第五章 电磁波的辐射
Electromagnetic Wave
本章所研究的问题是电磁波的辐射。方
法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电
流分布激发电磁场的问题时，引入势的概
念来描述电磁场比较方便。
本章首先把势的概念推广到一般变化电
磁场情况，然后通过势来解辐射问题。
本章主要内容
电磁场的矢势和标势 推迟势 电偶极辐射 电磁波的干涉和衍射 电磁场的动量§5. 1 电磁场的矢势和标势
Vector and Scalar Potential of
1、用势 描述电磁场
为简单起见，讨论真空中的电磁场：
0
t
D
j
H
B
t
B
E
D
,
A
. , 0 0E B H D
针对磁场 引入 的物理意义可由下式看出： 即在任一时刻，矢量 沿任一闭合回路L的线积 分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。
0
B
A
B
L Ss
d
B
l
d
A
AA
对于电场 不能像静电场那样直接引入电势。由 Faraday电磁感应定律可得： E
t
A
A
t
t
B
E
)
(
0
t
A
E
t
A
E
是标势不 是静电势即
t
A
E
电磁场和势之间的关系如下
t
A
E
A
B
注意：
a) 当 与时间无关，即 时,且 这时 就直接归结为电势；A
0
t
A
E
b) 绝对不要把 中的标势 与电势 混为一谈。因为在非稳恒情 况下， 不再是保守力场，不存在势能的概念， 这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电 荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为 了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势 （Scalar potential)。 c) 在时变场中，磁场和电场是相互作用着的 整体，必须把矢势 和标势 作为一个整体来描 述电磁场。
t
A
E
) (
E E A
2、规范变换和规范不变性
虽然 和 ，以及 和 是描述电磁场的两 种等价的方式，但由于 、 和 、 之间是微分 方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应 的，这是因为矢势 可以加上一个任意标量函数 的梯度，结果不影响 ，而这个任意标量函数 的梯度对 要发生影响，但将 中的 与此融合也作相应的变换，则仍可使 保 持不变。 EB
A
EB
AA
B
Et
A
E
E
设 为任意的标量函数，即 ，作下 述变换式： 于是我们得到了一组新的 ，很容易证明：
)
,
( t
x
t
A
A
A
.
A
由此可见， 和 描述同一电磁场。
E
t
A
t
t
A
t
A
t
t
t
A
B
A
A
A
A
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) . (A (A .
)a) 库仑规范(Coulomb gauge) 库仑规范条件为 ，即规定 是一个 有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 的纵 场部分完全由 描述（即 具有无旋性)，横 场部分由 描述（即 具有无源性）。由 可见， 项对应库仑场 ， 对应着感应
0
A
A E
A
t A t
A
E
E库 t A 场 。 b) 洛伦茨规范(Lorenz gauge) 洛伦茨规范条件为 ，即规 定 是一个有旋有源场（即 包含横场和纵场两 部分），这个规范的特点是把势的基本方程化为 特别简单的对称形式。 感 E
0
1
2
t
C
A
A
A
3、达朗贝尔(d’ Alembert)方程
从Maxwell’s equations 出发推导矢势 和标势 所满足的方程，得到：
t
A
E
E
D
D
0
A
2 0 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1
A j t c A t A c A a) 采用库仑规范 上述方程化为 b) 采用洛伦茨规范( )
)
0
(
A
j t c t A c A 0 2 2 2 2 2 0 2 ) ( 1 1 0 1 2 t c A 上述方程化为 这就是所谓达朗贝尔（ d’ Alembert ）方程。
j
t
A
c
A
t
c
0 2 2 2 2 0 2 2 2 21
1
4、举例讨论
试求单色平面电磁波的势 Solution: 单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由 空 间 中 传 播 ， 因 而 势 方 程 （ 达 朗 贝 尔 方 程 在 Lorentz规范条件下）变为波动方程： 其解的形式为：
0
