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簡介 Galois 理論

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Academic year: 2022

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(1)

簡介 Galois 理論

李華介

國立台灣師範大學數學系

(2)
(3)

前言

本講義主要目的是要簡單的介紹Galois 理論. 涉及的層面只是 Galois 理論的基本概念, 並 不談其應用及推廣. 我們所需的預備知識是基本的線性代數及我的大學基礎代數講義中的 第三部份 “Fields”. 這些預備知識基本上在本講義中是不會再給證明, 不過若牽涉一些概 念上的問題我們會將其概念再詳述一遍.

v

(4)
(5)

Contents

前言 v

Chapter 1. Field Extensions 1

§1.1. 有關 Field Extension 的觀念 1

§1.2. Field Extension 的 Degree 4

§1.3. Field Extensions 的分類 5

Chapter 2. Galois Group 和 Fixed Field 11

§2.1. Galois Group 11

§2.2. Fixed Field 17

§2.3. Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係 20 Chapter 3. Normal Extension 和 Separable Extension 27

§3.1. Splitting Field 27

§3.2. Normal Extension 32

§3.3. Separable Polynomial 39

§3.4. Separable Extension 44

Chapter 4. Galois Extension 49

§4.1. Fundamental Theorem of Galois Theory 49

§4.2. Galois 理論的應用 55

§4.3. Galois 理論的例子 59

vii

(6)
(7)

Chapter 1

Field Extensions

在本章中我們將回顧一些有關 field extension 的基本性質並介紹其和 Galois theory 相關 的一些概念.

1.1. 有關 Field Extension 的觀念

在這一節中我們希望說明一些觀念, 這些觀念說實話不容易講清楚, 如果同學無法完全了 解也沒有關係, 可以依你所知的概念繼續研讀以下其他的章節. 等到對這些理論有更深一 層的體認後或許就能慢慢體會這些觀念了.

在談論 field extension 時有一個很重要的定理, 這個定理是說: 如果 K 是一個 field, p(x) ∈ K[x] 是一個 irreducible polynomial, 則必存在一個 K 的 extension field L 使得 p(x) = 0 在 L 中有解 (參見大學基礎代數講義 Theorem 10.3.4). 這個定理的證明大致上就 是取 L = K[x]/(p(x)) 這個 field, 而 a = x ∈ L 就是 p(x) 的一個根. 第一次看到這個證明 大部分的同學會對這個簡單的證明充滿了疑惑, 大致上會有兩個疑問:

(1) 怎麼找一個多項式的根那麼簡單? 為什麼高中時還要學那麼多解多項式方程式的 方法?

(2) 這裡的 K 真的包含於 L = K[x]/(p(x)) 嗎? x 真的是 p(x) = 0 的一個解嗎?

第一個問題比較好回答. 這個定理主要是存在性問題: 只要求找到一個 field 使的 p(x) = 0 在那個field 中有解. 而從前高中找解是要求在特定的 field 中找解 (如 實數 R 或 複數 C) 當然有其困難度. 別忘了這個世界不只有 Q, R, C 這三個 fields.

至於第二個問題較難回答, 我們用一個例子說明一下. 我們都知道 x3− 2 是 Q[x] 中的 一個 irreducible polynomial. 如何找到一個 field 使得 x3− 2 = 0 在其中有解呢? 假設你 不知道這世上有 R 和 C 這個 field, 你會怎麼辦?

代數的方法就是先憑空找一個符號a 假設是 x3− 2 的根 (即 a 滿足 a3 = 2). 因為要找 到一個 field L 使得 a 和 Q 都在裡面, 所以我們要求 a 和 Q 的元素都相互運算後仍在 L 中. 當然 Q 本身的運算還要保持, 所以我們只要注意 a 本身的自己的運算以及 a 和 Q 的 1

(8)

運算即可. 首先對任意的 r ∈ Q, r + a 和 r · a 到底是什麼呢? 當 r = 0 時 r + a 和 r · a 當 然須分別等於a 和 0 這樣才能滿足結合率和分配率. 同樣的在結合率和分配率的要求之下r 6= 0 時 r + a 和 r · a 都不能屬於 Q, 所以我們的 L 中還必須包含 r + a 和 r · a 這兩種 符號(注意這仍只是符號而不是任何的數). 這裡要注意的是我們為了保持 1 仍為乘法單位 元素所以必須把 1 · a 和 a 視為相同. 接下來我們看 a 本身的運算: a + a 和 a · a 應該是多 少呢? 在要求分配率仍成立的前提下由於 a + a = 1 · a + 1 · a = (1 + 1) · a = 2 · a, 我們不 需要新的符號來代表 a + a, 它就是 2 · a (簡記為 2a). 同樣的任意 n 個 a 相加就是 n · a.

至於 a · a 我們就需要新的符號, 按慣例就沿用指數的符號將 a · a 記為 a2, 同樣的任意 na 相乘就記為 an. L 中若僅有這些符號還不夠成為一個 field (甚至連 ring 都不行), 我 們還需要這些符號間的相加相乘. 很快的在分配率, 結合率以及交換率皆須符合的要求下

我們發現 L 中必須有

r0+ r1· a + r2· a2+ · · · + rn· an

這些符號, 其中 n 是任意非負整數, 而 r0, . . . , rn∈ Q. 同樣的因為前述規律的要求這些符

號之間的相加相乘就和多項式之間的相加相乘一樣 (現在應該可以看出前面那個定理的證

明為何會和 K[x] 這個 polynomial ring 有關了吧). 事實上, 我們不需要這麼多符號: 這是 因為我們要求 a3 = 2, 所以 a4 = 2a, a5 = 2a2, . . . 這樣一直下去我們發現前面那些符號都 可以用

r0+ r1· a + r2· a2

表示即可. 只用這些次數小於 3 的符號不止所用的符號少, 最重要的是它們的表法唯一.

換言之, 任兩個次數小於 3 的符號只要不相同它們就代表不同的數. 這方面前面任意次數 的符號就沒有這優點 (比方說 a4 = 2a). 令一方面它們又足夠代表所有的符號: 這是因為 Q 是一個 field 我們可以用長除法 (Euclid’s Algorithm 參見大學基礎代數講義 Theorem 7.2.4) 對任意 f (x) ∈ Q[x] 都可找到 h(x), r(x) ∈ Q[x] 使得 f (x) = (x3− 2)h(x) + r(x) 其r(x) = 0 或其次數小於 3. 所以對任意的 f (a) 我們都可以用 r(a) 來表示 (現在大家應 該可以看出當初為何會考慮 L = K[x]/(p(x)) 了). 只用到次數小於 3 的符號, 當定義加法 時仍延用多項式的加法不會出問題(因為兩次數小於 3 的多項式相加仍次數小於 3); 但是

定義乘法若相乘後次數大於等於 3 怎麼辦? 當然我們就用上述長除法將次數大於等於 3

的符號用次數小於 3 的符號來表示了 (大家可以看出這裡的運算完全和 Q[x]/(x3− 2) 的 運算相同). 所以集合

R = {r0+ r1· a + r2· a2| r0, r1, r2 ∈ Q}

在前述的運算之下就是包含a 和 Q 且滿足 a3 = 2 最小的 ring. 事實上 R 會是一個 field, 這是由於若 f (x) 6= 0, f (x) ∈ Q[x] 且 deg(f (x)) < 3, 則因 x3− 2 是 Q[x] 的 irreducible polynomial, f (x) 和 x3− 2 必互質. 故由輾轉相除法 (或由 Q[x] 是一個 principle ideal domain 參見大學基礎代數講義 Theorem 7.2.6) 知存在 g(x), h(x) ∈ Q[x] 其中 deg(g(x)) < 3, 使得 f (x)g(x) + (x3 − 2)h(x) = 1; 亦即 f (a) · g(a) = 1. 也就是說對任意 f (a) 6= 0 且 f (a) ∈ R 皆存在 g(a) ∈ R 使得 f (a) · g(a) = 1. 所以 L = R 就是我們要找的 field. 現 在可以相信 Q ⊆ L 且 a ∈ L 是 x3 − 2 的一個根了吧! 大家應該也可以看出這個 L 和

(9)

1.1. 有關 Field Extension 的觀念 3

Q[x]/(x3− 2) 是 isomorphic. 但是要描述這個 L 裡元素間的運算多複雜啊! 還不如直接用 Q[x]/(x3− 2) 表示更簡明扼要.

了解了找到 extension 使的 x3− 2 有根的建構方法後, 大家或許會有新的疑問: 我們都 知道 x3− 2 有 3 個根分別是

3

2, 3

2 (−1 +√ 3i

2 ) 和 3

2 (−1 −√ 3i 2 ),

前面創造出的a 到底是哪一個呢? 事實上都可以, 就看你怎樣把 a 送到 C 了. 你可以任取 上述三個複數之ㄧ和 Q 中元素進行運算, 你會發現和 a 與 Q 中元素運算相同. 所以若有 另一個人用 b 來表示 x3− 2 的一個根, 然後用前述方法造出一個 field, 你不能說 a = b 但 是可以肯定的是這兩個field 是 isomorphic (都 isomorphic to Q[x]/(x3− 2)).

