻 率、相位及場的取向都是隨機的。

Š

例如,自然光就是多色非極化波。

完全極化的多色波

Š

由若干不同頻率、幅度、相位、極化態的單色波合成 的多色波。

固定的極化態

(69)

2.3 電磁波的反射與透射

(70)

2.3 電磁波的反射與透射

2.3.1 斯奈爾定律,電磁波的方向關係

2.3.2 菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係

2.3.3 電磁波垂直入射於理想導體表面

2.3.4 電磁波垂直入射於一般介質界面

2.3.5 電磁波斜入射於理想導體表面

2.3.6 布魯斯特角,全極化

2.3.7 臨界角,全反射

2.3.8 漸消場和表面波

(71)

71

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(1/9)

應用2.1.2節得出的沿任意方向傳播的平面波的運 算式(2-28),可寫出介質1中的入射波和反射波 及介質2中的透射波的運算式依次為

(72)

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(2/9)

(73)

73

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(3/9)

在介質界面,x=0,場滿足下列邊界條件或稱相位 匹配條件:

上式在x=0面上任意y、z都必須成立,因此

(74)

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(4/9)

將入射波向量所在平面定為x-z面,則

式(2-128)在任意都必須成立,因此有

(75)

75

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(5/9)

由(2-128)又有

(76)

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(6/9)

從圖2-8可以看出

θ

i

、 θ

r

、 θ

l

依次為入射角、反射角和折射角。

它們是波向量與介質界面法線的夾角。

(77)

77

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(7/9)

入射波及反射波在介質1中傳播,透射波在介質2中傳播,

由式(2-17)有

將式(2-135)、(2-136)及(2-138)、(2-139)代入 式(2-134),得到

即,入射角等於反射角。

(78)

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(8/9)

再將式(2-135)、(2-137)及(2-138)、(2- 140)代入式(2-134),得到

即,折射角正弦與入射角正弦之比等於透射介質 與入射介質的平面波相速之比。定義介質的折射 率為 。

(79)

79

斯奈爾定律,電磁波的方向關係(9/9)

介質1的折射率

介質2的折射率

介質2對介質1的相對折射率

則式(2-142)成為

即,折射角正弦與入射角正弦之比為二介質折射率的反 比。

(80)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波

或TE波的反射與透射(1/8)

(81)

81

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(2/8)

三個波向量分別為

根據沿任意方向傳播的均勻平面波運算式(2- 26),有

(82)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(3/8)

由平面波電場與磁場的關係式(2-36),可以得 到入射波、反射波及透射波的磁場運算式

(83)

83

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(4/8)

在介質界面,x=0,界面上無面電流,則界面兩側 的電場及磁場,即介質1中入射波和反射波的合成 場與介質2中的透射波場,在界面上滿足下列邊界 條件:

將式(2-156)與式(2-157)相除,得到的表面 阻抗邊界方程

(84)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(5/8)

由式(2-153)和(2-154)有

由式(2-155)有

(85)

85

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(6/8)

為相應的導納。於是式(2-159)和(2- 160)成為

代入式(2-158)得到

解之,得到TE波電場反射係數 為

(86)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(7/8)

將式(2-161)和(2-162)代入上式,得到

將斯奈爾公式(2-142)代入上式,消去θ

t

,得到

(87)

87

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--n波 或TE波的反射與透射(8/8)

由邊界條件式(2-156)可得TE波的電場透射係數

反射波與入射波都在介質1中傳播,其波阻抗相同,故有

透射波在介質2中傳播,其波阻抗不等於入射波波阻抗,

故有

(88)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波

或TM波的反射與透射(1/10)

(89)

89

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波 或TM波的反射與透射(2/10)

根據圖2-10所示方向關係,應用式(2-27)和(2- 37), p波入射場、反射場和透射場可寫出如

下:

(90)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波

或TM波的反射與透射(3/10)

(91)

91

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波 或TM波的反射與透射(4/10)

根據圖2-10所示方向關係,應用與TE波相同的方 法,可以得到p波或TM波的磁場反射係數

式中

(92)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波 或TM波的反射與透射(5/10)

將(2-179)和(2-180)代入(2-178),有

應用斯奈爾公式(2-142)消去,得到TM波磁場 反射係數

(93)

93

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波 或TM波的反射與透射(6/10)

