11 11 2 2

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.12.26 班級 普二 班

範 圍

4-2,3

圓、直線、球面 座號

姓 名 一、單選題(每題 10 分)

1. 以下各平面中哪一個與球面：x² + y² + z² − 2x + 4y + 2z − 19 = 0 相交所形成的圓面積最 小？(A) x + y + z = 0 (B) z = − 1 (C) y = 1 (D) x = 2 (E) x = 2y

【解答】(C)

【詳解】平面 y = 1 距離球心最遠，故與球面相交之圓面積最小

2. 設實數x，y，z滿足x² + y² + z² = 1，若x + y + z = k，則

(A) k的最大值為 2 (B) k的最小值為 − 2 (C) k有最大值時，x = y = z = 1 (D) k有最小值時，x = y = z =

3

−1

(E) k無最大或最小值

【解答】(D)

【詳解】

由柯西不等式(x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² ⇒ 1 × 3 ≥ k² ⇒ − 3 ≤ k ≤ 3 當k有最大值 3 時，

1 x=

1 y =

1

z 且x + y + z = 3 ，得x = y = z = 3

3

當k有最小值− 3 時，

1 x=

1 y =

1

z 且x + y + z = − 3 ，當x = y = z = 3

− 3= 3

−1

，故選(D) 二、填充題(每題 10 分)

1. 自點P(1，5)向圓x² + y² − 6x + 4y + 4 = 0 作二切線，切點分別為A，B，則

(1)切線段PA長為 。 (2)△PAB之外接圓方程式為 。

【解答】(1) 2 11 (2) x² + y² − 4x − 3y − 7 = 0

【詳解】

(1)PA= 1+25−6+20+4= 2 11

(2)AQ⊥AP，BQ⊥BP，故△PAB之外接圓，

即為以P(1，5)及Q(3，− 2)為直徑之圓

⇒ (x − 1)(x − 3) + (y − 5)(y + 2) = 0 ⇒x² + y² − 4x − 3y − 7 = 0

2. 圓外一點P( − 3，6)對圓 2x² + 2y² + 6x − 2y − 5 = 0 所作的切線段長為 。

【解答】 2

110

【詳解】圓C：x² + y² + 3x − y − 2

5= 0，切線段長 =

2 6 5 ) 3 ( 3 6 ) 3

(− ²+ ²+ × − − − = 55 =2

2 110

3. 有一圓的圓心( − 3，4)，與直線 3x − 4y + 5 = 0 相切，其圓方程式為 。

【解答】(x + 3)² + (y − 4)² = 16

【詳解】圓C的圓心A( − 3，4)與直線L：3x − 4y + 5 = 0 相切

故半徑r = d (A，L) =

2

2 ( 4)

3

| 5 4 4 ) 3 ( 3

|

− +

+

×

−

−

× = 4，得圓方程式為(x + 3)² + (y − 4)² = 4²

4. 過點(1，3)且與圓(x + 1)² + (y − 2)² = 5 相切的直線方程式為 。

【解答】2x + y − 5 = 0

【詳解】點 P(1，3)∈圓 C，所求切線 L：(1 + 1)(x + 1) + (3 − 2)(y − 2) = 5，L：2x + y − 5 = 0 5. 直線x − y = 3 被圓x² + y² − x + y − 2 = 0 所截得的弦長 = 。

【解答】 2

【詳解】

圓C：(x − 2

1)² + (y + 2 1)² =

2

5，圓心P(

2 1，−

2

1)，半徑r = 2 5

弦長 =AB= 2AQ= 2 PA² −PQ² = 2 2 25 − = 2

（其中PQ= d(P，L) =

2

| 2 3 1 2

|1 + −

= 2

2 = 2 ）

6. 若自點P(6，− 7)作圓x² + y² = 5 的切線，則切點坐標為 。

（兩解）

【解答】(2，1)，(

17

−22

， 17

−31 )

【詳解】⎩⎨⎧

= +

=

− 5

5 7 6

2

2 y

x C

y x AB

：

：

切點弦 ⇒ 或

⎩⎨

⎧ =

= 1 2 y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧x = 17

−22 y = 17

−31

7. 圓x² + y² − 6x + 8y = 0 上任一點P到直線 4x + 3y = 30 的距離 最大值 = ，此時P點的坐標為 。

【解答】11，( − 1，− 7)

