｛ 第十章机械波 第十章机械波

声波

天 线 发 射 出 电 磁 波

第十章 机械波

§10.1机械播的形成与传播

1.机械波产生的形成

产生条件： 波源: 产生机械振动的振源(波源);

｛

机械波: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出 去，就形成机械波。

弹性介质: 传播机械振动的弹性介质。

弹性介质——由弹性力组合的连续介质.

正弹性力(压、张):液体、气体、固体 弹性力

切弹性力：固体

①介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质量，

各质元间存在着相互作用（弹性）；

②质元间的相互作用使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速 度传播。

特征：具有交替出现的波峰和波谷。

 质点完成一次振动，波刚好传播了一个波形。

2.横波和纵波

 横波: 介质中质点振动方向与波的传播方向垂直，如电磁波。

波的传播方向

质点振动方向 软弹簧

纵波：介质中质点振动方向与波的传播方向相平行的波，如声波。

特征：具有交替出现的密部和疏部。

① 波的传播不是媒质质元的传播, 而是振动状态的传播, 某时 刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现；

波的传播特征可归纳为：

横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。

②“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；

③各质点做与波源同方向、同频率的振动；

④各质点振动的相位不同，沿波的传 播方向, 各质元的相位依次落后；

⑤ 同相 位 点质元 的 振动 状态 相 同 , 相邻同相位点, 相位差2；

纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体和气体 中传播。

①波面: 振动相位相同的各点连成的面。

②波前: 波源最初振动状态传播到各点所连成的面。

③波线: 从波源出发，沿波的传播方向画一些带箭头的线;

各向同性介质中波线与波面垂直。

即最前面的波面

3.机械波的几何描述

根据波面的形状可以把波分为：平面波、球面波、柱面波等。

x

y z

平面波

x y

z

柱面波

x y

z

球面波

4.描述波的几个物理量

波传播方向 波速

①波长 :沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动 质点之间的距离，即一个完整波形的长度，波长反映了波的空间 周期性。

 2 π

②周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间，周期表征了 波的时间周期性。

T

横波: 相邻的波峰或波谷间距离；

纵波: 相邻的密集或稀疏部分中心间距离。

T

 1



③频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波形 的数目:



④波速 ：波动过程中，振动状态（即振动相位）单位时间内所 传播的距离，又称为相速。 波速与波长、周期和频率的关系为:

u

周期或频率只决定于波源的振动! 与媒质的性质无关；

一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。

u Tu

 ^{ } 说明：

波速只决定于媒质的性质！ 波速实质上是相位传播的速 度， 故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质， 与 波的频率无关。

, u  T 

①弹性绳上的横波:

 u  T

T－绳中的张力, ^{－绳的线密度}

几种介质中的波速：

Y－杨氏弹性模量,  ^－体密度

l₀ l₀ +  l

拉伸

②固体棒中的纵波:

 u  Y

l0

Y l S

F 

其中： 

F F

③固体中的横波:



u  G 

切变

F_

G －切变模量， ^－体密度

F G

S

  

其中：

§10.2 平面简谐波

简谐波：若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简 谐振动, 这种波称之为简谐波。

1.平面简谐波的波函数

设有一平面简谐波， 在无吸收、均匀、无限大的介质中传播。

平面简谐波：若波面为平面，则该波称为平面简谐波。

①沿x轴正方向传播(右行波)：

设原点O处振动位移的表达式为：

）

（

0

 A cos  t  

y

—角频率（圆频率）。

其中 y 是质点在y方向上的位移，A—振幅,

x

y

p

u

O

x

O点振动传到 p点需用时：Δ x t  u 相位落后： x



所以p点的运动方程 为

x

y

p

u

O

x

从时间看，x点 t 时刻的位移是O点 时刻的位移。

( , ) cos x 0

y x t A t

 u 

   

      

/ t  x u

简谐波运 动学方程

②沿x轴负方向传播(左行波)：

x

y

p

u

O

x

( , ) cos ( x 0

y x t A t

 u 

 

   ）  P点处振动位移的表达式为

综上可知，平面谐波一般表达式

负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波。

( , ) cos ( x

y x t A t

 u 

 

