隨機算法
by boook
Hash Credit by qazwsxedcrfvtg14
大綱 大綱
• When
• 為甚麼、何時要用隨機
• How
• 如何產生隨機的數字
• Hash
• 隨機選擇
• Algorithm
• 最近點對
為甚麼、何時要用隨機 為甚麼、何時要用隨機
• 模板很難寫
• 大家都喜歡唬爛
• AC 的效率 vs 出題者的良心
• 在題目限制很寬的時候
• 當出題者的題目出壞掉的時候
用隨機的後果 用隨機的後果
• 影響正確率
• 可能程式不總是正確
• -> 讓程式錯誤的機率特別低
• 影響執行時間
• 執行時間不固定
• -> 讓程式期望執行的時間不長
如何產生隨機的數字 如何產生隨機的數字
• 大家都會 ??
• rand()
• srand(time(0))
• 這樣足夠安全嗎？
哪裡不安全 哪裡不安全
• 大家都會 ??
• rand()
• srand(time(0))
• 這樣足夠安全嗎？
哪裡不安全
哪裡不安全
不要直接使用 rand() 不要直接使用 rand()
• rand() 在 windows 上預設的回傳範圍為 [0, 65535]
• 解決方法：
• rand() 很多次後將結果拼接成比較大的數字
• 用其他亂數產生器，如 mt19937
• 追求更快效率 -> 自己寫亂數
使用 mt19937
使用 mt19937
自己設計 random function
自己設計 random function
自己設計 random function
自己設計 random function
暖身 - 計算隨機正確率
暖身 - 計算隨機正確率
Hash Hash
Hash Hash
• 目的：
• 將一個物品的很多資訊壓縮起來，當要判斷兩個物品是否相同時 就判斷兩個物品分別壓縮後的結果是否相同。
• 壓縮過程中會失去一些資訊，因此可能會有兩個不同的物品被 壓縮後產生一樣的結果。
• 如果有兩個物品 A, B ，以及壓縮函數 f
• 錯誤的機率：
• f(A) != f(B) ，但 A = B 。 => 不可能
• f(A) = f(B) ，但 A != B 。 => 錯誤的機率
Hash Hash
• 譬如：
• f(x) = x % 2
• 所以我們會認為：
• 1 != 2, 因為 1 = f(1) != f(2) = 0
• 2 = 2, 因為 0 = f(2) = f(2) = 0
• 但是我們會認為：
• 4 = 2, 因為 0 = f(4) = f(2) = 0
f(A) = f(B) ，但 A != B f(A) = f(B) ，但 A != B
• 好的 hash function 要滿足「碰撞」
的機率足夠小，也就是
f(A) = f(B) ，但 A != B 的機率。
• P(f(A) = f(B) ，但 A != B) < 1e-9
• 當錯誤的機率「足夠小」，那麼就可以 「假裝」 hash function 不會碰撞
• 有時候 1e-9 仍然不夠，需視情況調整
• 生活上的例子 (checksum)
Hash table Hash table
• 可以構造讓 hash table 變得非常慢
，但在隨機的 使用下，
insert 、
delete 都是 O(1) 。
Hash 的安全性 Hash 的安全性
• 對於一個 hash function x -> f(x) 有三種等級的安全性：
• Preimage attack ：
• 知道 f(x) 還原出 x
• Second preimage resistance ：
• 在知道 f(x) 的情況下，找到另一組 y -> f(y) = f(x)
• collision resistance ：
• 找到一對 a, b 使得 f(a) = f(b)
Hash 的安全性 - 生日悖論 Hash 的安全性 - 生日悖論
• 一個房間要多少人，則兩個人的生日相同的機率大於 50%?
• 23 人
• 有 n 個人，每人都隨機地從 N 個特定的數中選擇出來一個數
。
• p （ n ） = 有兩個人選擇了同樣的數字。
• 這個機率有多大 ?
Rolling hash Rolling hash
• 又稱 RK 算法 (Robin-Karp Algorithm)
• 核心
• 也可以用來當作亂數產生器
Rolling hash - 如果 C = 10 Rolling hash - 如果 C = 10
• S = 21334531
• M = 10000000000000000000000000000000000000000000
• H(1) = 2
• H(2) = 21
• H(3) = 213
• H(4) = 2133
• H(5) = 21334
• H(6) = 213345
• H(7) = 2133453
• H(8) = 21334531
Rolling hash Rolling hash
• 假設你有一個字串，且你已經知道其 hash 值
• 下列哪些操作可以 O(1) 執行 ?
