二維彈性碰撞教學新解暨演示實驗 71 物理教育學刊
2008, 第九卷第一期, 1-16
Chinese Physics Education 2008, 9(1), 1-16 物理教育學刊
2015, 第十六卷第一期, 33-40
Chinese Physics Education 2015, 16(1), 33-40
二維彈性碰撞教學新解暨演示實驗
洪耀正、鄭翰陽、江俊明* 逢甲大學物理教學研究中心
*通訊作者：[email protected]
（投稿日期：民國 103 年 11 月 26 日，接受日期：104 年 06 月 01 日）
摘要：在傳統物理課本討論碰撞的章節中，二維彈性碰撞一直沒有一個較為直觀 的理論推導與教學演示實驗。在此我們介紹一個簡易的理論教學策略，同時利用 桌上冰球玩具模組(Air Hocker)佐以便宜的高速攝影相機與公共授權軟體 Tracker，
進行二維彈性碰撞的演示教學。透過這樣的理論介紹與實驗展示，老師能夠更為 容易地傳達關於二維碰撞運動的物理知識，同時也可以引起學生的學習興趣，並 藉此培養其數值分析處理的能力。
關鍵詞：二維彈性碰撞、Tracker
壹、前言
彈性碰撞是高中物理與大學普通物理課 程中相當重要的一個主題。普遍來說，學生 對於一維彈性碰撞，亦即所有碰撞物體都在 同一條直線上的運動行為，可以充分理解。
此外，藉由氣墊軌道、滑車、光電管與光電 計時器等實驗器材，學生也很容易驗證理論 推導的結果。然而就二維彈性碰撞而言，一 方面教科書中的推導涉及向量分解與聯立方 程的複雜計算，另一方面沒有合適的演示實 驗來輔證理論，因此學習上的抽象程度大為 提升。如何藉由簡單、直觀的教學設計，讓 學生得以輕易地了解二維彈性碰撞的現象，
便成為教學上一個尚待改進的問題。
在不考慮轉動的前提下(僅考慮滑動)，
二維彈性碰撞和一維彈性碰撞都遵守動量守 恆與動能守恆。一維彈性碰撞可以藉由解出 聯立方程以了解物體撞後的運動行為。而對 於二維彈性碰撞，由於其動量守恆與動能守 恆僅能提供三個方程式(
x
分量與y
分量的動 量守恆、系統的動能守恆)，系統整體卻有三 個以上的未知變數，因此無法直接求解。不 過在限制條件下，亦即被碰撞物體初速為零 以及兩物體質量相等時，我們仍可解得相當 有趣的結果：碰撞後兩物體之運動方向將成 90∘。這個結果在國內外的許多教科書中都 有列出，而處理的方法皆為利用動量守恆與 動能守恆方程求得聯立解[1-3]。儘管如此，過程中的代數計算較為複雜，同時推導出來
的結果並不直觀，因此學生往往無法充分理 解此現象的成因。
有鑑於此，本文章首先介紹發表在國外 期刊的直觀的二維彈性碰撞理論[4]，並設計 簡單的演示實驗以檢查該理論結果。在接下 來的章節中，我們將逐步介紹這個直觀的推 導策略、演示實驗架設與步驟，以及數據分 析的結果。我們期待藉由這樣教學設計，老 師能夠更為容易地傳達關於二維碰撞運動的 物理知識，同時提升學生學習本主題的學習 興趣。
貳、理論分析：一個直觀的推導策略
在此我們考慮二維彈性碰撞問題之特例，
亦即當兩碰撞物體質量相等時，其中一物體 以初始速度 去碰撞另一個初速為零的物體。
針對這個問題，一般的處理方法都是利用動 量及動能守恆，便可以得到兩者碰撞後的夾 角為 90∘。但以下我們介紹的求解方法，不 依賴代數繁雜的求解歷程。反之，其著重在 向量概念的理解與應用，因此可以幫助學生 直觀地得到理論上的結果。以下便是這個推 導策略的論述。
首先，讓我們回顧一維彈性碰撞的經典 例子。
考慮兩個質量相同的碰撞體(m1
=m
2=m)，
進行一維彈性碰撞；亦即碰撞體的運動方向 與兩者的質心連線處在同一直線之上，如圖 1(a)所示。若碰撞體 m1的初始速度為𝑣⃗，碰 撞體 m2一開始靜止不動，則碰撞後 m1將靜 止不動，反之 m2以 m1的初始速度𝑣⃗前進。此 速度互換的現象為學生相當熟悉的一維彈性 碰撞行為之一。