   ）   

①当 x 一定时，令 x = x₀

表达式变成 y - t 关系，是 x₀ 点的振动方程，

T

t y

A

-A O

0

0 0

( , ) cos ( x )

y x t A t

 u 

 

     2.简谐波运动学方程的物理意义

简谐波函数是一个二元函数。振动位移y既是时间t又是位置x的函数

对应曲线为该处质点振动曲线。

② 当t一定时，令t = t₀

这时, y 仅为 x 的周期函数，表达了 t = t₀ 时刻空间各点的位移分布，对应曲线 为该时刻的波形图。不同时刻对应有不 同的波形曲线。

0 0 0

( , ) cos ( x)

y x t A t

 u 

 

    

y

 ^x

O

t 确定时

x 确定时

③ x、t 均变，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况。

( , ) cos x

y x t A t

 u 

   

          

x

y

x₁ x y₁

t 时刻 t +t 时刻

t u

x Δ

Δ  x₂

波函数的物理意义：描述了波形的传播。

考察t和t+∆t 时刻,以及x和x+u∆t 两质点的运动

( , ) cos x u t 0

y x u t t t A t t

 u 

     

            cos x 0

A t

 u 

   

        y x t( , )

3.简谐波函数的几种表达形式

cos[ ( x

]

y A t

 u 

  ） 

时间t 圆频率 周期T

空间x 波数k 波长λ

u _ T  _  k

通过波速联系起来

定义 波数:

2π k u



  

cos[2 ( t x )

] y A

 T 

   





cos

y  A  t kx   

4.波动中质点振动的速度和加速度

u: 波形传播速度, 对确定的介质是常数；

v: 质点振动速度, 是时间的函数。

注意：

sin ( )

y x

v A t

t u

   

    ［   ］

2

2

2

y cos ( x )

a A t

t   u 

     

 ［ ］

5.平面波的波动方程

把平面简谐波的波函数分别对t和x求二阶偏导数，得

2

2

2y cos ( x) 0

A t

t   u 

    

 ［ ］

比较上列两式，可得

普遍意义：在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质是无吸收 的各向同性均匀介质，都适合下式：

2 2 2 2

2 1

t y u

x y



 





2 2

2 2 cos ( ) 0

y x

A t

x u u

  

    

 ［ ］

2 2 2 2

2 2

2 2

2 1

t u

z y

x 

 



 



 



    

任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它是以 u 为传播速度的波动过程。

例题1: 已知t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x方向传播，经t=1/2s后波 形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，试根据图中绘出的条件求出波 动表达式，并求求A点的振动表达式。(已知A=0.01m)

解：由图可知:

0.04m

 

1 0 0.01 1

0.02m s 1 2

x x

u t

 

   

波速：

0.04 2π 1

2s, π s

T 0.02

u T

 

     

设原点振动表达式：

cos( )

y

 A  t  

0 cos

0 

 ^时， 

t 2

   

,

0

 0 v

此时， 2

   )( cm )

2 π π

cos(

01 .

0 

 t

y

0.01cos[π ( ) π ] (cm) 0.02 2

y  t  x 

波动表达式：

A点振动表达式：

0.01 π 0.01cos[π ( ) ]

0.02 2

y

 t  

0.01cos π (m) t



例题2: 一平面简谐波以速度u=20m.s

沿直线传播, 已 知在传播路径上某点 A 的简谐运动方程为

y=310

cos(4t)m. 求: 1) 以点A为坐标原点, 写出 波动方程; 2) 以距点A为5m处的点 B 为坐标原点, 写 出波动方程; 3)写出传播方向上点 C、 点 D 的简谐运动 方程; 4) 分别求出BC和CD两点间的相位差。

u 5m 9m

8m

x D

A C B

4

2  2  2 s

  

  

20 10 2

u m

 ^{ }  ^

频率 波长

解:

)]

( 4 cos[

10

3

0

u

t x

y

 

 

20 )]

( 4 cos[

10

3

x

 t 





3 10 cos(4

) t  5 x



 



2) 由于波由左向右行进, 故点B的相位比A点超前, 其简谐运动方 程为

3 10 cos(4

) y

 

 t  

1) 以A为原点的波动方程为:

2

0

3 10 cos[4 ( ) ]

B

20

y  

 t  x  

3 10 cos(4

) t  5 x

 

 

 

