高斯二項式係數的完全齊次對稱多項式 表示法及其應用

高斯二項式係數的完全齊次對稱多項式 表示法及其應用

陳建燁

壹、 序言:

首先, 本文直接定義 「高斯二項式係數」 (Gaussian Coefficients):

定義:

"

n k

#

q

= (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+1− 1)

(q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) , 其中 1 ≤ k ≤ n, 且 q 6= 1 。

例如:

"

4 2

#

q

= (q⁴− 1)(q³− 1)

(q²− 1)(q − 1) = (q²+ 1)(q²+ q + 1) = q⁴+ q³+ 2q²+ q + 1 。 可以看出, 在形式與結構上與二項式係數有相似之處。

高斯二項式係數有什麼重要性呢? 參考資料 [1] 介紹了其在組合計數上的背景如下: 設 GF(q) 為 Galois field, 元素個數為 q, 且 V (n, q) 為佈於體 GF (q) 的 n 維向量空間, 則 V(n, q) 的 k 維子空間個數, 恰為

"

n k

#

q

。

一方面, 類似於一般的二項式係數, 高斯二項式係數有著如下的遞迴性質:

"

n+1 k

#

q

=

"

n k−1

#

q

+ q^k·

"

n k

#

q

其證明可由直接展開通分而得, 置於附錄。

另一方面, 有所謂的 「完全齊次對稱多項式」 :

h_k(a1, a₂, . . . , a_n) = X

λ1+λ2+···+λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λnⁿ),

45

例如:

h₂(a₁, a₂, a₃) = X

λ1+λ2+λ3=2 λ1,λ2,λ3≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a²₁+ a²₂+ a²₃+ a₁a₂ + a₂a₃+ a₃a₁.

完全齊次對稱多項式的遞迴結構, 可由 「減元降次遞迴式」 (參考資料 [2]) 加以刻劃:

h_k+1(a1, a₂, . . . , a_n, a_n+1) = hk+1(a1, a₂, . . . , a_n)

| {z }

減元

+an+1· hk(a1, a₂, . . . , a_n, a_n+1)

| {z }

降次 例: h₂(a, b, c) = h₂(a, b) + c · h1(a, b, c) 。

隱約之中, 高斯二項式係數與完全齊次對稱多項式兩者的遞迴結構, 似有一定的關聯性, 事

實上, 兩者之間有一個簡潔的關係式:

"

n k

#

q

= hn−k(1, q, q², . . . , q^k), 其中 1 ≤ k ≤ n, 且 q 6= 1.[1]

此即高斯二項式係數的完全齊次對稱多項式表示法。 在本篇文章中, 將用數學歸納法證明此式。

進一步地, 此關係式有兩個主要應用:

1. 可用於證明關於 「費氏數列相鄰數項乘積」 的一個命題 [3] : 設 α 與 β 為方程式 x²− x − 1 = 0 的兩根, 則有

F_n· Fn−1· · · Fn−k+1

F_k· Fk−1· · · F1

= hn−k(α^k, α^k−1β, α^k−2β², . . . , α²β^k−2, αβ^k−1, β^k), 其中 n ≥ k ≥ 2 。

此式可將費氏數列相鄰數項的乘積, 用完全齊次對稱多項式加以表示。

2. 可用於證明關於 「循環數列」 的一個命題 [4] :

設 x^m− 1 = 0 的 m 個根為 1, α, α², . . . , α^m−1, 其中 α= cos2π

m + i sin2π m, 且 m ≥ 2, 則

h_n(1, α, α², . . . , α^m−1) =







0, 當 n 不是 m 的倍數 1, 當 n 是 m 的倍數

。

此為循環數列的完全齊次對稱多項式表示法。

47

貳、 本文:

一、 定義、 記號、 公式與性質 :

1. 完全齊次對稱多項式 (Complete Homogeneous Symmetric Polynomial) 定義:

h_k(a₁, a₂, . . . , a_n) = X

λ1+λ2+···+λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λnⁿ),

稱為 「變數 a₁, a₂, . . . , a_n 的 k 次完全齊次對稱多項式」 。 特別地, h₀(a1, a₂, . . . , a_n) = 1, 且 h_k(a) = a^k。

例: h²(a1, a₂, a₃) = X

λ1+λ2+λ3=2 λ1,λ2,λ3≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a²₁+ a²₂+ a²₃ + a1a₂+ a2a₃+ a3a₁.

例: h₂(a, b, c) = a²+ b²+ c²+ ab + bc + ca.

