使用智慧型手機進行簡諧運動的創新實驗

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使用智慧型手機進行簡諧運動的創新實驗

江俊明* 李欣

逢甲大學物理教學研究中心 cmchiang@fcu.edu.tw

（投稿日期：民國110 年 2 月 22 日，接受日期：110 年 3 月 29 日）

摘要：本文主利用手機的磁感測器搭配APP 程式，來進行簡諧運動的普通物理實驗課程創新。使用APP 中的高斯計，當彈簧上的磁鐵上下運動時，經過磁感測器，

利用其磁場反應的峰值（Peak），來計算運動的週期時間。將此特性運用到物體在彈簧系統中的簡諧運動的實驗中，並測量力常數和週期。

關鍵詞：APP、簡諧運動

壹、前言

智慧型手機內建許多的感測器，若搭配手機中的應用程式（APP），智慧型手機就可以當作科學實驗的量測工具，所以近年來就出現許多利用智慧型手機設計的科學實驗 [1-11]。在實驗課程中若能使用手機當作量測工具，實驗課程將變得活潑有趣，也能讓學生更投入實驗課程中。

實驗中重要的一件事就是實驗誤差必須是可被接受的，因此進行創新實驗課程設計時，

必須和原本的實驗誤差做比較，看看使用新的方法或工具進行實驗時，其實驗數值是否正確，

這也是在發展創新實驗課程時必注意的一件事，而本文所提出的創新實驗，其實驗數據的誤差結果是可被接受的。

但是使用智慧型手機量來量測實驗數值，卻有一個令人苦惱的問題，那就是不同廠牌的智慧型手機的感測器量出來的數值都不盡相同。因為有不同廠牌手機量測數值不同的困擾，

因此利用智慧型手機進行普通物理實驗創新時，也許可以往底下幾個方向思考進行。第一個方向是找出實驗相關的趨勢關係，例如布魯斯特角的量測實驗 [5]、馬呂士定律實驗 [6]，手機量測到數值雖然不同，但是因為是找出其趨勢關係，並不會影響實驗結果。另外一個方向是若可以找到標準值，那只要將每台手機經過校正，就可以精準的量測到實驗值，例如在磁

10.6212/CPE.202107_22(1).0003

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直接就可以進行磁場的量測。

還有一個方向是在 2016 年由邱家媛及曾耀寰提出了透過智慧型手機瞭解彈簧的串並聯現象 [8]；2017 年曾耀寰又提出了利用智慧手機測量單擺周期 [9]。2018 年由 Unofre Pili, Renante Violanda, and Claude Ceniza [10] 提出了相關的做法，主要的方式是在擺動的物體上裝上磁鐵，在針對擺長及週期平方作圖，繼而利用小角度的單擺公式得到重力加速度g 值。

2019 年 Unofre Pili, and Renante Violanda [11] 又提出了類似相同的做法，量測彈簧的彈力係數k 值。本文主要的研究就是利用 [8-11] 的方法，來進行普通物理實驗中的簡諧運動，進行實驗的創新改進。

貳、原理

虎克定律提到在彈性限度內，彈簧的恢復力 F 和彈簧的長度變化量 x 呈線性關係，即

kx

F  

， (1)

在此比例常數

k

稱為彈力係數。由牛頓第二定律可知質量為m 的物質

2 2

dt x m d ma

F  

。 (2)

將(1)帶入(2)中，我們可以得到方程式

dt kx

x m d  

2 2

。 (3)

(3)式中的微分方程式其解為

) (

sin   

 A t

x

形式 (4)

且

m

 k



， (5)

其中

A

為振幅，



是角速度。運動的週期

T

為

k

T  m



 2 2 



。 (6)

(3)

圖一：兩條彈簧並聯系統的示意圖

接著我們來討論兩條彈簧的並聯系統，如圖一所示。假設

k

₁

, k

₂分別為左右兩彈簧的力常數；而

x

₁

, x

₂為各彈簧的伸長量。當平衡時，由圖一中的(A)，可以得知

2 2 1

1

x k x

k 

。 (7)

