1−z−z 2 的洛朗級數

費氏數列與 ^z

1−z−z ² 的洛朗級數

許閎揚

壹、 前言

費氏數列是高中數學常見的數列, 這個數列 hFⁿi 定義為 : F⁰ = 0, F1 = 1, Fⁿ = Fn−1+ Fⁿ⁻2, n ≥ 2。 在近期數學傳播 [1, 2] 兩篇文章中, 張進安老師與張鎮華教授分別探討 了這個數列所成級數的收斂問題

∞

P

n=0

Fn

rⁿ⁺¹ = 1

r² − r − 1。 為了對這個級數的收斂問題有更多 的了解, 我們從複分析的角度來對它進行探討。

貳、 費氏數列的冪級數與一般式

一個複數 z 可以寫成 a + bi, 其中 a, b 為實數, i =√

−1。 本文中的 z 皆代表複數。

一個冪級數(中心在 z₀) 是一個有以下形式的級數 S(z) :=

∞

X

k=0

ak(z − z⁰)^k.

費氏數列 hFⁿi 定義為 : F⁰ = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1+ Fn−2, n ≥ 2, 在張進安老師的 文章中, 他探討了關於費氏數列所成無窮級數的收斂問題, 本節我們將以係數為費氏數列的冪 級數來探討它的收斂問題。