或許你會有另一個疑問: 從上述觀點 x3− 2 會有無窮多個根啊! 這不是和我們所認知 的一個 n 次多項式至多有 n 個根 (大學基礎代數講義 Theorem 10.3.3) 相衝突嗎? 其實不 然, 仔細看看大學基礎代數講義 Theorem 10.3.3 它其實是說在一個固定的 field 中至多有 n 個根. 這是一個很重要的概念: 在 Galois 理論中我們是要在一個固定的 field 中談問題.

雖然 field 是固定的但我們較不在意根長什麼樣子, 而重視的是在這 field 有幾個根. 例如 x3− 2 在 C 中有三個相異根, 我們就得知有三種方法將 a 送到 C 中. 又例如 x3− 2 在 Q(3

2) 中僅有一個根 (因為 Q(3

2) 中的元素都是實數, 但 x3− 2 在 C 中其他兩個根是虛 數) 所以我們知道將 a 送到 C 後所得的三個 fields 是相異的.

從上述的情況得知, 有些代數的性質和它的元素在於哪個 field 其實是無關的, 不過有 時將之擺在一個固定的 field 中討論確有其方便性. 就例如對於 irreducible polynomial p(x) ∈ K[x] 我們考慮 L = K[x]/(p(x)) 使得 p(x) 在 L 中有根. 在這裡 K 其實並不是真正 包含於 L 中, 我們只是找到ㄧ個一對一的 ring homomorphism 將 K 送到 L 中. 因為這時 候這個 ring homomorphism 的像 (image) 和 K 的代數結構是一樣的而且是 L 的 subfield 所以我們就視同 K 包含於 L. 事實上我們有以下一個比較正式的定義:

Definition 1.1.1. 假設 K 和 L 都是 fields 且 K 和 L 間存在ㄧ對一的 ring homomorphism i : K → L, 則稱 L 是 K 的 extension. 通常我們會記作 L/K (唸成 L over K).

簡單來說就是當 K 並不包含於 L 時, 我們當然不能直接對 K 的元素和 L 的元素做運 算. 不過如果存在一對一的 ring homomorphism i : K → L, 那麼對任意的 k ∈ K 和 l ∈ L, 我們可以定

k + l := i(k) + l and k · l := i(k) · l,

因為 i(k) ∈ L 所以自然可以和 L 中的元素做運算了. 又因為 i 是一對一的, i 的像 i(K) = {i(k) | k ∈ K} 中的元素和 K 中的元素有一個一對一的對應關係. 因此我們可以將 K 中的元素 (k ∈ K) 看成是是 L 的元素 (i(k) ∈ L). 也就是說我們將 K “identify” 成 L 的ㄧ個subfield. 因此從今以後我們若提到 L 是 K 的 extension 為了方便我們還是省略提 及存在一個 i : K → L, 而直接假設 K ⊆ L.

Galois 理論簡單的說就是探討 field extensions 間的關係. 給定一個 field K, 事實上存 在無窮多個 K 的 extensions, 我們自然會問兩個 extensions L1/K 和 L2/K 在什麼條件之

(10)

下可以看成是一樣的 extension 呢?這不是單純的兩個 fields L1L2 間的關係, 還牽涉 到 K 在 L1L2 中的“角色” . 簡單來說, 我們不只希望 L1L2 是 isomorphic 而且 希望能保持 K 的運算. 因此我們有以下的定義:

Definition 1.1.2. 令 i : K → L1, j : K → L2K 的兩個 extensions. 如果存在 φ : L1 → L2 是一個 isomorphism 滿足對任意的 k ∈ K 皆有 φ(i(k)) = j(k), 則稱 L1/K 和 L2/K 是 isomorphic extensions over K.

這裡因為 k ∈ K 所以 i(k) ∈ L1. 因此 φ 可將 i(k) 送到 L2 中. 而 φ(i(k)) = j(k) 就 是要求φ 必須把在 L1 中代表 k 的元素送到 L2 中那個代表 k 的元素. 特別的是當我們將 K 分別看成是 L1L2subfield (即 K ⊆ L1K ⊆ L2), 此時 i(k) = k 且 j(k) = k 因此 φ 必須符合對於所有的 k ∈ K, 皆滿足 φ(k) = k. 在這情況之下有這樣性質的 φ 就稱為 L1L2 之間的一個 “K-isomorphism”. 特別是當 L1 = L2 時我們稱 φ 為一個

“K-automorphism”. 一般為了方便起見, 兩個 extensions L1/K 和 L2/K 我們都直接看成 K ⊆ L1K ⊆ L2. 所以若 L1/K 和 L2/K 是 isomorphic extensions over K 我們就直接 假設 L1L2 之間存在一個 K-isomorphism.

1.2. Field Extension 的 Degree

在大學基礎代數講義的Chapter 9 Section 4 中我們曾經說明若 L/K 是一個 field extension 那麼我們可以將 L 看成是一個 vector space over K. 這件事情在我們新的 field extension 的定義之下仍是對的. 也就是說若 i : K → L 是一個 field extension, 那麼仿照前面對任 意的 k ∈ K 及 l ∈ L 我們定義 k · l := i(k) · l, 很容易就可以驗證在此定義之下 L 仍為一vector space over K. 既然 L 是一個 vector space over K, 很自然的會考慮到其維度 (dimension) 因此我們仍然有以下的定義:

Definition 1.2.1. 給定一個 field extension L/K, 我們用 [L : K] 來表示 dimK(L), 稱之為 the degree of L over K. 若 [L : K] 是有限的 (即 L 是一個 finite dimensional vector space over K), 則稱 L 是 K 的一個 finite extension.

L1/K 和 L2/K 是兩個 isomorphic extensions over K, 由 extension degree 的定義大 家應可理解 [L1 : K] = [L2 : K]. 這個證明很簡單不過我們仍將證明寫下讓大家了解當初 要求 isomorphism 時要保持 K 的重要性.

Lemma 1.2.2. u L1/K õ L2/K ÎËÍ isomorphic extensions over K, J [L1 : K] = [L2 : K].

Proof. 大家可以直接假設 K ⊆ L1K ⊆ L2 來處理, 這裡我們用比較正式的定義來證明.

假設 i : K → L1j : K → L2 分別為 L1/K 和 L2/K 的 extension 且 φ : L1 → L2L1L2isomorphism over K. 依定義 φ 是一個 ring homomorphism, 如果我們能 證明 φ 是 L1L2 這兩個 vector space over K 的 K-linear map, 那麼再由假設 φ 是 1-1onto (因已知 φ 是 isomorphism) 可得 dimK(L1) = dimK(L2), 即 [L1 : K] = [L2 : K].

(11)

1.3. Field Extensions 的分類 5

要證明 φ 是 K-linear, 只要證明對任意的 c ∈ K 且 a, b ∈ L1, 皆有 φ(c · a + b) = c · φ(a) + φ(b).

這裡的 c · a + b 需看成是 L1 中元素的運算, 依定義是 i(c) · a + b. 故利用 φ 是 L1L2 的 ring homomorphism 知

φ(c · a + b) = φ(i(c) · a + b) = φ(i(c) · a) + φ(b) = φ(i(c)) · φ(a) + φ(b).

另一方面, c · φ(a) + φ(b) 需看成是 L2 中元素的運算, 依定義是 j(c) · φ(a) + φ(b). 然而 φ 滿 足 φ(i(c)) = j(c) 故知 φ(c · a + b) = c · φ(a) + φ(b), 也就是說 φ 是一個 K-linear map. ¤

從這個證明我們了解到若φ 是 L1L2ring homomorphism 且保持 K 的運算那麼 φ 就是一個 L1L2K-linear map. 不過反過來並不一定對. 也就是說如果 ψ : L1 → L2 是一個K-linear map 並不一定保證 ψ 是一個 ring homomorphism. 這是由於 K-linear map 僅保持K 中元素和 L1 中元素的乘法運算但是ring homomorphism 卻需保持任兩個 L1 中 元素的乘法運算. 因此要注意兩個 extensions L1/K 和 L2/K, 如果僅知 [L1: K] = [L2 : K]

並不表示 L1L2isomorphic extensions over K.

L, F 和 K 皆為 fields, 且 i : K → F 和 j : F → L 皆為 1-1 的 ring homomorphism,j ◦ i : K → L 當然也是 1-1 的 ring homomorphism. 所以如果 L/F 和 F/K 是 field extensions 則 L 當然也是一個 field extension of K. 我們有以下重要有關 extension degree 的性質. 事實上這是大學基礎代數講義的 Theorem 9.4.6 和 Corollary 9.4.7 的合併, 我們 就不再證明了.