此時若將

m

沿水平方向移一小段距離後釋放，則 m 將來回作簡諧運動。設某瞬間

m

由平衡位置的位移為

y

。如圖一(B)所示，則作用在物體的水平淨力

F

為：

) (

)

(

₁ ₂ ₂

1

x y k x y

k

F    

， (8) (7)式代入(8)式得

y k k

F   (

₁



₂

)

。 (9) 由式(3)，我們可以定義此彈簧系統的等效彈力係數

K

為

2

1

k

K  

， (10)

可以看出這個彈簧系統遵守虎克定律，即

Ky

F  

， (11)

故此系統的週期

T

可以得到

2 1

2 2 k k

m K

T m

 

  

。 (12)

(4)

這個實驗的主要方式是利用智慧型手機的APP 程式中的高斯計來進行實驗，也就是說當待測物中的磁鐵經過高斯計時，它會產生一個 Peak，利用兩個 Peak 之間的時間就可以測量出週期。因此首先我們必須到Google Play 商店下載 Physics Toolbox Sensor Suite 這個 APP 軟體，如圖二所示。

圖二：實驗使用的APP 軟體

這個實驗首先要量出每條彈簧的彈力係數

k

，由於不同品牌手機磁感測器的位置不盡相同，要利用智慧型手機當作量測工具，首先需先找出每隻手機的磁感測器在手機內部的位置，

以避免實驗中手機放置的位置量測不到磁通量密度。只要能偵測到磁通量密度的數值，不論大小均不會影響本實驗週期的偵測結果。找磁感測器的方法如圖三所示，將磁鐵在手機上方移動，並利用手機 APP 找出磁通量密度最大的地方，此處即為手機磁感測器的位置。

(5)

圖三：找磁感測器的方法

接著將磁鐵黏貼於彈簧末端，並將彈簧、支架及手機如圖四的實驗裝置。

圖四：量測彈力係數的實驗裝置使用公式

k

T  2  m

，讓彈簧以振幅約 2 公分上下振動，振動 10 次後利用手機 APP 得到磁

鐵在跟著彈簧上下振動時磁場強度隨時間變化圖形（圖五），圖五中相鄰兩波峰的橫軸坐標差距即為彈簧的振動週期

T

。取十次單一週期後再計算此十次單一週期的平均值即為最後彈簧的振動週期

T

。

(6)

圖五：磁鐵經過磁感應器的彈簧的振動

將磁鐵靜止於磁感測器平行方向，並將手機磁感測器置於彈簧上下震動的端點處，當彈簧上下振動，磁鐵經過磁感測器，利用手機 APP 偵測磁場的變化，結果如圖五所示。在圖五中橫軸為時間，縱軸為量到的磁通量密度。圖五中標示的兩個橫軸座標的差距即為磁鐵回到原來位置所需要的時間，即為彈簧振動週期。量測彈簧與磁鐵質量

m

後，由週期

T

與質量

m

可以得到彈力係數k1，換另一根彈簧重複步驟，可以得到彈力係數k2。

得到了兩條彈簧的彈力係數，接著進行量測圖一中兩條彈簧並聯系統的等效彈力係數，

裝置如圖六，將磁鐵黏在滑車上並將滑車置放於軌道上，測量整組滑車（含磁鐵）的質量。

圖六：兩條彈簧並聯系統的實驗裝置

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開始實驗時，要調整空氣軌道，使軌道呈水平，可以減少實驗誤差。將裝在滑車上的兩個彈簧之另兩端分別繫在軌道兩側的掛釣上，使滑車平衡時靜止於軌道上。此位置為滑車平衡點。如圖六所示將手機置放於滑車平衡點下方的桌子上。將滑車移離平衡點約3 公分左右後放開滑車，使之來回振動。振動20 次後利用手機 App 得到磁鐵在跟著滑車左右振動時的磁通量密度隨時間變化圖形如圖七，由於此實驗的手機磁感測器是放置於左右振動的中心點

