CHAPTER 5 金屬波導與共振腔

(1)

CHAPTER 5 金屬波導與共振腔

(2)

本章大綱

• 5.1 金屬波導的一般特性

• 5.2 共振腔的一般特性

• 5.3 矩形座標系的波導與共振腔

• 5.4 圓柱座標系的波導與共振腔

• 5.5 球座標系的共振腔與傳輸線

• 5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題

• 5.7 微擾（perturbation）原理

(3)

5.1 金屬波導的一般特性

(4)

5.1 金屬波導的一般特性（1/4）

• 在4.5節所述柱形系統中，若縱向無界，橫向邊界條件為沿縱向均勻的短路面，按照特徵值問題的一般原理，其橫向角波數T必然滿足

• 因此，系統中只可能傳播TEM波或快波，即波導波。

(5)

5

金屬波導的一般特性（2/4）

(6)

金屬波導的一般特性（3/4）

• 在TE模中，U=0，V≠0，即Ez=0，Hz≠0，又稱 H模。

• 在TM模中，U≠0 ， V=0 ，即Ez ≠ 0 ， Hz=0 ，又稱E模。

• TE模與TM模可以分開是金屬波導的一個特點。

(7)

7

金屬波導的一般特性（4/4）

• 5.1.1 金屬波導的傳播特性

• 5.1.2 金屬波導的波阻抗

• 5.1.3 金屬波導中的功率

• 5.1.4 金屬波導中電磁波的衰減

• 5.1.5 非柱形波導

• 5.1.6 金屬波導中的導波模和截止模

(8)

金屬波導的傳播特性（1/6）

• 由第4章4.5小節關於柱形系統中電磁波的一般論述可知，金屬波導的橫向角波數T就是它的臨界角波數，常記做Kc，Kc=T。相應的臨界角頻率及臨界頻率為

• 臨界狀態下，電磁波在介質中的波長就是橫向波

(9)

9

金屬波導的傳播特性（2/6）

• 相應的臨界狀態下，真空中的波長稱為臨界波長，記做λc，有

(10)

金屬波導的傳播特性（3/6）

• 當w>w_c即k>T時，波導處於傳輸狀態。其縱向相移常數記做β=kz，縱向相速為υ_p，縱向波長或稱導波波長為λ_g。它們可依次由式（4-100）、

（4-104）及式（4-15）決定，即

(11)

11

金屬波導的傳播特性（4/6）

• 由式（4-105），金屬波導中的群速為

• 且有如下關係：

• 在真空中

(12)

金屬波導的傳播特性（5/6）

• 當w<w_c即k<T時，波導設處於截止狀態，β成為虛數，沿Z呈漸消場，此時

• 則有

(13)

13

金屬波導的傳播特性（6/6）

(14)

金屬波導的波阻抗（1/3）

• TE模即H模，U=0，V≠0，求出式（4-26‘）與式

（4-30’）之比就是TE模的波阻抗，記做η_TE。

• 將式（5-4）代入上式可得

(15)

15

金屬波導的波阻抗（2/3）

• 應用式（4-27‘）和（4-29’），得到

• 同理，TM模即E模，U≠0，V=0，由式（4-26'）

和（4-30'）可得：

(16)

金屬波導的波阻抗（3/3）

• 由（5-4）可得

• 同樣，由（4-27'）和（4-29'）得到

(17)

17

金屬波導中的功率（1/9）

• 縱向坡印廷向量在波導橫截面上的面積分就是沿波導傳輸的功率，即

• TE模的功率為

(18)

金屬波導中的功率（2/9）

• 應用式（5-11）和（5-13），可得

• 同理可得TM模的功率為

(19)

19

金屬波導中的功率（3/9）

• 將式（4-26‘）和（4-27’）代入式（5-17），得到

• 由式（4-72）有

(20)

金屬波導中的功率（4/9）

• 應用上式及運算式（5-11），得到

• 同理

• 可證，在金屬波導中

(21)

21

金屬波導中的功率（5/9）

• 於是式（5-19）和式（5-20）成為

• 式（5-21）和式（5-22）的證明如下，以下的U代表U或V。

• 由向量恆等式

(22)

金屬波導中的功率（6/9）

• 有

• 由式（4-71）

• U滿足赫姆霍玆方程，故有

(23)

