計畫團隊 一、

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(1)

計畫團隊

一、 計畫召集人

李錦鎣 主任(中等教育階段數學領域教學研究中心)

陳界山 教授(國立臺灣師範大學數學系)

二、 國中組教師

林靖捷 老師(臺北市立蘭雅國民中學)

李記萱 老師(臺北市立濱江國民中學)

賴政泓 老師(國立政治大學附屬高級中學)

三、 高中組教師

蘇惠玉 老師(臺北市立西松高級中學)

蘇麗敏 老師(臺北市立第一女子高級中學)

林信安 老師(臺北市立建國高級中學)

四、 計畫諮詢顧問

蕭弘玫 教授(Lane Community College, Oregon, USA)

李睿紘 教育顧問(廣天國際有限公司)

五、 計畫助理

李君柔 行政專員(國立臺灣師範大學數學系)

黃孟凡 專案助理(中等教育階段數學領域教學研究中心)

(2)

使用計算機的數學評量試題研究成果

林靖捷 老師

臺北市立蘭雅國民中學

試題編號 A-01 試題原文

試題翻譯  

  中國  非洲  新加坡 

人口  13.2 億  8.32 億  448 萬  國土面積 

(平方公里)  960 萬  2660 萬  700  使用上方表格中的資訊回答下列問題: 

(a) 中國的人口比非洲的人口大約多幾人?(以科學記號表示) (b) 非洲平均每平方公里大約有多少人口?(以四捨五入取至小數

點後第一位)

(c) 新加坡與中國的人口比大約是多少?(以 1 : n 的格式表示,其 中n 以四捨五入取至整數位)

(3)

試題解析 像這類取材自真實生活情境的題目,數據未經美化,在進行 四則運算時,計算的難度或複雜度通常較高,當題目(主要)檢測 的能力不是四則運算時,學生徒手作答可能會因為計算上的疏忽 而答錯,以致於影響了該題的鑑別度(除非是採部分給分的計算 題,看得到計算過程);如果搭配計算機作答,則可避免這種狀況 發生,較能反映學生是否真的理解概念。

(4)

試題編號 A-02 試題原文

   

試題翻譯 在方格紙上作答以下所有問題: 

一個人站在一座塔的頂端,他鉛直向上丟一顆球,假設那顆 球被丟出𝑡秒鐘後高於塔頂的高度為公尺,且 22𝑡 4.9𝑡 , 下表是一些𝑡值與其對應的值(取至小數點後第一位)。 

𝑡  0  1  2  2.5  3  4  5  6 

  0.0  17.1  24.4  24.4  21.9  9.6  -12.5  p  (a) 解釋當𝑡 5時,ℎ 12.5的意義。

(b) 求 p 值。

(c) 以 2 公分作為 1 秒的比例,畫一條以0 𝑡 6為範圍的水平𝑡 軸。以2 公分作為 10 公尺的比例,畫一條以 50 ℎ 30為 範圍的鉛直ℎ軸。將上表中的各點畫在以𝑡、ℎ為兩軸的座標平 面上,並以一條平滑曲線將它們連接。

(d) 利用你所繪製的圖形求出下列數值:

(i) 球高於塔頂時的最大高度

(ii) 球高比塔高超過20 公尺時的總時間

(e) (i) 透過畫一條切線,求出圖形在( 4 , 9.6 )的斜率 (ii)      由上題的答案解釋球在𝑡 4時的動作 

(f) 已知球在丟出 5.4 秒後落地,利用你所繪製的圖形求出塔 高。

 

(5)

(c)

 

(d) (i) 由圖形目測所得球高於塔頂時的最大高度約為 24.7 公尺 (ii) 由圖形目測得到 22𝑡 4.9𝑡 與𝑦 20之兩交點距離約

為1.9,故球高比塔高超過 20 公尺時的總時間約為 1.9 秒 (e) (i) 過( 4 , 9.6 )作一條 22𝑡 4.9𝑡 圖形的切線,其斜率約

為 16.9

(ii) 由上題的答案切線的斜率為負可知,球正往地上掉 (f) 以𝑡 5.4代入 22𝑡 4.9𝑡 ,得 22 ∙ 5.4 4.9 ∙ 5.4

118.8 142.884 24.084,故塔高約為 24 公尺

試題解析 本題在求值時涉及小數的乘積,計算過程較為繁複,適合使

用計算機取代徒手計算。在畫二次函數的圖形時,由於各點的座 標包含小數,在題目給定的尺度上描點很難精確,且徒手畫出的 圓滑曲線也可能不對稱或偏離正確的位置,以致於造成判讀上的 誤差,因此只要題目(主要)檢測的能力不在於描點畫圖,便適合 使用圖形式計算機畫二次函數的圖形輔助作答與判讀。

(6)

試題編號 A-03 試題原文

  試題翻譯 [  圓周率的近似值 3.142 取到小數點後第三位  ] 

[  底面圓半徑為𝑟、斜高為𝑙的圓錐之側面積為𝜋𝑟𝑙,圓錐的體積為 底面圓面積 高  ] 

圖一是傳統棚屋的示意圖,它是由一個圓柱與一個突出屋頂所組 成。其屋頂的圖形是一個圓錐的側面,固定於一根鉛直方向的中 央支柱。 

圖二是此棚屋鉛直方向的剖面圖。 

線段𝐵𝐸和線段𝐶𝐷皆為水平方向的線段。 

𝐴𝑁 4.0公尺,𝐵𝑀 𝑀𝐸 3.6公尺,且𝐵𝐶 𝐷𝐸 1.3公尺  (a) 說明𝐴𝐵 4.5公尺

(b) 計算以下問題:

(i) 棚屋內部的體積

(ii) 棚屋內部的總表面積(包括地面)

(c) 假設太陽在正上方,屋頂的地面陰影是一個環繞棚屋的環狀 區域,𝐴𝑃 𝐴𝑄 5.5公尺,計算以下問題:

(i) 𝑃𝑄的長度

(ii) 上述環狀區域的面積(牆壁的厚度忽略不計)

試題詳解 (a) ∵△ 𝐴𝐵𝑀是直角三角形,且𝐴𝑀 ∶ 𝐵𝑀 2.7 ∶ 3.6 3 ∶ 4

∴ 𝐴𝐵 2.7 3 5 4.5(公尺)

(b) (i) 𝜋 3.6 2.7 𝜋 3.6 1.3

(7)

89.584704  ≒ 89.6(立方公尺) 

      (ii)      𝜋 3.6 4.5 2 𝜋 3.6 1.3 𝜋 3.6 3.6 𝜋 4.5 2.6 3.6   3.6 𝜋 10.7 

≒ 3.6 3.142 10.7  121.02984 

≒ 121(平方公尺)  (c) (i) 設𝑃𝑄交𝐴𝑁於𝑆點

則𝑃𝑆 ∶ 𝐴𝑃 𝐵𝑀 ∶ 𝐴𝐵 ∴ 𝑃𝑆 ∶ 5.5 3.6 ∶ 4.5 4 ∶ 5 ∴ 𝑃𝑆 4.4

∴ 𝑃𝑄 2𝑃𝑆 8.8(公尺)       (ii)      𝜋 4.4 3.6

𝜋 8 0.8  ≒ 6.4 3.142  20.1088 

≒ 20.1(平方公尺) 

試題解析 在計算直角三角形的斜邊時,如果學生發現兩股的比為 3 : 4 

,則可利用比例關係立即求得斜邊,如果是利用畢氏定理求解,

則在計算小數的平方與開方時應較為耗時,如果搭配使用計算機 則可省去繁複的計算;在計算體積與表面積時,必須依照題目的 設定,圓周率以近似值 3.142 計算,徒手計算三位小數的乘法運 算時程序較多,容易計算錯誤,建議使用計算機進行這部分的計 算。

(8)

試題編號 A-04 試題原文

  試題翻譯 利用圖形求解2𝑥 𝑥 3 0。 

經由畫出切線求得圖形在𝑥 1的切線斜率。

試題詳解 [  解法一  ] 