【詳解】

(1)圓x² + y² − 6x + 8y = 0 ⇒ (x − 3)² + (y + 4)² = 5²， 圓心A(3，− 4)，半徑 5

P點到直線L：4x + 3y = 30 的最大距離 = d(A，L) + r = 5 11

5 5 30 3

4

| 30 12 12

|

2

2 + = + =

+

−

−

(2)過A(3，− 4)，作L：4x + 3y = 30 的垂直線L′：3x − 4y = 25，L與L′交點Q ) 5 2 5 (39，− 因AP=5 ， AQ=6，設P(a，b)，則由分點公式得(3，− 4) = )

6 5

2 6 6 5

39 (6

+

− +

+ b

a ，

⇒ (a，b) = ( − 1，− 7)

⎩⎨

⎧

−

=

−

= +

44 2

6

33 39 6

b a

8. 若直線y = 2x + k與圓C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0 交於兩點，則k值之範圍為 。

【解答】3 − 5 5 < k < 3 + 5 5

【詳解】⎩⎨⎧C：x² + y² + 4x + 2y − 20 = 0……c L：y = 2x + k……d

d代入c ⇒ 5x² + 4(k + 2)x + (k² + 2k − 20) = 0

D：16(k + 2)² − 4 × 5 × (k² + 2k − 20) > 0（∵ 交於兩點）

⇒ k² − 6k − 116 < 0 ⇒ 3 − 5 5 < k < 3 + 5 5

9. 求與直線x + 2y − 3 = 0 垂直且與圓x² + y² − 2x + 2y + 1 = 0 相切的直線方程式 。

【解答】2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0

【詳解】代入公式，直線 x + 2y − 3 = 0 斜率 ¹

m= − ⇒2 所求切線斜率m= −2 1 2( 1) 1 22 1

y+ = x− ± ⋅ + ⇒ 切線方程式為 2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0 10.求過P(1，1)且與圓x² + (y − 3)² = 1 相切的直線方程式： 。

【解答】x = 1 或 y − 1 = − 4

3(x − 1)

【詳解】P(1，1)代入圓方程式得 1² + (1 − 3)² = 5 > 1 ∴ P在圓外 設切線為y − 1 = m(x − 1)，即mx − y − m + 1 = 0

2

2 ( 1)

| 1 3

0

|

− +

+

−

−

⋅ m

m

m = 1 ⇒ m = −

4

3 ⇒ 切線y − 1 = − 4

3(x − 1)，另一無斜率，即x = 1

11.自點P(8，1)作圓C：x² + y² − 2x − 4y − 7 = 0 的切線，切點為A與B，則 AB 方程式為

。

【解答】7x − y = 17

【詳解】令P(x0，y0) = P(8，1) ∴ x² → x0 x，x → 2

0 x

x +

，y² → y0 y，y → 2

0 y

y +

代入 得 8x + y − 2(

2

8+x ) − 4(

2

1+y) − 7 = 0 ⇒ 7x − y = 17

12.兩圓C1：x² + y² + 6x − 4y + 12 = 0 與C2：x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0 (1)求兩內公切線之交點坐標為 。

(2)求兩內公切線方程式為 。（有兩條）

【解答】(1) ( − 1，1) (2) y = 1 或 4x + 3y + 1 = 0

【詳解】

(1) C1：(x + 3)² + (y − 2)² = 1，圓心A( − 3，2)，半徑r1 = 1 C2：(x − 3)² + (y + 1)² = 4，圓心B(3，− 1)，半徑r2 = 2

設兩內公切線相交於P點，則△AMP～△BNP⇒AP：BP=AM ： BN = r₁：r₂ = 1：2 由內分點公式P(x，y) = (

2 1

1 3 2 ) 3 (

+

× +

×

− ，

2 1

1 ) 1 ( 2 2

+

×

− +

× ) = ( − 1，1)

(2)∵內公切線L過P( − 1，1)，∴設L：y − 1 = m(x + 1)， d(A，L) =

1

| 1 2

3

|

2 + + +

−

− m

m

m = 1

⇒ 3m² + 4m = 0 ⇒ m = 0 或m = 3

−4 故內公切線L分別為y − 1 = 0 或y − 1 =

3

−4(x + 1)，即y = 1 或 4x + 3y + 1 = 0 13.圓心在x − 2y + 3 = 0 上且與兩坐標軸相切的圓方程式為 。

【解答】(x − 3)² + (y − 3)² = 9 或(x + 1)² + (y − 1)² = 1

【詳解】與兩坐標軸均相切之圓的圓心可設為(a，a)或(a，− a)，半徑為 | a |

(1)圓心(a，a)代入x − 2y + 3 = 0⇒a = 3， r = | a | = 3，圓方程式(x − 3)² + (y − 3)² = 9 (2)圓心(a，− a)代入x − 2y + 3 = 0⇒a = − 1， r = | a | = 1，圓方程式(x + 1)² + (y − 1)² = 1