例: h3(a, b) = a³+ b³ + a²b+ ab². 性質1: 減元降次遞迴式

h_k+1(a1, a₂, . . . , a_n, a_n+1) = hk+1(a1, a₂, . . . , a_n)

| {z }

減元

+an+1· h^k(a1, a₂, . . . , a_n, a_n+1)

| {z }

降次 例: h₂(a, b, c) = a²+ b²+ c²+ ab + bc + ca

= (a²+ b²+ ab) + c · (a + b + c) = h²(a, b) + c · h¹(a, b, c) 此為 n = 2, k = 1 的情形, 其中 a1 = a, a2 = b, a3 = c 。

說明: 以 an+1 作分類, 沒有 an+1 的集成一組, 有 an+1 的集成另一組, 將 (n + 1) 元 (k + 1) 次齊次式寫成 n 元 (k + 1) 次和 (n + 1) 元 k 次齊次式的組合。

性質2: 次方乘法的分配律: rⁿ· hn(a1, a₂, . . . , a_m) = hn(a1r, a₂r, . . . , a_mr).

例: r²· h2(a, b, c) = a²r²+ b²r²+ c²r² + abr²+ bcr²+ car²

= (ar)²+ (br)²+ (cr)²+ (ar)(br) + (br)(cr) + (cr)(ar)

= h2(ar, br, cr).

證明:

rⁿ· hⁿ(a1, a₂, . . . , a_m) = rⁿ·





X

λ1+λ2+···+λm=n λ1,λ2,...,λm≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λm^m)





= X

λ1+λ2+···+λm=n λ1,λ2,...,λm≥0

(rⁿa^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λm^m)

= X

λ1+λ2+···+λm=n λ1,λ2,...,λm≥0

(r^{λ1+λ2+···+λm} · a^λ1¹a^λ₂²· · · a^λm^m)

= X

λ1+λ2+···+λm=n λ1,λ2,...,λm≥0

[(ra₁)^λ1(ra₂)^λ2· · · (ra^m)^λm]

= hn(a1r, a₂r, . . . , a_mr).

在本文中會用到的情形是:

β^k(n−k)· h^n−k 1,α

β, α β

2

, . . . , α β

k

= (β^k)^n−k · h^n−k 1,α

β, α β

2

, . . . , α β

k

= hn−k



β^k, β^k· α

β, β^k· α β

2

, . . . , β^k· α β

k . 2. 費氏數列 (Fibonacci Numbers): 滿足 「F0 = 0, F1 = 1, 以及遞迴關係 Fn+2 = F_n+1+ Fn, 其中 n = 0, 1, 2, . . .」 的數列, 稱為 「費氏數列」。

Binet 公式: 設方程式 x²− x − 1 = 0 的兩根為 α 與 β, 則費氏數列的一般項為 F_n= 1

√5

"

1 +√ 5 2

!n

− 1 −√ 5 2

!n#

= αⁿ− βⁿ

α− β . [5]

3. 重複組合數 H_kⁿ : [6]

定義: 設 k 為正整數, 將方程式 x₁+ x₂+ · · · + xⁿ = k 的非負整數解的個數, 記為 H_kⁿ。 例: x + y + z = 2 的非負整數解有 (x, y, z) = (2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), 一共 6 組, 所以 H₂³ = 6 。

h 與 H : 由定義不難看出此一事實: hk(a1, a₂, . . . , a_n) 的展開式的項數, 恰為 H_kⁿ。 例如: h2(a, b, c) 的展開式一共有 H₂³= 6 項。

註: 此處 「展開式的項數」 指的是 「同類項合併」 之後的項數, 但是基本上, 由於展開式的各項, 次方不會完全相同, 所以不會有相同的項。

二、 主要定理 :

"

n k

#

q

= hn−k(1, q, q², . . . , q^k), 其中 1 ≤ k ≤ n, 且 q 6= 1.

49

證明: 用數學歸納法!

首先, 有

"

n 1

#

q

= qⁿ− 1

q− 1 = qⁿ⁻¹+ qⁿ⁻²+ · · · + q + 1 = hⁿ⁻¹(1, q)

與

"

n n

#

q

= (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q − 1)

(qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q − 1) = 1 = hn−n(1, q, . . . , qⁿ).

接著,

當 n = 1 時,

"

1 1

#

q

= h1−1(1, q¹), 欲證之等式成立。

當 n = 2 時,

"

2 1

#

q

= h2−1(1, q¹), 且

"

2 2

#

q

= h2−2(1, q, q²), 欲證之等式皆成立。

假設當 n ≤ N 時, 欲證之等式成立, 即

"

N k

#

q

= hN −k(1, q, q², . . . , q^k), 其中 1 ≤ k ≤ N, 於是有

"

N k

#

q

= hN −k(1, q, q², . . . , q^k) 與

"

N k− 1

#

q

= hN −(k−1)(1, q, q², . . . , q^k−1).