首先我們以組合數學中特徵方程的理論來求解它的一般式, 得到下列的引理 1。

引理1[4]: Fⁿ= 1

√5

h1 +√ 5 2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿi

, n ≥ 0。

證明: 由遞迴關係 Fn+2 = Fn+1+ Fn, 它的特徵方程為 t² − t − 1 = 0, 解得

t= 1 ±√ 5 2

24

為它的兩個特徵根, 因此設

Fn= α1 +√ 5 2

ⁿ

+ β1 −√ 5 2

ⁿ , 由 F₀ = 0, F₁ = 1 解得

α = 1

√5, β= − 1

√5, 得到

Fn= 1

√5

h1 +√ 5 2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿi , 得證。

引理2: lim

n→∞

Fn+1

Fn

= 1 +√ 5 2 。 證明: 利用引理 1, 得

n→∞lim Fn+1

Fn

= lim

n→∞

1 +√ 5 2

ⁿ+1

−1 −√ 5 2

ⁿ+1

1 +√ 5 2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿ

= lim

n→∞

1 +√ 5 2

−1 −√ 5 2

1 −√ 5 1 +√

5

ⁿ

1 −1 −√ 5 1 +√

5

ⁿ

= 1 +√ 5 2 ,

得證。

利用引理 1 與引理 2 我們可以找到以費氏數列為係數的冪級數的收斂區間, 我們將結果 寫成下面定理 1。

定理1: 設以費氏數列為係數的冪級數為

∞

P

n=0

Fnzⁿ, 則

∞

P

n=0

Fnzⁿ收斂若且唯若 |z| <

√5 − 1 2 。 證明: 由比值試驗法, 若

n→∞lim    

Fn+1zⁿ⁺¹ Fnzⁿ

<1, 則

∞

X

n=0

Fnzⁿ 收斂,

n→∞lim    

Fn+1zⁿ⁺¹ Fnzⁿ

>1, 則

∞

X

n=0

Fnzⁿ 發散。

由引理 2, 即

√5 + 1

2 · |z| < 1, 則

∞

X

n=0

Fnzⁿ 收斂,

√5 + 1

2 · |z| > 1, 則

∞

X

n=0

Fnzⁿ 發散。

也就是若

|z| <

√5 − 1 2 , 則

∞

X

n=0

Fnzⁿ 收斂,

|z| >

√5 − 1 2 , 則

∞

X

n=0

Fnzⁿ 發散。

當 |z| =

√5 − 1

2 時, 因為 

 lim_n→∞Fnzⁿ 

 = lim_n→∞|Fⁿzⁿ| = lim_n→∞Fn|zⁿ|

= lim

n→∞

√1 5

h1 +√ 5 2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿi

·√ 5 − 1

2

ⁿ

= lim

n→∞

√1 5

h

1 − (−1)ⁿ√ 5 − 1

2

2ni

= 1

√5,

可得 lim

n→∞Fnzⁿ 6= 0, 故

∞

P

n=0

Fnzⁿ 發散。 定理證畢。

由上面的討論, |z| <

√5 − 1

2 若且唯若

∞

P

n=0

Fnzⁿ 收斂, 因此我們可以將此冪級數定義成 一個複變函數 F (z) =

∞

P

n=0

Fnzⁿ, 定義域為 {z ∈ C : |z| <

√5 − 1 2 }。

定理2: 若 F (z) =

∞

P

n=0

Fnzⁿ, |z| <

√5 − 1

2 為係數是費氏數列的冪級數, 則 F (z) = z

1 − z − z², |z| <

√5 − 1 2 。 證明: 利用引理1, Fⁿ= 1

√5

h1 +√ 5 2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿi

, n ≥ 0 及定理1, 當 |z| <

√5 − 1 2

可得

∞

X

n=0

Fnzⁿ =

∞

X

n=0

√1 5

h1 +√ 5 2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿi zⁿ

=

∞

X

n=0

√1 5

h1 +√ 5 2 zⁿ

−1 −√ 5 2 zⁿi

= 1

√5 h

∞

X

n=0

1 +√ 5 2 zⁿ

−

∞

X

n=0

1 −√ 5 2 zⁿi

= 1

√5









1 1 − 1 +√

5 2 z

− 1

1 − 1 −√ 5 2 z









= z

1 − z − z². 得證。

在定理 1 中我們用比值試驗法找出冪級數的收斂半徑, 事實上利用複變函數的泰勒定理, 我們亦可求得它的收斂半徑。

複變函數的泰勒定理是關於冪級數的基本定理, 我們把它敘述如下:

定理3(泰勒定理)[3]: 假設函數 f 在整個開圓盤 |z − z⁰| < R⁰ 可解析, 圓盤以 z0 為圓心且 半徑為 R₀。 則 f (z) 具有唯一的冪級數表示式

f(z) =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(z0)

n! (z − z⁰)ⁿ, (|z − z⁰| < R⁰).

在定理 2 中解析函數 F (z) = z

1 − z − z² 在複數平面上只有兩個不可解析的點(奇異 點), 即 1 − z − z² 的零點, 即 z₁ = −1 +√

5

2 , z2 = −1 −√ 5

2 , 因此由泰勒定理可知在

|z| <

√5 − 1 2 時,

∞

P

n=0

Fnzⁿ 收斂到 F (z) = z 1 − z − z²。 一個冪級數

∞

P

n=0

an(z − z⁰)ⁿ 以 z₀ 為圓心所成的圓中, 在圓內每一點均收斂的圓中取最 大的圓, 我們稱為冪級數的收斂圓。

下面兩個定理與泰勒定理可說明 : 函數 f 在某點 z0 展開成冪級數時, 收斂半徑是 z₀ 到 z₁ 的距離, 其中 z₁ 是最近一個使 f 不可解析的點。

定理4[3]: 若冪級數

∞

X

n=0

an(z − z⁰)ⁿ

在 z = z1 (z1 6= z⁰) 收斂, 則它在開圓盤 |z − z⁰| < R¹ 的每一點絕對收斂, 其中 R1 =

|z¹− z⁰|。

定理5[3]: 冪級數在收斂圓內部的每一點都可解析。

若

∞

P

n=0

Fnzⁿ 在 |z| =

√5 − 1

2 圓外有一點收斂 , 則由定理 4 可得一個半徑更大的圓 C, 在圓 C 內每個點收斂, 並由定理 5 可得圓 C 內每一點皆解析, 但我們知道 F (z) 在 z = z1 =