設 𝑦 2𝑥 𝑥 3 

1  0  1  2 

0  3  2  3 

由下圖可知𝑦 0時,𝑥 1或𝑥 5。圖形在𝑥 1的切線斜率 為6 2 3。

(9)

[  解法二  ] 

由2𝑥 𝑥 3 0可得2𝑥 𝑥 3  令  𝑦 2𝑥  

2  1  0  1  2 

8  2  0  2  8 

 

𝑦 𝑥

1  0  1 

2  3  4 

 

由下圖(兩圖形的交點)可知,𝑥 1或𝑥 5。 

試題解析 本題的兩種解法在徒手畫出二次函數的圖形後,以目測的方

式得知圖形與 x 軸的交點,由於本題的設定為透過觀察直角坐標 上的圖形求解方程式,當學生所畫的圖形誤差太大時,所觀察到 的交點坐標也會偏離實際值(在解法一中如果描點時所找的𝑥坐標 為 1時,其𝑦坐標為 0,剛好是交點之一,便不會發生上述的誤 差),除非本題檢核的只是學生是否理解概念與掌握操作過程,否 則若能在計算機上畫出正確的圖形,觀察圖形的交點時將更為準 確,甚至可讓計算機求得交點坐標,此外,在求切線斜率時計算 機也能發揮相同的作用。 

(10)

試題編號 A-05 試題原文  

 

試題翻譯 一個極地探險家正計劃一場遠征。他調查到三條可行的路線。 

(a) 如果他行走總長 800 公里的路線 A,他預計每天行走𝑥公里;

如果他行走和路線A 相同長度的路線 B,冰面的情況會更嚴 峻,他預計每天行走 𝑥 5 公里;如果他行走比路線 A 多 100 公里的路線 C,冰面的情況較簡易,他預計每天行走 𝑥 5 公里。分別以𝑥表示他挑戰的這三條路線所預計花費的天 數。

(b) 他估計行走路線 C 會比路線 B 少 20 天。列出𝑥的方程式,並 說明它可化簡為𝑥 5𝑥 450 0。

(c) 解方程式𝑥 5𝑥 450 0,並將其兩解四捨五入至小數點 後第一位。

(d) 求路線 A 他預計花費的天數。

試題詳解 (a) 由「時間=距離 速率」可得:

(i) 路線 A 花費 天 (ii) 路線 B 花費 天 (iii) 路線 C 花費 天

(b) ∵行走路線 C 會比路線 B 少 20 天

∴ 800 𝑥 5

900

𝑥 5 20

化簡後可得20𝑥 100𝑥 9000 0 即𝑥 5𝑥 450 0

(11)

(d)  因為預計以每天行走𝑥公里的速率完成路線 A  故由(c)可知𝑥 ≒ 18.86(負不合)

800 18.86 ≒ 42.4

所以行走路線A 預計花費 42.4 天

試題解析 一直以來我們看到的一元二次方程式應用問題,雖然總有一

個生活情境,但命題者為了求解時容易計算或是可以使用十字交 乘法因式分解,常會將題目設計成解為整數,使得答案過於美 化,和真實生活中未經修飾與調整的數值相差甚遠。在本題的情 境中,一元二次方程式的解為𝑥 ,行走路線 A 預計花費

天,其數值應該比較貼近事實,然而如果讓學生以最簡

根式回答,難以對其數量有感,且與情境格格不入,因此若能使 用計算機作答,便可讓學生以小數回答其近似值,能從答案直接 得知有意義的資訊;以本題為例,經過列式與求解可以得知,極 地探險家預計以每天行走 18.9 公里的速率完成路線 A,共花費 42.4 天。 

        在求解一元二次方程式的應用問題時,如果能夠允許學生使 用計算機作答,命題時將更不受限,甚至能使用從生活情境中測 得的真實數據,讓學生實地體驗生活中的數學應用,並認識其中 相關的數與量。 

(12)

試題編號 A-06 試題原文

試題翻譯 (a)(i)已知一部車行走 250 公里消耗汽油 15.75 公升,計算這部車 每 100 公里的汽油消耗量。

(ii)已知安妮的車每 100 公里的汽油消耗量為 8.2 公升:

(a) 計算當她的車(油箱 60 公升)加滿油時可行走的距 離。

(b) 假設每公升汽油 1.65 美元,計算安妮一趟 120 公里 的旅程所花費的金額(四捨五入到小數點後第二位) (b)班繼承了一筆錢。他將這筆錢的用途分為教育、度假與儲蓄三

個部分,其佔比為 3 : 4 : 5。

(i)已知他用於儲蓄的金額為 1000 美元,計算他所繼承的錢之總 金額。

(ii)如果他的 1000 美元存款每年以 3.5%複利計息,計算這筆存 款 5 年後的金額(四捨五入到小數點後第二位)。

試題詳解 (a)(i) 15.75 : 250 = x : 100 x = 6.3 (公升/100 公里) (ii) (a) 8.2 : 100 = 60 : a a≒732 (公里) (b) 8.2 : 100 = b : 120 b = 9.84

9.84 1.65 = 16.24 (美元) (b)(i) 1000 2400 (美元)

(ii) 1000 1 0.035 ≒ 1187.69 (美元)

試題解析 本題的(a)小題情境非常生活化,不論是汽車的油耗、加滿油

的行車距離或是行駛預設距離所花費的油錢,都是生活中常見的

(13)

小數點後三位數的連乘,非常費時費力,因此命題者應是設定學 生使用計算機進行次方的運算。

以上(a)小題的油耗問題,一般市面上汽車的行車電腦會計算 出相關資訊,(b)小題的複利問題,金融機構的資訊設備也會自動 計算

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使用計算機的數學評量試題研究成果

李記萱 老師 臺北市立濱江國民中學

試題編號 B-01 試題原文

The population of Europe is approximately 7.0 108 The population of Asia is approximately 3.5 109

The mean mass of the population of Europe is approximately 62 kg.

(a) Giving your answers in standard form, estimate (i)the total mass of the population of Europe.

(ii)how many more people live in Asia than in Europe.

(b) Express the population of Europe as a percentage of the population of Asia.

試題翻譯

歐洲的人口大約有7.0 108人,亞洲人口大約有3.5 109人 歐洲人口的平均體重大約是62公斤。

(a) 請估計,

(i)歐洲人口的總重量

(ii)居住在亞洲的人口總數比歐洲人多多少?

(b) 請求出歐洲人口占亞洲人口總數的百分比

(15)

(ii)多多少?減法

=3.5 109- 7.0 108= 2.8 109人 (b) 比:除法的概念

= 歐洲人口/亞洲人口

= 7.010

8

3.5109

*100% = 20%

試題解析 現實生活中的數字往往無法像考試題目為了配合計算方便而把數字設計 的很完美,但在教學經驗連結中,有一個很重要的部分是與過往的生活 經驗連結,像本題中的人口數其實是有機會在社會課或是新聞中聽到 的,所以這樣的出題方式也較貼近現實生活以及對於真實世界的了解也 多了一層。

(16)

試題編號 B-02

試題原文 Solve 2x2-x-3 graphically.

By drawing a tangent, find the gradient of the curve where x = 1 試題翻譯 請圖解y = 2x2-x-3函數

通過繪製切線,找到曲線當 x = 1 的梯度(斜率) 試題詳解 觀察一:(圖解)

利用計算機輸入函數,並產生圖形,認識相關名詞如:

截距、與x軸交點、與y軸交點、開口方向、最大值、最小值及值域的變 化

利用計算機看到圖形的細節

觀察二:(圖解)

利用二函數相減的方式觀察圖形 第一個函數為:y=2x2

第二個函數為:y=x+3 y=2x2-(x+3)

同時畫出二個函數,與y =2x2-x-3作連結

使用計算機找交點,可以比較和 y =2x2-x-3的關係

→ 二函數交點即原函數與x軸的交點

(17)

延伸:

利用 y =ax2+bx+c代入變數,看看a,b,c的大小、正負對二次函數的影響。

試題解析 使用計算機之後,題目的設計與現實生活較符合,而不會流於配合手寫 計算而特別設計數值,計算機可以跳過不好看的數字,僅以觀念的方式 求解,但不代表計算能力就要被取代,只是,不會再像以往訓練下的考 生那麼快速,敏感,計算機也只不過協助我們處理複雜的計算,並不是 幫助我們解題或是列方程式,所以計算能力強並不是絕對,而且,在某 些真實情境之下,用計算機計算也較可以計算的比較精準,在函數圖形 中也比較容易看到變化的趨勢而不是單單手算算出一個值,而沒有圖形 的感覺。

(18)

試題編號 B-03 試題原文

Each of the containers shown in the diagrams has a height of 40 cm.