則當 n = N + 1 時, 當 k = 1 時:

"

N + 1 1

#

q

= h_{(N +1)−1}(1, q), 等式成立。

當 k = N + 1 時:

"

N+ 1 N+ 1

#

q

= h(N +1)−(N +1)(1, q, . . . , q^N+1), 等式成立。

當 2 ≤ k ≤ N 時:

"

N + 1 k

#

q

=

"

N k− 1

#

q

+ q^k

"

N k

#

q

(遞迴性質)

= hN −k+1(1, q, q², . . . , q^k−1) + q^k· h^{N −k}(1, q, q², . . . , q^k) (歸納法假設)

= hN −k+1(1, q, q², . . . , q^k−1, q^k) (減元降次遞迴式)

= h(N +1)−k(1, q, q², . . . , q^k), 所欲證之等式亦成立。

故由數學歸納法, 所欲證之定理成立!

例:

"

4 2

#

q

= (q⁴− 1)(q³− 1)

(q²− 1)(q − 1) = (q² + 1)(q²+ q + 1) = q⁴+ q³+ 2q²+ q + 1, h₄₋₂(1, q, q²) = h₂(1, q, q²) = 1 + q²+ q⁴+ 1 · q + q · q²+ q²· 1 = q⁴+ q³+ 2q²+ q + 1.

三、 主要應用 :

1. 命題: 設 α 與 β 為方程式 x²− x − 1 = 0 的兩根, 則有 F_n· Fⁿ⁻¹· · · F^n−k+1

F_k· Fk−1· · · F1

= hn−k(α^k, α^k−1β, α^k−2β², . . . , α²β^k−2, αβ^k−1, β^k), 其中 n ≥ k ≥ 2 。

證明: 在

"

n k

#

q

=(qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+1− 1)

(q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) 之中, 取 q = α β, 得

"

n k

#

(^α_β)

= hα

β

n

− 1i

·h

α β

n−1

− 1i

· · ·h

α β

n−k+1

− 1i hα

β

k

− 1i

·h

α β

k−1

− 1i

· · ·h

α β

1

− 1i

=(αⁿ− βⁿ) · (αⁿ⁻¹− βⁿ⁻¹) · · · (α^n−k+1− β^n−k+1) (α^k− β^k) · (α^k−1− β^k−1) · · · (α − β) ·

1

βⁿ · _βⁿ⁻¹¹ · · ·_β^n−k+11

1

β^k · β^k−11 · · ·β¹

=

αⁿ−βⁿ α−β



·

αⁿ⁻¹−βⁿ⁻¹ α−β



· · ·

α^n−k+1−β^n−k+1 α−β



α^k−β^k α−β



·

α^k−1−β^k−1 α−β



· · ·

α−β α−β

 · 1 β^n−k · 1

β^n−k · · · 1 β^n−k



| {z }

k 個

=F_n· Fn−1· · · Fn−k+1

F_k· F^k−1· · · F¹ · 1

β^k(n−k) (由費氏數列的 Binet 公式), 於是可得

F_n· Fn−1· · · Fn−k+1

F_k· F^k−1· · · F¹ =

"

n k

#

(^α_β)

· β^k(n−k)

= β^k(n−k)· h^n−k 1,α

β, α β

2

, . . . , α β

k

= hn−k



β^k, β^k· α

β, β^k· α β

2

, . . . , β^k· α β

k

(次方乘法的分配律)

= hn−k(β^k, αβ^k−1, α²β^k−2, . . . , α^k)

51

= hn−k(α^k, α^k−1β, α^k−2β², . . . , α²β^k−2, αβ^k−1, β^k).

此為 相鄰連續 k 項費氏數分式型乘積 的完全齊次對稱多項式表示法。

例:

當 k = 2 時, F_n· Fn−1

F₂· F¹ = hn−2(α², αβ, β²).

當 k = 3 時, F_n· Fⁿ⁻¹· Fⁿ⁻²

F₃· F²· F¹ = hn−3(α³, α²β, αβ², β³).

當 k = 4 時, F_n· Fⁿ⁻¹· Fⁿ⁻²· Fⁿ⁻³ F₄· F3· F2· F1

= hn−4(α⁴, α³β, α²β², αβ³, β⁴).