23

金屬波導中的功率（7/9）

• 將均勻波導取長度為dz的微分段，將上式在該微分段內進行體積分，並應用奧高公式，得到

• 於是上式中的面積分可改寫為

(24)

金屬波導中的功率（8/9）

• 由於dz為無窮小量，，且上式中

• 金屬波導的管壁可近似看作短路面。由4.3節可知，U和V在波導壁上滿足

(25)

25

金屬波導中的功率（9/9）

• 無論是以上兩種情況中的哪一種，都導致以上S_w 上的面積分為零，即

• 因此有

• 於是必須

(26)

金屬波導中電磁波的衰減（1/4）

(27)

27

金屬波導中電磁波的衰減（2/4）

• 設波導中場沿z的變化為

• 於是波導中傳輸功率沿z的變化成為

• 因此有

(28)

金屬波導中電磁波的衰減（3/4）

• 由式（2-60）得到波導壁法向有功功率密度

• 因此，進入長度為dz的波導壁的功率為

• 故

(29)

29

金屬波導中電磁波的衰減（4/4）

• 代入式（5-25），得到非理想波導中電磁波的衰減常數

(30)

非柱形波導

• 以上描述的是柱形波導，在柱形波導中電磁波沿縱向（z）傳播，其等相位面為垂直於傳播方向的平面，但在等相位面上場的振幅並非常數，而是呈駐波分佈，故為非均勻平面波。

• 主要的非柱形波導有沿圓柱座標系統ρ方向傳播的徑向傳輸線和柱面喇叭波導（柱面波）及沿球座標系統r方向傳播的雙錐線和錐面波導（球面波）。

•

(31)

31

金屬波導中的導波模和截止模

• 臨界頻率低於工作頻率的模式是導波模，臨界頻率高於工作頻率的模式是截止模或漸消模。

• 導波模的縱向相位常數為實數，場沿縱向是等幅行進波，其波阻抗為實數即電阻性，截止模的縱向相位常數為虛數，場沿縱向是漸消場或衰減場，其波阻抗為虛數即電抗性。

• 由於截止模的場沿縱向是漸消場或衰減場，因此在一個無窮長的均勻波導中，或在遠離激勵源和任何不均勻性的均勻波導中，任何截止模的場都已被衰減掉了，僅存在導波模。

(32)

5.2 共振腔的一般特性

(33)

33

5.2 共振腔的一般特性

• 5.2.1 共振腔的固有頻率和能量平衡

• 5.2.2 共振腔的損耗，品質因數

(34)

共振腔的固有頻率和能量平衡（1/2）

• 理想共振腔的固有角波數即封閉電磁系統的特徵值。如第4章4.9節中的式（4-263）所示，共振腔的第m個模式的固有角波數為

• 與之對應的第個模式的固有角頻率為

(35)

35

共振腔的固有頻率和能量平衡（2/2）

• E_m及H_m為該邊值問題的特徵函數，它們滿足馬克斯威爾方程，故式（5-27）可化為

• 故有

(36)

共振腔的損耗，品質因數（1/4）

• 當共振腔體內的介質有損耗，或腔壁有損耗時成為非理想共振腔或有損共振腔，定義共振腔的固有品質因數（quality factor）為

• 同樣應用微擾法，由式（2-60）可得共振腔壁法

(37)

37

共振腔的損耗，品質因數（2/4）

• 共振腔體內儲能密度為

• 因此，由於腔壁損耗形成的品質因數為

(38)

共振腔的損耗，品質因數（3/4）

• 腔體內介質歐姆功率密度為

• 因此，由腔體內介質損耗形成的品質因數為

• 共振腔的總固有品質因數為

(39)

39

共振腔的損耗，品質因數（4/4）

• 當共振腔與負載耦合時，外負載消耗的功率構成外界品質因數Qe。此時，共振系統的品質因數稱為有載品質因數Q_L，並有

(40)

5.3 矩形座標系的波導與共振腔

(41)

41

矩形座標系的波導與共振腔

• 5.3.1 矩形波導

• 5.3.2 平行板傳輸線

• 5.3.3 矩形共振腔

(42)

矩形波導

(43)

43

矩形波導--TE模（1/6）

• V(x,y.z)可寫成

• 式中，β=k_z為縱向相移常數。

• 由第4章的4.3節中式（4-94）所表示的V函數在橫向遇到的邊界面上的邊界條件為

(44)