Their other dimensions are as shown.

All three containers have uniform cross-sections.

The containers are being filled to the brim with water which flows into each one a t the same constant rate. It takes 12 minutes to fill each container.

(a) Find the time taken for the water to reach a depth of 20 cm in (i) container B

(ii) container C

(b) A graph is drawn showing the relationship between the depth of the water, d cm, and the time, t minutes, as each container is being filled. The graph shown in the answer space is that for container A.On the same diagram, sketch the graph for

(i) container B (ii) container C

試題翻譯 圖中所示的每個容器的高度為40厘米。其他尺寸如圖所示。所有三個容 器具有相同的橫截面。容器用水填充到邊緣,水以相同的固定速率倒入

(19)

(b)繪製一個圖表,顯示水的深度 d 公分與每個容器填充的時間 t 分鐘之 間的關係。下圖顯示的圖表是容器A的圖表。在同一圖表中,請畫出容 器B 及容器C的曲線

試題詳解 假設三個容器的長為a ,則:

A容器的體積為:40 30 a

B容器的體積為:50 20 a+20 10 a C容器的體積為:60 40

2 a

三個容器均為12分鐘後注滿水,故:

注水速率 = A容器的體積

時間 =40×30×a

12 =100(cc/min

(a) 找出容器B及容器C的水到達20厘米深度所需的時間?

容器B:50×20×α

100α =10(min)

容器C:先利用相似三角形找出深20cm時的水面寬度 60:40 = 水面寬度:20

可以得到水面寬度 = 30cm 30×20×α

2 × 1

100α=3(min) (b) 繪製圖表:

A容器的形狀沒有改變,截面積都相等,故注水速率和水面上升 速度相等,全程為固定斜率等於103的直線,從原點出發一直到時 間等於12分鐘,水深等於40cm。

B容器在20cm處上與下為二種形狀,在二個不同的形狀中,截面 積並沒有隨著時間改變,所以上升曲線為二個不同斜率的直線連 結點在時間等於10分鐘處,第一段直線的斜率為2,第二段的斜 率為10。

C容器先利用相似形得到底和高的倍數關係:

w:h = 60:40

(20)

w=3 2h C容器的體積以h表示的函數為:3

2h×h×1

2×α=

42 把體積 / 注水速率即可得到 高度(h)對時間(t)的關係

4 h2× 1 100α=t h2=400

3 t h=20× t

3 (指數圖形)

試題解析 在相同體積、相同注水速率的條件下,水面上升高度會因形狀不同而有 所改變,透過繪圖計算機輸入自己推導出來的函數時,可以更清楚的看 到水面上升的變化情形,而不是只是覺變快、變慢等抽象感覺,甚至可 以利用圖表預估第幾分鐘會上升至多高的高度來執行真實的實驗做比 對。

(21)

試題編號 B-04 試題原文

試題翻譯 熱水箱是由半徑為30mm的半球型連接到半徑為30mm,高度為70mm的空 心圓柱體製成的。

(a)計算水箱外部及底部總表面積。

(b)當水箱裝滿水

(i) 計算水箱中的水有多少

(ii) 若是以每秒3公升的速率將水從水箱中排出,請問全部排 出要花多少時間?

(iii) 水箱所有的水流入一個浴缸並將其完全充滿,這個浴缸的 截面是梯形,它的

上底是0.6公尺,下底是0.4公尺,高是0.3公尺,試求長度 為多少?

試題詳解 總表面積 = 上方一半球體表面積 + 下方圓柱體表面積 + 底部表面 積

(22)

A(30)=6900π 21700c m2 (i) 總體積

V(r) =4

3πr3×1

2+πr2×70

V(30)=81000π 254469 cm3約可裝254000cc的水,等於254公升 (ii) 254/3 = 84.6,所以需花85秒(1分25秒)可全部排光。

(iii) 利用梯形的體積 = 254000cm3求長度 60 40

2 30 長度 254000

長度=169.33cm 170cm

試題解析 題目一開始是以球與圓做為開頭,在計算上免不了一定會使用π,在紙 本計算通常會為了格式清楚或是答案簡潔,呈現的答案會是xxxπ,但 是在有計算機的輔助下,除了可以顯示π之外,還可以乘開求出實際的 數字,也可以提升答案的準確度。

在教學上,可以讓學生練習從文字列式,列方程式再代入變數求解,更 可以利用圖形看半徑對表面積或體積的變化。

(23)

試題編號 B-05 試題原文

試題翻譯 a,b,c,d均為正實數,x介於a,b之間,y介於c,d之間,請找出下列式子的 關係

試題詳解 i. 相加關係

(24)

ii. 相減關係

iii. 相乘關係

(25)

iv. 相除關係

試題解析 利用滑桿功能快速取得a、b的值,透過紅色線條可以觀察經過計算後的 結果,並且歸納出最大與最小值發生的位置,

如果可以在紅色線條加上動態數值以及紅色線條經過的區間,則可以讓 這個教學過程更完善。

(26)

試題編號 B-06 試題原文

試題翻譯 x和y的關係如下列方程式:

y= 1

10(60-x2-80 x ) 表格是x與y相對應的值

a. 請計算出 p 的值

b. 請以一單位/2公分的方式畫出曲線圖,其中x的範圍是1 x 6≤ ≤ ,y的

(27)

1

10(60-x2-80 x )=2

d. 試著在點(1.5,0.44)畫出切線,並求出此點的斜率

e. 請利用你畫出的圖形找出當x的範圍是1 6時,y的最大值 及產生y的最大值的x值

試題詳解 a. 把x等於6代入方程式:

y= 1

10(60-x2-80 x ) 可得y的值為1.06666≒1.07

b. 把方程式輸出到計算機內並加入點

(28)

c. 利用直線 y=2 與曲線的交點求出當曲線 y 等於 2 時的 x 值

d. 利用功能:Geometry >> 1.Points & Lines >> 7.Tangent 找出在點(1.5,0.44)的切線與斜率,斜率等於3.26

(29)

e. 利用計算機的分析功能並給定範圍找出圖形的最大值

試題解析 在國中函數圖形試題比較多變化的單元是二次函數,從正規的解析二次 函數中,可以得到我們想求的值,但當數字不友善或是函數結構太複雜 的時候,利用計算機一樣可以運用相同的觀念及工具得到相同的效果,

只是在教學的觀念養成上,還是必須建立學生對於函數圖形的概念。當 學生處理熟悉的函數圖形時,自然比較知道該去處理哪些訊息;但處理 未知的函數圖形的時候,甚至不會計算也沒有關係,因為有了計算機的 輔助,我們一樣可以帶學生討論函數圖形的遞增、遞減、極值位置,甚 至做一個預測,以建立學生對於函數圖形的感覺。

(30)

使用計算機的數學評量試題研究成果

賴政泓 老師

國立政治大學附屬高級中學

試題編號 C-01

試題原文 A trader bought some paraffin for $500.He paid $x for each litre of paraffin.

(a) Find,in terms of x,an expression for the umber of litres he bought.

(b) Due to a leak,he lost 3 litres of paraffin.He sold the remainder of the paraffin for $1 per litre more than he paid for it.Write down an expression ,in terms of x,for the sum of money he recevied.

(c) He made a profit of $20.