2. 命題: 設 x^m− 1 = 0 的 m 個根為 1, α, α², . . . , α^m−1, 其中 α = cos2π

m + i sin2π m, 且 m ≥ 2, 則

h_n(1, α, α², . . . , α^m−1) =







0, 當 n 不是 m 的倍數 1, 當 n 是 m 的倍數

。

證明: 在

"

n k

#

q

= (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+1− 1)

(q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) 之中, 將 n 與 k 分別用 n + m − 1 與 m − 1 代入, 得

"

n+ m − 1 m− 1

#

q

= (q^n+m−1− 1)(q^n+m−2− 1) · · · (qⁿ⁺¹− 1) (q^m−1− 1)(q^m−2− 1) · · · (q − 1)

⇒(q^(m−1)+n− 1)(q^(m−2)+n− 1) · · · (q¹⁺ⁿ− 1) (q^m−1− 1)(q^m−2− 1) · · · (q − 1) =

"

n+ m − 1 m− 1

#

q

= h(n+m−1)−(m−1)(1, q, q², . . . , q^m−1), 即

h_n(1, q, q², . . . , q^m−1) = (q^(m−1)+n− 1)(q^(m−2)+n− 1) · · · (q¹⁺ⁿ− 1) (q^m−1− 1)(q^m−2− 1) · · · (q − 1) . 設 α = cos2π

m + i sin2π m,

⇒ hⁿ(1, α, α², . . . , α^m−1) = (α^(m−1)+n− 1)(α^(m−2)+n− 1) · · · (α¹⁺ⁿ− 1) (α^m−1− 1)(α^m−2− 1) · · · (α − 1)

=

(0, 當 n 不是 m 的倍數, 1, 當 n 是 m 的倍數。

此為 循環數列的完全齊次對稱多項式表示法。

四、 其他應用 :

1. 當 q 為正整數時, 可知

(qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+1− 1) (q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) =

"

n k

#

q

= hn−k(1, q, q², . . . , q^k)

必為正整數。

註: 左式的分式型式, 一定可透過約分化簡成整數。

2. lim

q→1

"

n k

#

q

= C_kⁿ.

證明: lim

q→1

"

n k

#

q

= lim

q→1h_n−k(1, q, q², . . . , q^k) = hn−k(1, 1, 1, . . . , 1)

| {z }

k+ 1 個

= H_n−k^k+1 = C(n−k)+(k+1)−1 n−k

= C_n−kⁿ = C_kⁿ。

註: 在參考資料 [1] 中, 此性質的證明需用到 L’Hopital’s Rule, 但此處的證明只需用到取極 限的性質即可。 此一關係式說明了高斯二項式係數與原來的二項式係數的關係, 因此, 有時也將 高斯二項式係數稱為 「二項式係數的“q-analogs”」 。[1] 。

參、 結語:

本篇文章透過遞迴結構, 用數學歸納法證明了 h_n−k(1, q, q², . . . , q^k) =

"

n k

#

q

= (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+1− 1)) (q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) .

此一等式, 也可視為 「將完全齊次對稱多項式的變數, 用等比數列代入的結果, 恰為高斯二項式 係數」 , 這是個耐人尋味的結論。 由

"

n k

#

q

= hn−k(1, q, q², . . . , q^k), 再次得到費氏數列相鄰 項乘積與循環數列的完全對稱多項式表示法, 這樣的應用, 揭示了看似不同的數學概念背後, 有 著相同的架構, 值得深思。

53

附錄:

1. 遞迴性質: "

n+ 1 k

#

q

=

"

n k− 1

#

q

+ q^k·

"

n k

#

q

. 證明:

右式 = (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+2− 1)

(q^k−1− 1)(q^k−2− 1) · · · (q − 1) + q^k· (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+1− 1) (q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1)

= q^k− 1

q^k− 1· (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+2− 1) (q^k−1− 1)(q^k−2− 1) · · · (q − 1) +q^k·(qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+2− 1)

(q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) · (q^n−k+1− 1)

= (qⁿ− 1)(qⁿ⁻¹− 1) · · · (q^n−k+2− 1)

(q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) · [q^k− 1 + q^k· (q^n−k+1− 1)]

= (qⁿ⁺¹− 1)(qⁿ− 1) · · · (q^n+1−k+1− 1)

(q^k− 1)(q^k−1− 1) · · · (q − 1) = 左式。

參考資料

1. Peter J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, 124-128, 224.

2. 陳建燁。 推廣的Vandermonde 行列式 (最右行升次型)。 高中數學學科中心電子報, 第 114 期, 中 華民國 105 年 9 月, 6。

3. 陳建燁。 費氏數列相鄰項乘積的完全齊次對稱多項式表示法。 科學教育月刊, 第 405 期, 中華民國 106 年 12 月, 2-11。

4. 陳建燁。 循環數列的 「完全齊次對稱多項式」 表示法。 科學教育月刊, 第 401 期, 中華民國 106 年 8 月, 19-27。

5. 吳振奎。 斐波那契數列。 九章出版社, 民國82 年 7 月初版, 8。

6. 陳建燁。 完全齊次對稱多項式(起): 自由分解重組恆等式。 高中數學學科中心電子報, 第 113 期, 中 華民國 105 年 8 月, 1-2。

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