矩形波導--TE模（2/6）

• 將這個邊界條件方程用於矩形波導就是

• 由式（5-35）可求出

(45)

45

矩形波導--TE模（3/6）

• 將以上二式代入上述四個邊界條件方程

(46)

矩形波導--TE模（4/6）

• 由式（4-112），有

• 將（5-36）∼（5-39）所得的結果代入式（5-35）

得到

(47)

47

矩形波導--TE模（5/6）

• 應用式（4-132）∼（4-137）及式（5-42）得到 TEmn模電磁場各分量

(48)

矩形波導--TE模（6/6）

(49)

49

矩形波導--TM模（1/4）

• V=0

• 由第4章的4.3節中式（4-93），U函數在橫向邊界上的邊界條件為

(50)

矩形波導--TM模（2/4）

• 應用於矩形波導就是

• 因此有

(51)

51

矩形波導--TM模（3/4）

• 與式（5-40）相同，因此β的運算式也與式（5- 41）相同

• 將式（5-50）∼（5-53）代入式（5-49），得到

(52)

矩形波導--TM模（4/4）

• 應用式（4-132）∼（4-137）及式（5-56），得到 TMmn模電磁場的各分量

(53)

53

矩形波導--矩形波導的傳播特性

(54)

矩形波導--矩形波導中的主模──TE₁₀模（1/6）

• 矩形波導TE₁₀模的臨界相移常數可由式（5-40）

求出，即

• 由式（5-1）和（5-3）得到

(55)

55

矩形波導--矩形波導中的主模──TE₁₀模（2/6）

• 當波導中為真空或大氣時

(56)

• TE₁₀模的場分量可由式（5-43）∼（5-48）令m=1，

n=0計算如下：

(57)

57

(58)

(59)

59

(60)

矩形波導--矩形波導中的功率及衰減係數（1/4）

• 將TE波V函數（5-42）及TM波U函數（5-56）代入金屬波導中功率的運算式（5-23）和（5-

24），即可求出矩形波導中的功率

(61)

61

• 式中

• 將TE模及TM模磁場運算式（5-46）、（5-47）、

（5-48）、（5-60）和（5-61），以及以上兩個功率運算式分別代入金屬波導中由於管壁損耗引起的衰減係數運算式（5-26），即得到

(62)

(63)

63

(64)

平行板傳輸線

(65)

65

平行板傳輸線--平行板傳輸線中可以存在

TEM模

• 圖5-11所示的平行板傳輸線中TEM模的電磁場為

• 與平面波電磁場運算式（2-9）和（2-11）中沿+z 方向傳播的行進波相同。

(66)

平行板傳輸線--平行板傳輸線中的TE模與

TM模（1/5）

• TE模

(67)

67

TM模（2/5）

• TM模

• 式中

(68)

TM模（3/5）

(69)

69

TM模（4/5）

• 平行板傳輸線的TE模及TM模的臨界角波數為

• 臨界波長為

(70)

TM模（5/5）

• 當平行板間為真空或大氣時，TE及TM模中最低模式即的臨界波長為

• 因此當兩平板間距離小於二分之一波長時，即

(71)

71

矩形共振腔

(72)

矩形共振腔--TE模（1/4）

• 由4.2.1節式（4-95）可知，在縱向短路邊界z=0和 z=l上應當有

(73)

73

矩形共振腔--TE模（2/4）

• 於是有

• 故

• 將式（5-36）∼（5-39）及式（5-89）和（5-90）

代入式（5-88），得到

(74)

矩形共振腔--TE模（3/4）

• 式中

(75)

75

矩形共振腔--TE模（4/4）

• 因此

(76)

矩形共振腔--TM模（1/6）

• 據式（4-96）應當有

(77)

77

矩形共振腔--TM模（2/6）

• 於是有

• 故

• 將式（5-50）∼（5-53）及式（5-101）和（5- 102）代入式（5-100），得到

(78)

矩形共振腔--TM模（3/6）

• 代入式（4-125）∼（4-130），得到

• TM 模的k 、k 、k 與模的相同，即

(79)

79

矩形共振腔--TM模（4/6）

• 因此，其固有角波數及固有角頻率亦與TE模相同。

(80)

矩形共振腔--TM模（5/6）

(81)

81

矩形共振腔--TM模（6/6）

(82)