(Ⅰ)Write down an equation in x to represent this

information ,and show that it reduces to 3x 23x 500 0.

(Ⅱ)Slove the equation 3x 23x 500 0, giving both answers correct to one decimal place.

(d) Find,correct to the nearest whole number,how many litres of paraffin he sold.

試題翻譯 有一位商人購買煤油,以每公升 𝑥 元的價格,共買了 500 元。

(a) 此商人買了多少公升的煤油,試以 𝑥 表示。

(b) 因為油桶有裂縫的關係,商人損失了 3 公升的煤油。他以當 初購買煤油每公升的價格,再多1 元為售價,賣出所剩下的 煤油。請以 𝑥 表示他所得到的錢。

(c) 已知他總共獲利 20 元,

(Ⅰ)依上述條件,寫出 𝑥 的方程式,並將其化簡為 3𝑥 23𝑥 500 0。

(31)

試題詳解

(a) 。

(b) 3 𝑥 1 。

(c) (Ⅰ) 3 𝑥 1 520。

(Ⅱ)(1)公式解:𝑥 → 𝑥 9.6 , 17.3。

(2)計算機直接解方程式。

(d) 共賣 . 3 49.08 公升,答案為 49 。 試題解析 評量目標:

能利用未知數列出符合題意的式子並解出答案,必要時使用計算 機得到近似值。

試題分析:

本題包括閱讀理解、情境與數學的轉換、解題與計算機的應用。

其中計算機的使用能在出題時與生活情境更貼切,以往不利於計 算的數據也因此受限更少。

(32)

試題編號 C-02

試題原文 The diagram shows three fixed points O,A and D such that OA=17 cm,OD=31 cm and angleAOD=90°.The lines AB and DC are perpendicular to the line OC which makes an angle θ with the line OD.The angle θ can vary in such a way that the point B lies between the points O and C.

(1)Show that

AB+BC+CD=(48cosθ 14sinθ) cm.

(2)Find the values of θ for which AB+BC+CD=49 cm.

(3)State the maximum value of AB+BC+CD and the corresponding value of θ.

試題翻譯 如圖,𝑂、𝐴 和 𝐷 為平面上三個定點,且 𝑂𝐴 17 公分,

𝑂𝐷 31 公分,∠AOD 90° 。設 𝑂𝐶 與 𝑂𝐷 的夾角為 𝜃 , 且 𝐴𝐵 、𝐷𝐶 皆分別與 𝑂𝐶 垂直。𝜃 角會隨著 𝐵 點在 𝑂𝐶 上 位置的不同而改變。

(1) 試說明 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 48𝑐𝑜𝑠𝜃 14𝑠𝑖𝑛𝜃 公分,

(2) 若𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 49 公分,試求 𝜃 的值,

(3) 試求 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 的最大值與此時 𝜃 的值。

試題詳解 1 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 17𝑐𝑜𝑠𝜃 31𝑐𝑜𝑠𝜃 17𝑠𝑖𝑛𝜃 31𝑠𝑖𝑛𝜃 48𝑐𝑜𝑠𝜃 14𝑠𝑖𝑛𝜃 2 48𝑐𝑜𝑠𝜃 14𝑠𝑖𝑛𝜃 49

𝜃 

B O

C

D A

(33)

⇒ 𝛼 𝜃 𝑠𝑖𝑛 0.98 或 180° 𝑠𝑖𝑛 0.98

⇒ 𝛼 𝜃 78.5217° 或 101.4783°

⇒ 𝜃 4.7819° 或 27.7385°

3 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 50 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃

50𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝜃 , 其中 α 𝑠𝑖𝑛 0.96 73.7398° 當𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝜃 1 時,𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 50 為最大值 此時 𝛼 𝜃 90°⇒ 𝜃 90° 73.7398° 16.2602 試題解析 評量目標:

正、餘弦的意義與應用,正、餘弦函數的疊合,計算機上反三角 函數鍵的使用

試題分析:

此種題型在計算機的應用之下,數據的設計不再需要特別角的情 況。而反三角函數鍵的使用,讓學生在三角函數及其相關問題 時,更能有感的學習。

(34)

試題編號 C-03

試題原文 Jane and William saved some money over a number of years.

(a) On 1 May 1998 Jane opened an account by investing $900 into the account.

(1)Show that the total sum in the account immediately after this is $1854.

(2)On 1 May 2000 she invested a further $900.

Find the sum of money in the account immediately after this.

(3)She made a final investment of %900 into the account on 1 May 2001.

She withdrew all of the money in the account on 1 May 2002.

Find,correct to the nearest cent, the sum of money she withdrew.

(b) On 1 May 1998 William invested $900 for 4 years at 6% per annum simple interest.

(1)Calculate the interest he received on his invstment.

(2)He invested another $900 for 3 years at 6% per annum simple interest on 1 May 1999,then $900 for 2 years at 6% per annum simple interest on 1 May 2000,and a final $900 for 1 years at 6% per annum simple interest on 1 May 2001.

William withdrew all of his money on 1 May 2002.

Calculate how much more money Jane withdrew than William.

試題翻譯 Jane 和 William 在幾年中各存了一些錢。

(a)1998 年 5 月 1 日,Jane 開了個戶頭並存入 900 元,且利率為 每年6%,複利計算。

1999 年 5 月 1 日,Jane 於該戶頭再存入 900 元。

(1) 說明當時 Jane 的戶頭裡總共有 1854 元。

(2) 2000 年 5 月 1 日,Jane 於該戶頭再存入 900 元,試計算此 時Jane 的戶頭裡總共有多少錢?

(3) 2001 年 5 月 1 日,Jane 於該戶頭存入最後一筆 900 元,並 於2002 年 5 月 1 日全部領回,則她共可領回多少錢?

(35)

2000 年 5 月 1 日,William 再存入 900 元,且為期 2 年,2001 年 5 月 1 日,William 存入最後一筆 900 元,且為期 1 年,William 於2002 年 5 月 1 日全數領出。請計算 Jane 比 William 多領出幾 元?

試題詳解 (a)(1)900x1.06+900=1854 (2)1854x1.06+900=2865.24

(3)2001 年 5 月 1 日,Jane 的戶頭裡總共有 2865.24x1.06+900=3937.1544 元

2002 年 5 月 1 日,Jane 的戶頭裡總共有 3937.1544x1.06=4173.38366 4173.38 元 (b)(1)900x(1+4x0.06)-900=216

(2)2002 年 5 月 1 日,William 的戶頭裡總共有 900x(1+4x0.06)+

900x(1+3x0.06)+ 900x(1+2x0.06)+ 900x(1+0.06)=4140 元 Jane 比 William 多領出 4173.38-4140=33.38 元 試題解析 評量目標:

利息單利與複利的計算方法 試題分析:

1.(a)和(b)題中的第(1)小題,在於檢視學生是否能知道單利與複利 的計算方法。

2.讓學生了解在每年存入 900 元,為期四年後,複利計息和單利 計息的差異。

3.可增加一小題:在第一次就存入 900x4=3600,比較與上述兩種計 息方法的差異。

91 學測 多選題 11

某 甲 自 89 年 7 月 起 , 每 月 1 日 均 存 入 銀 行 1000 元 , 言 明 以 月 利 率 0.5% 按 月 複 利 計 息 , 到 90 年 7 月 1 日 提 出 。 某 乙 則 於 89 年 7 月 起 , 每 單 月 (一 月 、 三 月 、 五 月‧‧‧)1 日 均 存 入 銀 行 2000 元 , 亦 以 月 利 率 0.5% 按 月 複 利 計 息 , 到 90 年 7 月 1 日 提 出 。 一 整 年 中 , 兩 人 都 存 入 本 金 12000 元 。 提 出 時 , 甲 得 本 利 和 A 元 , 乙 得 本 利 和 B 元 。 問 下 列 選 項 何 者 為 真 ?