(注:利用  cos[(  ) ₀] ) u

t x A

y

故以点B为原点的波动运动方程为

3) 由于点C的相位比A点超前，故

3 10 cos(4

)

C

5

y  

 t   x

2

13

3 10 cos(4 ) t 5

 

 



3 10 cos(4

)

D

5

y  

 t   x

2

9

3 10 cos(4 ) t 5

 

 



 



  22 4 . 4 10

2

2    





x

而点D的相位落后于A点, 故

4) BC和CD间的距离分别为x_BC=8m, x_CD=22m

 



  8 1 . 6 10

2

2    





x

①波传播的独立性：无论是否相遇, 各列波仍保持原有的特性 (频率, 波长和振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进, 就象没有遇到其他的波一样。

②矢量性：在其相遇区域内, 任一点的振动为各个波单独存在 时在该点引起的振动的矢量和。

几列波在同一介质中传播:

§10.3 波的叠加和干涉

1. 波的叠加原理

波的叠加原理的基础是波的方程为线性微分方程。

若 y x t1

   

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

y y , y y

x u t x u t

   

 

   

注：波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。

即波动方程遵从叠加原理。

则 显然也满足波动方程

   

2 2

1 2 1 2

2 2 2

y y 1 y y

x u t

   

  

1 2

y  y

2. 波的干涉

两束叠加的波在交迭区域 某些点处振幅始终最大，

另一些位置振幅始终最小

，而其它位置，振动的强 弱介乎二者之间，保持不 变。称这种稳定的叠加图 样为干涉现象。

相干条件——得到干涉所要求的条件

②振动方向相同;

③具有恒定的相位差。

①两波源具有相同的频率;

满足相干条件的波 叫相干波, 波源叫相干波源,

叠加叫相干叠加。

S₁

S₂

1 P r

r2

设有两个频率相同的波源S₁和S_2，其振动表达式为

强度计算

10 10 1

20 20 2

cos( ) cos( )

y A t

y A t

 

 

 

   



传播到 P 点引起的振动为：

1 1 1 1

2 2 2 2

cos( )

cos( )

y A t kr

y A t kr

 

 

  

    



所以在P点的合振动为

)

2

cos(

1

    

 y y A t

y

S₁

S₂

1 P r

r2

其中：

2 2 2

1 2 2 1 2 cos ,

A  A  A  A A  Δ   ( ₁  ₂) k r( ₂ r₁)

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

sin( ) sin( )

tan cos( ) cos( )

A kr A kr

A kr A kr

 

  

  

   

由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：



Δ cos 2

2

1

I I I

I

I   

对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定 的分布(干涉特点)。

①干涉相长(强度最强点)

干涉相长和相消

1 2 2 1

Δ     (  )  k r (   r ) 2 π, n n     0, 1, 2, 3,

2 2 2

1 2

2

cos ,

A  A  A  A A  

②干涉相消（强度最弱点）

1 2 2 1

Δ     (  )  k r (  r )  (2 n  1)π ， n     0, 1, 2, 3,

1 2

2

cos

I    I I I I  

max 1 2 max 1 2

2

A A A A I I I I I I

    ，    

1 2 max

4

A  A  A I  I

如果 ，

min

|

|

2

A A A A I I I I I I

    ，    

1 2

,

0

A  A I  如果

③其他情况合振幅在最大值与最小值之间。

例题4：A, B两点为同一介质中振幅相同的两相干波源, 其频率 皆为100Hz, 当点A为波峰时点B为波谷。 设波速为10m.s^-1, 试 写出A, B发出的两列波传到点P时干涉的结果。

15m

20m P

A B

解

:

m 25

) m 15 ( )

m 20 (

AP AB

BP

2 2

2 2











又已知v=100Hz, u=10m.s^-1 得

m 10 . 100 10  0



 v

 u

设A的相位较B超前, 则_A-_B=。根据相位差和波程差的关系有

25 15

2 2 201

B A

0.10

BP AP

      



 

        

