110 下高三數甲(單元 3 複數與多項式方程式) 第1 頁 龍騰版CJT
單元3 複數與多項式方程式 三年___班 座號：____ 姓名：
重點 1：複數(complex number)
1.符號 i：規定符號 i＝ ，且 i 滿足下列性質： 1
(1)i2＝－1 (2)當實數 b＞0 時， ＝b bi 2.符號 i 的性質：
(1)○1 i＝ ， ○1 2 i2＝－1， ○3 i3＝i ， ○4 i4＝1
(2)推廣，○1 i4k1＝i ○2 i4k2＝－1， ○3 i4k3＝i ， ○4 i4k4＝1，其中 k 為非負整數 (3)當 n 為正整數時，in只有i，－1，－i 與 1 四個可能的值，而且它們是依序循環不息的
3.複數的定義：設 a，b 為實數，形如 a＋bi 的數稱為複數，其中 a 稱為 a＋bi 的實部，b 稱為 a＋bi 的虛部 一般以符號z＝a＋bi 表示複數，實部 a 以 R(z)，虛部 b 以 I(z)表示
4.複數的表示：
(1)複數 a＋( b )i＝a－bi
(2) a＋0i＝a， 0＋bi＝bi， 1i＝i
(3)當虛部 b＝0 時，a＋0i＝a，相當於一個實數，也就是說，實數可視為虛部為 0 的複數 (4)當虛部 b≠0 時，稱 a＋bi 為虛數，例如 1＋2i，3i 等都是虛數，也是複數
註：實數是複數的一部分，我們把實數系擴張成一個較大的數系，稱為複數系
◎符號i
例1.1：求下列各式的值：
(1)求i1，i2，…，i7，i8的值 (2)求i1＋i2＋…＋i7＋i8的值
重點 2：複數的四則運算
1.複數的相等：當兩個複數的實部相等、虛部也相等時，稱這兩個複數相等。
即當a，b，c，d 為實數時，a＋bi＝c＋di 的意思是 a＝c 且 b＝d 註：當a，b 為實數，若 a＋bi＝0，則 a＝b＝0
2.設 a，b，c，d 為實數，z ＝a＋bi，1 z ＝c＋di，則： 2 (1)加法：z ＋1 z ＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i 2 (2)減法：z －1 z ＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i 2 (3)乘法：z1z ＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad－bc)i 2 3.複數的性質：
若z ，1 z ，2 z 為三個任意的複數，則下列各性質成立 3 (1)交換律：z ＋1 z ＝2 z ＋2 z ， 1 z1z ＝2 z2z 1
(2)結合律：z ＋(1 z ＋2 z )＝(3 z ＋1 z )＋2 z ， 3 z (1 z2 z )＝(3 z1 z )2 z 3 (3)分配律：z (1 z ＋2 z )＝3 z1 z ＋2 z1 z 3
4.設 z 為複數，規定z ＝z z，2 z ＝z z z，…… 一般而言，設 n 為大於 1 的正整數，規定3 z ＝n zn1z
◎複數的加法、減法與乘法
例2.1：已知複數 z1＝3＋4i，z2＝5－3i，求下列各式的值 (1) z1＋z2 (2) z1－z2 (3) z1z2
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重點 3：複數的除法運算
1.共軛複數：設複數 z＝a＋bi，a，b 為實數，則稱 a－bi 為 a＋bi 的共軛複數，記作z，即z＝a＋bi 2.共軛複數性質：設複數 z，w，則：
(1) )(z ＝z
(2) z ＝ z ，其中 z＝a＋bi， z ＝ abi ＝ a2 b2 (3)(z)n＝z ，其中 n 為整數 n
(4)○1 z ＝w z＋w ， ○2 z ＝w z－w ， ○3 z ＝w z w ， ○4 ( ) w
z ＝ w
z ，其中w 0 3.複數的除法：設 a，b，c，d 為實數，z ＝a＋bi，1 z ＝c＋di 0，則： 2
除法：
2 1
z z ＝
di c
bi a
＝
) )(
(
) )(
(
di c di c
di c bi a
＝( 2) ( 2 ) d
c
i ad bc bd ac
＝ 2 2
d c
bd ac
＋ i
d c
ad bc
2 2
註：作除法運算時，分子，分母同時乘上分母的共軛複數
◎複數的除法
例3.1：將下列各複數表示成 a＋bi (其中 a，b 為實數)的形式 (1)3 4i
1
(2) i i
1 2
重點 4：二次方程式的根