1
0
1
2 2 2 2 2 2 2 2t
A
c
A
t
c
由Lorenz规范条件 ，即得 这表明，只要给定了 ，就可以确定单色平面电 磁波，这是因为： 0 1 2 t c A
A
k
c
i
c
A
k
i
2 2(
)
0
1
A
) ( 0 ) ( 0 t x k i t x k ie
A
A
e
2 2 2 2
(
)
(
)
(
)
A
E
ik
i A
t
c
ik
k A
i A
c
i
k k A
k A
c
i
k
k
A
横 纵 横 纵 横A
k
i
A
k
i
A
k
i
A
A
k
i
A
k
i
A
B
(
)
0（对于单色平面波而言）如果取 ，即只取 具有横向分量，那么 有 从而得到： 因此有：
B
n
c
B
k
c
ˆ
2
横A
A
A
0
A
k
A
横k
0
2
c
k
A
其中： 如果采用库仑规范条件，势方程在自由空间中变 为
横 横A
i
A
i
t
A
t
A
E
A
k
i
A
k
i
A
B
)
0
(
k
A
0
1
1
0
2 2 2 2 2 2
t
c
t
A
c
A
当全空间没有电荷分布时，库仑场的标势 ， 则只有 其解的形式为 由库仑规范条件得到 即保证了 只有横向分量，即 ，从而得到
0
0 1 2 2 2 2 t A c A ) ( 0 t x k ie
A
A
0
A
i
k
A
A A A横 通过例子可看到： 库仑规范的优点是：它的标势 描述库仑作 用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 只有 横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立 偏振。 洛伦茨规范的优点是：它的标势 和矢势 构成的势方程具有对称性。它的矢势 的纵向部
)
0
(
A
A
i
A
i
t
A
t
A
E
A
k
i
A
k
i
A
B
横 横
A A A
分和标势 的选择还可以有任意性，即存在多余 的自由度。尽管如此，它在相对论中显示出协变 性。因此，本书以后都采用洛伦茨规范。
§5.2 推迟势
本节主要是求解
达朗贝尔（ d’ Alembert ）
1、达朗贝尔方程的解
不管是矢势 还是标势 ，在Lorentz规范 条件下都满足同样的达朗贝尔方程。而达朗贝尔 方程式是线性的，它反映了电磁场的叠加性，故 交变电磁场中的矢势 和标势 均满足叠加原理。 因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求 出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区 域积分，即得出总的势。又因矢势 的方程与标 势 的方程在形式上相同，故只需求出 的方程 的解即可。 A
A
A
根据标势 所满足的方程： 设坐标原点处有一假想变化电荷Q(t)，其电荷体 密度为 ，此时电荷辐射的势的 达朗贝尔方程为 除在原点以外的空间 ，因而得到
0 2 2 2 21
t
c
) ( ) ( ) , (x t Q t
x
)
(
)
(
1
1
0 2 2 2 2x
t
Q
t
c
0
因为点电荷的场分布是球对称的，若以r 表示源 点到场点的距离，则 不依赖于角变量，只依赖 于r 和t . 也就是说， 与 和φ无关，仅是r 和t 的 函数，即 而且除原点外， 满足波动方程 上式的解是球面波，考虑到r 增大时势 减弱，
0
1
2 2 2 2
t
c
)
,
( t
r
) 0 ( 0 1 ) ( 1 2 2 2 2 2 r t c r r r r
所以作如下代换 将此代入上式即 这个方程式是一维空间的齐次波动方程，其通解 为
)
,
(
1
)
,
(
u
r
t
r
t
r
0
1
2 2 2 2 2
t
u
c
r
u
)
(
)
(
)
,
(
c
r
t
g
c
r
t
f
t
r
u
式中的 f 和 g 是两个任意函数，故有 此解的第一项表示由场源向外辐射的球面波，第 二项则表示向场源会聚的球面波。式中 f 和 g 是 的任意函数。其具体形式由场源 条件而定。当我们研究辐射时，电磁场是由原点 处的电荷发出的，它必然是向外发射的波。因此 在辐射问题中应取 g=0，而函数 f 的形式应由原 点处的电荷变化形式决定。
1
(
)
(
)
)
,
(
c
r
t
g
c
r
t
f
r
t
r
)
(
)
(
c
r
t
c
r
t
和
为此，考察上述解过渡到恒定场的情况，即取 g=0，c→∞，则 将该式与恒定场中Q所激发的电势 比较，则得
)
(
1
)
,
(
f
t
r
t
r
r
Q
04
0 4 ) ( ) (
t Q t f 因此在交变电磁场中应有相似的解，即 故交变场源 所激发的势为 如果点电荷不在原点处，而是在 点上，令r 为 点到场点 的距离，有
)
(
4
1
)
(
0c
r
t
Q
c
r
t
f
)
(
c
r
t
Q