Lemma 1.2.3. ƒ' L/F õ F/K Î field extensions. u F Î K Ý×Í finite extension v L Î F Ý×Í finite extension J L ôÎ K Ý×Í finite extension. D, u L Î K Ý×Í finite extension, J F Î K Ý×Í finite extension v L Î F Ý×Í finite extension.

¨², 39Ë͇‰fì/b:

[L : K] = [L : F ][F : K].

1.3. Field Extensions 的分類

要創造出一 field extension over K 通常就是在 K 中加入其他的元素. 當然不能隨便亂加 東西, 因為我們要求 field extension 仍然要是一個 field 所以加入的東西至少和 K 之間要 可以運算. 有一種情況我們是不必擔心加入的東西和 K 是否能運算, 就是當這些東西和 K 都可以在某個更大的 field L 之中, 在這情況之下我們當然可以把所有的元素看成是 L 的元素, 自然就可以運算了. 當然了加入的元素雖然可以運算最後還需成為一個 field, 要 達到這個目的我們有以下這個定義:

(12)

Definition 1.3.1. 若 L 是一個 field, K ⊆ L 是 L 的 subfield 且 S ⊆ L 是 F 的ㄧ個子集(subset). 我們定義 K(S) 為 L 中所有包含 K 和 S 的 subfields 的交集. 也就是說

K(S) = \

F subfield of L K ⊆ F 且 S ⊆ F

F.

稱為 the extension of K generated by S.

這裡要注意:如同證明一個ring 中的一些 subrings 的交集仍為 ring (參見大學基礎代 數講義Lemma 6.2.2) 的方法, 我們可以證得一個 field 中的一些 subfields 的交集仍為 field.

所以 K(S) 也是一個 field. 由這個定義也可以看出 K(S) 事實上是 L 中包含 K 和 S 最小field. 換句話說:如果 K0L 的 subfield 且 K ⊆ K0 以及S ⊆ K0, 則可得 K(S) ⊆ K0. 當 S = {a1, . . . , an} 是 F 的ㄧ個有限子集時, 我們通常會省略“{ }” 這個符號而將 K(S) 記為 K(a1, . . . , an). 特別是當 S = {a} 只有一個元素時我們稱 K(a) 是 K 的一個 simple extension.

不難理解simple extensions 是了解 field extensions 的要素. Simple extension 不只是最 簡單的extension 而且我們這裡要學習的 extensions (特別是 finite extensions) 大部分都可 以利用simple extensions 一步一步 extend 上去而得到. 所以如果能了解 simple extensions 大致上就能了解一般的extensions. 我們自然得花點時間了解一下 simple extensions.

利用 a 得到的 simple extension K(a) 可以分成兩種情況: 一種是 [K(a) : K] 是 finite 的情況; 另一種是 [K(a) : K] 是 infinite 的情況.

Definition 1.3.2. 如果 K(a)/K 是一個 finite extension 則稱 a 是 algebraic over K; 反之 則稱 a 是 transcendental over K.

這個定義其實和以前學過 algebraic 的定義 (大學基礎代數講義 Definition 9.4.4) 是等 價的. 這是由於我們有以下的性質.

Theorem 1.3.3. ƒ' K Î×Í field, L Î K Ý×Í extension field v a ∈ L, Jì«

×B–õ a Î algebraic over K ·‰Ý.

(1) D3 K[x] Ý×Í& 0 Ý polynomial f (x) ”• f (a) = 0.

(2) D3×Í field M ”• a ∈ M , K ⊆ M ⊆ L v [M : K] Îb§Ý.

(3) 3 L ‘â K õ a tÝ ring (Ç K[a]) µÎ‘â K õ a tÝ field (Ç K[a] = K(a)).

Proof. (1), (2) 和 (3) 是等價的我們已在大學基礎代數講義 Theorem 10.1.9 中證明過了 (注 意那時是用(1) 來定義 algebraic). 這裡我們只要檢查 a 是 algebraic over K (即 [K(a) : K]

是有限的) 和 (2) 是等價的即可.

如果[K(a) : K] 是有限的, 則令 M = K(a), 故有 a ∈ M , K ⊆ M ⊆ L 且 [M : K] 是有 限的.

(13)

1.3. Field Extensions 的分類 7

反之, 如果 M 是一個 field 滿足 a ∈ M , K ⊆ M ⊆ L 且 [M : K] 是有限的, 則由 K(a) 是 L 中包含 K 和 a 最小的 field 的定義知 K ⊆ K(a) ⊆ M . 也就是說 K(a) 是 M over K 的一個 subspace. 所以由線性代數知其 over K 的 dimension 一定比較小, 也就是說

[K(a) : K] ≤ [M : K]. 故知 [K(a) : K] 是有限的. ¤

回顧一下, 當 a 是 algebraic over K 時滿足 Theorem 1.3.3 (1) 中所述次數最小的 monic polynomial (即最高次項係數為 1) 稱為 a over K 的minimal polynomial. (注意這裡一定要強 調 over 哪一個 field 的 minimal polynomial, 因為 over 不同的 field 其 minimal polynomial 會不同.) 如果 a over K 的 minimal polynomial 為 p(x) 且 deg(p(x)) = n, 那麼我們有以 下重要的結論:

(1) K(a) 和 K[x]/(p(x)) 是 isomorphic extensions over K.

(2) [K(a) : K] = n.

(3) K(a) 中的元素的可以唯一表示成

c0+ c1a + · · · + cn−1an−1, 其中 c0, c1. . . , cn−1∈ K.

b ∈ L 也滿足 p(b) = 0 時, 不見得會有 K(a) = K(b). 但由前面 (1) 得知 K(a) 和 K(b) 都K[x]/(p(x)) 是 isomorphic extensions over K, 所以我們知 K(a) 和 K(b) 是 isomorphic extensions over K. 事實上若我們定 φ : K(a) → K(b) 滿足

φ(c0+ c1a + · · · + cn−1an−1) = c0+ c1b + · · · + cn−1bn−1, ∀c0, c1, . . . , cn−1∈ K,φ 就是一個 K(a) 到 K(b) 的 K-isomorphism. 要注意的是在更一般的情況, 如果 q(x) ∈ K[x] 是 c ∈ L 的 minimal polynomial over K 且 p(x) 6= q(x), 那麼我們不能馬上 斷言 K(a) 和 K(c) 是否 isomorphic over K. 當然了如果 deg(p(x)) 6= deg(q(x)), 由於 [K(a) : K] 6= [K(c) : K] 利用 Lemma 1.2.2 我們立刻知 K(a) 和 K(c) 不可能是 isomorphic extensions over K. 但當 deg(p(x)) = deg(q(x)) 時, 雖然 [K(a) : K] = K[(c) : K], 我 們曾解釋過此時並不保證 K(a) 和 K(c) 是 isomorphic over K. 有很多種情況它們是不 isomorphic, 不過當 K 是 finite field 時, K(a) 和 K(c) 確實會 isomorphic over K (事實上K(a) = K(c) 參見大學基礎代數講義 Theorem 10.4.8).

如果L/K 是一個 extension 且 L 中所有的元素都是 algebraic over K, 我們便稱 L 是一 個algebraic extension over K. 當 L/K 是 finite extension, 由 Theorem 1.3.3 (2) 知 L/K 必 為algebraic extension. 不過要注意 algebraic extension 不一定會是 finite extension. 比方說 Q(S) 其中 S = {√

n | n ∈ N}, 就是一個 algebraic extension over Q 但不是 finite extension over Q. 另一方面當 S 是一個有限集合時, K(S)/K 也未必是 finite extension, 除非 S 中 的元素都是 algebraic over K. 我們有以下有關 finite extension 的充要條件.

Proposition 1.3.4. u S Î×Í finite set v S Ý-ô/ algebraic over K, J L = K(S) Î×Í finite extension over K.

D, u L/K Î×Í finite extension, JÄD3×Í finite set S Í S Ý-ô/

algebraic over K, ¸ÿ L = K(S).

(14)

Proof. 首先我們觀察若 F/K 是一個 extension 且 a 是 algebraic over K 則 a 是 algebraic over F . 這是由於 Theorem 1.3.3 告訴我們存在 f (x) 6= 0 且 f (x) ∈ K[x] 滿足 f (a) = 0. 但 由於 K ⊆ F 所以知 f (x) ∈ F [x], 故再利用 Theorem 1.3.3 的等價關係知 a 仍為 algebraic over F .

現在如果 S = {a1, . . . , an} 且 a1, . . . , analgebraic over K, 對任意 i ∈ {1, . . . , n} 我 們令 Fi = K(a1, . . . , ai). 由於 L = K(a1, . . . , an) = Fn 以及 Fi ⊆ Fi+1, 利用 Lemma 1.2.3 我們有

[L : K] = [K(a1, . . . , an) : K] = [Fn: Fn−1] · · · [F2 : F1] · [F1 : K].