(1) B>A

(2) 



 

 

12

1 1000

1000 1005

k

k

A

(36)

(3) 



 

 

6

1

2

1000 2000 1005

k

k

B

(4)

12

1000 12000 1005

 

A

(5)

12

1000 12000 1005

 

B

(37)

試題編號 C-04

試題原文 The price ,$P,of a company share on 1 January has been increasing each year from 1995 t0 2015. The company claims that this increase is exponential and so can be modelled by an equation of the form

𝑃 𝑃 𝑒 ,

where 𝑃 and 𝑘 are constants and t is the time in years since 1 January 1995. The table below gives values of 𝑃 and 𝑡 for some of the years 1995 t0 2010.

Year 1995 2000 2005 2010

tyears 0 5 10 15

$P 2.00 2.44 3.00 3.65 (1) Plot a suitable straight line graph to show that the model is

valid for years 1995 t0 2010.

(2) Estimate the value of 𝑃 and 𝑘.

(3) Assuming that the model is still appropriate, estimate the price of a share on 1 January 2015.

試題翻譯 一間公司的股價($P)從 1995 年的 1 月 1 日到 2015 年逐年成長。

該公司宣稱此成長符合自然指數,且可以下列函數建模 𝑃 𝑃 𝑒 ,

其中𝑃 和𝑘為常數,t(年)為從 1995 年的 1 月 1 日起所經過的時 間。

下表為1995 到 2010 年間某些年的𝑃和𝑡的值。

年分 1995 2000 2005 2010

t 年 0 5 10 15

$P 2.00 2.44 3.00 3.65 (1) 畫一條適合直線來說明在此建模 1995 到 2010 年間是合理的 (2) 試估計𝑃 和𝑘的值

(3) 假設此模型依然合適,試估計 2015 年 1 月 1 日的股價 試題詳解 (1)

(38)

過C,D 兩點的直線

由圖可知A,B,C,D 四點不會在一直線上,推論指數函數的模型可 能比較合適

(2)𝑃 2 , 𝑡 0 代入𝑃 𝑃 𝑒 ⇒ 𝑃 2

(a)𝑃 2.44 , 𝑡 5 代入𝑃 2𝑒 ⇒ 𝑘 0.0398 (b) 𝑃 3.65 , 𝑡 15 代入𝑃 2𝑒 ⇒ 𝑘 0.0401 (3) t=20 代入

(a) 𝑃 2𝑒 . 2𝑒 . 4.4333 (b) 𝑃 2𝑒 . 2𝑒 . 4.4599 試題解析 評量目標:

指數函數的應用 試題分析:

(a)和(b)題中分別以 2000 和 2010 年的數據估算𝑘,兩者相差 0.0003,但在估算 2015 年時,兩者差距來到 0.0266。

本題重點應是檢測學生如何以數據計算𝑘,並根據所得推估 2015 年的股價。

(39)

試題編號 C-05

試題原文 Mathematics p101 #5

In the pentagon ABCDE, angles BCD, BDA and AED are each 90° and angle ADE is 18°. CD=5 cm, BD=6 cm and AD=14 cm.

Calculate (a)angle CDB, (b)AE,

(c)the radius of the circle through A, B and D.

試題翻譯 已知五邊形ABCDE中,∠BCD ∠BDA ∠AED 90°,∠ADE 18°,且𝐶𝐷 5,𝐵𝐷 6,𝐴𝐷 14,試求

(a)∠CDB,(b)𝐴𝐸,(c)通過A,B,D三點的圓之半徑。

試題詳解

a Δ𝐵𝐶𝐷 : 𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐷𝐵 ⇒ ∠𝐶𝐷𝐵 𝑐𝑜𝑠 33.56° b Δ𝐴𝐷𝐸 : 𝐴𝐸 14 𝑠𝑖𝑛18° 14 0.31 4.34

c Δ𝐴𝐷𝐵為直角三角形⇒外接圓半徑 𝐴𝐵 √14 6

7.62 試題解析 評量目標:

直角三角比、外接圓、畢氏定理、根號、反三角 試題分析:

(a)108 課綱有介紹利用反三角求角度(高中),讓學生在∠𝐶𝐷𝐵滿足 𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐷𝐵 外,對角度的大小更有感。

(b)在國中的直角三角筆可以處理非特別角的問題,且除了以 14𝑠𝑖𝑛18°表示𝐴𝐸長度外,引入計算機之後可估算其近似值。

(c)利用計算機計算出 7.62,讓長度不再只是符號。

(40)

試題編號 C-06

試題原文 (1) Given that u 2 , express 2 2 6 as an equation in u.

(2) Hence find the values of x for which 2 2 6, giving your answer, where appropriate, to 1 decimal place.

(3) Explain why the equation 2 2 𝑘 has no solution if k 8.

試題翻譯 (1)令 u 2 ,試將方程式 2 2 6 表示成 u 的方程 式。

(2)求解滿足方程式 2 2 6,的 𝑥 值到小數點後第一 位。

(3)解釋當 k 8 時,方程式 2 2 𝑘 無解。

試題詳解

(1) 2 2 6 ⇒ 2 4 2 6 ⇒ 𝑢 4𝑢 6。

(2) 𝑢 4𝑢 6 ⇒ 𝑢 8𝑢 12 0 ⇒ 𝑢 2 𝑢 6 0

⇒ 𝑢 2 或 6

即2 2 或 6 ⇒ 𝑥 1 或 𝑙𝑜𝑔 6 ⇒ 𝑥 1 或 2.6。

(3) 2 2 𝑘 ⇒ 𝑢 4𝑢 𝑘 0

(a) 𝑢 4𝑢 𝑘 0 ⇒ 𝑢 4 8 𝑘 ……(*) 當8 𝑘 0 時,即 k 8 ,此時方程式(*)無解。

(b) 𝑢 4𝑢 𝑘 0 ,其中 u 2 ,

若 𝑢 的二次方程式的解為”兩負根”或”無實數根”,則 𝑥 無解。

由根與係數關係:兩根和為 8 0 ⇒ 方程式不會有 兩負根的情形 ;

(41)

y 𝑢 4 𝑘 8與𝑥軸的相交情形

拋物線 y 𝑢 4 𝑘 8的開口向上,頂點 4, k 8

⇒當k 8 時,拋物線與𝑥軸不相交,

即此時無解。

(d)方程式(*)可表為 𝑢 4 8 𝑘,可視為拋物線 y 𝑢 4 8與𝑦 𝑘的相交情形

拋物線 y 𝑢 4 8的開口向下,頂點 4,8 ⇒當 k 8 時,拋物線與𝑦 𝑘不相交,

即此時無解。

試題解析 評量目標:

(42)

試題分析:

(a)基本運算能力之外,善用計算機並做近似值計算。

(b)一元二次方程式的代數解與函數圖形的解讀可互相呼應。

(c)一題多解讓學生的思考不受限制。

(43)

使用計算機的數學評量試題研究成果

蘇惠玉 老師

臺北市立西松高級中學

試題編號 D-01

試題原文 O level (藍本 P.103)

In the diagram, the rectangle ABCD represents a vertical cliff face. The bottom of the cliff, AB, runs from West to East, and is at sea level. A yacht is in the sea at Y.

Angle BAY=750, angle AYB=630 and AB=35 m.

(a) Find the bearing of Y from B.

(b) Show that BY=37.9 m, correct to three significant figures.

(c) Calculate the area of triangle ABY.

(d) Calculate the shortest distance from the yacht to the cliff.

(e) The angle of depression of the yacht when viewed from C is 180. (i) Find the height of the cliff.

(ii) Calculate the greatest possible value of the angle of elevation of the top of the

cliff when viewed from the yacht.