矩形共振腔--矩形共振腔的主模（1/3）

• 設m=1，n=0，p=1，式（5-98）和（5-99）成為

• 於是共振波長成為

(83)

83

• 將m=1，n=0，p=1代入式（5-92）∼（5-97），得到矩形共振腔TE₁₀₁模的場分量

(84)

(85)

5.4 圓柱座標系的波導與共振腔

(86)

5.4 圓柱座標系的波導與共振腔

• 5.4.1 扇形截面柱共振腔

• 5.4.2 扇形截面波導

• 5.4.3 同軸線及同軸共振腔

• 5.4.4 圓波導及圓柱共振腔

• 5.4.5 柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線

• 5.4.6 徑向傳輸線及徑向線共振腔

(87)

87

扇形截面柱共振腔

(88)

扇形截面柱共振腔-- TM模（1/8）

• V=0，根據式（4-162）∼（4-165）可寫出函數在圓柱座標中滿足赫姆霍玆方程的運算式

• 式中

(89)

89

扇形截面柱共振腔-- TM模（2/8）

• 由式（4-93）和（4-96）寫出扇形截面共振腔各短路面的各邊界條件

(90)

扇形截面柱共振腔-- TM模（3/8）

• 由式（5-120）有

• 代入式（5-121），得

• A≠0，因此有

(91)

91

扇形截面柱共振腔-- TM模（4/8）

• 由式（5-122）有

• 代入式（5-123），得到

• 即

• 因此有

• n為正整數或零。

(92)

扇形截面柱共振腔-- TM模（5/8）

• 由式（5-124）有

• 代入式（5-125）

• 即

• 因此

(93)

93

扇形截面柱共振腔-- TM模（6/8）

• 式（5-127）、（5-129）和（5-131）就是這一共振腔TM模的共振條件。由式（5-119）可求出 TM_nmp模的固有角波數及固有角頻率，即

• 將（5-126）∼（5-131）代入式（5-118），得到U 函數的三個因子R(p)、Φ(Φ)、Z(z)的運算式

(94)

扇形截面柱共振腔-- TM模（7/8）

• 設

• 於是U(p, Φ,z)成為

(95)

95

扇形截面柱共振腔-- TM模（8/8）

• 將的運算式代入場分量運算式（4-177）∼（4- 182）就得到扇形腔TM_nmp模的各個場分量

(96)

扇形截面柱共振腔--TE模，U=0（1/4）

• V函數的邊界條件可根據式（4-94）和（4-95）寫出如下：

(97)

97

• 由這六個邊界條件方程可以得到

(98)

• 於是，扇形共振腔TM_nmp模的固有角波數及固有角頻率為

• 式中，T_TEnmn為v階特徵方程（5-149）的第m個

根。

• 將式（5-148）∼（5-153）代入式（5-141）並設

(99)

99

• 則函數V(r, Φ,z)成為

• 代入式（4-177）∼（4-182）得到扇形腔TM_nmp模的各個場分量

(100)

扇形截面波導（1/3）

• 現只研究朝+z方向傳播的一個行進波，即

• TM模的U函數成為

(101)

101

扇形截面波導（2/3）

• 扇形波導TM_nm模的臨界角波數T就是v階特徵方程

（5-127）的第m個根。

• 它的色散方程即β與w或β與k的關係為

• 扇形截面波導TE模的V函數可寫成

(102)

扇形截面波導（3/3）

(103)

103

同軸線及同軸共振腔

• 扇形截面共振腔及扇形截面波導的張角若擴大到整圓周，a=2π，則式（5-129）、（5-151）成為

(104)

同軸線及同軸共振腔

• 將a=2π代入上式，得

• v=n為整數，於是貝塞爾函數成為整數階的。

(105)

105

同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TM模與

TE模（1/12）

• 選擇Φ=0的位置使場為偶函數cosnΦ，則同軸線中TM模的U函數成為

• 代入式（4-183）∼（4-188）可得同軸線TM模場分量

(106)

TE模（2/12）

• 同軸線TM模的特徵方程為

• 同理，令v為整數v=n，即得到同軸線TE模的V函數

(107)

107

TE模（3/12）

• 代入式（4-183）∼（4-188）得到各場分量

(108)

TE模（4/12）

• 同軸線TE模的特徵方程是

• β的運算式仍為式（5-163）。

(109)