由於F1 = K(a1) 且 a1algebraic over K 故知 [F1 : K] 是有限的. 同理, 當 i ∈ {1, . . . , n−1}

時, 由於 Fi+1= Fi(ai+1) 且 ai+1algebraic over Fi(因 ai+1algebraic over K 且 K ⊆ Fi), 故知 [Fi+1: Fi] 是有限的. 因此得到 [L : K] 是有限的, 即 L/K 是一個 finite extension.

反之, 如果 L/K 是 finite extension, 我們對 extension degree 作 induction. 也就是對任 意的 extension L0/K0 假設當[L0 : K0] < m 時, 皆存在一個 finite set S0, 使得 L0 = K0(S0).

[L : K] = 1 時, 由於 L = K, 我們可以令 S = {1} 即可. 現若 [L : K] = m, 任取 a ∈ La 6∈ K. 由於 [L : K] = [L : K(a)][K(a) : K], 馬上得知 [L : K(a)] < m (因 a 6∈ K, 故 [K(a) : K] > 1) 故由 induction 的假設知存在一個 finite set S0 使得 L = K(a)(S0). 故令 S = S0∪ {a}, 則知 S 是一個 finite set 且 L = K(S). 這裡 S 中的元素必定會 algebraic over K, 這是因為 L/K 是 finite extension 所以 L 中的元素必皆 algebraic over K. ¤ 在 Theorem 1.3.3 中我們提過: 當 a 是 algebraic over K 且 L = K(a) 時, 包含 a 和 K 最小的 ring, K[a] 事實上就是 L. 當 L/K 是 finite extension 時, 由 Proposition 1.3.4 知 存在 a1, . . . , analgebraic over K 使得 L = K(a1, . . . , an). 我們自然會問: 是否包含 Ka1, . . . , an 最小的 ring, K[a1, . . . , an] 會是 L 呢? 由於 K ⊆ K[a1, . . . , an] ⊆ L, 我們知 K[a1, . . . , an] 是 L over K 的 subspace, 故知 dimK(K[a1, . . . , an]) ≤ [L : K] 因此由大學基 礎代數講義Theorem 9.3.7 馬上就知 K[a1, . . . , an] 是一個 field, 故知 K[a1, . . . , an] = L. 這 裡我們想用 induction 來證明, 讓大家更清楚這個結果.

Lemma 1.3.5. ƒ' L/K Î×Í finite extension. u L = K(a1, . . . , an), J‘â K õ a1, . . . , an tÝ ring, K[a1, . . . , an] ‡y L. ôµÎ1EŒ λ ∈ L, /D3×Í n Í

ŽóÝ polynomial, f(x1. . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] ”• f (a1, . . . , an) = λ.

Proof. 我們對 n 做 induction. 當 n = 1 時, 利用 Theorem 1.3.3 知對任意 α ∈ K(a1) 都存在 c0, c1, . . . , cr ∈ K 使得 α = c0 + c1a1 + · · · + crar1. 令 f (x) = c0 + c1x + · · · + crxr, 可得 α = f (a1). 利用 induction, 假設 F = K(a1, . . . , an−1) 且對任意 F 中的 元素 β 皆存在 f (x1, . . . , xn−1) ∈ K[x1, . . . , xn−1] 滿足 β = f (a1, . . . , an−1). 考慮 L = K(a1, . . . , an−1, an) = F (an). 由於 analgebraic over K ⊆ F , 再利用 Theorem 1.3.3 知對任意 λ ∈ L 都存在 β0, β1, . . . , βs ∈ F 使得 λ = β0 + β1an + · · · + βsasn. 然而 βi ∈ F , 由 induction 的假設知對每一個 βi 皆存在 fi(x1· · · , xn−1) ∈ K[x1, . . . , xn−1] 使得

(15)

1.3. Field Extensions 的分類 9

βi = fi(a1, . . . , an−1). 故若令 f (x1, . . . , xn−1, xn) 為

f0(x1, . . . , xn−1) + f1(x1, . . . , xn−1)xn+ · · · + fs(x1, . . . , xn−1)xsn∈ K[x1, . . . , xn−1, xn],

我們有 λ = f (a1, . . . , an−1, an). ¤

L/K 不是 algebraic extension 時, 依定義在 L 中必存在一元素 a 是 transcendental over L. 換言之, K(a)/K 不是 finite extension. 最後我們簡單的介紹一下這一種 simple extension. a 是 transcendental over K 意即對任意的非零的多項式 f (x) ∈ K[x] 皆有 f (a) 6= 0. 由於 K(a) 是一個包含 K 和 a 的 field, 對任意 f (x) ∈ K[x], f (a) 當然也在 K(a) 中. 事實上

K[a] = {f (a) | f (x) ∈ K[x]} ⊆ K(a)

是包含K 和 a 最小的 ring. 這個性質和 a 是 algebraic 或 transcendental over K 無關. 不 過由於 a 是 transcendental over K, 若 f (x), g(x) ∈ K[x] 且 f (x) 6= g(x), 則 f (a) 6= g(a).

這是因為 f (x) − g(x) 是 K[x] 中非 0 的多項式, 如果 f (a) = g(a) 這表示 a 為 f (x) − g(x) 的一個根, 此與 a 是 transcendental over K 相矛盾. 這和 algebraic over K 的情況不同, 因 為若 b 是 algebraic over K 且 p(x) ∈ K[x] 是其 minimal polynomial over K, 則對任意的 f (x) ∈ K[x] 我們都可以找到 g(x) = f (x) + p(x) ∈ K[x] 使得 f (x) 6= g(x) 但是 f (b) = g(b).

另一個 algebraic 和 transcendental 不同的是: 當 b 是 algebraic over K 時包含 K 和 b 最小的 ring 也會是一個 field (即 K[b] = K(b)); 不過若 a 是 transcendental over K, 那 麼包含 K 和 a 最小的 ring (即 K[a]) 就不再是一個 field 了. 這是因為當 f (x) ∈ K[x]

deg(f (x)) ≥ 1 時, f (a) 6= 0 且如果存在 g(a) ∈ K[a] 使得 f (a) · g(a) = 1 表示 a 是 f (x) · g(x) − 1 的一個根, 再次和 a 是 transcendental over K 相矛盾. 因此我們知 K[a] 不 可能是 field. 那麼 K(a) 到底是怎樣的 field 呢? 事實上若考慮

L = {f (a)/g(a) | f (x), g(x) ∈ K[x] 且 g(x) 6= 0}

很容易驗證這是包含K 和 a 最小的 field, 故有 K(a) = L.

同樣的道理, 如果 L = K(a1, . . . , an), 其中某些 aitranscendental over K, 那麼 L 中的 元素並不能全部用f (a1, . . . , an) 其中 f (x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn], 這種形式來表示. 但是要 描述 L 中的元素, 我們仍可用 f (a1, . . . , an)/g(a1, . . . , an), 其中 f (x1, . . . , xn), g(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] 且 g(a1, . . . , an) 6= 0 來表示. 在本講義中我們僅探討 finite extension, 所以 對於 transcendental extension 我們僅探討到此.

(16)
(17)

Chapter 2

Galois Group 和 Fixed Field

Galois 理論主要探討的是 field extensions 之間的關係, 這些關係可以和 groups 之間的關 係相連結. 本章主要是探討這些關係的基本定義及其基本性質.

2.1. Galois Group

L 是一個 field 時, 從 L 到 L 的 1-1 且 onto 的 ring homomorphism 稱為 L 的 automorphism.

我們用 Aut(L) 表示所有 L 的 automorphisms 所成的集合. 本節將討論 Aut(L) 相關的性 質.

利用合成函數的運算我們可以將Aut(L) 視成一個 group. 也就是說對任意 σ, τ ∈ Aut(L), 我們考慮的運算為 σ ◦ τ , 在此運算之下 Aut(L) 會是一個 group. 要注意這裡的“◦”指的是 合成而不是乘法. 也就是說對任意 λ ∈ L, 我們有 σ ◦ τ (λ) = σ(τ (λ)), 因此 σ ◦ τ 仍為 L 到 L 的函數. 而且 σ 和 τ 都是 ring isomorphisms, 很容易驗證 σ ◦ τ 仍為 ring isomorphism.

因此 σ ◦ τ ∈ Aut(L), 換句話說 Aut(L) 在 ◦ 的運算下是封閉的 (closed).