14.試求通過圓x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 的交點，且切於x軸的圓方程式：

。（兩解）

【解答】x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 或x² + y² + 6x − 6y + 9 = 0

【詳解】設過圓與直線的圓為x² + y² + 2x − 4y + 1 +

α

α

2 α)² =

4

5

α

α

d(O，x軸) = | 2 + 2

α| ⇒ (2 + 2 α)² =

4

5

α

α

∴ x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 或x² + y² + 6x − 6y + 9 = 0

15. 設方程式x² + y² + z² − 2kx + 4y − 4z + k² + k = 0 的圖形為一個點，則k = 。

【解答】8

【詳解】圖形為一點 ⇒ d² + e² + f ² − 4g = 0，即 4k² + 16 + 16 − 4k² − 4k = 0，得k = 8 16. 以P(−1，2，3)為球心，並通過原點的球面方程式為 。

【解答】(x + 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 14

【詳解】半徑r² =OP²= 1 + 4 + 9 = 14 ∴ 球面方程式為(x + 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 14 17. 通過下列四點A(− 3，2，− 2)，B(5，2，− 2)，C(− 2，3，− 2)，D(4，3，− 2)之球面S的

球心(a，b，c)，則序組(a，b，c) = 。

【解答】(1，−1，2)

【詳解】設所求球面方程式為S：x² + y² + z² + dx + ey + fz + g = 0

將A(− 3，2，− 2)，B(5，2，− 2)，C(− 2，3，− 2)，D(4，3，− 2)代入S

得 ，解之得d = − 2，e = 2，f = − 4，g = − 35

故S：x

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

= +

− +

−

= +

− +

−

−

= +

− +

−

= +

− +

−

29 2

3 4

17 2

3 2

33 2

2 5

17 2

2 3

g f e d

g f e d

g f e d

g f e d

2 + y² + z² − 2x + 2y − 4z − 35 = 0，即(x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 41

18. 平面E：x − 2y + 2z + k = 0，球面S：x² + y² + z² + 2x − 2y + 4z + 5 = 0，若E與S相交成一 圓，則k值範圍為 。

【解答】4 < k < 10

【詳解】球面S：(x + 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 1 ⇒ 球心A(−1，1，− 2)，半徑r = 1 若E與S相交成一圓 ⇒ 0 < d(A；E) < 1 ⇒ 0 <

4 4 1

| 4 2 1

|

+ +

+

−

−

− k < 1，即 4 < k < 10

19. 求P(1，2，3)到球面S：x² + y² + z² − 2x + 8y + 4z + 12 = 0 的最近距離 = 。

【解答】 61− 3

【詳解】球面S：(x − 1)² + (y + 4)² + (z + 2)² = 9 之球心A(1，− 4，− 2)，半徑r = 3 最近距離 = |AP− r | = 61 − 3

20. 空間中，過A(4，2，2)，B(3，− 3，0)且球心在x軸之球面方程式為 。

【解答】(x − 3)² + y² + z² = 9

【詳解】設球心P(t，0，0)，則PA²=PB ² ⇒ (t − 4)² + 2² + 2² = (t − 3)² + (− 3)² ⇒ t = 3 半徑R =PA= 3 ∴ 球面方程式S：(x − 3)² + y² + z² = 9

21.求直線L：

4 1 1

3 y z

x = =

−

− 與球面S：x² + y² + z² − 12z + 27 = 0 的交點坐標 。

【解答】(2，1，4)及(1，2，8)

【詳解】

設交點坐標為( − t + 3，t，4t)，代入S方程式得( − t + 3)² + t² + (4t)² − 12(4t) + 27 = 0

⇒t² − 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1 或 2 ∴ 二交點為(2，1，4)及(1，2，8)22.

22.以A(10，2，5)，B( − 6，10，11)為直徑兩端點的球面S，求

(1) S的方程式為 。(2) S截出z軸的線段長為 。

【解答】(1) x² + y² + z² − 4x − 12y − 16z + 15 = 0 (2) 14

【詳解】

(1)(x − 10)(x + 6) + (y − 2)(y − 10) + (z − 5)(z − 11) = 0⇒x² + y² + z² − 4x −12y −16z + 15 = 0 (2)設與z軸交點(0，0，t)代入，t² − 16t + 15 = 0 ⇒ t = 1，15

得兩交點(0，0，1)，(0，0，15)，此線段長為 15 − 1 = 14

23.球面(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 9 上任一點P，一定點A(0，1，2)，求 (1)PA的最小值為 。(2)PA最小時，P點的坐標為 。

【解答】(1) 3 − 3 (2) (1 − 3 ，2 − 3 ，1 + 3 )