109

TE模（5/12）

• 同軸線的特徵方程（5-172）和（5-179）是兩個超越方程，可用圖解法或數值法求解。設

• 則兩個方程成為

(110)

TE模（6/12）

(111)

111

TE模（7/12）

(112)

TE模（8/12）

• 由此可得同軸線中TM_nm模和TE_nm模的臨界波長

(113)

113

TE模（9/12）

(114)

TE模（10/12）

• 按式（5-84）可以求出這種條件下同軸線TM₀₁模的臨界角波數近似式

• 故其臨界波長為

(115)

115

TE模（11/12）

(116)

TE模（12/12）

• 由此可按矩形波導TE₁₀模臨界波長的運算式寫出同軸線TE₁₁模的臨界波長近似式，即

• 由於，故TE₁₁模為同軸線中的最低非TEM 模。為保證單一TEM模必須滿足

(117)

117

同軸線及同軸共振腔--同軸線中的TEM模

（1/3）

• 由於T=0，電磁場橫向向量的方程（4-83）和（4- 84）化為二維向量拉普拉斯方程

• 同時，U和V的方程（4-32）的（4-33）成為二維純量拉普拉斯方程

(118)

（2/3）

• 其角向均勻解，即n=0的解為

• 代入式（4-183）∼（4-188），考慮到β=k，

T=0，得到

(119)

119

（3/3）

• 應用式（3-91），同軸線TEM模的特性阻抗是

(120)

同軸線及同軸共振腔--同軸共振腔（1/4）

• （1）λ/2同軸共振腔。如圖5-23（a）

• 兩端為短路面的同軸共振腔的長度為二分之一波長或其整倍數，即

• 式中，λ_D為介質中的波長，，故共振波長為

(121)

121

• （2）λ/2同軸腔

• 一端為短路面另一端為開路面的同軸共振腔和長度為四分之一波長或其奇數倍。故其共振波長為

(122)

(123)

123

• （3）具有縮短電容的同軸腔

• 將λ/4同軸腔的開路端接一電容，如圖5-23（c）

所示，則腔的長度將小於四分之一波長或其奇數倍。又稱電容加載同軸腔，詳見本章5.6小節。

(124)

圓波導及圓柱共振腔

(125)

125

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（1/12）

• 圓波導的結構包括軸線，即p=0，而N_n(0)→∞，

故赫姆霍玆方程圓柱座標解（4-168）中N_n(Tp)的係數必為零，解中只有J_n(Tp)項。

• 因此在同軸線U函數運算式（5-166）中只取J_n(Tp) 一項，即得到圓波導TM模的U函數

(126)

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（2/12）

• 應用p=a處的短路邊界條件式（4-93），得到

• 因此

(127)

127

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（3/12）

(128)

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（4/12）

• 應用式（5-198）及式（4-176）∼（4-181）即得到圓波導中TM模場分量

(129)

129

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（5/12）

• 應用p=a處的短路邊界條件式（4-94），得到

• 因此

(130)

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（6/12）

(131)

131

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（7/12）

• 方程（5-199）和（5-207）依次是圓波導TM模和 TE模的特徵方程。

• 將式（5-206）代入式（4-183）∼（4-188），得到圓波導中TE模的場分量

(132)

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（8/12）

(133)

133

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（9/12）

• 圓波導TM_nm和TE_nm模的臨界頻率和臨界波長依次為

(134)

圓波導及圓柱共振腔--圓波導（10/12）

(135)

135

• 圓波導TE和TM模的衰減係數為

• 式中，。

(136)

(137)

137

圓波導及圓柱共振腔--圓柱共振腔（1/5）

• 令v為整數，v=n，設沿Φ方向為偶函數及N_n(Tp) 的係數為零，則依次得到圓柱共振腔中TM模的U 函數

• 及TE模的V函數

• 應用式（4-177）∼（4-182）即可得到圓柱共振腔中TM模及TE模場分量運算式。

(138)

• 圓柱共振腔TM模的特徵方程為式（5-199）、

（5-131）及（5-132），

(139)

139

• 圓柱共振腔TE模的特徵方程為式（5-207）、（5- 153）及（5-154）。

(140)

(141)

141

(142)

柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--喇叭波導中的 柱面波（1/3）

(143)

143

• TM模的函數和TE模的函數可由式（5-118）和

（5-141）分別求出：

• 式中

(144)