要證明 Aut(L) 在 ◦ 運算之下是一個 group 我們還須證明結合率 (associative law) 即 σ ◦ (τ ◦ ρ) = (σ ◦ τ ) ◦ ρ 以及存在 identity 和 inverse. 合成函數的結合率在一般的集合論 中有介紹 (你也可以用元素代入自行驗證) 這裡不做驗證. 至於 identity 會是什麼呢? 大 家很快猜出應該是 identity 這個函數. 這裡我們用 I 來表示, 也就是說 I : L → L 滿足對 任意 λ ∈ L 皆有 I(λ) = λ. 當然了 I 是 ring isomorphism 所以 I ∈ Aut(L). 又因為對任意 σ ∈ Aut(L) 皆有 σ ◦ I = I ◦ σ = σ, 所以 I 會是 Aut(L) 在 ◦ 的運算之下的 identity.

對任意的 σ ∈ Aut(L), 其 inverse 會是什麼呢? 從函數的觀點看來和 σ 合成後會是 I 的函數應就是σ 的反函數. 又加上 σ 是 1-1 且 onto 其反函數 σ−1 必存在, 所以我們找到

“候選人”了: 就是 σ 的反函數 σ−1. 最後我們僅要證明 σ−1 ∈ Aut(L) 即可. 首先我們要 證明: σ−1 : L → L 仍為 ring isomorphism. σ−1 是 1-1 且 onto 可由反函數定義推得, 所以 11

(18)

只要證明 σ−1ring homomorphism 即可. 也就是說對任意 a, b ∈ L 我們要證明 σ−1(a + b) = σ−1(a) + σ−1(b) 且 σ−1(a · b) = σ−1(a) · σ−1(b).

因為 σ 是 ring homomorphism, 故得

σ(σ−1(a) + σ−1(b)) = σ(σ−1(a)) + σ(σ−1(b)) = a + b.

也就是說 σ−1(a + b) 和 σ−1(a) + σ−1(b) 經由 σ 作用後皆得 a + b. 所以由 σ 是 1-1 得知 σ−1(a + b) = σ−1(a) + σ−1(b). 同理可得 σ−1(a · b) = σ−1(a) · σ−1(b). 由此知 σ−1 ∈ Aut(L) 從而得證 Aut(L) 在 ◦ 的運算之下是一個 group.

前面提過為了方便記, 當 L/K 是 field extensions 時我們可以直接假設 K ⊆ L. 在這 個時候, 若 σ : L → L 是 L 的一個 automorphism 且對任意 k ∈ K 皆滿足 σ(k) = k, 我們 稱 σ 為 L 的一個 K-automorphism. 我們將 L 的所有 K-automorphisms 所成的集合用 AutK(L) 表示. 簡單來說 AutK(L) 的元素就是 L 的 automorphisms 中會將 K 的元素固 定的那些 automorphisms.

AutK(L) 當然是 Aut(L) 的一個 subset, 事實上在 ◦ 的運算下 AutK(L) 會是 Aut(L) 的一個 subgroup. 要證明這件事, 依 group 的理論我們只要證明封閉性和 inverse 存在即 可. 首先若 σ, τ ∈ AutK(L), 由於對任意 k ∈ K 我們皆有 σ(k) = k 且 τ (k) = k, 所以得σ ◦ τ (k) = σ(τ (k)) = σ(k) = k. 也就是說 σ ◦ τ ∈ AutK(L). 最後對任意 k ∈ K, 由σ(k) = k 故知 σ−1(k) = σ−1(σ(k)) = k. 因此 σ−1 仍為 K-automorphism, 也就是說 σ−1∈ AutK(L).

AutK(L) 既然是一個 group 又和 L/K 這一個 extension 息息相關, 我們有以下的定義 來突顯這兩件事.

Definition 2.1.1. 對任意的 extension L/K 我們稱 AutK(L) 為 L/K 的 Galois group. 通 常我們會把 L/K 的 Galois group 記為 Gal(L/K).

AutK(L) 和 Gal(L/K) 是一樣的, 不過當我們要談論 Galois 的相關理論時我們會特別 選用 Gal(L/K) 這個符號.

F/K 是 L/K 的 subextension, 即 F 是一個 field 且 K ⊆ F ⊆ L. 我們稱 F 是 L/K 的intermediate field. 這時我們有兩個 groups 可以考慮: 一個是 Gal(L/F ), 另一個Gal(F/K). 這兩個 groups 都和 Gal(L/K) 有關, 不過 Gal(L/F ) 和 Gal(L/K) 的關係 較直接, 所以我們先討論 Gal(L/F ) 和 Gal(L/K) 的關係.

事實上若σ ∈ Gal(L/F ), 依定義我們當然有 σ ∈ Aut(L) 而且 σ 將 F 中的元素固定. 然 而由於 K ⊆ F 我們知 σ 當然也將 K 中的元素固定. 也就是說 σ ∈ AutK(L) = Gal(L/K).

我們得證 Gal(L/F ) ⊆ Gal(L/K). 又由於 Gal(L/K) 和 Gal(L/F ) 在 ◦ 的運算之下都是 group, 所以 Gal(L/F ) 是 Gal(L/K) 的 subgroup.

若令 F 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 G 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 由以上的討論我們可以訂一個從 F 到 G 的函數 G. 這個函數 G : F → G 的 定義如下: 對任意 L/K 的 intermediate field F ∈ F, 我們定義 G(F ) = Gal(L/F ).

(19)

2.1. Galois Group 13

由定義我們知道 G(K) = Gal(L/K). 另外 G(L) = Gal(L/L) = AutL(L), 也就是說 G(L) 中的元素 σ 必須是 L 到 L 的函數且滿足對任意 λ ∈ L 皆有 σ(λ) = λ. 這表示 σ = I, 因此得知 G(L) = {I} 是由 identity 所成的 trivial group. 對於函數 G, 我們還有以下的性 質.

Lemma 2.1.2. ›× extension L/K, u F1, F2 ∈ F Î L/K ËÍ intermediate fields v”• F1 ⊆ F2, J G(F2) ⊆ G(F1).

Proof. 若 σ ∈ G(F2) = Gal(L/F2), 即表示 σ 是 L 的 automorphism 且將 F2 中的元素固 定. 然而由於 F1⊆ F2, 可知 σ 當然也將 F1 中的元素固定. 故得 σ ∈ Gal(L/F1) = G(F1).

得證 G(F2) ⊆ G(F1). ¤

這裡我們要強調: 必須先固定一個 extension L/K 才能定義出 G 這一個函數. 另外要 注意的是 G 的定義域是一些 fields 所成的集合而不是 field. 更具體一點來說就是: 可以代G 的應該是 L/K 的 intermediate field 而不是 L 的元素. 同樣的將一個 intermediate field 代入 G 後所得的結果會是 Gal(L/K) 的 subgroup, 而不是 Gal(L/K) 中的元素. 千萬 不要誤以為這裡定的 G 是從 L 送到 Gal(L/K) 的函數.

接下來我們要介紹一些Galois groups 的例子. 因為我們舉的例子都是 simple extensions, 所以先介紹一下探討simple extension 的 Galois group 的基本方法.

假設L/K 是一個 simple extension of degree n, 即 L = K(α) 其中 α over K 的 minimal polynomial 為 f (x) ∈ K[x] 且 deg(f (x)) = n. 在前一章中我們提及對任意的 λ ∈ K(α) 都 可唯一表示成:

λ = c0+ c1α + · · · + cn−1αn−1, 其中 c0, c1. . . , cn−1∈ K.

現若 σ ∈ Gal(L/K), 則由於 σ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 可得 σ(λ) = σ(c0+ c1α + · · · + cn−1αn−1) = c0+ c1σ(α) + · · · + cn−1σ(α)n−1.

換言之, 對任意 λ ∈ L, σ(λ) 的取值完全可由 σ(α) 決定. 所以要了解 Gal(L/K) 只要了解 對任意 σ ∈ Gal(L/K), σ(α) 有哪些可能的取值. 這個概念對 simple extension 的 Galois group 相當重要, 我們不時的會用它來處理 simple extension.

那麼對任意的 σ ∈ Gal(L/K), σ(α) 有可能取哪些值呢? 首先我們觀察對任意的 g(x) = amxm+ am−1xm−1+ · · · + a1x + a0 ∈ K[x], 由於

g(α) = amαm+ am−1αm−1+ · · · + a1α + a0, 以及 σ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 我們有

σ(g(α)) = σ(amαm+ am−1αm−1+ · · · + a1α + a0)

= amσ(α)m+ am−1σ(α)m−1+ · · · + a1σ(α) + a0

= g(σ(α)). (2.1)

(20)

現在由於f (x) 是 α over K 的 minimal polynomial, 我們有 f (x) ∈ K[x] 且 f (α) = 0, 套用 等式 (2.1) 可得

f (σ(α)) = σ(f (α)) = σ(0) = 0.

也就是說σ(α) 必為 f (x) 的一個根. 又別忘了 σ 是 L 到 L 的 automorphism, 故知 σ(α) ∈ L.