)
(
4
1
)
,
(
0c
r
t
Q
r
t
r
x
x
x
如果场源电荷分布在有限体积 V内，对于一般变 化电荷分布 ，它所激发的标势为： 因矢势 的微分方程与标势 的微分方程相似， 故其解也相似，所以一般变化电流分布
Vd
r
c
r
t
x
t
x
(
,
)
4
1
)
,
(
0
)
,
(
x
t
r
c
r
t
x
Q
t
x
04
)
,
(
)
,
(
A
)
,
(
x
t
j
所激发的矢势为：
2、推迟势（Retarded Potential)
达朗贝尔方程的解为：
d
r
c
r
t
x
j
t
x
A
V)
,
(
4
)
,
(
0
d
r
c
r
t
x
t
x
V)
,
(
4
1
)
,
(
0
它给出了分布在有限体积内的变化电荷与变化电流 在空间任意点所激发的标势 的矢势 。必须强调 指出，该式中的 表示场点坐标， 表示源点坐标。 和 分别表示t 时刻在 点处的标势 和 矢势 的值， 和 分别表示 时刻在 处的 的值。
d
r
c
r
t
x
j
t
x
A
V)
,
(
4
)
,
(
0
Ax
x
) , ( tx
A( tx, )x
A(
,
)
c
r
t
x
(
,
)
c
r
t
x
j
c
r
t
t
x
和
j
值得注意的是：电荷密度 和电流密 度 中的时刻是 而不是 t 。这说明： 时刻在 处电荷或电流产生的场并不能在同一时 刻 就到达 点，而是要一个传输时间△t ，而 且 ，由于t> ，故t 时刻的势 和 是晚于场源辐射的时刻 ，因此将此时的 和 称为推迟势。
)
,
(
c
r
t
x
)
,
(
c
r
t
x
j
x
x
c
r
t
t
t
A
At
t
t
t
t
综上所述，推迟势的重要性在于说明了电磁 作用是以有限速度 向外传播的，它不是瞬 时超距作用。换句话说：电荷、电流辐射电磁波， 而电磁波以速度 脱离电荷、电流向外传播。这就是推迟势所描写 的物理过程。 0 0
1
c
c
3、推迟势满足Lorenz条件
利用电荷守恒定律，我们可以验证推迟势满足 Lorentz规范条件。 已知电磁场的势为 式中
2 2 2
12)
(
)
(
)
(
x
x
y
y
z
z
r
c
r
t
t
d r t x t x V ) , ( 4 1 ) , ( 0
d
r
t
x
j
t
x
A
V)
,
(
4
)
,
(
0
推导则有 其中 则
进行的
这是因为微分只对
常数 常数x
t
x
j
t
x
j
t
x
j
x t
0
||
)
,
(
)
,
(
)
,
(
常数
j
(
x
,
t
)
j
(
x
,
t
)
x
d r j j r d r t x j A V V ) 1 1 ( 4 ) , ( 4 0 0 而
r
t
j
c
z
r
t
j
y
r
t
j
x
r
t
j
c
z
t
t
j
y
t
t
j
x
t
t
j
z
j
y
j
x
j
t
x
j
z y x z y x z y x x
1
1
)
,
(
常数所以 这里对r 的函数而言，有 。
d
r
j
r
t
j
cr
d
r
j
r
t
j
cr
A
V V)
1
1
(
4
)
1
1
(
4
0 0
又因为 r t j c j z r t j y r t j x r t j c j z t t j y t t j x t t j j t x j j t x j t z y x t z y x t x t 1 1 ) , ( ) , ( 常数 常数 常数 常数 常数
即 于是
j
j
r
t
j
c
t
常数1
t S V t V t V t d j s d r j d j r d r j j r d r j j r j r A
常数 常数 常数 常数 1 4 1 4 1 4 ) 1 1 ( 1 4 0 0 0 0 0 0另外：
d
t
r
d
t
t
t
r
d
t
r
t
V V V1
4
1
1
4
1
1
4
1
0 0 0由此得到： 要使上式保持成立（恒等），只有 即得 和 的解满足Lorenz条件。 0 1 4 1 4 1 1 1 4 1 0 0 2 0 2
d t j r d t r c d j r t c A V t V V t 常 常 0 t j t 常
A§5.3 电偶极辐射
电磁波是以交变运动的电荷系统辐射出来的， 在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出 来；在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁 波的辐射。 本节研究宏观电荷系统在其线度远小于波长 情形下的辐射问题。
1、计算辐射场的一般公式
当电流分布 给定时，计算辐射场的基 础是 的推迟势： 若电流 是一定频率ω的交变电流，有 ) , (x t j A
d
r
t
x
j
t
x
A
V)
,
(
4
)
,
(
0
) , (x t j t ie