• 加一個字元在前面
• 加一個字元在後面
• 從前面刪除一個字元
• 從後面刪除一個字元
Rolling hash Rolling hash
• 可以把 Rolling hash 想像成一個前高後低三角形
• H(1) = 2
• H(2) = 21
• H(3) = 213
• H(4) = 2133
• H(5) = 21334
Rolling hash Rolling hash
• 兩個 hash 接起來
• 一個字元也可以 算是一個 hash
*
• S = 213
• P = 123
• H(S) = 213
• H(P) = 123
• H(S+P)
= 213 * 1000 + 123
Rolling hash Rolling hash
• 刪除前面的字元
*
• S = 12345
• H(S) = 12345
• 12345 – 12000
= 345
Rolling hash Rolling hash
• 刪除後面的字元
*
• S = 12345
• H(S) = 12345
• (12345 – 45) / 100 = 123
• 8 / 2 != 2 / 2 (mod 6)
Rolling hash Rolling hash
• 因為這些性質
• 我們經常會預處理好字串每個前綴的 Rolling hash
Rolling hash Rolling hash
• 這樣之後就能直接算出任意一段的 hash 值
• S = 21334
• H(1) = 2
• H(2) = 21
• H(3) = 213
• H(4) = 2133
• H(5) = 21334
• H(3~4)
= H(4) – H(2) * 100 = 33
例題 - 怎麼訂 hash 值 例題 - 怎麼訂 hash 值
• 給一個矩陣大小為 N * N
• Q 次詢問兩個大小相同的子矩陣是否相同。
• N <= 5000
• Q <= 500000
• hash 可不可以推廣到二維？
二維 hash
二維 hash
例題 – 怎麼訂 hash 值 例題 – 怎麼訂 hash 值
• 假設兩個字串相似的定義如下
• 如果存在一個字元的置換方式，使得兩個字串相等，則這兩個字串相似
• 例 :
• AAA=BBB
• XYX=ABA
• ABA!=AAA
• 問 1: 給你字串集 A 和字串 B ， A 中有多少字串和 B 相似
?
• 問 2: 給你一個字串 C ， Q 次問兩段區間是否相似 ?
• Sum(|Ai|), |A|, |B| < 10^6, C, Q <= 10^6
例題 – 矩陣相成的結果 例題 – 矩陣相成的結果
• 給定三個大小為 N 的 N × N 矩陣 A 、 B 、 C ，請問 A × B = C 是否成立？
• N <= 1000
• 直接做是 O(N^3)
• 能不能更快一點 ?
例題 – 矩陣相成的結果 例題 – 矩陣相成的結果
• 讓 R 是一個 N × 1 的矩陣，那麼只需要檢查
• ((A×B))=(C)
• ((A×B)×R)=(C×R)=C′
• (A×(B×R))=(C×R)=C′
• 乘法個過程中與字串 hash 做的 事情相同
例題 – 成雙成對 例題 – 成雙成對
• 給出一個 N 個數字的序列 a_1, a_2, …, a_n 。現在 有 Q 個詢問，每次詢問會給出 l, r ，請問如果考慮 a_l, …, a_r 是否每種數字都出現偶數次？
• N <= 1,000,000
• Q <= 1,000,000
例題 – 成雙成對 例題 – 成雙成對
• XOR 好性質：
• X ⊕ Y ⊕ Z ⊕ Y ⊕ X ⊕ Z = 0
• XOR 不夠好性質：
• 1 ⊕ 2 ⊕ 3 = 0
• One time pad ：一次性密碼本
• N 個 ∈ [0, 2^k) 的隨機數字 XOR 起來的結果是隨機的
• 隨機將 a_i 映射成一個隨機的大數字
• 每次錯誤率 1 / (2^k) ，讓 k = 60
例題 – 成堆成堆 例題 – 成堆成堆
• 給出一個 N 個數字的序列 a_1, a_2, …, a_n 。現在 有 Q 個詢問，每次詢問會給出 l, r ，請問如果考慮 a_l, …, a_r 是否每種數字都出現 K 的倍數次？
• N <= 1,000,000
• Q <= 1,000,000
例題 – 成堆成堆 例題 – 成堆成堆
• 設計一個 hash function
• XOR 可以 加法也可以
• 只要滿足：
• 答案是 YES 的時候一定判斷得出來
• 答案是 NO 的時候有很低的機率會錯
例題 – 成堆成堆 例題 – 成堆成堆
• 設計一個 hash function ：加法
• 改成在模 p 底下做事情避免溢位
• 單筆詢問答對機率： 1 / p
1 1 1 1 1 1 1
x x -2x x x -2x x
1 1 2 1 3 1 2 2 2 3
x x y -2x z x y -2y y z
例題 – 長度為 8 的簡單路 例題 – 長度為 8 的簡單路
• 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T
• 請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑
• 簡單路徑：路徑中不存在兩個相同的點
• 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000
例題 – 長度為 8 的簡單路 例題 – 長度為 8 的簡單路
• 也就是說不含頭尾一共 6 個點 => O(n^6)
• 問題在簡單路徑上，不然就可以？