所以我們可以總結說: 若 L = K(α), f (x) ∈ K[x] 為 α 的 minimal polynomial over K 且 σ ∈ Gal(L/K), 則 σ(α) 必為 f (x) 在 L 中的一個根.

上一個結論只是說 σ(α) 必為 f (x) 在 L 中的一個根. 並不表示對任意 f (x) 在 L 中 的一個根 β 皆存在 σ ∈ Gal(L/K) 使得 σ(α) = β. 接下來我們要說明這是對的. 首先回 顧一下: 若 f (x) ∈ K[x] 是一個 irreducible polynomial 且 α 和 β 為其根, 從大學基礎 代數講義的 Corollary 10.1.7 我們知道存在 K-isomorphisms φ : K[x]/(f (x)) → K(α) 和 ψ : K[x]/(f (x)) → K(β) 滿足 φ(x) = α 和 ψ(x) = β. 考慮 ρ = ψ ◦ φ−1 : K(α) → K(β), 很容易檢查 ρ 仍為 K-isomorphism 且滿足 ρ(α) = β. 現若又知 β ∈ L = K(α), 由於 K(β) ⊆ L 且 [K(β) : K] = [L : K] = n, 可得 K(β) = L = K(α). 換句話說在這情況下 ρL 的 K-automorphism, 也就是說 ρ ∈ Gal(L/K) 且滿足 ρ(α) = β. 綜合以上的討論, 我 們可以由 f (x) 在 L 中相異根的個數得知 Gal(L/K) 的 order. (回顧一下所謂一個 finite group G 的 order 就是 G 中元素的個數, 記作 |G|.)

Proposition 2.1.3. ƒ' L = K(α) Î×Í finite simple extension over K v f (x) ∈ K[x]

α over K Ý minimal polynomial. u f(x) 3 L b m Í8²q, J |Gal(L/K)| = m.

Proof. 令 S = {β ∈ L | f (β) = 0} 為 L 中所有 f (x) 的根所成的集合. 考慮一函數 χ : Gal(L/K) → S 使得對任意 σ ∈ Gal(L/K) 定義 χ(σ) = σ(α). 從前面討論知對任意 σ ∈ Gal(L/K), 皆有 σ(α) ∈ S, 所以 χ 是一個 well defined 的函數. 我們目的是要證明 χ1-1 且 onto 由此可得 Gal(L/K) 和 S 的元素個數相等.

假設 σ, τ ∈ Gal(L/K) 滿足 χ(σ) = χ(τ ), 即 σ(α) = τ (α). 由前面討論知 σ 和 τ 對任L 中元素的取值完全由 σ(α) 和 τ (α) 來決定. 因此由 σ(α) = τ (α) 得知 σ = τ , 也就是χ 是 1-1. 另一方面對任意 β ∈ S 由前面討論知必存在 σ ∈ Gal(L/K) 使得 σ(α) = β, 也就是說 χ(σ) = β. 故得證 χ 是 onto, 因此知 Gal(L/K) 的 order 為 m. ¤ 由於一個多項式在一個field 中其解的個數不超過此多項式的次數, 我們很容易得到以 下之結果.

Corollary 2.1.4. ƒ' L/K Î×Í finite simple extension, J

|Gal(L/K)| ≤ [L : K].

Proof. 假設 L = K(α) 且 α over K 的 minimal polynomial f (x) 的次數為 n. 我們知在 Lf (x) 的根的個數必小於或等於 n 而且 [L : K] = n, 故由 Proposition 2.1.3 知

|Gal(L/K)| ≤ n = [L : K].

¤

(21)

2.1. Galois Group 15

這裡我們預告一下, 當 L/K 是 finite extension 時, 以後我們會知道即使 L/K 不是 simple extension, 仍然會有 |Gal(L/K)| ≤ [L : K]. 接下來我們來看兩個 simple extension 的例子.

Example 2.1.5. 利用 Eisenstain criterion 參見大學基礎代數講義Proposition 7.3.14 我們 知道 x4− 2 是 Q[x] 中的 irreducible polynomial. 令 α = 4

2 是 x4− 2 = 0 唯一的正實數 解, 我們有 α, −α, αi 以及 −αi 是 x4− 2 = 0 在 C 中的 4 個解. 現令 L = Q(α), 我們考L/Q 這一個 extension.

首先我們討論Gal(L/Q) 是怎樣的 group. 由於 α ∈ R 且 L = Q(α) 是包含 Q 和 α 最 小的 field, 故知 L ⊆ R. 但 αi 6∈ R 且 −αi 6∈ R, 我們得知 x4− 2 在 L 中的根為 α 和 −α.

故由 Proposition 2.1.3 得知 |Gal(L/Q)| = 2 < 4 = [L : Q].

group 的理論我們知只有兩個元素的 group 必 isomorphic to Z/2Z, 因此我們知 Gal(L/Q) 是一個 order 2 的 cyclic group. 事實上 Gal(L/Q) 有兩個元素: 一個是 identity I 將 α 送到 α, 另一個不為 identity 的元素 σ 將 α 送到 −α. 由於 σ(α) = −α, 我們知

σ ◦ σ(α) = σ(σ(α)) = σ(−α) = −σ(α) = α.

得知 σ ◦ σ = I, 也就是說 σ 的 order 確為 2. 因此 Gal(L/Q) 的確是一個 order 2 的 cyclic group.

因為 α4 = 2, 很容易看出 α2x2 − 2 的一個根. 令 F = Q(α2). 由於 x2 − 2 是 irreducible over Q, 所以 [F : Q] = 2, 又因為 α2 ∈ L, 我們知 Q ( F ( L. 既然 F 是 L/Kintermediate field, 那麼 G(F ) = Gal(L/F ) 是甚麼呢? 已知 Gal(L/F ) 會是 Gal(L/Q) 的 subgroup, 又知 Gal(L/Q) 是一個 order 2 的 cyclic group, 所以 Gal(L/F ) 要不是 identity 就是 Gal(L/Q). 因此我們只要檢驗 Gal(L/Q) 中不為 identity 的 σ (即 σ(α) = −α) 是否Gal(L/F ) 中即可: 也就是要檢查 σ 是否將 F = Q(α2) 中的元素固定. 因為 σ 已將 Q 中元素固定, 所以若 σ 可將 α2 固定, 則 σ 會將 F = Q(α2) 中所有的元素固定 (別忘了 Q(α2) 中的元素都是 r0+ r1α2 其中 r0, r1∈ Q 這種形式). 然而

σ(α2) = σ(α)2 = (−α)2 = α2,

我們得知 σ ∈ Gal(L/F ), 也就是說 Gal(L/F ) = Gal(L/Q). 用 G 這個函數來看就是 G(F ) = G(Q). 由於已知 F 6= Q, 所以在這情況之下 G 不是一對一的函數.

Example 2.1.6. 令 L = Q(α) 其中 α =√

2 + i. 很容易驗證 x4− 2x2+ 9 ∈ Q[x] 是 α over Q 的 minimal polynomial. 我們有

α =√

2 + i, −α = −√

2 − i, α =√

2 − i and − α = −√ 2 + ix4− 2x2+ 9 = 0 在 C 中的 4 個解.

由於(

2 + i) · (√

2 − i) = 3, 知 α =√

2 − i = 3(√

2 + i)−1= 3α−1 ∈ L. 因此 x4− 2x2+ 9 在 C 中的 4 個根 (即 α, −α, 3α−1−3α−1) 都在 L 中. 故由 Proposition 2.1.3 知

|Gal(L/Q)| = 4.

(22)

group 的理論知 Gal(L/Q) 會 isomorphic to Z/4Z 或 Z/2Z × Z/2Z 其中之一. 區Z/4Z 和 Z/2Z × Z/2Z 這兩個 groups 的方法是: 由於 Z/4Z 是一個 order 4 的 cyclic group, 所以其中必存在一個 order 4 的元素, 而 Z/2Z × Z/2Z 就沒有 order 4 的元素. 因 此我們需檢查 Gal(L/Q) 中所有元素的 order. 已經知道 Gal(L/Q) 中將 α 送到 α 的元素 就是 identity, 所以我們只要考慮其他三個元素 σ1, σ2, σ3∈ Gal(L/Q) 其中

σ1(α) = −α, σ2(α) = α = 3α−1 and σ3(α) = −α = −3α−1. 因為

σ1◦ σ1(α) = σ11(α)) = σ1(−α) = −σ1(α) = −(−α) = α, 得知 σ1◦ σ1 = I, 也就是說 σ1 的 order 為 2. 另一方面

σ2◦ σ2(α) = σ22(α)) = σ2(3α−1) = 3σ2(α)−1= 3(3α−1)−1= α, 以及

σ3◦ σ3(α) = σ33(α)) = σ3(−3α−1) = −3σ3(α)−1= −3(−3α−1)−1 = α, 所以 σ2σ3order 皆為 2. 得知 Gal(L/Q) ' Z/2Z × Z/2Z.