試題翻譯 如圖,矩形 ABCD 為一個垂直的懸崖面,懸崖由西到東的底部 AB 為海平面。海上有一艘遊艇在 Y 的位置,已知∠

BAY=750,∠AYB=630 且 AB=35 公尺。

(a) 以 B 為原點,求 Y 的方位角。

(b) 證明 BY=37.9 公尺,正確到 3 位有效數字。

(c) 計算△ABY 的面積

(d) 計算遊艇到懸崖的最短距離。

(e) 由 C 點看遊艇的俯角為 180, (i) 求懸崖的高度

(44)

試題詳解 (a) 由△ABY 內角和可知∠ABY=1800−750−630=420 所以Y 的方位角為 1800+480=2280

(b) 由正弦定理可知 35 0 0 sin 63 sin 75

BY ,所以

0 0

35 sin 75 sin 63

BY   =37.9 公尺。

(c) △ABY 面積=1 sin 420 2AB BY  =1

2×35×37.9×0.669≈444 平 方公尺

(d) 設遊艇到懸崖的最短距離為 h,△ABY=1

2×35×h,即 444=1 2

×35×h,

h≈25.4 公尺

(e) (i) 在△CYB 中,∠CYB 亦等於 180,因此 tan180

37.9 BC BC

BY  ,

BC37.9 tan18 0≈12.3 公尺

(ii) 當遊艇 Y 到懸崖的距離有最小值時,此時從遊艇 Y 看懸 崖頂部會有最大仰角,設此角為θ,那麼

tan =12.3 25.4

 懸崖高度h

≈0.484,所以 θ≈25.80

試題解析 評量目標:三角測量

評量中檢測的數學概念:正弦定理、三角形面積(正弦)、三角 比,反三角

試題分析:

(1) 題目的結構相當清楚,利用小題連接的順序引導或提供後續 問題的啟發,並在一個題組中完整檢測三角測量的相關概 念。

(2) 由於可使用科學型計算機,因此不必侷限於特殊角,數據可 接近真實情境。

(3) 在沒有計算機的幫助下,(e)這類的問題幾乎不可能在測驗中 出現,但是有科學型計算機可利用時,就可檢測某些實際測 量時會出現的問題,並增進學生嘗試歸納的機會。

(45)

試題編號 D-02 試題原文

.[ It is given that the volume of a sphere of radius r is4 3

3 and that r the volume of a circular cone with base radius r and height h is

1 2

3r h.]

A toy manufacturer makes a toy which consists of a hemisphere of radius r cm joined to a circular cone of base radius r cm and height h cm (see diagram). The manufacturer determines that the length of the slant edge of the cone must be 4 cm and that the total volume of the toy, V cm3, should be as large as possible.

(i) Find a formula for V in terms of r. Given that r r is the value of 1 r which gives the maximum value of V, show that r satisfies the 1 equation 45r4 768r21024 0 .

(ii) Find the two solutions to the equation in part (i) for which r>0, giving your answers correct to 3 decimal places.

(iii) Show that one of solutions found in part (ii) does not give a stationary value of V. Hence write down the value of r and find 1 the corresponding value of h.

(iv) Sketch the graph showing the volume of the toy as radius of the hemisphere varies.

試題翻譯

[半徑 r 的球體體積為4 3

3 ;底圓半徑 r,高度 h 的圓錐體積為r 1 2

3r h]

有一個玩具製造商想要製作一個玩具,這個玩具包含一個半徑為

(46)

分的圓錐(如圖)。這個製造商決定圓錐的斜邊長必須是 4 公分且 讓體積盡可能的大。

(i) 將體積 V 表示成 r 的關係式。若r r 時有最大體積,證明1 r 滿1 足方程式45r4 768r21024 0

(ii) 當 r>0 時,找出在(i)之等式的兩個解,給出的答案要準確到小 數點後3 位。

(iii) 證明在(ii)中所找出的解其中一個不為 V(r)函數的駐點值,因 此寫出r 的值並找出此時相對應的 h 值。 1

(iv) 作出以半球體之半徑為變數的體積函數圖形。

試題詳解

(i) 體積 ( ) 2 3 1 2

3 3

V r  r  r h ,其中h 16r2 代入,因此

3 2 2

2 1

( ) 16

3 3

V r  r  r  r ( )

V r 的最大值發生在V r'( ) 0 時

1

2 2 2 1 2 1 2 2

'( ) 2 16 [ (16 ) ( 2 )]

3 3 2

V r  r  rr  r  r   r =

3

2 2

2

2 2 16

3 3 16

r r r r

r

     

 =0 時,

2 2

6 2 16 2

16

r r r

    r

2 2 2

6 16r r 2(16 r ) r

     , 6 16rr2 3r232,兩邊 平方

2 2 4 2

36 (16r r ) 9r 192r 1024

     ,整理可得

4 2

45r 768r 1024 0 ,

亦即若r r 時1 V r( )有最大值,r 須滿足1

4 2

45r 768r 1024 0

(ii) 解方程式45r4768r21024 0 ,

2 768 7682 4 45 1024 r  90  

 ≈768 636.791959

90

 且r>0,

故可得r=3.950 或 r=1.207

(iii) 將 r=1.207 分別帶回V r'( )計算,可得V'(1.207)≈18.311≠0,因 此當r=1.207 時,不會是 V(r)函數的駐點,而V'(3.950)=0,

(47)

另法:由V(r)的函數圖形可知,在 r≈3.950 時 V(r)有最大值,

因此取r =3.950 公分,此時此時 h=0.397 公分。 1

(iv) 上右圖為以 x 軸與 y 軸單位長比例 1:20 所繪製的 y=V(r)函數 圖,可以清楚看出當r≈3.950 時 V(r)函數有極大值。

試題解析 評量目標:微積分導數的應用(函數的極大值)

評量中檢測的數學概念:微分求導函數,函數極值點的性質,函 數繪圖

試題分析:

(1) 這個問題所要檢測的概念相當單純,就是函數的極大值,不 過如果沒有繪圖型計算機的幫助,當求出

(48)

要純粹手動計算,需要花費相當多的時間,即使是科學型計 算機也難在短時間得出正確的結果;不過利用繪圖型計算機 時,可以輕易得知一階導函數等於0 的值,或是某一點的函 數值。

(2) 此題的體積函數與其一階導函數的圖形皆不容易在沒有軟體 的幫助下繪出,利用繪圖計算機繪出圖形之後,學生可以藉 由圖形的幫助來判斷答案的正確性,以及進一步認識到這兩 個函數圖型的特性。

(49)

試題編號 D-03

試題原文 Find the set of values of the constant k for which the liney k x (  1) intersects the curve y x26x k at two distinct points.

試題翻譯 若直線y k x (  與曲線1) y x26x k 相交於相異兩點,求 k 的 範圍。

試題詳解 將y k x (  代入1) y x26x k ,可得 x 的二次方程式:

kx k x  26x k

x2 (6 k x) 2k  ,交於相異兩點表示此二次方程式有 2 個0 相異實根,

因此判別式D (6 k)28k ,整理得 0 k2 20k36 0

(k18)(k  ,可得 k 的範圍為2) 0 k 18或k2。

試題解析 評量目標:二次不等式,一次與二次函數圖形的關係 評量中檢測的數學概念:二次不等式、二次方程式的根 試題分析:

1. 如果使用圖形式計算機或計算軟體,考生可先畫圖(數值滑 桿),嘗試改變 k 值以檢驗圖形的關係,進而猜測 k 值可能的 範圍。

2. 在教學上,這類型式的問題通常僅教授代數解法,可嘗試配 合幾何圖形說明。在軟體上,利用數值滑桿,可讓學生先感 受直線y k x (  中的 k 值代表何意,以及二次曲線1)

2 6

y x  x k 中的 k 值的幾何意義,讓學生在圖形中感受兩 者相配合時,曲線的頂點(或 y 截距)與直線斜率應該取何值才 會相教於相異兩點,讓學生進一步由幾何圖形理解與整合直 線與二次曲線的幾何性質。

(50)

試題編號 D-04

試題原文 (i) Find the integer which satisfies the equation x3 x2 11x  . 3 0 (ii) Find, in the form a b 3, where a and b are integers, the other

values which satisfy the equation.