√5 − 1

2 處不可解析, 因此

∞

P

n=0

Fnzⁿ 在 |z| <

√5 − 1

2 時收斂, 在 |z| >

√5 − 1 2 時發散。

參、 z

1 − z − z

的洛朗級數

一個洛朗級數(中心在 z₀) 是一個有以下形式的級數表示式 f(z) =

∞

X

n=0

an(z − z⁰)ⁿ+

∞

X

n=1

bn

(z − z0)ⁿ, (R1 <|z − z⁰| < R²), 其中 (0 ≤ R¹ < R₂ ≤ ∞)。

在探討冪級數時, 泰勒定理說明了冪級數的係數具有唯一性並與函數的導數有關, 對於函 數的洛朗級數, 洛朗定理亦說明了洛朗級數的係數有唯一性並與函數的積分值有關。 我們將洛 朗定理簡述如下:

定理6(洛朗定理)[3]: 假定複變函數 f 在整個以 z₀ 為中心的環狀區域 R₁ <|z − z0| < R2

可解析 (0 ≤ R¹ < R₂ ≤ ∞), 且令 C 表示位於此域內環繞 z⁰ 的任一正向簡單封閉圍線。 則 在此區域中的每一點, f (z) 有唯一的級數表示式

f(z) =

∞

X

n=0

an(z − z⁰)ⁿ+

∞

X

n=1

bn

(z − z⁰)ⁿ, (R1 <|z − z⁰| < R²) 其中

an = 1 2πi

Z

C

f(z)

(z − z⁰)ⁿ⁺¹dz, (n = 0, 1, 2, . . .) 且

bn = 1 2πi

Z

C

f(z)

(z − z0)⁻ⁿ⁺¹dz, (n = 1, 2, . . .).

對於複變函數 F (z) = z

1 − z − z² 在 |z| <

√5 − 1

2 時, 定理 2 告訴我們可以將它展開 成一個冪級數

∞

P

n=0

Fnzⁿ。 當 |z| >

√5 − 1

2 時, 雖然我們無法再將它展開成冪級數

∞

P

n=0

Fnzⁿ, 但我們卻可以將它展開成洛朗級數。

F(z) = z

1 − z − z², 其中 z 為複變數, 將 F (z) 進行部分分式分解, 可得 F(z) = z

1 − z − z² = 1

√5

1 1 −1 +√

5 2 z

− 1

1 − 1 −√ 5 2 z

! ,

得知解析函數 F (z) 在複數平面上只有兩個奇異點 z1 = −1 +√ 5

2 , z2 = −1 −√ 5 2 , 我們將 F (z) 在 z = 0 為中心的開圓盤及環狀區域做洛朗展開, 得到以下定理 7。

定理7: 若 F (z) = z

1 − z − z², z ∈ C 則 1. 當 |z| <

√5 − 1

2 , F (z) =

∞

P

n=0

Fnzⁿ。 2. 當

√5 − 1

2 <|z| <

√5 + 1

2 , F (z) = − 1

√5

"

∞

P

n=1

√ 5 − 1

2 ·1 z

ⁿ +

∞

P

n=0

1 −√ 5 2 ·zⁿ

#

。

3. 當 |z| > 1 +√ 5

2 , F (z) =

∞

P

n=1(−1)ⁿFn

zⁿ。 證明:

1. 當 |z| <

√5 − 1 2 , F(z) = z

1 − z − z² = 1

√5

1 1 −1 +√

5 2 z

− 1

1 −1 −√ 5 2 z

!

= 1

√5

∞

X

n=0

√ 5 + 1

2 · zⁿ

−

∞

X

n=0

1 −√ 5 2 · zⁿ

!

= 1

√5

∞

X

n=0

√ 5 + 1

2 · zⁿ

−1 −√ 5 2 · zⁿ

!!

=

∞

X

n=0

√1 5

√ 5 + 1

2

ⁿ

−1 −√ 5 2

ⁿ

!

zⁿ, (由引理1)

=

∞

X

n=0

Fnzⁿ.

2. 當

√5 − 1

2 <|z| <

√5 + 1 2 , F(z) = z

1 − z − z² = 1

√5

1 1 −1 +√

5 2 z

− 1

1 −1 −√ 5 2 z

!

= 1

√5

1 1 +√

5

2 z 2 1 +√

5 · 1

z − 1 − 1 1 − 1 −√

5 2 · z

!