这样的值符合合振幅的最小的条件, 如若介质不吸收波的能量, 则两波振幅相同, 因而合振幅

故在点P处, 因两波干涉减弱而不发生振动。

1 2 0

A  A  A 

 0 t

u

u

4 t  T

2 t  T

4 t  3T

y

x

u u

u u u

u

y _2A

x y

x y 2A

x

驻波 ——两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时 叠加而形成的特殊的干涉现象。

§10.4 驻波

1.驻波的形成

2.驻波方程

设弹性弦上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们 的运动方程为

)

cos(

1

 A  t  kx   y

)

cos( ₂

2  A





右行波 左行波 合成后，弦上的运动成为

1 2

y  y y 

在合成波的表式中，时间和空间分别出现在两个因子之中，因此，

合成波实际上是一种振动，不再是振动的传播，故称为驻波。

驻波的振幅, 与位置有关

各质点都在作同 频率的简谐运动

2 1 2 1

2 cos( ) cos( )

2 2

A kx   ^  t   ^

驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体

2 ) cos(

2 ) cos(

2 ^{2 1 2 1}

2 1



 



   







 y y A kx t y

2 1

2 cos( )

A A kx  2

 

驻

振幅达到最大值2A ，这种位置称为波腹。两相邻波腹间的距离

1 ( 1)

2 2 2

n n

x x n  n  

     

3.驻波的特征 (1)波节和波腹

当 ^{2 1 ,}

kx  2^  n ^{2 1} = ^{2 1} 0, 1, 2,

2 2 2 2

n n

x n

k k

   

  



 

    ，   

 

2 1 2 1

2 2

kx   n 

   ，

当 ^{(2 1) 2 1} 0, 1, 2,

4 2 2

x n     n





    ，   

振幅为零，波节处的质元静止不动，这种位置称为波节。两相邻 波节间的距离

1 [2( 1) 1] (2 1)

4 4 2

n n

x x n  n  

        

驻波实质上是一种特殊的振动！

相邻波腹和波节之间的距离：

(2 1)

4 2 2 4

n n

x_{ } x n  n   

    

（2）相位

2 1

cos( ) 0

kx  2

  相位为： ^{2 1}

t  2

  ^

相位为: ^{2 1}

t  2 

  ^ 

2 1

cos( ) 0

kx  2

 

2 1 2 1

2 cos( )cos( )

2 2

y A kx   t  

  

  

x 0  4

 2

3 4

 4



波节 波腹

2 1 2 1

1

π 3π

π , π

2 2 2 2

n n

kx   n kx   n



 

       

所以波节之间相位相同, 波节两边相位相反。

4、波的反射、透射和半波损失

0

透射波 y₂

反射波

入射波 y₁

z₂

z_{1 x}

1 1

cos(

)

y  A  t k x 

入射波：

反射波：

透射波：

1 2

1 2

z z R z z

  反射系数 y1

均匀介质中传播的波在遇到两种介质的分界面处，反射波与入射 波在界面处的相位差，取决于波的种类和两种介质的性质及入射 角的大小。在入射波波线近似于垂直界面时，适当选择时间零点：

z   u

特性阻抗只与介质自 身的性质有关。

1 2

1 1 1

1 2

cos( ) z z

y A t k x

z ^ z 

   

1

2 1 2

1 2

2z cos( )

y A t k x

z z 

 



1 2

1 2

1

1 2

2 z z R z z

T z

z z

 

 

反射系数 透射系数

固定端：

z  

入射波：

反射波：

透射波：

在界面处，反射波相对于入射波发生了 的相位突变,相当于出现 了半个波长的波程差，称半波损失。在介质1中，入射波和反射波 频率相同，振幅相同，传播方向相反，形成驻波。

1 1

y  y y

在界面x=0处，驻波的振幅为零，因此此时界面处为波节。

1 1

cos(

)

y  A  t k x 

1 1

1

cos(

) cos(

) y    A  t k x   A  t k x   

2

0

y

1cos( 1 ) 1 cos( 1 ) A t k x A  t k x 

    

1 1

2A cos(k x  / 2) cos(t  / 2)

  

1 1

2A sin(k x)sin(t)



注意：只要波从波疏媒质到波密媒质（z₁<z₂ , R<0 ），就会有半波损失!