• 為什麼不是簡單路徑就可以做
例題 – 長度為 8 的簡單路 例題 – 長度為 8 的簡單路
• 也就是說不含頭尾一共 6 個點 => O(n^6)
• 問題在簡單路徑上，不然就可以？
• 為什麼不是簡單路徑就可以做
• Dp[point][step] = True or false
例題 – 長度為 8 的簡單路 例題 – 長度為 8 的簡單路
• 那如果現在點上面有顏色呢
• 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T 。
圖上除了 S 和 T 之外每個點 i 都被塗上了顏色 C_i 。 請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑，
並在路上蒐集滿 6 種不同的顏色
• 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000, 0 <= C_i <= 5
例題 – 長度為 8 的簡單路 例題 – 長度為 8 的簡單路
• 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T 。
圖上除了 S 和 T 之外每個點 i 都被塗上了顏色 C_i 。 請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑，
並在路上蒐集滿 6 種不同的顏色
• 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000, 0 <= C_i <= 5
• Dp[point][bit_mask] = True or False
• O(point bit_mask) O( 轉移 ) = O(2^6 M)
•
例題 – 長度為 8 的簡單路 例題 – 長度為 8 的簡單路
• 如果點有顏色多好 => 自己上色
• 隨機把每個點塗上 C_i =
• 至少多少機率會答對：
• 如果只有一條符合條件的路徑
• 中間六個點的顏色都要不一樣：
• 總方法數量：
• 隨機一次會答錯的機率：
•
例題 – 長度為 8 的簡單路
例題 – 長度為 8 的簡單路
隨機選擇 隨機選擇
• How ：
• 字面上的意思
• 隨機選擇一條路 => 估計答對的機率
隨機選擇 - 例題 隨機選擇 - 例題
• 給定 N 個二為平面上面的點，請問有沒有一條通過至少 k % 的直線？
• 2 <= N <=
• k >= 20
•
直觀的想法 直觀的想法
• 直觀的想法
• 1. 隨機兩個點
• 2. 檢查有多少個點在 兩點構成的直線上面
• 3. 做很多次
• 重複隨機選擇 兩點 50 次，錯誤率
•
隨機少一點「維度」
隨機少一點「維度」
• 1. 隨機一個點
• 2. 以 點作為圓心的極角進行排序
• 3. 做很多次
• 重複隨機選擇 點 40 次，錯誤率
•
錯排數 (Derangement) 錯排數 (Derangement)
• 錯排數 ：滿足對於所有的，這樣的 permutation
•
• 也就是說有大概 1/3 的機率隨機一個 permutation 可以隨機 到一個 Derangement 。
•
隨機選擇 - 例題 CF330E 隨機選擇 - 例題 CF330E
• 給出一張 個點 條邊的無向圖，並且圖上保證每個點最多只接 了兩條邊，請構造出一張新圖滿足以下條件，若無解則輸出 ：
• 新圖上與原圖有相同數量的點和相同數量的邊。
• 圖上保證每個點最多只接了兩條邊。
• 對於圖上兩個點 ，若在原圖上這兩點之間存在一條邊，則在新圖上這兩 點之間必定沒有邊。
•
隨便做 ? 隨便做 ?
• 把圖的編號隨機打亂=> 做完了！
• 估計錯誤率 => 想想看什麼樣的測資容易錯
• 題意裡面的圖為很多環和很多鍊
• 加一條邊 = 加上一個限制 ( 很多環 )
• 很多連通塊會導致條件被獨立分開
• 圖是一個很大的環
• 拓展錯排數：滿足對任意的相鄰的兩數字差不是 1 或 N – 1 條件的排列 p_1, p_2, ..., p_n
性質 性質
• 滿足條件的排列 / N! =
• 可以寫個簡單的程式估計一下：滿足條件的排列 / N!
•
最近點對 最近點對
最近點對 最近點對
• 給定 N 個二維平面上面的點，請找出距離最近的兩個點。
• 1 <= N <= 10^5
• 傳說做法？旋轉排序
• 1. 把 N 個點平移到第一象限
• 2. 把 N 個點的順序隨機打亂， d = dis()
• 3. 以 的大小將二維平面切成網格狀，並將這些網格也以座標表 示：點會落入座標為
• 不會有兩個點在同一個格子內
•
最近點對 最近點對
• 4. 一直把點加進網格中
• 如果產生新的最近點對一定會出現在以宮格內
•
d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d 0~d/2 0~d/2 0~d/2 d/2~d d/2~d 0~d/2 某個點 0~d/2 d/2~d d/2~d 0~d/2 0~d/2 0~d/2 d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d
最近點對 最近點對
• 5. 找到更近的最近點對：
• 更新 r = 新的最近點對 / 2
• 回到步驟三重來 O(i+1)
最近點對 最近點對
• 期望複雜度
• 令 為考慮 這些點的最近點對距離。
• 當加入點 時，出現一個 使得 是新的最近點對的機率為：
• 出現一個 要付出的時間代價：
• 每加入一個點考慮期望複雜度為
• 總共要加 N 個點 => O(N)
•