= 1

√5







− 1

1 +√ 5 2 z

∞

X

n=0

 2 1 +√

5 ·1 z

ⁿ

−

∞

X

n=0

1 −√ 5 2 · zⁿ









=−1

√5

∞

X

n=1

√ 5 − 1

2 · 1 z

ⁿ +

∞

X

n=0

1 −√ 5 2 · zⁿ

! .

3. 當 |z| > 1 +√ 5 2 , F(z) = z

1 − z − z² = 1

√5

1 1 − 1 +√

5 2 z

− 1

1 − 1 −√ 5 2 z

!

= 1

√5

1 1 +√

5

2 z 2 1 +√

5 ·1

z − 1− 1

1 −√ 5

2 z 2 1 −√

5 · 1 z − 1

!

= 1

√5 − 1

1 +√ 5 2 z

∞

X

n=0

 2 1 +√

5 ·1 z

ⁿ

+ 1

1 −√ 5 2 z

∞

X

n=0

 2 1 −√

5· 1 z

ⁿ

!

= 1

√5 −

∞

X

n=0

 2 1 +√

5 · 1 z

ⁿ+1

+

∞

X

n=0

 2 1 −√

5· 1 z

ⁿ+1!

= 1

√5 −

∞

X

n=0

√ 5 − 1

2 · 1 z

ⁿ+1

+

∞

X

n=0



−

√5 + 1 2 · 1

z

ⁿ+1!

= 1

√5

∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹ √ 5 + 1

2 · 1 z

ⁿ+1

−1 −√ 5 2 ·1

z

ⁿ+1!

, (由引理1)

=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁺¹Fn+1

zⁿ⁺¹ =

∞

X

n=1

(−1)ⁿFn

zⁿ. 定理證畢。

肆、 冪級數的應用

利用函數的冪級數我們可以得到張進安老師在文章 [1] 的結果。 此外, 利用冪級數在收斂 區間的逐項微分與積分, 我們還可以得到新的等式(請見推論 2 與推論 3)。

推論1[1]:

∞

P

i=0

Fi

10ⁱ = 10 89。 證明: 由定理 2 可知當 |z| <

√5 − 1

2 時, F (z) =

∞

P

n=0

Fnzⁿ = z

1 − z − z²。 將 z = 1 10 代 入定理 2, 得

∞

X

n=0

Fn

10ⁿ = F 1 10



=

1 10 1 − 1

10 −1 10

2 = 10 89, 得證。

推論2:

∞

P

n=0

nFnzⁿ= z+ z³

(1 − z − z²)², |z| <

√5 − 1

2 , z ∈ C。

證明: 由定理 2,

F(z) =

∞

X

n=0

Fnzⁿ = z

1 − z − z², |z| <

√5 − 1

2 , z∈ C.

由於在冪級數在收斂區間內可逐項微分, 得

∞

P

n=0

d

dzFnzⁿ = d

dzF(z), 得

∞

X

n=1

nFnzⁿ⁻¹ = 1(1 − z − z²) − (−1 − 2z)z

(1 − z − z²)² = 1 + z²

(1 − z − z²)², |z| <

√5 − 1 2 , 將上式等號兩邊同乘 z, 得

∞

X

n=1

nFnzⁿ= z+ z³

(1 − z − z²)², |z| <

√5 − 1 2 , 得證。

當 w(t) 是實變數 t 的複數值函數, 且可寫成

w(t) = u(t) + iv(t),

其中 u, v 是實值函數, 又若 u 和 v 在區間 a ≤ t ≤ b 的定積分存在, 則 w(t) 在區間 a ≤ t ≤ b 的定積分為

Z b a

w(t)dt = Z b

a

u(t)dt + i Z b

a

v(t)dt.

設方程式

z = z(t), (a ≤ t ≤ b)

表示由點 z₁ = z(a) 延伸到點 z2 = z(b) 的圍線 C。 設 f [z(t)] 在區間 a ≤ t ≤ b 為片段連 續, 則我們以參數 t 定義 f 沿著 C 的線積分, 或圍線積分 [3]:

Z

C

f(z)dz = Z ^b

a

f[z(t)]z^′(t)dt.