柔软端（自由端）： z 2 0 入射波：

反射波：

透射波：

1 1

cos(

)

y  A  t k x 

在界面处，反射波与入射波的振动相位相同, 无半波损失，称为全 波反射。

1 1

y  y y

在界面x=0处，驻波的振幅2A₁，因此此时界面处为波腹。

既非固定端又非柔软端：z2  , z2  0

此时入射波和反射波频率相同，传播方向相反，但是振幅不相同，

介质1中看到的是驻波+行波。

1 1

cos(

) y   A  t k x 

2

2 cos(

) y A  t k x 

1cos( 1 ) 1 cos( 1 ) A t k x A  t k x

   

1 1

2A cos(k x) cos(t)



一般地，波从波密媒质到波疏 媒质（z₁>z₂ , R>0 ），均无半 波损失，发生全波反射。

在介质1中，入射波和反射波频率相同，振幅相同，传播 方向相反，形成驻波。

基频

2



n =1

二次 谐频 n =2

2

2



三次 谐频 n =3

3

2



两端固定的弦

, 1, 2,3 2

n 

L n

  …

波在一定边界内传播时就可能形成各种驻波，形成驻波必须满 足一定条件：

2

n

nL



 

2

n

n

u u

n L

 

  

即弦线上形成的驻波波长、

频率均不连续。这些频率称为 弦振动的本征频率。对应的振 动方式称为简正模式。

最低的频率称为基频，其它 整倍数频率为谐频。

5.简正模式

→两端均为波节

此时开端形成波腹，闭端形成波节。

2 1

n 4

n u

 L^

 

1 4L

  ₁ ¹

4 u

  L

2

4 3

  L

2

3 4 u

  L

3

4 5

  L ₃ 5

4 u

  L

1 1

( ) , 1, 2,3,

2 4 ⁿ

n^    L n 

一端封闭，另一端敞开

4 2 1

n

L

 n

 



综上可知：

例题5： 如图,沿 x 轴传播的平面简谐波方程为 200)]

π( 200 cos[

10 ³ x

t

y  ^ 

隔开两种介质的反射界面，A与坐标原点O相距2.25 m。设反 射端两侧波阻相差悬殊且可视为固定端，求反射波方程和左边 介质中的驻波方程。

(SI)

A

O x

y 1 2



解: 因两侧波阻相差悬殊,可认为反射波入射波振幅相同。不妨设 反射波的方程为

由题意可知入射波在 A 点引起的振动为

10 cos[200π(

/ 200) ]

y  

t  x  

所以反射波在A点引起的振动为：

10 cos[200π(3 / 200) ] y A ^ t   



10 cos[200π(3 )]

A x 200

y y _ ^ t 

  

由于界面是固定端，发生半波损失，所以反射波在A点的相位比入 射波在该点的相位落后π，故可得

2π 2 2.25 = 5.5

            所以反射波的方程为

10 cos[200π(3 / 200) 5.5π]

y  ^ t  x 

3 π

10 cos[200π( / 200) ] t x 2

   

入射波和反射波在左边介质中叠加形成驻波：

3 3 π

10 cos[200π( )] 10 cos[200π( / 200) ]

200 2

y  y ^ t  x  ^ t  x 

3 π π

2 10 cos[π ]cos[200π ]

4 4

x t

    

在界面处x=Δ=2.25，容易得到

x 0 y  y _  即界面处为波节。

多普勒效应：当波源或观察者（或二者）相对传播介质运动时, 会 导致观察者接受到的波频率不同于波源的频率，这种现象称为多普 勒（C.J. Doppier，1803-1853）效应

若波源或者观察者相对介质运动时，观 察者观测到的波速u ^{与观测到的波长}

之比称为观测频率_R：

R

 u



 



§10.5 多普勒效应

设波源的频率为_s ^，波长为， 在介质中的传播速度为u。若波源 和观察者相对于介质静止时，测得的频率则为

1

s

v u

 T

 

观察者

S R

波源

u

uS u^R





为简单起见，假定波源和观测者的运动都发生在它们之间的联线 上。各速度及其符号约定如下：

u_S ——波源相对于介质的速度，趋近观察者为正；

u_R ——观察者相对介质的速度，趋近波源为正；

u ——介质中的波速，_S ——波源发射频率，

u_S > 0 u_R > 0

S R

（相对介质） （相对介质）





u

（波速）

_R ——测量频率。

u_S = 0 u u_R



u_R > 0(R接近S)，



 

u_R < 0(R远离S)， _S

R



 