接下來我們看看 L/K 的 intermediate fields. 由於 (√

2 + i) + (√

2 − i) = 2√ 2 以及 (

2 + i) − (√

2 − i) = 2i, 我們知

2 = 1

2(α + 3α−1) ∈ L, i = 1

2(α − 3α−1) ∈ L and 2i = 1

42− 9α−2) ∈ L.

F1= Q(

2i), F2= Q(

2) 以及 F3= Q(i). 很容易看出 [F1 : Q] = [F2 : Q] = [F3 : Q] = 2.

由於 F2 ⊆ R 但 F1, F3 * R, 我們知 F2 6= F1F2 6= F3. 又若假設 F1 = F3, 即

√2i ∈ F3 = Q(i), 則 2 =

2i/i ∈ F3. 得到 F2= F3 之矛盾, 故知 F1 6= F3. 因此 F1, F2F3L/Q 的三個相異的 intermediate fields.

要知道G(F1) (即 Gal(L/F1)) 是 Gal(L/Q) 的哪一個 subgroup, 我們需要探討在 σ1, σ2σ3 中哪些會固定 F1= Q(

2i) 中所有的元素. 由於 σ1(

2i) = σ1(1

42− 9α−2)) = 1

41(α)2− 9σ1(α)−2) = 1

4((−α)2− 9(−α)−2) = 2i,

σ2(

2i) = σ2(1

42− 9α−2)) = 1

42(α)2− 9σ2(α)−2) = 1

4(9α−2− 9(3α−1)−2) = −√ 2i, 以及

σ3(

2i) = σ3(1

42− 9α−2)) = 1

43(α)2− 9σ2(α)−2) = 1

4(9α−2− 9(−3α−1)−2) = −√ 2i, 我們知僅有 σ1 會固定 F1 中的元素, 因此知 G(F1) = Gal(L/F1) = {I, σ1}. 同樣方法可得G(F2) = Gal(L/F2) = {I, σ2} 以及 G(F3) = Gal(L/F3) = {I, σ3}. 要注意雖然 G(F1), G(F2) 以及 G(F3) 都 isomorphic to Z/2Z, 但它們是 Gal(L/Q) 中三個相異的 subgroups.

事實上以後我們會知道在這個例子中 G 這個函數是 1-1 且 onto 的.

(23)

2.2. Fixed Field 17

2.2. Fixed Field

L 是一個 field, σ ∈ Aut(L) 若 λ ∈ L 滿足 σ(λ) = λ, 我們就稱 λ 被 σ 固定 (fixed). 我 們用 Lσ 表示在 L 中所有被 σ 固定的元素所成的集合. Lσ 事實上是一個 field, 我們稱之 為 σ 的 fixed field. 這一節中我們主要是介紹 fixed field 以及其和 Galois group 的關係.

首先我們來看 Lσ 為何是一個 field. 若 λ1, λ2 ∈ Lσ, 且 λ2 6= 0 則由於 σ(λ1) = λ1, σ(λ2) = λ2 以及 σ ∈ Aut(L), 可得

σ(λ1− λ2) = σ(λ1) − σ(λ2) = λ1− λ2 and σ(λ1λ−12 ) = σ(λ1)σ(λ2)−1 = λ1λ−12 . 因此 λ1 − λ2 ∈ Lσ 以及 λ1λ−12 ∈ Lσ, 故知 Lσ 是一個 field. 特別當 L/K 是一個 field extension 且 σ ∈ Gal(L/K), 則由於 K 中的元素皆被 σ, 固定我們有 K ⊆ Lσ⊆ L, 換言之 LσL/K 的 intermediate field.

在前一節中我們定義了一個函數 G 將 L/K 的 intermediate fields 送到 Gal(L/K) 的 subgroups. 一般來說 G 不一定是 1-1 (參見 Example 2.1.5), 為了探討何時 G 會 1-1, 以下 我們引進了一個反向的函數將 Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的 intermediate fields.

首先若 H 是 Gal(L/K) 的一個 subgroup 我們定義

LH = {λ ∈ L | σ(λ) = λ, ∀ σ ∈ H} = \

σ∈H

Lσ.

利用 fields 的交集仍是 field 以及對任意 σ ∈ H ⊆ Gal(L/K) 皆有 K ⊆ Lσ, 我們知 LH 仍 為一個 field 且 K ⊆ LH ⊆ L. 故得 LH 仍為 L/K 的 intermediate field.

Definition 2.2.1. 當 L/K 是一個 field extension 且 H 是 Gal(L/K) 的一個 subgroup, 我 們稱 LH = {λ ∈ L | σ(λ) = λ, ∀ σ ∈ H} 為 H 的 fixed field.

回顧上一節中當 L/K 是一個 field extension, 我們令 F 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 G 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 現在我們可以定義一個函數 F : G → F 使得對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H (即 H ∈ G), 我們定義 F(H) = LH. 從 前面的討論我們知LHL/K 的一個 intermediate field, 也就是說 F(H) ∈ F, 因此 F 確 實是一個 well-defined 函數.

I 是 Gal(L/K) 的 identity 時, 當然有 LI = L, 因此由定義知 F({I}) = L. 要注意 的是雖然 Gal(L/K) 將 K 的元素都固定, 但是 Gal(L/K) 的 fixed field 可能比 K 還大, 所 以一般的情形不見得有F(Gal(L/K)) = K (後面我們會舉一個例子). 對於函數 F 我們有G 相對應的性質 (Lemma 2.1.2).

Lemma 2.2.2. ›  × extension L/K, u H1, H2 ∈ G Î Gal(L/K)  Ë Í subgroups v”• H1 ⊆ H2, J F(H2) ⊆ F(H1).

Proof. 若 λ ∈ F(H2) = LH2, 表示對任意 σ ∈ H2 皆滿足 σ(λ) = λ. 現任取 τ ∈ H1, 由於 H1 ⊆ H2, 我們有 τ ∈ H2, 故由 λ ∈ F(H2) 的假設知 τ (λ) = λ, 因此 λ ∈ LH1 = F(H1). 得

F(H2) ⊆ F(H1). ¤

(24)

再次強調: G 是將 L/K 的 intermediate fields 送到 Gal(L/K) 的 subgroups, 而 F 是將 Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的 intermediate fields. 以下是這兩個函數相互的關係.

Proposition 2.2.3. ƒ L/K Î×Í field extension, F Î L/K Ý intermediate field v H Î Gal(L/K) Ý subgroup. &Æb|ìÝP²:

(1) F ⊆ F(G(F )) v H ⊆ G(F(H)).

(2) G(F ) = G(F(G(F ))) v F(H) = F(G(F(H))).

Proof. (1) 首先觀察若 F 是 L/K 的 intermediate field, 則 G(F ) = Gal(L/F ), 換言之 對任意的 σ ∈ G(F ) 都會將 F 中的元素固定. 因此若 λ ∈ F , 則對任意 σ ∈ G(F ) 皆 滿足 σ(λ) = λ, 也就是說 λ ∈ LG(F ) = F(G(F )). 故得證 F ⊆ F(G(F )). 另一方面, 若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 則 F(H) 中的元素都會被 H 固定住. 因此若 σ ∈ H, 則 σ ∈ AutF(H)(L) = Gal(L/F(H)) = G(F(H)). 故得證 H ⊆ G(F(H)).

(2) 由於 F 和 F(G(F )) 皆為 L/K 的 intermediate fields, 利用 (1) F ⊆ F(G(F )) 以及 Lemma 2.1.2 我們得到 G(F(G(F ))) ⊆ G(F ). 然而 G(F ) 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 故將 (1) 的 H 用 G(F ) 取代, 可得 G(F ) ⊆ G(F(G(F ))). 因此得證 G(F ) = G(F(G(F ))). 另一方 面因為 H 和 G(F(H)) 皆為 Gal(L/K) 的 subgroups, 利用 (1) H ⊆ G(F(H)) 以及 Lemma 2.2.2 我們得到 F(G(F(H))) ⊆ F(H). 然而 F(H) 是 L/K 的 intermediate field, 故將 (1)F 用 F(H) 取代, 可得 F(H) ⊆ F(G(F(H))). 因此得證 F(H) = F(G(F(H))). ¤ 在一般的情形 Proposition 2.2.3 (1) 的等式有可能不成立 (即 F ( F(G(F )) 和 H ( G(F(H)) 的情形有可能發生). 以後我們會知道當 L/K 是 finite extension 時, 對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H 皆有 H = G(F(H)) 的性質. 不過對於 L/K 的 intermediate field F , 仍可能有 F 6= F(G(F )) 的情形發生 (下面我們會給一個例子). Galois 的理論就是 要探討在哪些 extension L/K, 對任意的 L/K 的 intermediate field F 皆有 F = F(G(F )) 的性質.