圖 1：(a) 一維彈性碰撞圖示。(b)二維彈性碰撞向量 分解圖示。
若上述碰撞體 m1 的初始速度不與兩者 的質心連線重合，則此碰撞便由一維碰撞轉 變成二維碰撞。根據向量分解的概念，我們 可以任意選定座標系統將 m1 的初始速度向 量𝑣⃗分解成兩個相互垂直的分量。選定兩碰 撞體碰撞時的質心連線方向為其中一個座標 軸，另一個座標軸則垂直於質心連線方向，
則𝑣⃗可分解為𝑣⃗⃗⃗⃗與𝑣∥ ⃗⃗⃗⃗⃗兩分量，如圖 1(b)所示。⊥ 𝑣∥
⃗⃗⃗⃗為兩碰撞體質心連線方向上 m1 的初始速 度。在此方向上，兩者的碰撞行為可以再度 視為先前所提的一維彈性碰撞：因碰撞體的 質量相等，則碰撞後 m1在此方向上的速度分 量為零，而 m2以 m1的初始速度分量𝑣⃗⃗⃗⃗前進。 ∥
同理，𝑣⃗⃗⃗⃗⃗為垂直於兩者質心連線方向的⊥
m
1的初始速度。在此方向上，由於 m1沒有 碰撞到任何物體，因此「碰撞後」m1仍以原 本速度𝑣⃗⃗⃗⃗⃗前進，而 m⊥ 2並未獲得(或損失)此方 向上的速度分量，仍保持為零。綜合以上論點，在兩碰撞體進行二維彈 性碰撞之後，m1具有末速度𝑣⃗⃗⃗⃗⃗，m⊥ 2具有末速 度𝑣⃗⃗⃗⃗，因此兩者前進方向相互垂直。利用以∥ 上簡單且直覺的向量分解概念，我們即可輕 易得到二維彈性碰撞後兩物體之運動方向將 成 90∘的結論。
參、實驗架設與步驟
一、實驗設計理念
一維彈性碰撞實驗是一個經典的大學物 理實驗。由於系統的運動被侷限在單一維度 上，它的實驗設計概念極為簡單，僅需將兩 碰撞體置於氣墊軌道上，並架設光電管、光
電計時器就可以完成實驗量測。但對於二維 彈性碰撞來說，實驗的設計上就較為困難。
主要原因是兩碰撞物體碰撞後的路徑無法事 先預測，因此無法在其碰撞路徑上擺設光電 管。另外若利用彈珠或是撞球進行實驗演示 時，碰撞體除了滑動之外，同時伴隨著複雜 的滾動行為而影響理論預測。因此在有關於 碰撞的物理學上，二維彈性碰撞一直沒有一 個較直觀的演示教學實驗。而碰撞後兩等質 量物體運動方向將成 90∘的結果，亦缺乏實 驗證實。
近年來 Tracker 軟體的出現，對於動則須 百萬元經費的高速攝影機及軟體才能研究的 運動學，帶來新的研究方法。Tracker 軟體是 一個建立於 Open Source Physics (OSP) Java 架構下的影像分析工具，由卡布里歐學院 (Cabrillo College)的退休講師 Douglas Brown 所開發的免費軟體[5]。透過影片分析，這套 軟體能將運動物體在不同時間下的空間位置 進行數位化，因而解決運動物體軌跡無法預 測之問題。換句話說，這免費軟體的出現，
使得二維彈性碰撞的演示教學實驗設計出現 了曙光。而另外一方面，我們利用便宜的桌 上冰球玩具模組(Air Hocker)[6]作為二維彈 性碰撞的氣墊平台(如圖 2(a)所示)，確保碰撞 體在低摩擦力的條件下以純滑動的運動方式 進行碰撞。
結合了以上的觀點，我們針對二維彈性 碰撞的問題，設計了一個簡易演示的實驗。
在此我們利用桌上冰球玩具模組，配合便宜 但具有高速攝影功能的相機，同時使用公共 授權軟體 Tracker 將數位影像轉換為可分 析數據，驗證先前所列舉的理論結果。
圖 2：(a) 實驗裝置圖。(b)進行二維彈性碰撞實驗。
二、實驗所需之材料及軟體
1. 桌 上 冰 球 玩 具 模 組 ( 以 下 簡 稱 氣 墊 平 台)(如圖 2(a)所示)。
2. 圓盤 A 與圓盤 B(作為碰撞體，該玩具模 組本身即有附贈)(如圖 2(b)所示)。
3. 具有高速攝影功能(每秒至少可拍 120 張 相片)的相機。