當一個非零複數 z, 只要 z 不落在負實軸上, 我們可以定義其主對數 (principal loga- rithm) 為

Log (z) = ln r + iθ, z = re^iθ, (r > 0, −π < θ < π).

利用冪級數在收斂區間可逐項積分的性質, 我們有下列結果。

推論3:

∞

X

n=1

Fn

n zⁿ =

√5 5

"

Log

1 −1 −√ 5 2 z

− Log

1 − 1 +√ 5 2 z

#

, |z| <

√5 − 1 2 . 證明: 由定理 2,

F(z) =

∞

X

n=0

Fnzⁿ= z

1 − z − z², |z| <

√5 − 1 2 , 得

∞

X

n=1

Fnzⁿ⁻¹ = 1

1 − z − z², |z| <

√5 − 1 2 .

令 C 是收斂圓 |z| <

√5 − 1

2 內部任一圍線, C 從點 z = 0 到點 z = z1, 因 F (z) 在 收斂圓內部可解析, 故

Z

C

F(z)dz 與路徑 C 無關。 又冪級數在收斂區間可逐項積分, 得

∞

X

n=1

Z ^z₁

0

Fnzⁿ⁻¹dz = Z ^z₁

0

1

1 − z − z²dz, |z| <

√5 − 1

2 , (1)

將 1

1 − z − z² 分解成兩個分式相加, 得 1

1 − z − z² =

√5 10

√5 − 1

1 −1 −√ 5 2 z

+

√5 + 1

1 − 1 +√ 5 2 z

!

, (2)

將 (2) 式等號兩邊從 0 到 z₁ 對 z 積分, 得 Z z₁

0

1

1 − z − z²dz =

√5 10

Z z₁ 0

√5 − 1

1 − 1 −√ 5 2 z

dz+ Z z₁

0

√5 + 1

1 − 1 +√ 5 2 z

dz

!

=

√5 10

"

(√

5 − 1)

− 2 1 −√

5

Log

1 −1 −√ 5 2 z₁ + (√

5 + 1)

− 2 1 +√

5

Log

1 − 1 +√ 5 2 z₁

#

=

√5 10

"

2Log

1 − 1 −√ 5 2 z₁



− 2Log

1 − 1 +√ 5 2 z₁



#

=

√5 5

"

Log

1 − 1 −√ 5 2 z₁

− Log

1 −1 +√ 5 2 z₁

#

. (3) 由 (1), (3) 式得

∞

X

n=1

Fn

n z₁ⁿ =

√5 5

h Log

1 −1 −√ 5 2 z₁

− Log

1 − 1 +√ 5 2 z₁i

, |z¹| <

√5 − 1 2 , 其中 z₁ 是收斂圓內任意一點, 故定理得證。

伍、 結語

複分析理論完備應用廣泛, 是數學上極其優美的一個分支, 也是處理級數與積分的強力武 器。 泰勒定理說明如果在開圓盤內各點可解析, 則可展開成一個冪級數且係數與函數的微分值 有關, 洛朗定理則顯示了函數在不同範圍內, 有各自的展開式且與積分值有關, 利用複變函數的 泰勒展開與洛朗展開, 相信讀者對費氏數列的級數問題的收斂性, 會有更深一層的認識。

參考資料

1. 張進安。 lim

n→∞

n

P

i=0

Fⁱ 10ⁱ = 10

89 的探源與推廣。 數學傳播季刊, 44(1), 89-93, 2020。

2. 張鎮華。 費氏數列與等比數列的交會處。 數學傳播季刊, 44(2), 58-61, 2020。

3. 黃孟槺(譯)。 複變函數與應用。 台北市 : 東華, 2015。 (James Ward Brown, Ruel V. Churchill 2014)

4. C. L. Liu, Introduction To Combinatorial Mathematics, McGraw-Hill Book Company, 1968.

—本文作者任教彰化藝術高中_—