9.2 Direction filed and Euler’s method
3. (III)，易得
𝑦 = 2 + 𝐶𝑒−𝑥
6. 代入𝑥 = 𝑘𝜋，可知𝑦′ = 0，因此斜率會有週期性地變為0 又當𝑥任意，而𝑦 = 𝜋時斜率亦為0，從而選(II)。
12. 透過描點法得到許多點的斜率，直接的解法為 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = −𝑥2 兩邊同乘e−x有
𝑒−𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥− 𝑒−𝑥𝑥𝑦 = −𝑥2𝑒−𝑥 因此
𝑑
𝑑𝑥(𝑒−𝑥𝑦) = −𝑥2𝑒−𝑥 兩邊積分可得
𝑒−𝑥𝑦 = 𝑥2𝑒−𝑥+ 2𝑥𝑒−𝑥+ 2𝑒−𝑥+ 𝐶, 其中𝐶為常數 故
𝑦 = 𝑥2+ 2𝑥 + 2 + 𝐶𝑒𝑥
18. 由圖，猜測只是個單純的多項式，猜測為𝑓(𝑦) = 𝑦4− 5𝑦2+ 4，從而 ( 1
𝑦2− 4− 1
𝑦2− 1) 𝑑𝑦 = 3𝑑𝑥 即
( 1
𝑦 − 2− 1
𝑦 + 2− 2
𝑦 − 1+ 2
𝑦 + 1) 𝑑𝑦 = 12𝑑𝑥 因此可解得
ln|𝑦 − 2| − ln|𝑦 + 2| − 2 ln|𝑦 − 1| + 2 ln|𝑦 + 1| = 12𝑥 + 𝑐 即
ln |(𝑦 − 2)(𝑦 + 1)2
(𝑦 + 2)(𝑦 − 1)2| = 12𝑥 + 𝑐 即
(𝑦 − 2)(𝑦 + 1)2
(𝑦 + 2)(𝑦 − 1)2 = 𝐶𝑒12𝑥
若𝑥 → 0，則分𝐶的情況可解得𝑦可能趨近的值，或不存在。