4. 相機腳架及水平儀。
5. 電腦與公共授權軟體 tracker。
三、實驗操作步驟
1. 圖 2(a)將實驗裝置裝設完成。
2. 利用水平儀確認氣墊平台的水平，以避 免碰撞圓盤在稍後的實驗中受到其它分 力的影響。同時確認相機是否水平。
3. 打開氣墊平台的開關，此時將有空氣由 平台小孔噴出，產生低摩擦力的實驗環 境。同時將碰撞圓盤放置其上，測試是 否能在平台上順利滑動。
(a)
桌上冰球玩具模組(氣墊平台)
三腳架與相機
(b)
圓盤 A 圓盤 B
三腳架與相機
4. 設定相機的攝影模式為 120fps(每秒鐘 120 張相片)，按下攝影鈕，開始進行碰 撞實驗的錄影。
5. 由一操作者將圓盤 A 彈出並射向圓盤 B
(圖 2(b))，讓兩者進行二維碰撞。結束
錄影，並將所拍攝的影片，利用公共授 權軟體 tracker 進行分析[7]。
6. 將兩圓盤運動軌跡的數值匯出至 excel，
計算並求得兩圓盤碰撞後的夾角(詳見 肆、實驗結果之分析及討論)。
7. 改變圓盤 A 入射角度與速度，重複以上 步驟並多次進行實驗，分析所得結果。
肆、實驗結果之分析及討論
根據以上步驟，我們可以藉由 tracker 分 析，得到兩圓盤在碰撞前後的運動軌跡，如 圖 3(a)所示。這些運動軌跡的座標可以進一 步匯出至 excel 以供定量分析。圖 3(b)顯示了 碰撞後，圓盤 A 與圓盤 B 運動軌跡的水平座 標 x 與垂直座標 y。其中 No=1, 2, …, 10 代表
「碰撞後」軌跡點的
圖 3：二維彈性碰撞的運動軌跡、數據，以及分析結果。
標號，而每兩個鄰近軌跡點間的時間間隔為 1/120 秒。我們可以藉由這些座標在 excel 上 畫出兩個圓盤的運動軌跡，並利用趨勢線以 得到運動軌跡的趨勢方程y = ax + b，其中
a = a𝐴或a𝐵。 就 圓 盤 A 而 言 ， 其 斜 率 a𝐴= −1.4772，而圓盤 B 的斜率a𝐵= 0.4708，
如圖 3(c)所示。
圓盤的運動軌跡趨勢方程可以幫助我們
三腳架與相機 桌上冰球玩具模組(氣墊平台)
得到碰撞後圓盤與水平軸的夾角。根據 趨勢方程，圓盤位移方向的單位向量可以表 示為
𝑟̂ = 1
√a2+1(𝑖̂ + a𝑗̂), (1) 其中a = a𝐴或a𝐵。由方程式(1)我們可以得到 碰撞後圓盤與水平軸的夾角
θ = tan−1(|a|/1) = tan−1(|a|). (2) 分別將a𝐴= −1.4772與a𝐵 = 0.4708代入方 程式(2)，可得到圓盤 A 與水平軸的夾角 θ𝐴 = 55.905° ， 圓 盤 B 與 水 平 軸 的 夾 角 θ𝐵 = 25.213°，如圖 3(b)與 3(c)。換句話說，
兩 圓 盤 碰 撞 後 的 夾 角 為θ = θ𝐴+ θ𝐵= 81.118° ， 其 與 理 論 值 90° 的 差 值 為
∆θ = 90° − θ = −8.882°。此實驗數值的百分 誤差約為 9.87%。
圖 4：定義入射角度θin
我們重複上述實驗數次，所得到的夾角θ 大抵介於72°~82°之間。為了進一步分析討 論，我們定義兩圓盤碰撞瞬間，圓盤 A 與圓 盤 B 之中心連線與圓盤 A 速度方向的夾角定 義成入射角度，θ𝑖𝑛，如圖 4 所示。同時，我 們定義θ′𝐴為圓盤 A 在碰撞後與水平軸夾角 的「理論值」，θ′𝐵為圓盤 B 在碰撞後與水平 軸夾角的「理論值」。根據先前的理論，我們 可 以 知 道 在 理 想 情 形 下 ，θ′𝐵 = θ𝑖𝑛， 且 θ′𝐴 = 90° − θ𝑖𝑛。然而實際碰撞後的角度θ𝐴 與θ𝐵與理論值各自存在誤差，因此分別定義 兩 個 角 度 的 誤 差 為∆θ𝐴= θ𝐴− θ′𝐴， 以 及