（有別於圖五中手機是擺放在端點處），因此圖七中標示的兩處波峰所間隔的時間即為滑車回到原來位置所需要的時間，才是滑車振動週期。

圖七：滑車上加磁鐵經過磁感應器的滑車的振動

計算出滑車的振動週期 T，並與週期理論值比較計算百分誤差。實驗的理論值可由公式

2 1

2 2 k k

m K

T m

 

  

得到，本次實驗 m=0.296kg，k1=4.32N/m，k2=4.44N/m，計算出 T=1.155 秒，計算出 T=1.155 秒；實驗的理論值，藉由手機量到為 T=1.136 秒，百分誤差為 1.56%。

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在這個創新實驗設計中，使用智慧型手機下在APP 中的高斯計，進行簡諧運動的實驗可以得到很好的結果。整個實驗過程中，利用手機中的內建磁感測器及下載相關的APP，進行彈簧的振動週期的量測，得到彈簧並聯系統的等效彈力係數。這樣的實驗設計在教學上可以讓學生在進行實驗時更有樂趣，增進學習動機。此實驗可以作成普通物理實驗課程的實驗內容，而單一彈簧的彈力係數的量測，若配合手機上的應用程式Excel，也可以變成課堂上的演示教學內容。

參考文獻

1. 謝怡靜、江俊明（2017）。普通物理實驗創新－利用手機 APP 驗證馬呂士定律。物理教育學刊，18(2)，99-106。

2. 李欣、羅道正、江俊明（2017）。普通物理實驗的創新－利用手機 APP 量測地球磁場。

物理教育學刊，18(2)，83-98。

3. 邱家媛、曾耀寰（2016）。透過智慧手機瞭解彈簧串聯和並聯現象。物理教育學刊，17(2)，

57-66。

4. 曾耀寰（2017）。利用智慧手機測量單擺周期。物理教育學刊，18(1)，65-76。

5. Asif Shakur & Jakob Kraft. (2016). Measurement of Coriolis Acceleration with a Smartphone, The Physics Teacher, 54, 288.

6. Chun-Ming Chiang & Han-Yang Cheng. (2019). Use smartphones to measure Brewster’s angle, The Physics Teacher, 57, 118.

7. Catalin Florea. (2019). Brief Analysis of Sounds Using a Smartphone, The Physics Teacher, 57, 214.

8. Patrik Vogt & Jochen Kuhn. (2012). Analyzing free fall with a smartphone acceleration sensor, The Physics Teacher, 50, 182.

9. Scott H. Hawley1 & Robert E. McClain Jr.2. (2018). Visualizing Sound Directivity via Smartphone Sensors, The Physics Teacher, 56, 72.

10. Unofre Pili, Renante Violanda, & Claude Ceniza. (2018). Measurement of g using a magnetic pendulum and a smartphone magnetometer, The Physics Teacher, 56, 258-259.

11. Unofre Pili, & Renante Violanda. (2019). Measuring a spring constant with a smartphone magnetic field sensor, The Physics Teacher, 57, 198-199.

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Innovative experiments on simple harmonic motion using a smartphone

Chun-Ming Chiang*, Shin Lee

Physics Teaching and Research Center, Feng Chia University cmchiang@fcu.edu.tw

Abstract

This study uses a smartphone's magnetic sensor and an app to implement an innovation in the physics experiment course of simple harmonic motion. Using the Gauss meter in the app, when the magnet on the spring moves up and down, it passes through the magnetic sensor and uses the peak of its magnetic field to measure the period of its movement.

Applying this characteristic to the experiment of the simple harmonic motion of the object in the spring system, we can measure the force constant and period.

Key words

: APP, simple harmonic motion

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使用智慧型手機進行簡諧運動的創新實驗