試題翻譯 (1) 找到一個整數滿足方程式x3 x2 11x  。 3 0

(2) 求滿足此方程式的其他數值,並以a b 3的形式表示,

其中a, b 為整數。

試題詳解 (1) 設 f x( )x3x211x , ( ) 03 f x  的可能有理根為±1、±3,

f( 1) 0  , (1) 0f  , (3) 0f  , ( 3) 0f   ,可知 x=−3 為

3 2 11 3 0

x  x x  的整數根。

因為x3x211x 3 (x3)(x24x ,當1) x24x  時, 1 0 4 16 4

x  2  = 2 3,因此方程式的另二根為2 3。 試題解析 評量目標:一次因式檢驗法,解三次方程式

評量中檢測的數學概念:方程式的有理根檢驗,除法做因式分 解,二次方程式的公式解

試題分析:

1. 如果可利用計算機,係數就可稍微大一點,讓考生利用計算 機計算函數值

2. 可用繪圖型計算機畫出三次函數的圖形,並看出此函數與 x 軸有3 個交點,其中整數解很容易看出,但是如果要求另二 根的精確值,學生必須曉得利用一次因式將方程式降次,以 求得其他解。

3. 如果直接利用繪圖型計算機求解三次方程式,考生必須知道 將計算機顯示的方程式解改成精確解(a b 3)的形式。

(51)

試題編號 D-05

試題原文 It is known that x and y are related by the formula xy a bx  , where a and b are constant.

x 2 4 6 8 10 y 38 21.3 18.8 13.1 11.5

Express this equation in a form suitable for drawing a straight line graph.

Draw this graph for given data and use it to estimate the value of a and of b.

試題翻譯 已知 x 與 y 的關係式為xy a bx  ,其中a, b 為常數

x 2 4 6 8 10 y 38 21.3 18.8 13.1 11.5

藉由畫出一條最適直線來表達這個關係式。利用給出的數據點畫 出此直線,並以此直線估計a 與 b 的值。

試題詳解

(1) 將xy a bx  表示成y a b

 x ,以1

x為橫坐標,y 為縱座標作 圖

x 2 4 6 8 10

y 38 21.3 18.8 13.1 11.5 1

x 0.50 0.25 1

6≈ 0.17 1

8≈0.13 0.10 (2) 作圖,可變換刻度比,讓直線更容易觀察

(52)

(3) 選擇適合的二點作直線,其中 a 為此直線的斜率,b 為此直線 的y 截距

①選擇過(0.5, 38)、(0.1, 11.5)

此時直線方程式為y66.25x4.88,因此a=66.25, b=4.88

②選擇過y 軸的(0, 5)與(0.1 11.5),此時 b=5,斜率 a=65

③計算( , )1 y

x 的迴歸直線,得a=65.058, b=5.5767

試題解析 評量目標:直線方程式,建模

評量中檢測的數學概念:直線方程式 試題分析

1. 在新加坡的直線圖形單元中,似乎有教授如何利用直線去近 x 軸:y 軸=1:100 

(53)

之標準解法為將xy a bx  表示成y a b

 x ,以( , )1 y

x 為點作

圖來求最適直線,此時的最適直線會根據所選擇的點而找出 不同的a 與 b。

2. (1) 在教學時,已知 5 個數據點的條件下,可以利用 GGB 類 的軟體,讓學生試著由原本的雙曲線圖形xy a bx  中,以盡 可能得符合數據點的形式,利用數值滑桿探索a, b 可能的 值,並由圖形理解a, b 在這個曲線圖形中的意義。

(2)在探索的過程中,讓學生經驗到「因為不容易決定 a, b,因 此才改以直線做近似逼近」,並將關係式xy a bx  改成直線 的y a b

 x

(3) 在描完所有數據點( , )1 y

x 後,發現由於y 坐標的值較大,

而x 坐標的值太小不容易觀察最適直線,此時可讓學生思考 解決方式,讓學生了解有時適當地改變刻度比例,可以讓圖 形的關係更清楚。

(54)

試題編號 D-06

試題原文 In a training exercise, athletes run from a starting point O to and from a series of points , A1, A2, A3, …, increasingly far away in a straight line. In the exercise, athletes start at O and run stage 1 from O to A1, and back to O, then stage 2 from O to A2 and back to O, and so on.

(i)

In Version 1 of the exercise, the distances between adjacent points are all 4 m (see Fig. 1).

(a) Find the distance run by an athlete who completes the first 10 stages of Version 1 of the exercise.

(b) Write down an expression for the distance run by an athlete who completes n stages of Version 1. Hence find the least number of stages that the athlete needs to complete to run at least 5 km.

(ii)

In Version 2 of the exercise, the distances between the points are such that OA1=4 m, A1A2=4 m, A2A3=8 m, A An n1 2A An1 n (see Fig. 2). Write down an expression for the distance run by an athlete who completes n stages of Version 2. Hence find the distance from O, and the direction of travel, of the athlete after he has run exactly 10 km using Version 2.

試題翻譯 在某種體能訓練中,運動員從 O 點出發跑向在直線上的一系列的 點A1、A2、A3,…,這些點離 O 點距離越來越遠。在這個訓練 過程中,第一階段從O 點跑向 A1,再從A1跑回O 點;第二階段 從O 點跑向 A ,再從A 跑回O 點;如此繼續下去。

(55)

在訓練方式1 中,相鄰 2 點之間的距離都是 4 m(如圖一) (a) 在訓練方式 1 中,求運動員完成前 10 個階段所跑動的距離 (b) 寫出運動員完成訓練方式 1 的 n 階段時所跑動的距離關係

式;由此求出運動員最少跑動5km 時,至少需要完成到第幾 階段?

(ii)

在訓練方式 2 中,相鄰 2 點之間的距離為 OA1=4m,

A1A2=4m, A2A3=8m,且 AnAn+1=2 Anെ1An (如圖二)。寫出在方式 2 中運動員完成n 階段時跑動的距離關係式,並求出在方式 2 中運 動員剛好跑完10km 時,他與 O 點的距離,以及此時運動的方 向。

試題詳解 (i) (a) 前 10 階段的距離為 2(4+8+12+…+40)=8(1+2+3+…+10)=8×

10 11 2

 =440m

(b) 完成 n 階段時跑動的距離為 8×(1+2+3+…+n)=8× ( 1) 2 n n

=4 (n n1)

因此當4 (n n 1) 5000時,n n(  1) 1250,因為 34×35=1260, 35×36=1190,因此至少須完成到 35 階段。

(ii) 完成 n 階段時跑動的距離為

2 3 4 1

2(2 2 2  ... 2 )n = 4 (2 1) 2 2 1

n

 

=8 (2n 1)

當8 (2n =10000 時,即 2 11) n =1250, 2n=1251,因此可知此 時運動員已完成第10 階段,在進行第 11 階段中。

(56)

11 階段從 O 點往 A11跑動的過程中,因為

4+4+8+16+32+…+29=2+(2+22+23+…+29)=2+2(29 1) 2 1

 =1024(到 A9時),而A A9 10210=1024,已超過 10km,因此當距離恰好 為10km 時,運動員以遠離 O 的方向,行進到 A9與A10之 間,距離O 點 1816m 處。

試題解析 評量目標:等差級數、等比級數

評量中檢測的數學概念:數列規律、等差級數求和,等比級數求 和

試題分析:

1. 在等差與等比級數的加總計算時,可適時利用計算機幫助 計算。如果考試時有計算機輔助計算,等比的底就可不必 侷限在2,可以有較大或小數的情形(不過仍須符合真實情 境)。

2. 當學生有計算機時,在不曉得級數和公式或距離關係式的 情況下,可能直接利用計算機加總計算,可讓一些學生利 用計算機解決問題。

3. 此問題可算是等差與等比級數和應用的素養題,相較一般 台灣的試題,較能跟生活情境結合,應用數學解決日常生 活會發生的問題,也能充分檢測等差與等比級數求和的數 學技巧。

(57)

使用計算機的數學評量試題研究成果

蘇麗敏 老師

臺北市立第一女子高級中學

試題編號 E-01 試題原文

(total: 4.0 million worker)

Of the temporary workers who worked in the industrial area, 10 percent worked for 6 automobile companies. What was the

approximate average(arithmetic mean)number of temporary industrial workers who worked in each of these companies?