1.意義：形如a ＋bx＋c＝0 (a≠0)的方程式稱為二次方程式，當 a，b，c 皆為實數時，稱其為實係數二次方程式 x2 2.公式解：利用配方法可以將a ＋bx＋c＝0 得到(x＋x2
a b 2
) ＝2 2 2
4 4 a
ac b
，解得x＝
a ac b
b 2
2 4
○1 b2－4ac 稱為判別式，記作 D
○2 在複數系中，判別式D 可以是正數、負數或是零，則 b2 4ac 有意義
即實係數二次方程式a ＋bx＋c＝0，利用公式解得 x＝x2
a ac b
b 2
2 4
(1)當 D＝b2－4ac＞0 時，二次方程式a ＋bx＋c＝0 有兩相異實根 x2
(2)當 D＝b2－4ac＝0 時，二次方程式a ＋bx＋c＝0 有兩相等實根(二重根) x2
(3)當 D＝b2－4ac＜0 時，二次方程式a ＋bx＋c＝0 有兩共軛虛根(兩根互為共軛複數) x2
◎求解二次方程式
例4.1：解方程式x2－2x＋5＝0
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重點 5：二次方程式的根與係數的關係
1.意義：實係數二次方程式a ＋bx＋c＝0，利用公式解得 x＝x2
a ac b
b 2
2 4
令判別式D＝b2－4ac，則 x＝
a ac b
b 2
2 4
＝
a D b
2
，即x＝或
a D b
2
2.根與係數的關係：
設
， 為實係數二次方程式a ＋bx＋c＝0 的兩根，令兩根分別為x2
＝ aD b
2
， ＝
a D b
2
，則：
(1)兩根的和
＋ ＝ aD b
2
＋
a D b
2
＝
a
b
(2)兩根的積
＝(a D b
2
)(
a D b
2
)＝
a c
註：a ＋bx＋c＝a(x－x2
)(x－ )＝a [x2－(
＋ )x＋
]例5.1：已知
， 為方程式2x2＋4x＋5＝0 的兩根，求下列各式的值：(1) ＋2
2 (2)
1 ＋
1 (3) ＋3
3重點 6：虛根成雙定理
1.定理：設 f (x)為實係數 n 次多項式(n 為大於 1 的整數)。若 z＝a＋bi (其中 a，b 為實數且 b≠ 0)是方程式 f (x)＝0 的 一個虛根，則它的共軛複數z＝a－bi 也是方程式 f (x)＝0 的一個虛根
註：有理係數方程式的無理根亦成對出現 2.性質：
(1)實係數多項式方程式的虛根個數必為偶數
(2)當 n 為奇數時，n 次多項式方程式只能有奇數個實根(一個、三個、五個、…)；
即實係數奇數次方程式至少有一實根
例6.1：已知 a－i 與 1＋bi (其中 a 與 b 為實數，且 b≠0)為實係數三次方程式x3＋x2＋cx＋d＝0 的兩個根 (1)求 a 與 b 的值 (2)求 c 與 d 的值 (3)求所有的根
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重點 7：勘根定理
緣由：實係數 n 次方程式有 n 個根，且當 n 是奇數時，方程式至少有一個實根。
求n 次方程式實根的精確值是很困難的，此時，可以求其實根的範圍。而求實根範圍的方法，稱為勘根定理 1.介值定理：設函數 f (x)在區間[a，b]上連續，且 f (a)≠f (b)。若 k 是介於 f (a)與 f (b)之間 (不含 f (a)，f (b))的實數，
則在a 與 b 之間 (不含 a，b)至少有一實數 c，使得 f (c)＝k
2.勘根定理：設 f (x)為實係數多項式，且 a 與 b 是兩個相異實數。若 f (a) f (b)＜0 (即 f (a)與 f (b)異號)，
則方程式f (x)＝0 在區間(a，b)內至少有一個實根
說明：函數f (x)為實係數多項式(為連續函數)。若 f (a) f (b)＜0，即 f (a)與 f (b)異號，因此 0 介於 f (a)與 f (b)之間，
則利用介值定理，可得在區間(a，b)內至少有一實數 c，使得 f (c)＝0，如下左二圖
註：(1)當 f (x)為實係數多項式且 f (a) f (b)＜0 時，勘根定理保證方程式 f (x)＝0 在區間(a，b)內「至少」有一個實根，
但並非「恰有」一實根，如上右二圖所示。
即可能為一或三或……等奇數個實數根
(2)當 f (x)為實係數多項式且 f (a) f (b)＞0，即 f (a)與 f (b)同號時，
方程式f (x)＝0 在區間(a，b)內可能有實根(如圖(a)所示)，
也可能沒有實根(如圖(b)所示)
◎勘根定理
例7.1：試問方程式x3－8x＋1＝0 在哪些連續整數之間有實根？
(a) (b)
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