【詳解】

球面(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 9，球心Q(1，2，1)，半徑r = 3，定點A(0，1，2) 3

1 1 1+ + =

=

AQ < r ⇒ A點在球面內部

(1)PA的最小值 = r −AQ = 3 − 3 (2)由(1)知AQ AP: = 3 (3： − 3) ⇒ 設

( , , ) P a b c

3 (3 3) 1 3 (3 3) 2 3 (3 3) 1

(0,1, 2) ( , , )

3 (3 3) 3 (3 3) 3 (3 3)

a b c

A × + − × × + − × × + − ×

⇒ =

+ − + − + −

P a b c( , , )=(1 − 3 ，2 − 3 ，1 + 3 )

24.若直線L：

2 2 2

1 1

1 −

+ =

− = y z

x 與球面S：x² + y² + z² = r²相切，則半徑r的長 = ， 切點坐標為 。

【解答】 5 ， )

3 4 3 5 3

(2，− ，

【詳解】直線L：

2 2 2

1 1

1= + = −

− y z

x 與球面S：x² + y² + z² = r²相切，即球心O(0，0，0)到L 的距離等於球的半徑r。設L上一點P(1 + t，− 1 + 2t，2 + 2t)且OP⊥L，則

．(1，2，2) = 0 ⇒ (1 + t，− 1 + 2t，2 + 2t)．(1，2，2) = 0

⇒ 1 + t + 2( − 1 + 2t) + 2(2 + 2t) = 0 ⇒ 9t + 3 = 0 ⇒ t =

____\

OP

3 1 9

3= −

−

r = ) 5

3 2 2 ( 3) 1 2 ( 3) 1 1

( − ² + − − ² + − ² =

=

OP ，切點即為P點，其坐標為 )

3 4 3 5 3

(2，− ，

25.球面 3x² + 3y² + 3z² − 6x + 9y − 2 = 0 的球心坐標為 ，半徑為 。

【解答】(1，−

3

2，0)，

6 141

【詳解】x² + y² + z² − 2x + 3y − 3

2= 0，配方得(x − 1)² + (y + 2

3)² + z² = 12 47

球心(1，−

3

2，0)，半徑

6 141 1247 =

26.已知球面x² + y² + z² − 2x + 4y + 6z − 8 = 0 與x軸交於A，B兩點，則AB的長為 。

【解答】6

【詳解】設球面x² + y² + z² − 2x + 4y + 6z − 8 = 0 與x軸交點為(a，0，0)代入 得a² − 2a − 8 = 0 ⇒ (a + 2)(a − 4) = 0 ⇒ a = − 2，4

故交點A，B的坐標分別為( − 2，0，0)，(4，0，0)，AB = |4 − ( − 2)| = 6

27.令O(6，2，0)，而點Q在球面S：x² + y² + z² = 4 上移動，則OQ中點的軌跡方程式為

。

【解答】(x − 3)² + (y − 1)² + z² = 1

【詳解】令Q(a，b，c) ∈ S ∴ a² + b² + c² = 4 設OQ中點為P( , , )x y z =(⁶

2 +a

，² 2 +b

，⁰ 2 +c

)，

即x = 3 + 2

a，y = 1 + 2 b，z =

2

c ⇒ a = 2(x − 3)，b = 2(y − 1)，c = 2z

但a² + b² + c² = 4 ⇒ [2(x − 3)]² + [2(y − 1)]² + (2z)² = 4 ⇒ (x − 3)² + (y − 1)² + z² = 1 28.已知一球面S：x² + y² + z² − 2x + 4y − 2z − 3 = 0，若平面x + y + z + k = 0 與S相切，則實數

k之值 = 。 3

±3

【解答】

【詳解】S：(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 3²，球心P(1，− 2，1)，半徑 3 平面E：x + y + z + k = 0 與球面S相切 ⇒ 球心P到E的距離 = S的半徑

⇒ 3 3 3

1 1 1

| 1 2 1

| = ⇒ =±

+ +

+ +

− k k

29.球面S與平面x − 2y − 2z = 7 相切於點A(3，− 1，− 1)且半徑 3，則S之方程式為 或 。

【解答】(x − 4)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 9 或(x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 9

【詳解】

球面S切平面E：x − 2y − 2z = 7 於點A(3，− 1，− 1)，球心P0在垂直E於A點的直線上

∴ ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−

−

=

−

−

= +

=

t z

t y

t x A

P

2 1

2 1 3

0 　的方程式為 。設P0(3 + t，− 1 − 2t，− 1 − 2t)，則 AP₀ = 3

∴ t² +4t² +4t² = 3⇒ 3| t | = 3 ⇒ t = ± 1，∴球心P0(4，− 3，− 3)或P0(2，1，1) 故S的方程式為(x − 4)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 9 或(x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 9