以下我們利用前一節的例子, 來探討 Galois groups 和 fixed fields 之間的關係.

Example 2.2.4. 我們沿用 Example 2.1.5 的 extension, 即 L = Q(α) 其中 α 是 x4− 2 唯 一的正實根. 此時我們知 Gal(L/Q) = {I, σ}, 其中 σ(α) = −α. 又 F = Q(α2) 為 L/Q 的 intermediate field 且 Q ( F ( L.

Gal(L/Q) 只有兩個 subgroups: 即 {I} 和 Gal(L/Q). 已知 F({I}) = L, 我們來探討 F(Gal(L/Q)) 應該是哪一個 field. 由於

F(Gal(L/Q)) = LI∩ Lσ = L ∩ Lσ = Lσ, 我們只要探討 σ 的 fixed field 即可.

由於對任意L 中的元素 λ 都可唯一表示成 λ = r0+r1α+r2α2+r3α3, 其中 r1, r2, r3, r4 ∈ Q.

λ ∈ Lσ, 我們有

λ = σ(λ) = r0+ r1σ(α) + r2σ(α)2+ r3σ(α)3 = r0− r1α + r2α2− r3α3.

(25)

2.2. Fixed Field 19

因此得知 r1 = r3 = 0, 也就是說 Lσ 中的元素必可寫成 r0+ r2α2, 其中 r0, r2 ∈ Q 這種形 式. 故得 Lσ ⊆ Q(α2) = F . 另一方面在 Example 2.1.5 中我們知 F 中的元素都被 σ 固定, 故得F ⊆ Lσ. 因此得證 Lσ = F , 也就是說 F(Gal(L/Q)) = F . 要注意, 我們曾經提過在一 般的情形 Gal(L/K) 的 fixed field 不一定是 K, 在我們這個例子 F(Gal(L/Q)) = F 6= Q, 就是這種情形.

Example 2.1.5 我們已知 G(Q) = G(F ) = Gal(L/Q) 以及 G(L) = {I}. 因此我們有 F(G(Q)) = F(G(F )) = F(Gal(L/Q)) = F and F(G(L)) = F({I}) = L.

因此知

Q ( F(G(Q)), F = F(G(F )) and L = F(G(L)).

要注意 Q ( F(G(Q)) 就是 Proposition 2.2.3 (1) 等式不成立的一個例子.

另一方面我們有 G(F({I})) = G(L) 且 G(F(Gal(L/Q))) = G(F ) 因此知 {I} = G(F({I})) and Gal(L/Q) = G(F(Gal(L/Q))).

Example 2.2.5. 在這個例子我們沿用 Example 2.1.6 的 extension, 即 L = Q(α) 其中 α =√

2 + i. 此時我們知 Gal(L/Q) = {I, σ1, σ2, σ3}, 其中 σ1(α) = −α, σ2(α) = 3α−1 以及 σ3(α) = −3α−1. 另外 L/Q 有三個相異的 nontrivial intermediate fields, 分別為 F1 = Q(

2i), F2 = Q(

2) 以及 F3= Q(i).

Example 2.1.6 我們已知 Gal(L/Q) ' Z/2Z × Z/2Z 所以 Gal(L/Q) 共有 5 個 subgroups: {I}, Gal(L/Q), H1 = {I, σ1}, H2 = {I, σ2} 以及 H3 = {I, σ3}. 我們先探討 F 在這 5 個 subgroups 的取值. 首先我們已知 F({I}) = L. 對於 F(H1), 由於

F(H1) = LH1 = LI∩ Lσ1 = Lσ1,

我們只要探討σ1fixed field 即可. 不過在 Exampel 2.1.6, 我們知道 σ1 會固定 F1 的所 有元素, 因此知 F1 ⊆ Lσ1. 如果 F1 6= Lσ1, 即 [Lσ1 : F1] > 1, 由 Lemma 1.2.3 知

2 = [L : F1] = [L : Lσ1][Lσ1 : F1] > [L : Lσ1],

這迫使[L : Lσ1] = 1, 也就是說 L = Lσ1. 不過這是不可能的因為 α ∈ L 但 σ1(α) = −α 6= α, 也就是說 α 6∈ Lσ1. 由此矛盾知 F1 = Lσ1 = LH1 = F(H1). 同理可得 F2 = F(H2) 以及 F3 = F(H3). 至於 F(Gal(L/Q)), 由定義以及前面結果知

F(Gal(L/Q)) = LGal(L/Q)= LI∩ Lσ1 ∩ Lσ1 ∩ Lσ3 = F1∩ F2∩ F3.

如果F2 = F1∩ F2∩ F3, 表示 F2 ⊆ F1∩ F3⊆ F3, 這是不可能的 (因為 [F2 : Q] = [F3 : Q] = 2, 因此F2⊆ F3 會導致 F2 = F3). 故知 F26= F1∩ F2∩ F3, 也就是說 [F2: F(Gal(L/Q))] > 1.

再次利用 Lemma 1.2.3 知

2 = [F2 : Q] = [F2: F(Gal(L/Q))][F(Gal(L/Q)) : Q] > [F(Gal(L/Q)) : Q],

故得 [F(Gal(L/Q)) : Q] = 1, 也就是說 F(Gal(L/Q)) = Q. 因此我們知 F 這個函數對 Gal(L/Q) 的 subgroups 取值分別為:

F({I}) = L, F(H1) = F1, F(H2) = F2, F(H3) = F3 and F(Gal(L/Q)) = Q.

(26)

由 Example 2.1.6 我們知

G(L) = {I}, G(F1) = H2, G(F2) = H2, G(F3) = H3 and G(Q) = Gal(L/Q), 因此我們有

L = F(G(L)), F1 = F(G(F1)), F2 = F(G(F2)), F3= F(G(F3)) and Q = F(G(Q)), 以及

{I} = G(F({I})), H1 = G(F(H2)), H2 = G(F(H2)), H3 = G(F(H3)) and Gal(L/Q) = G(F(Gal(L/Q))).

以後我們會知道L/Q 的 intermediate fields 只有 Q, F1, F2, F3 以及L, 因此知 G : F → GF : G → F 互為反函數, 也就是說 G 和 F 都是 1-1 且 onto. 這種 extension 就是所謂 的 Galois Extension.

2.3. Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係

L/K 是 finite extension 時 Gal(L/K) 會是一個 finite group 而且 Gal(L/K) 的 orderL/K 的 degree 相關. 這一節中我們就是要探討 |Gal(L/K)| 和 [L : K] 的關係.

Corollary 2.1.4 中我們知道當 L/K 是 finite simple extension 時, |Gal(L/K)| ≤ [L : K].

所以知道在這情形時 Gal(L/K) 是一個 finite group. 事實上不需 simple 的假設, 當 L/Kfinite extension 時 Gal(L/K) 必是一個 finite group.

Lemma 2.3.1. u L/K Î×Í finite extension, J Gal(L/K) Î×Í finite group.

Proof. 利用 Proposition 1.3.4, 我們知存在 a1, . . . , an∈ L, 其中這些 ai 皆 algebraic over K, 使得 L = K(a1, . . . , an). 由 Lemma 1.3.5, 我們知對任意 λ ∈ L, 皆存在 f (x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn] 使得 λ = f (a1, . . . , an). 因此若 σ ∈ Gal(L/K), 則由於 f (x1, . . . , xn) 的係數 都在 K 中, 可得

σ(λ) = σ(f (a1, . . . , an)) = f (σ(a1), . . . , σ(an)).

也就是說σ 對 L 中元素的取值完全可由 σ(a1), . . . , σ(an) 來決定. 換句話說若 σ, τ ∈ Gal(L/K) 且對於所有的 i = 1, . . . , n, 皆有 σ(ai) = τ (ai), 則 σ = τ .

σ ∈ Gal(L/K) 時, σ(ai) 有哪些可能的取值呢? 若 fi(x) ∈ K[x] 是 ai over K 的 minimal polynomial, 且 deg(fi(x)) = mi, 則由於

fi(σ(ai)) = σ(fi(ai)) = σ(0) = 0,

我們知σ(ai) 仍為 fi(x) 在 L 中的一個根. 因此每個 σ(ai) 最多只有 mi 個選擇. 所以對任 何 σ ∈ Gal(L/K) 這些 σ(a1), . . . , σ(an) 最多有 m1· · · mn 種選擇, 故知 Gal(L/K) 最多只

能有 m1· · · mn 個元素. ¤

要注意如果fi(x) 在 L 中有 si個根, 並不能像 simple extension 的情況得到 |Gal(L/K)| = s1· · · sn. 這是因為任意給定 α1, . . . , αn ∈ L 分別為 f1(x) = 0, . . . , fn(x) 在 L 的根, 並不 能保證存在 σ ∈ Gal(L/K) 會同時滿足 σ(a1) = α1, . . . , σ(an) = αn.

參考文獻

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