∆θ𝐵 = θ𝐵− θ′𝐵。如此我們便可在不同θ𝑖𝑛的 條件下，將碰撞後的總角度差∆θ、∆θ𝐴、與∆θ𝐵
紀錄在表 1。儘管這些數據並沒有明顯的規 律性，其仍呈現了一些共通性：∆θ𝐴與∆θ𝐵皆 小於 0。換句話說，圓盤 A 與圓盤 B 皆偏離 原本理論軌跡，且往水平軸靠攏。
表 1：在不同入射角度下，碰撞後的夾角差值。
θ𝑖𝑛(°) ∆θ(°) ∆θ𝐴(°) ∆θ𝐵(°) 26.325 -8.882 -7.770 -1.112 36.547 -14.100 -8.000 -6.100 37.853 -13.995 -7.659 -6.336 40.854 -8.627 -7.748 -0.979 45.124 -10.263 -7.937 -2.326 45.490 -10.991 -6.947 -4.044 54.344 -17.796 -14.034 -3.762 62.876 -17.261 -11.460 -5.801 64.824 -16.075 -9.820 -6.255 65.328 -14.029 -12.546 -1.483 65.623 -16.895 -10.485 -6.410 74.007 -16.201 -13.280 -2.921 事實上，上述碰撞後夾角 90∘的理論是 基於圓盤進行「完全彈性碰撞」所推得的理 想結果。然而在我們的實驗中，圓盤間的碰 撞為「非完全彈性碰撞」，碰撞前後必伴隨著 動能的損失。為了進一步了解實驗誤差的成 因，我們可以利用動量守恆的概念與動能 K = 𝑝2
2𝑚等相關數學方程，推出在圓盤 B 初速 為零且兩圓盤質量同為𝑚的條件下，進行「非 完全彈性碰撞」前後的總動能變化∆K遵守以 下方程式
∆K = −𝑝𝐴𝑝𝐵
𝑚 cos(θ𝐴+ θ𝐵), (3) 其中𝑝𝐴與𝑝𝐵分別為碰撞後圓盤 A、B 的動量 大小。由該方程可知，若碰撞瞬間具有動能 的損失(∆K < 0)，則碰撞後兩圓盤的夾角 θ𝐴+ θ𝐵必小於 90∘。這說明了非完全彈性 碰撞造成的能量損失是造成碰撞後圓盤夾角 小於 90∘的成因。而在實驗過程中，我們亦 可看到圓盤在碰撞後產生明顯的轉動行為，
這也會對碰撞後圓盤間的夾角產生影響。此 外，表(一)的實驗數據同時展現一個有趣的 現象：|∆θ𝐴| > |∆θ𝐵|。後續的研究方向，包 圓盤 A
圓盤 B
v
θ
in括力學模型的完備、摩擦力改變的影響、
|∆θ𝐴| > |∆θ𝐵|的形成機制，以及非完全彈性 碰撞造成的影響，我們未來將以更精確的自 製氣墊平台與自製碰撞圓盤(可改變碰撞面 (圓盤側面)的材料)，進行研究。
我們要強調，儘管二維彈性碰撞的理論 已在高中、大學課程中反覆出現，目前仍沒 有直觀的演示實驗用來量化並驗證等質量物 體進行二維彈性碰撞後的夾角為90° 。而本 文所提出的實驗構想、碰撞夾角計算方程式 (1)與(2)，可以推廣至任何二維彈性碰撞系統 的分析上。事實上，經過我們實驗分析，要 得到90°的夾角是相當困難的：這是由於碰撞 時的動能損耗與圓盤轉動造成的影響。儘管 我們目前的實驗誤差落在 10%-20%，然而這 是基於一個廉價的、摩擦無法降低的玩具氣 墊平台所得到的結果。然而正是為使用廉價 的氣墊平台，因此這個實驗模組具有演示教 學上的優勢。我們期待藉由這樣直觀的教學 演示實驗，能夠讓學生在課堂上眼見為憑，
理解抽象理論所得到的結果。同時藉由後續 的討論，讓學生了解誤差產生的可能成因。
伍、結論
本文提供了一個新的、完整的二維彈性 碰撞教學策略。首先我們藉由一個直觀的理 論分析，證明了在碰撞物等質量且其中一者 起始處於靜止的條件下，碰撞後兩物體之運 動方向將成 90∘。利用桌上冰球玩具模組佐 以便宜易取得的高速攝影相機與 Tracker 軟 體，該理論結果可以藉由演示實驗進行驗證，