x
j
t
x
j
(
,
)
(
)
因此 式中 为波数 0 ( ) 0 ( ) 0
( )
( , )
4
( )
4
( )
4
r c i t V i t V i kr t Vj x e
A x t
d
r
j x e
d
r
j x e
d
r
c
k
如果令 式中因子eikr是推迟作用因子，它表示电磁波传到 场点时有相位滞后kr。 根据Lorentz条件，可求出标势 ： 由此可见，由矢势 的公式完全确定了电磁场。
V ikr t id
r
e
x
j
x
A
e
x
A
t
x
A
)
(
4
)
(
)
(
)
,
(
0
且有
A
c
t
2 A另外，根据电荷守恒定律 且有 ，只要给定电流 ，则电荷分布ρ也 自然确定了。从而标势 也就随之而确定了，因 而在这种情况下，有 0 t j
i
j
j
A E A B A c t d r e x j x A V ikr
2 0 ( ) 4 ) (在电荷分布区域外面， ，所以 故得
2、矢势 的展开式
对于矢势 0 j E
c
i
t
E
B
2 0 0
ic
E
B
k
A
V ikr d r e x j x A
( ) 4 ) ( 0 a) 近区（似稳区） 且有kr <<1，推迟因子eikr~1，因而场保持稳 恒场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式， 磁场也和稳恒场相似。 b) 感应区（过渡区），r ~ λ，但满足r>>l。 这个区域是一个过渡区域。它介于似稳区和 辐射区的过渡区域中。 c) 远区（辐射区）r>> λ，而且也保证r>>l
。
在此区域中场强 和 均可略去 的 高次项，该区域内的场主要是横向电磁场。 现在主要讨论电流分布于小区域而激发的远E
B
R1 | x1 |l
r
r
但仍满足
,
区场。 o x y z P l
j
.
x
x
r
把相因子对 展开，得 从而得到矢势 的展开式为： 展开式的各项对应于各级电磁多极辐射。
3、偶极辐射
研究展开式的第一项：x
n
k
ˆ
ˆ 2)
ˆ
(
!
2
1
ˆ
1
ik
n
x
ik
n
x
e
ikn x A
j x ikn x ikn x d R e x A V ikR 2 0 ) ˆ ( ! 2 1 ˆ 1 ) ( 4 ) ( 推导由于 由于积分区域包含了全部电荷、电流存在的空间，
V ikRd
x
j
R
e
x
A
)
(
4
)
(
0 ) 1 (
S V V V V V td
I
j
s
d
x
j
d
x
j
d
x
j
d
x
j
d
x
P
)
(
)
(
)
(
常数因而在包围该区域的边界面上不可能有电流出去， 即S 面 ，从而有 故得 现在讨论计算辐射场的技巧问题： 在计算辐射场时，需要对 作用算符
0
j
V Vd
j
d
I
j
P
P
R
e
x
A
ikR
4
)
(
0 ) 1 (
A t 和由于讨论远区场时，只保留 的最低次项，因而 算符 不需作用到分母上，而仅需作用到相因子 上即可达到要求，作用结果相当于代换： 由此得到，辐射场为 R 1 ikR
e
.
,
ˆ
i
t
n
ik
p
n
e
R
k
i
A
n
ik
A
B
ikR
ˆ
4
ˆ
0
推导
n
p
e
Rc
p
n
i
e
Rc
p
n
e
R
c
c
i
p
n
e
R
c
i
ikR ikR ikR ikRˆ
4
1
ˆ
4
1
ˆ
4
1
ˆ
4
0 3 0 3 0 2 0
如果取球坐标，原点在电荷电流分布区域内，并 以 方向为极轴，则由上式得到： 沿纬线上振荡， 沿经线上振荡。
n
n
p
e
Rc
n
B
c
B
n
ik
k
ic
B
k
ic
E
ikRˆ
)
ˆ
(
4
1
ˆ
ˆ
2 0
pB
Ez
故得到： 该式表明： 磁力线是围绕极轴的园周， 总是横向的； 电力线是经面上的闭合曲线，由于在空间中 ， 线必须闭合。因此 不可能完全横
e
p
e
R
c
E
e
p
e
R
c
B
ikR ikR
)
sin(
|
|
4
1
)
sin(
|
|
4
1
2 0 3 0
B
E0
E
E
向，只有当略去 的高次项后，才能近似地为横 向。由此得到一个结论：电偶极辐射是空间中的 横磁波（TMW）。
4、辐射性能的几个重要参数
衡量一个带电系统辐射性能的几个重要参数， 是它的辐射功率和辐射角分布，这些问题都可以 通过能流密度求得答案。 a) 辐射场的能流密度 在波动区域中，电磁场能流密度的平均值为 R 1b) 辐射场的角分布 所谓辐射场的角分布，就是讨论辐射的方向 性，在平均能流密度 中， 因子表示电偶极
n R c p n B c B n B c R B E R S S e e ˆ sin 32 | | ˆ | | 2 ) ˆ ( 2 1 ) ( 2 1 2 2 3 0 2 2 2 0 * 0 * 0 2 sin辐射的角分布。 辐 射 角 分 布 (Angular distribution of radiation)定义为：在 方向单位立体角内平 均辐射能流，即 当 R 一定时， 显然 . d s d S f ) (