30.兩個球面S1：x² + y² + z² = 4 與S2：(x − 1)² + (y − 2)² + (z + 2)² = 9 交於一圓C，則包含圓C 的所有球面中，最小的球面方程式為 。

【解答】9x² +9 y² +9 z² −4x−8y+8z−28= 0

【詳解】

S1：x² + y² + z² = 4，S2：x² + y² + z² − 2x − 4y + 4z = 0

S1，S2的交圓C所在平面E為 2x + 4y − 4z = 4，即x + 2y − 2z = 2 包含圓C的最小球面即以圓C為大圓的球面，即球心在平面E上 設此球面方程式為(x² + y² + z² − 4) + t(x + 2y − 2z − 2) = 0

化簡x² + y² + z² + tx + 2ty − 2tz − 2t − 4 = 0

球心(−2

t ，− t，t)在E：x + 2y − 2z = 2 上 ⇒ − 2

t − 2t − 2t = 2 ⇒ t = 9

−4 所求球面方程式為x² + y² + z² −

9 28 9 8 9 8 9

4x− y+ z− = 0

31.球面S：(x − 1)² + (y − 1)² + (z + 1)² = 4，E為S上一點(1，1，1)切平面，則點(2，3，4)與 平面E的距離為 。

【解答】3

【詳解】球心 O(1，1，− 1)，P(1，1，1)在 E 上，Q(2，3，4)

= (0，0，2) ∴ E：z = 1，d(Q，E) =

____\

OP 2

1

| 1 4

| −

= 3

32.點P(1，2，3)到球面S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的切線段長為 ，所有切點形成一 個圓，此圓所在平面方程式為 ，圓的圓心坐標為 。

17) 30 17 20 17

( 3， ，

【解答】(1) 7 (2) 2x + 2y + 3z = 8 (3)

【詳解】

S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的球心Q( − 1，0，0)，過P(1，2，3)作球的切線，一切點T (1)切線段長PT = PQ² −r² = (4+4+9)−10 = 7

(2)所有切點所成的圓即以P為中心，PT 為半徑的球面S ′與球面S的交圓

此圓所在平面E即為兩球的根平面，S ′的方程式為(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 7 平面E的方程式為[(x + 1)² + y² + z² − 10] − [(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² − 7] = 0 即 2x + 2y + 3z = 8

(3)兩球面交圓的圓心為球心連線PQ與平面E的交點，直線PQ的方程式：

3 2 2

1 y z x+ = =

設圓心R( − 1 + 2t，2t，3t)代入E：2x + 2y + 3z = 8 得 2( − 1 + 2t) + 2(2t) + 3(3t) = 8 ⇒ t =

17

10 ，故R )

17 30 17 20 17

( 3， ，

33.直線L：

2

−1 x =

1 2

− +

y = z − 2 被球面S：x² + (y + 1)² + (z + 1)² = 9 截出之線段長為 。

【解答】4

【詳解】

∵ Q ∈ L ∴ 設Q(1 + 2t，− 2 − t，2 + t)

⇒ PQ²= (1 + 2t)² + (− 1 − t)² + (3 + t)² = 6(t + 1)² + 5 當t = −1 時，PQ有最小值 5 ，即d(P；L) = 5

所求截線段 =AB= 2AQ= 2 PA² −PQ² = 2 3² − = 4 5

34.過點A(1，2，3)，作直線L與球面S：x² + y² + z² + 2x − 4y − 4z − 7 = 0 交於點P與Q，則PA⋅AQ 之積 = 。

【解答】11

【詳解】

S：(x + 1)² + (y − 2)² + (z − 2)² = 16，球心B( − 1，2，2)，半徑r = 4

點A在S的內部，AB= 5，PA⋅AQ= AD⋅AE= (r −AB)(r +AB) = r² −AB ² = 16 − 5 = 11 35.球面S：x² + y² + z² = a與直線L：

1

−1 x =

2 +1 y =

1

−2

z 相切，則實數a = 。

【解答】 6 35

【詳解】

B ∈ 直線L，設B(1 + t，− 1 + 2t，2 + t) AB= (1+t)² +(−1+2t)² +(2+t)² =

6 ) 35 6 ( 1

6 t+ ² + 當t = 6

−1

時，AB有最小值 6

35 ，即半徑r = d(A；L) = 6

35，故a = r² = 6 35

a² + a2 +11)²，故a = − 1 ∴ (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 10 為所求