並引導學生了解誤差的成因。除此之外，二 維彈性碰撞亦遵守動量守恆與動能守恆兩個 定律。藉由本實驗系統與 Tracker 的分析，
我們也可以驗證上述兩個守恆律。最後，由 於我們提出的實驗模組價格便宜且容易取得，
因此這個教學策略極具推廣上的潛力。
參考文獻
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2. 蔡仲尼、林誠孝、羅煜聘、洪耀正、蔡 振凱、楊勝州、吳添全、劉育松 (2013).
普通物理學(第二版)，歐亞書局，台北。
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普通物理(College Physics)，高立圖書有 限公司，台北。
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5. Brown, D. (2013). Tracker Video Analysis and Modeling Tool, Tracker,
http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/.
6. 亦稱作桌上曲棍球台。可於一般的玩具 賣場，或利用網路購物平台購得。以下 檢附兩個網路購物平台購買來源：
1.https://tw.buy.yahoo.com/gdsale/gdsale.a sp?gdid=2607300，或是
2.http://www.books.com.tw/products/N010 270417.
7. 楊仲準(2012). 應用於物理教學之影像數 位 分 析 技 術 。 物 理 教 育 學 刊 ， 13(1), 41-50。
A New Teaching Strategy for Two-Dimensional Elastic Collisions
Yao-Chen Hung, Han-Yang Cheng, and Chun-Ming Chiang
* Physics Teaching and Research Center, Feng Chia UniversityAbstract
A new teaching strategy is proposed for two-dimensional elastic collisions, including an intuitive theoretical explanation and a simple lecture experiment. In the lecture experiment, an Air Hocker serves as a frictionless surface, and a high-speed camera is used to record the trajectories of the colliding objects. The trajectories can be quantified by means of a free-software package, Tracker, for the purpose of further analysis. Based on the experiment, the colliding phenomena predicted theoretically can be demonstrated directly and easily in class. Teachers can therefore attract students' interest in the problems of two-dimensional collisions.