. sin2 S
2 3 2 2 2 sin 32 | | ˆ ) ( c p d n d R S f 由此可见
0
,
0
,
2
辐射为
时
或
当
辐射最强
时
当
z
S
这就是我们在日常生活中，经常通过拨动收音机 或电视机天线的方位为获得最佳音响和清晰图象 的缘故。 c) 辐射功率 单位时间内通过半径为 R 的球面向外辐射的 平均能量，称为辐射功率（Radiation power）。 把 对球面积分即得总辐射功率，即 S 推导
3 2 3 0 2 2 2 0 0 3 3 0 2 2 2 3 0 2 2 2 3 | | 4 1 3 4 2 32 | | sin 32 | | sin 32 | | | | | | c p c p d d c p d c p d R s ds s p S S S
如果偶极子作简谐振动，角频率为ω，且有 则 从而得到 t i
e
x
p
t
x
p
(
,
)
0(
)
t i t i t ie
x
p
e
x
p
i
i
p
i
p
e
x
p
i
p
i
p
)
(
)
(
)
(
)
(
0 2 0 0
4 2 0 2|
|
p
p
故
若保持电偶极矩的振幅 不变，则辐
射功率正比于频率
ω的四次方，即频率变
化时，辐射功率迅速变化。
3 4 2 0 03
4
1
c
p
p
)
(
0x
p
§5.4 磁偶极辐射和电四极辐射
Radiation of
1、矢势 的展开式第二项的物理内容
已知矢势 的展开式为： 该式的第一项，属于电偶极辐射，那么第二项到 底属于什么的辐射呢？为了弄清这个问题，我们 把被积函数写为：A
A
V ikRd
x
n
ik
x
j
R
e
x
A
ˆ
1
)
(
4
)
(
0)
(
ˆ
ˆ
)
(
]
ˆ
[
]
ˆ
)[
(
x
n
x
n
x
j
x
n
x
j
x
j
而 是一个张量，我们把它分解为对称部分 和反对称部分： 因而 的展开式的第二项为：
)
(x
j
x
x j x j x x
x j x j x x
x j x () () 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) (x A
d x x j x j x n x x j x j x n ik R e d x n x j ik R e x A V ikR V ikR ) ( ) ( 1 ˆ ) ( ) ( 2 1 ˆ 4 ˆ ) ( 4 ) ( 0 0 ) 2 (第二项：由于 因此第二项积分部分为：
V ikR V ikRd
x
x
j
n
x
j
x
n
e
R
ik
d
x
x
j
n
x
j
x
n
e
R
ik
))
(
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
2
1
4
))
(
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
2
1
4
0 0))
(
(
ˆ
))
(
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
n
x
j
x
n
j
x
x
n
x
j
x
ˆ
)
(
2
1
ˆ
Vm
n
d
x
j
x
n
该项辐射是磁偶极辐射。 第一项： 把它看成对所有带电粒子求和，则得 因为 ，所以上式可写为：
n
x
x
n
x
x
e
d
x
x
j
n
x
j
x
n
V
))
(
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
2
1
))
(
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
2
1
dt
x
d
x
)
(
式中 是点电荷系的电四极矩。 该项辐射是电四极矩的辐射。 至此， 的展开式第二项的物理内容为：
D
n
D
dt
d
n
x
x
e
dt
d
n
x
x
n
e
dt
d
ˆ
6
1
ˆ
6
1
2
1
ˆ
)
ˆ
(
2
1
e
x
x
D
3
) (x A
ik
e
n
m
n
D
x
A
(2)(
)
0 ikR
ˆ
1
ˆ
即磁偶极辐射和电四极辐射是在 的展开式 中同一级项中出现。
2、磁偶极辐射
为了清楚起见，先计算磁偶极辐射项： 在辐射区域中， 由此可见 ) (x A m
n
R
e
ik
x
A
ikR m
ˆ
4
)
(
0 ) 2 (
) ( 0 t x k ie
m
m
辐射区的电磁场为： 而又因为
m
R
e
m
n
ik
R
e
x
A
ikR ikR m
4
ˆ
4
)
(
0 0 ) 2 (n
m
n
e
R
k
A
k
i
A
B
ikRˆ
)
ˆ
(
4
2 0
还有 从而得到 而 2 2 2