• 設

• 則式（5-220）和（5-221）成為

(145)

145

柱面喇叭波導和漸開平行板傳輸線--漸開平板傳 輸線中的柱面波（1/5）

• 若以上結構中z方向也無邊界，則成為兩塊漸開平板，如圖5-30（b）所示。其間夾角為a。這時可研究沿z均勻的場，即

• 於是

(146)

• 將以上二式用於式（4-177）∼（4-182），可以得到在漸開平板傳輸線中下列兩類場。第一類為 V=0的場，即

(147)

147

• 第二類是U=0場，由式（5-227）及（4-177）∼

（4-182）有

(148)

• 當v=0時，模的場分量（5-228）∼（5-230）均為零，但模場分量（5-231）∼（5-233）化為

(149)

149

(150)

徑向傳輸線及徑向線共振腔

(151)

151

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的TM 模及TE模（1/4）

• 令v為整數，v=n，研究場沿Φ為偶函數的解，得到徑向線中TM模的U函數和TE模的V函數依次為

(152)

• 由z=0及z=l的短路邊界條件有

• 與喇叭波導一樣，在徑向線中β成為臨界相位常數，而T成為傳播方向（徑向）的相位常數。因此徑向線TM模或TE模的臨界波長都是

(153)

153

• 研究圓周對稱的即角向均勻的TM模式，n=0，式

（5-236）成為

• 代入式（4-177）∼（4-182），得到下列場分量運算式：

(154)

• 以上式（5-242）∼（5-245）是寫成徑向駐波的形式，若寫成徑向（±p方向）行進波的形式，則成為

(155)

155

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向傳輸線中的 TEM模（1/3）

• 令n=0，p=0即β=0，則成為沿±p方向傳播的柱面 TEM模。T=k，式（5-242）∼（5-249）成為

(156)

(157)

157

• 由式（5-241）可知，當徑向線兩板間距離為l，其間為真空或大氣時，保證單一TEM模的條件為

(158)

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向線共振腔

（1/2）

• 在式（5-251）和（5-252）中，若所研究的區域包括軸線（p=0），則N₀(kp)、N₁(kp)的係數為零，電磁場運算式為

(159)

159

徑向傳輸線及徑向線共振腔--徑向線共振腔

（2/2）

• 在p=a處滿足短路邊界條件，則

• 為零階貝塞爾函數的第m個根。

(160)

5.5 球座標系的共振腔與傳輸線

(161)

161

5.5 球座標系的共振腔與傳輸線

• 5.5.1 球形共振腔

• 5.5.2 雙錐傳輸線與雙錐共振腔

(162)

球形共振腔（1/11）

• 設有由理想導體壁構成的球形共振腔，內半徑為 a。在腔壁必須滿足電場切向分量為零的邊界條件

(163)

163

球形共振腔（2/11）

• 對於TE模，U=0，V如式（5-258）所示。由場在球座標的運算式（4-232）和（4-233）可知，為滿足以上電場切向分量為零的邊界條件，必須有

• 由式（5-258）可知，這就要求

(164)

球形共振腔（3/11）

(165)

165

球形共振腔（4/11）

• 半徑為a的球形腔TE_nmp模的固有角頻率和固有波長依次為

• 對於TM模，V=0，U如式（5-257）所示。由式

（4-232）和（4-233）可知，為滿足電場切向分量為零的邊界條件，必須有

(166)

球形共振腔（5/11）

• 由式（5-257）可知，這就要求

• 球形腔TE_nmp模的固有角頻率和固有波長依次為

(167)

167

球形共振腔（6/11）

(168)

球形共振腔（7/11）

• 球形共振腔的兩種最基本的模式是TM₁₀₁（H₁₀₁）及TM₁₀₁模（ E₁₀₁ ）。

• 最低的TM模式是TM₁₀₁模，n=1，m=0，p=1，其函數為

• 由於

(169)

169

球形共振腔（8/11）

• 令，則式（5-265）成為

• 代入式（4-232）∼（4-237）得到

(170)

球形共振腔（9/11）

• 最低的TE模式是TM₁₀₁模，n=1，m=0，p=1，V函數為

• 令，則上式成為

(171)

171

球形共振腔（10/11）

• 代入式（4-232）∼（4-237），得到

(172)

球形共振腔（11/11）

(173)