①波源静止而观察者运动 : u_S = 0，u_R ≠ 0

R

R S

u u

  ^ u 

S

· · ·

S _u u_R R

Rt u ut

波相对观察者的传播速度:

u    u u

波长未变，观察者测得的频率为

R R

R S

u u u u

u v

 u

 

  

  

②观察者静止而波源运动：u_R = 0，u_S≠ 0

S S

u

  u u 



R

u_S >0 (S 接近R), u_S <0 (S 远离R),

u

 u

适用条件：

^

2

1

o

 ^

uS

2s

1 s

s

 ^



uT

S

u Ts

波相对观察者的有效波长为

u T

    

波速未变，所以观察者感受到的频率

R S

s s

u u u

u T v u u

 ^  ^{ }   ^ 

S

R



 

S

R



 

波源 波速

u

us

u

波相对观察者的有效波长：

     u T

观察者测到的频率： _R ^R _S ^R

S S

u u u u

u v

u T u u

  

  

  

  

波相对观察者的传播速度：

u    u u

③观察者和波源在同一直线上运动:u_R≠0, u_S≠0

R S

R S

u u

  u u ^ 



波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高；

反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低。

结论

45

分别用_S^和_R表示波源速度和观察者速度与波源与观察者连线 的夹角，有

cos cos

R R

R S

S S

u u u u

  



 



④观察者和波源不在同一直线上运动:

· ·R

S ^

^

u

u

⑤冲击波和马赫锥:若波源运动速度超过波速u_s>u 这时波源将位于波前的前方,各波

前的切面形成一个圆锥面，这种 波叫冲击波, 也叫马赫波, 此锥 面称为马赫锥，其顶角满足

sin 1

S S

ut u

t M

   

u u

M 为马赫数

快艇在水中形成的马赫锥 超音速飞机形成的马赫锥

多普勒效应在科学技术上有着广泛的应用

(1)谱线红移测定星球相对于地球的运动速度；

(2)利用基于反射波多普勒效应原理的雷达系统，测定流体的动、

振动体的振动、车辆导弹等运动目标速度；

(3)医学上的“D超”，利用超声波的多普勒效应检查人体内脏、

血管的运动和血液（红细胞）的流速和流量。

例题6: 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度。 一固定波源发出 频率为100kHz的超声波，当汽车迎着波源驶来时，与波源安装 在 一 起 的 接 受 器 接 收 到 从 汽 车 反 射 回 来 的 超 声 波 的 频 率 为 110kHz。已知空气中声速为330m.s^-1，求汽车行驶的速率。

第二步: 波从汽车表面反射回来，此时汽车作为波源向着接受器 运动，汽车发出的波的频率即是它接收到的频率^_{,而接受器此时} 是观察者，它接收到的频率为

解: 分两步分析

第一步: 波向着汽车传播并被汽车接收，此时波源是静止的。汽 车作为观察者迎着波源运动。设汽车的行驶速度为u_c，则接收到 的频率为

u uc

  ^u 

c c

c c c

u u u u

u u

u u u u u u u

^   ^  ^   ^ 

  

由此解得汽车行驶的速度为 uc   u

 

  

 

110 100 1

330 56.8km.h 110 100

 

  



例题7: A，B为两个汽笛, 其频率均为500Hz。A是静止的，B以 60m.s^-1的 速 率 向 右 运 动 。 在 两 个 汽 笛 之 间 有 一 观 察 者 O ，以 30m.s^-1的速率也向右运动。已知空气中的声速为330m.s^-1，求:

1）观察者听到来自A的频率；2）观察者听到来自B的频率；3）

观察者听到的拍频。

已知: u=330m.s^-1, u_sA=0, u_sB=60m.s^-1, u₀=30m.s^-1,=500Hz 解: 利用多普勒效应关系式，有

R S

u u

   u u ^ 



u₀ u_sB

O B

A

1）由于观察者远离波源A运动，u₀应取负号，观察者听到 来自A的频率为

0

330 30

500 454.5Hz 330

v u u

u 

 

    

0

330 30

500 461.5Hz 330 60

sB

u u

v   u ^ u   ^  

 

Hz

 7

 

 v  v

 v

2）观察者向着波源B运动, u₀取正号，而波源远离观察者运 动，u_sB也取正号。故观察者听到自B的频率为

3） 拍频