TM波磁場透射係數, 為

TM波電場反射係數, 為

TM波電場透射係數, 為

(94)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波 或TM波的反射與透射(7/10)

對於非磁性電介質界面, , 則TE波 及TM波的反射係數式(2-167)、(2-181)和

(2-168)、(2-182)依次成為

(95)

95

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波

或TM波的反射與透射(8/10)

(96)

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波 或TM波的反射與透射(9/10)

對於磁介質界面, ,則有

(97)

97

菲涅爾定律,電磁波複數振幅的關係--p波

或TM波的反射與透射(10/10)

(98)

電磁波垂直入射於理想導體表面(1/8)

(99)

99

電磁波垂直入射於理想導體表面(2/8)

在圖2-11所示座標系統中,線極化入射波與反射 波的電場、磁場可寫成下列二式:

由理想導體表面的短路邊界條件(1-158),有

(100)

電磁波垂直入射於理想導體表面(3/8)

所以理想導體表面的電場反射係數為

由式(2-191),得到磁場反射係數

(101)

101

電磁波垂直入射於理想導體表面(4/8)

將式(2-192)和(2-193)代入式(2-190)和

(2-191),得到

(102)

電磁波垂直入射於理想導體表面(5/8)

(103)

103

電磁波垂直入射於理想導體表面(6/8)

駐波中的複數坡印廷向量為

在空間某一點,電場與磁場的比值定義為該點的 等效阻抗Z(x)。由式(2-194)和(2-195)可得

(104)

電磁波垂直入射於理想導體表面(7/8)

(105)

105

電磁波垂直入射於理想導體表面(8/8)

若入射波為圓極化波,設為順時針波

E

y

落後於E

z

90°。反射波電場為

合成的駐波電場是

(106)

電磁波垂直入射於一般介質界面(1/7)

在式(2-167)和(2-181)中,若θ

i

t

= 0,則 成為

由式(2-169)和(2-185)可得

(107)

107

電磁波垂直入射於一般介質界面(2/7)

(108)

電磁波垂直入射於一般介質界面(3/7)

按照圖2-14所示座標方向,介質1及介質2中的電 磁場為

在介質2中,是沿-x傳播的等幅行進波,其相位常

(109)

109

電磁波垂直入射於一般介質界面(4/7)

介質2可以是無損也可以是有損介質。則 可寫成 複數

代入式(2-202),得到介質1中的合成電場

其振幅為

(110)

電磁波垂直入射於一般介質界面(5/7)

由式(2-203)得到合成磁場

磁場振幅為

(111)

111

電磁波垂直入射於一般介質界面(6/7)

(112)

電磁波垂直入射於一般介質界面(7/7)

由式(2-207)和(2-209)可求出行駐波的等效 阻抗

將式(2-199)代入上式,得到

(113)

113

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波 斜入射於理想導體表面(1/6)

設入射波和反射波的波向量和電磁場仍如式(2- 147)、(2-148)、(2-150)、(2-151)、(2- 153)和(2-154)所示。

合成電場及合成磁場在理想導體表面即x=0面上滿 足短路邊界條件(1-154),參看圖2-9。此時E

t

=0

(114)

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波 斜入射於理想導體表面(2/6)

將式(2-150)和(2-151)所表示的入射波電場 和反射波電場疊加,並應用式(2-212),就得到 空間的合成電場

(115)

115

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波 斜入射於理想導體表面(3/6)

由式(2-153)和(2-154)可以得到空間的合成 磁場

(116)

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波

斜入射於理想導體表面(4/6)

(117)

117

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波 斜入射於理想導體表面(5/6)

沿x方向之波長為

z方向的波長為

由式(2-24),並考慮到k

y

=0,有

(118)

電磁波斜入射於理想導體表面--n波或TE波 斜入射於理想導體表面(6/6)

於是

z方向的相速為

(119)

119

電磁波斜入射於理想導體表面--p波或TM波 斜入射於理想導體表面(1/2)

根據圖2-10所規定的方向,邊界條件如下

考慮到E

t

=0,H

t

=0,可寫出電場、磁場運算式

(120)

電磁波斜入射於理想導體表面--p波或TM波

斜入射於理想導體表面(2/2)

(121)

121

布魯斯特角,全極化(1/3)