173

雙錐傳輸線與雙錐共振腔

(174)

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的

TM模（1/2）

• 根據赫姆霍玆方程的球座標解（4-229），雙錐傳輸線沿Φ方向為偶函數的TM模的U函數可寫成

• 應用θ= θ₁處的短路邊界條件U _θ _{- θ1} =0，可得

(175)

175

TM模（2/2）

• 於是有

• 式中

• 再應用θ= θ₂的短路邊界條件U _θ _{– θ2} =0 ，可得

(176)

TE模（1/2）

• 雙錐傳輸線沿Φ方向為偶函數的TE模的V函數可寫成

• 應用θ= θ₁和θ= θ₂處的短路邊界條件和，可得

(177)

177

TE模（2/2）

• 這一齊次線性方程組有非零解的條件是其係數行列式等於零，即

(178)

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐傳輸線中的 球面TEM模（1/3）

• 考慮到

• 並應用半整數階漢開爾函數的運算式（4-226）和

（4-227）

(179)

179

• U函數的運算式成為

• 式中

• 將式（5-281）代入（4-232）∼（4-237），並考慮到

(180)

• 得到場運算式

• 式中

• 應用式（3-91），雙錐傳輸線模的特性阻抗

(181)

181

雙錐傳輸線與雙錐共振腔--雙錐共振腔

• 從錐的頂端往外看的輸入阻抗為

• 雙錐共振腔主模的共振條件是

(182)

5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題

(183)

183

5.6 重入共振腔，複雜邊界條件問題（1/9）

(184)

重入共振腔，複雜邊界條件問題（2/9）

• V=0，U=0。U函數的普遍運算式為

• 研究圖5-37（a）所示結構，它對於呈對稱結構，

因此可以只考慮沿的偶對稱場，於是上式成為

(185)

185

• 1區：所涉及的區域包括軸線即ρ=0，因此式（5- 286）中N₀函數的係數為零，a₂=0。設1區的U函數記做U₁，它在端面z±d的邊界條件為式（4-96），

即

• 由式（5-286），有

• 式中，m為零或正整數，m=0，1，2…。

(186)

• 於是U₁可寫成下列級數式：

• 式中

(187)

187

• 由式（4-177）∼（4-182）可求出1區場分量運算式

(188)

• 2區：所涉及的區域不包括軸線，式（5-286）中J₀ 及N₀函數的係數都不為零。設2區的U函數記做

U₂，它在端面z=±l上滿足式（4-96）的邊界條件

• 即

(189)

189

• 於是U₂函數可寫成下列級數式：

• 式中

• 在2區，場還必須滿足ρ=a的柱面上的短路邊界條件，即滿足式（4-93）

(190)

• 將這一條件用於式（5-294），得到

• 因此

(191)

191

• 於是U₂函數的運算式（5-294）成為

• 由式（4-177）∼（4-182）求出第2區場分量運算式

(192)

重入共振腔，複雜邊界條件問題

• 5.6.1 重入共振腔的嚴格解

• 5.6.2 重入共振腔的近似解

(193)

193

重入共振腔的嚴格解（1/9）

• 場匹配的條件是切向分量E_z及H_Φ連續，即

• 在1區，ρ=b處，由式（5-290）有

• 式中

(194)

重入共振腔的嚴格解（2/9）

• 在2區， ρ=b處，由式（5-298）有

• 式中

(195)

195

重入共振腔的嚴格解（3/9）

• 式中

• 應用圓柱面ρ=b上的場匹配條件，可得

(196)

重入共振腔的嚴格解（4/9）

• 將式（5-310）和（5-311）的右方作為已知函數，可求出其左方的傅立葉級數的係數Bn

(197)

197

重入共振腔的嚴格解（5/9）

• β₀和β_n可合併寫成

(198)

重入共振腔的嚴格解（6/9）

• 再將式（5-312）的左方作為已知函數，求出其右方的傅立葉級數的係數，A_mY_m1即

(199)

199

重入共振腔的嚴格解（7/9）

• A₀Y₀₁和A_mY_m1可合併為

• 式中，P_mn已如式（5-315）所示。

• 以下將B_n的運算式（5-314）代入上式，為區別，

將式（5-314）中的m換成p，即

(200)

重入共振腔的嚴格解（8/9）

• 將式（5-317）代入（5-316），得到

• 令

• 則式（5-318）成為