(A) 12000 (B) 19000 (C) 22000 (D) 170000 (E) 190000

試題翻譯

行政類  0.427  工業類  技術類 

0.13  專業類  0.059 

醫療類 0.063  其他 0.03 

(58)

工作總人數:400 萬人

上面的圖表為S 國的臨時工在 1993 年的工作區域分類表。

已知在工業區工作的臨時工中,有10%在 6 家汽車公司工作。在 這些公司工作的臨時工人中,試求每一家公司中工業類工作者的 平均數(算術平均數)大約是多少?(全部工人共有 4 百萬) (A) 12000 (B) 19000 (C) 22000 (D) 170000 (E) 190000

試題詳解 4 10 60.1 0.291 6 19400   ,所以選(B) 試題解析 評量目標:統計圖表

評量中檢測的數學概念:算術平均數、百分比、圓形圖

試題分析:GRE 中的數學試題,幾乎一大半是比例的概念題,這 題是統計圖表搭配比例概念,加上算術平均數,是很基本的統計 題,因為是比例,數字雖有點小複雜,但搭配計算機的操作,可 說是完全能呈現學生識圖,以及閱讀理解的能力。

(59)

試題編號 E-02

試題原文 At the beginning of an experiment, there were 10,000 bacteria in a certain culture. The number of bacteria increased by 20 percent every hour. At the end of

N hours, there were between 20,000 and 25,000 bacteria in the culture.

Which of

the following could be the value of N?

Indicate all such values

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (D) 7

試題翻譯 在實驗開始時,某種培養物中有10,000 個細菌。已知細菌數量每 小時增加 20%。在 N 小時後,培養物中有 20,000 到 25,000 個細 菌。請問下列哪些是可能的N 值?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (D) 7 試題詳解 20000 10000 (1.2)  N 25000

2 (1.2) N 2.5  N  或 4 3 試題解析 評量目標:指數概念

評量中檢測的數學概念:倍數、指數 試題分析:

簡單的指數概念問題,其實若有計算器的搭配使用,數值不一定 要如此的小,增加 20%,也可改成 16%這種數值,或許他們認 為這樣的數值,計算能力快的人,不需要計算器的使用,也可快 速算出。

(60)

試題編號 E-03

試題原文 An art gallery displays 10 paintings in row. Of these paintings, 5 are by Picasso, 4 by Monet and 1 by Turner.

(1)Find the number of different ways the paintings can be displayed if there are no restrictions.

(2)Find the number of different ways the paintings can be displayed if the paintings by each of the artists are kept together.

試題翻譯 一個藝術畫廊展出10 幅畫作。 在這些畫作中,有 5 幅是畢加 索,4 幅是莫奈和 1 幅特納的畫作。

(1)如果沒有任何限制,試求共有多少種不同的繪畫展出方 式。

(2)如果同一個藝術家的作品須放在一起,試求共有多少種不 同的繪畫展出方式。

試題詳解 (1) 10! 3628800 (2) 5! 4! 1 3! 17280   

試題解析 評量目標:理解乘法原理及排列組合中相鄰物的排列,以及不同 種類物品的次序排列。

評量中檢測的數學概念:乘法原理、排列組合。

試題分析:

此題是很基本的乘法原理、排列概念的運用,第(2)題學生容易忽 略3 類物品彼此間得再排列一次,有了計算機的協助,這類問題 就不須被侷限住於很小的數字,物品的種類也可變多,像這樣的 問題,能評量學生是否能理解排列組合,無須操作太複雜的分類 討論,實在是比較適合當作排列組合的評量考題。

(61)

試題編號 E-04

試題原文 A particle travels in a straight line so that, ts after passing through a fixed point O, its velocity vms1 , is given by v=3 + 6sin2t

(1)Find the velocity of the particle when

t  4 (2) Find the acceleration of the particle when t  2

試題翻譯 一微粒以直線行進,在經過固定點O t 秒後,它的速度為 v 公尺/秒,且滿足 v = 3 + 6sin2t

(1)試求出此微粒在 t 4

 秒時的速度 (2)試求出此微粒在t  時的加速度 2 試題詳解

(1) 3 6sin(2 ) 9 / v  4  m s (2)dv 6(cos 2 ) 2 12 cos 2

t t

dt    ,t  時的速度為 2 12 cos 4  7.84 /m s2

試題解析 評量目標:理解速度隨時間改變的函數,以及速度的微分概念即 是加速度。

評量中檢測的數學概念:三角函數、三角的導函數。

試題分析:

理解速度與時間的函數關係,運用三角函數作為連結,檢測學生 基本的三角函數能力,以及三角函數的微分、速度的微分為加速 度等概念,僅有最後才搭配計算機約估此微粒在t  時的加速2 度,讓學生更能體會出此微粒加速度為負的,具備數感的學習。

(62)

試題編號 E-05

試題原文 The diagram shows a car bardge ATBUCVDWA, in which ABCD is a square of side 8cm. Points P, Q, R and S are the mid-points of AB, BC, CD and DA respectively. The arc BUC is part of a circle with centre S.

Arcs CVD, DWA and ATB have centres P, Q and R respectively.

(1)Show that angle BSC is 0.927 radians, correct to 3 significant figures.

(2)Find the perimeter of the car badge.

(3)Find the area of the car badge.

試題翻譯 下圖ATBUCVDWA 為一車子的徽章,ABCD 是一個邊長為 8 公 分的正方形,P,Q,R,S 分別為AB BC CD DA, , , 邊上的中點,弧

BUC 是位在 S 為圓心的圓的一部分,同理弧   CVD DWA ATB, , 所在圓的圓心分別為P,Q,R。

(1)說明BSC 0.927 ,精確到小數點後第 3 位。

(2)求此車子徽章的周長 (3)求此車子徽章的面積

(63)

試題詳解 (1)

由 1 1 2 4

sin sin 2

5 5 5 5

CSQ CSB

       

利用計算器的sin 0.8 0.927295218... 0.9271  

(2)周長為4BC  4 4 5 0.927 33.165  公分 (3)先求弓形區域(BUC)面積為

1 (4 5)2 0.927 32 5.08

2   

全部的面積 5.08 4 8 8 84.32    平方公分

試題解析 評量目標:檢測學生能利用角度與弧長及扇形面積的關係,利用 量測出弧長,進而求出所對的角度。

評量中檢測的數學概念:扇形的弧長與面積,利用計算器求反三 角角度。

試題分析:這題並沒有運到到很深的數學概念,利用簡單的三角 比搭配計算器的使用,即可求出角度的近似值。整題中除了角度 的近似值外,無理數 5 的計算,若沒有搭配計算器的使用,角 度無法求出,整個的運算也會變得相當複雜,因此如果只是想檢 測學生的理解概念,不是考驗計算能力,計算器的搭配是相當有 必要的。

(64)

試題編號 E-06 試題原文

The table shows experimental values of two variables, x and y

It is known that x and y are related by the equation y10Abx , where A and b are contants.

(1)Using graph paper, draw the graph of lg(y-10) against x and use your graph to estimate the value of A and of b.

(2)By drawing a suitable line on your graph, solve the equation 102

x x

Ab  .

x 0.5 1.0 1.5 2,.0 y 15.9 19.1 23.4 30.2

試題翻譯 下列表格表示變數x,y 的實驗數值

已知x,y 具有下列方程式y10Abx 的相關性,其中 A,b 是常 數。

(1)使用繪圖紙,畫出log(y10)對x 的圖形,並利用圖形估計 Ab 的值。

(2)藉由畫出一條適合的直線,求解方程式Abx 102x x 0.5 1.0 1.5 2,.0 y 15.9 19.1 23.4 30.2

試題詳解 將表格轉換如下:

x 0.5 1.0 1.5 2,.0 lg(y-10) 0.7718 0.9590 1.1271 1.3053

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