使TM波的反射係數,即式(2-187‘)的分子為 零,此時的θ

i

稱為θ

B

,則有

得到

(122)

布魯斯特角,全極化(2/3)

將上式代入斯奈爾公式(2-146),式中θ

i

= θ

B

,有

因此

由(2-141),有θ

r

i

= θ

B

因此,當入射角為布魯斯特角時

(123)

123

布魯斯特角,全極化(3/3)

(124)

臨界角,全反射(1/5)

當電磁波從密介質入射到疏介質時

由斯奈爾定律(2-146)

(125)

125

臨界角,全反射(2/5)

此時透射波向量只有界面切向分量,沒有法向分 量,透射波沿界面切向傳播。這個使θ

t

=90的特 殊入射角稱為臨界角,記做θc,即

當電磁波以大於臨界角的入射角從密介質射向疏 介質時

(126)

臨界角,全反射(3/5)

此時θ

t

在實域無解。 cosθ

t

成為虛數,即

考慮到(2-233),TE波及TM波反射係數式(2- 168)和(2-182)依次成為

(127)

127

臨界角,全反射(4/5)

由式(2-236)和(2-237)可得

(128)

臨界角,全反射(5/5)

對於電介質界面, ,於是式(2- 236)∼(2-241)成為

(129)

129

漸消場和表面波(1/8)

研究透射波向量k

t

。由式(2-133),有

於是

由(2-140)

由式(2-134)、(2-135)、(2-137)、(2-138)和(2- 140)有

(130)

漸消場和表面波(2/8)

因此

(131)

131

漸消場和表面波(3/8)

將以上結果用於式(2-152)和(2-155),得到 發生全反射時的TE波透射場

(132)

漸消場和表面波(4/8)

發生全反射時,sinθ

t

>1,k

tz

=k

2

sinθ

t

>k

2

,故其透 射場沿z的相速小於平面波在介質2中的相速

考慮到發生全反射時, ,由式(2-

150)、(2-151)、(2-153)和(2-154)可以寫 出發生全反射時,介質1中入射波與反射波的合成

(133)

133

漸消場和表面波(5/8)

且磁場運算式為

得到電場及磁場

(134)

漸消場和表面波(6/8)

(135)

135

漸消場和表面波(7/8)

(136)

漸消場和表面波(8/8)

由式(2-134)有k

tz

=k

rz

=k

iz

=k

z

且有

而發生全反射時, sinθ

t

>1, sinθ

i

<1故

(137)

137

介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變 化-- 從疏介質到密介質(1/2)

n

2

>n

1

時,TE波及TM波反射係數的絕對值和角與 入射角θ

i

的關係

(138)

介質界面反射係數的絕對值和角及極化態變 化-- 從密介質到疏介質(2/2)

n

2

<n

1

時,TE波及TM波反射係數的絕對值和角與 入射角θ

i

的關係

(139)

139

電磁波在導電介質界面的反射和透射

(1/2)

在導電介質中用 代替ε,則前面導出的 電磁波在介質界面反射與透射的定律都可應用。

由於等效介電係數成為複數,因此相位常數,相 速及折射率都成為複數

β及α如式(2-50)和(2-50')所示。複相速成 為

(140)

電磁波在導電介質界面的反射和透射

(2/2)

複折射率成為

將 分為實部與虛部,即

n'為折射率, n’’為吸收率或稱消光係數。應用式

(2-50)和(2-50')可得

(141)

141

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁 波斜入射於介質──導體界面(1/6)

由式(2-146)得

n

1

為實數, 為複數。sinθ

t

成為複數, θ

t

也成為 複數。於是cosθ

t

成為

(142)

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁 波斜入射於介質──導體界面(2/6)

cosθ

t

也是複數,令

式(2-260)與(2-261)的關係是

(143)

143

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁 波斜入射於介質──導體界面(3/6)

將以上得到的cosθ

t

、 sinθ

t

及式(2-137)、(2- 149)代入式(2-152)或(2-177),得到透射波 電場運算式

(144)

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁

波斜入射於介質──導體界面(4/6)

(145)

145

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁 波斜入射於介質──導體界面(5/6)

若寫成斯奈爾定律的形式

若電磁波從不導電介質斜入射向良導體表面,則 在介質2中σ

2

>>wε

2

。由式(2-56)有

(146)

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁 波斜入射於介質──導體界面(6/6)

若介質1是普通介質,即ε

1

不是非常大,則有

由式(2-259)和(2-268)有

(147)

147

電磁波在導電介質界面的反射和透射:電磁 波垂直入射於介質──導體界面

此時2.3.4節的論述仍然有效,只是η

2

成為複數,

如式(2-51)所示。

於是反射係數 成為複數,其角Φ可以是任意 值。

界面不再是波腹或波谷。透射入介質2的波成為衰 減行進波。

(148)

2.4 電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層

(149)

149

2.4 電磁波的阻抗變換及微波或光學塗層

2.4.1 電磁波反射係數和阻抗的變換

2.4.2 四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微 波或光學塗層

2.4.3 多層四分之一波長微波或光學塗層

2.4.4 交替變化折射率多層微波或光學塗層

(150)

電磁波反射係數和阻抗的變換(1/4)

由式(2-150)、(2-151)、(2-153)、(2- 154)可以得到TE模入射介質中的合成電磁場

同理可得TM模入射介質中的合成電磁場

(151)

151

電磁波反射係數和阻抗的變換(2/4)

對於TE模, ,對於TM模, , 應用式(2-270)∼(2-273)可得

式中Zc是在入射介質中TE模或TM模的斜入射波 阻抗

(152)

電磁波反射係數和阻抗的變換(3/4)

是截面x上的反射係數

截面x

1

的反射係數和截面x

2

的反射係數之間的關 係是

(153)

153

電磁波反射係數和阻抗的變換(4/4)

應用式(2-277)、(2-274)、(2-275),可得 x

1

和x

2

兩截面的阻抗之間的變換關係

若平面波垂直入射於界面,即θ

i

r

= 0 ,則TE 和TM模無區別,即2.3.4節所述的情況。

(154)

四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波 或光學塗層 (1/3)

由式(2-278)可知,若兩截面x

1

與x

2

的距離為四 分之一波長或四分之一波長的奇數倍

n為整數,則

(155)

155

四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波 或光學塗層 (2/3)

若在上述兩種介質之間加入一層厚度為四分之一 波長或四分之一波長奇數倍的介質並使該介質的 波阻抗Zc滿足

則根據式(2-279)可知, x

2

截面的阻抗為

(156)

四分之一波長阻抗變換器及四分之一波長微波

或光學塗層 (3/3)

(157)

157

多層四分之一波長微波或光學塗層(1/3)

(158)

多層四分之一波長微波或光學塗層(2/3)

膜系中每一層的厚度為該介質中的四分之一波 長,各層的波阻抗滿足以下關係

式中i=1至n,為層數。

(159)

159

多層四分之一波長微波或光學塗層(3/3)

契比雪夫設計

Š

應用契比雪夫(Chebyshev)多項式設計的多層四分之 一波長減反射膜系可獲得等波紋響應。

二項式設計

Š

應用二項式設計的多層四分之一波長減反射膜系可獲 得最平坦響應。

(160)

交替變化折射率多層微波或光學塗層(1/5)

在微波或光學塗層中易於實現的是由兩種相近折 射率的塗層交替塗敷所構成的週期性多層膜系。

它既可做成抗反射(AR)膜或稱減反射膜或稱增 透膜,又可做成高反射(HR)膜。

(161)

161

交替變化折射率多層微波或光學塗層(2/5)

第一個膜對層的輸入阻抗為,由式(2-280)可知

因此有

第一個膜對Z

c2

層的輸入阻抗為Z

21

,並有

(162)

交替變化折射率多層微波或光學塗層(3/5)

將上述Z

11

的運算式代入,得到第一個膜對的阻抗 變換關係

由此可推出第i個膜對的阻抗變換關係為

(163)

163

交替變化折射率多層微波或光學塗層--減

(抗)反射(AR)膜(4/5)

若使n

1

>n

2

同時使m足夠大,則塗層成為減反射 膜。這時折射率比 應滿足

於是

這就是減反射(AR)膜,或稱增透膜或稱匹配 膜。

(164)

交替變化折射率多層微波或光學塗層--高反 射(HR)膜(5/5)

若使n

1

<n

2

同時使m足夠大,則塗層成為減反射 膜。這時折射率比 應滿足

使得

(165)

Q & A

數據

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參考文獻

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