第一章 指數與對數 §11 指數

第一章 指數與對數

§11 指數

(甲)自然數指數

(1)自然數的指數：對於每個實數 a，我們以記號 aⁿ代表 a 自乘 n 次的乘積。

即 n n

a a a a

a   

 ^個

(2)正整數指數的運算性質(指數律)：

a^maⁿ=a^m+n (a^m)ⁿ=a^mn aⁿbⁿ=(ab)ⁿ

例如：3¹²3⁴=3¹⁶，4⁵=(2²)⁵=2¹⁰，3⁴2⁴=(23)⁴

上面所討論的指數，都是自然數，而接下來我們打算將指數的範圍從自然數逐步 推廣至整數系、有理數系、實數系。

換句話說，就是要規定型如： a⁰ , a^2 a^{34 , a 2，…等記號的意義。}

推廣的原則：要求新規定的指數記號仍然滿足指數律。

適當限制 a 使得指數有意義。

(乙)整數指數

整數比自然數多了 0 與負整數，因此我們將要適當的規定 a⁰與 a^n(nN)。

(1)規定 a⁰：

設 a0，由指數律 可得 a⁰aⁿ=a⁰⁺ⁿ=aⁿ，因為 a0，所以 a⁰=1。換句話說，

要使得指數律 成立的話， 則必須定義 a⁰=1。新定義的 a⁰=1 能否使得指 數律  成立。

檢驗指數律：(a⁰)ⁿ=1ⁿ=1=a⁰=a^0n，(a^m)⁰=1=a⁰=a^m0，(a⁰)⁰=1⁰=1=a^00 檢驗指數律：a⁰b⁰=11=1=(ab)⁰

由以上的檢驗可得：(a^m)ⁿ=a^mn，aⁿbⁿ=(ab)ⁿ當 m,n 為正整數或 0 時會成立。

(2)規定 a^n：

假設 a0，且 n 為正整數，由指數律 可得 a^naⁿ=a^n+n=a⁰=1，

所以 ⁿ _n

a^  a1 。換句話說，要使得指數律成立的話，則必須定義 ⁿ _n a^  a1 ，。

新定義的 ⁿ _n

a^  a1 能否使得指數律   成立。

檢驗指數律：a^maⁿ=aⁿ=























m n a a

m n a

n m n m

n m

1 , ,

。 (m,n 為正整數) 檢驗指數律：(a^m)ⁿ=()ⁿ===a^mn。(m,n 為正整數)

檢驗指數律：aⁿbⁿ=(ab)ⁿ留做作業。

[例題1] 化簡[a²(a^5)²]^1，(3⁵3^5)¹²+(3⁵+8¹⁰)⁰，(1+ ⁵)²(1 ⁵)⁴ Ans：a⁸，2，16(62)

(練習1) 化簡下列各式：

(1)2^bc2^cb (2)(3)³(3)⁵ (3) _x^a1_y 2

5 3





(4)(a²)³(a³)²

(練習2) 試求下列等式中之 m 的值。

(1)8^m=(2³)² (2)8^m=₂³² (3)₂⁴⁵ _16^m (3)(2⁴)⁵=16^m

(練習3) 設於某項實驗中，細菌數 1 日後增加 1 倍。問 (1)n+5 日後的細菌數是 n+2 日後的細菌數的幾倍？

(2)一星期後的細菌數是 3 天前的細菌數的幾倍？

(3)如果 100 天後會有 N 個細菌，那麼甚麼時候有 4

N 個細菌？

Ans：(1)8 (2)1024 (3)98 天後

(丙)分數指數

(1)設 a>0，如果 r 為一有理數，應該如何定義 a^r呢？這問題實際上只需要 定義an

1 (n 為一正整數)就可以解決。根據前面推廣指數的原則，新定義的an 1

必須滿足指數律，就指數律 而言(an

1 )^m=a^mn，其中 m 為一整數，因此，自 然地應該定義符號a^{mn 為}_a^{n1 的 m 次方，即(}_a^{n1 )m。}

例如：_{4 (2 )}2 ₂³ ₈ 3

2 2 3





 ，

3 3 1 ) 3 (

9 ^{2 1}

1 2 2

1





 ^{ }



(2)規定an

1：

根據指數律 (an

1 )ⁿ=a^{nn=a1=a，即}_a^{n1 是方程式 xn}=a 的根，根據第一冊第四章勘 根定理的推論，xⁿ=a 恰有一正實根，即 a 的正 n 次方根。因此我們就選定 a 的正 n 次方根為an

1 的定義。

(3)由前面的說明，我們可得以下結論：

 當 a>0，n 為正整數，我們定義an

1=ⁿ a。

 當 a>0，r=，(其中 n 為正整數,m 為整數)，我們定義a^r a^mn (ⁿ a)^m。 (4)為何定義分數指數時，a 要為正數？

當我們定義分數指數時，引用了第一冊第四章的勘根定理的應用：xⁿ=a 恰 有一個正實根，而這樣的性質在 a<0 時就不成立了，且 xⁿ=a 還不一定有實 根存在，例如 x²=1 就沒有實根，所以找不到適當的實數來作為(1)²¹的定 義。

(5)我們定義了分數指數後，我們還要看看是否滿足指數律。

假設 a,b 為正數，p,q 為有理數 檢驗指數律：令 p=

n m ,q=

r

s (n,r 為正整數)，

a^pa^q=^{(n a)m(r a)s}=^nramr ^nrans =^nr a^mrns = nr ns mr

a

 =a^p+q 檢驗指數律：

(a^p)^q= r s n a)m]

[( = r

s n a )m

( =^r (ⁿ a^m)^s ^{r n}a^ms ^nra^ms =a^pq

檢驗指數律：a^pb^p=(ab)^p，留做作業

[例題2] 小安做數學問題時，發現兩個迷惑的問題：

(迷惑一)：_(3)²¹= = i是虛數，但_(3)⁴² =⁴ (3)² =⁴ 9是實數，

於是得出_(3)²¹ 4 2

) (3 。 (迷惑二)：書本說： 4

1

16 =⁴¹⁶ ，那麼_(16)¹⁴是否等於⁴ ¹⁶ ？如果是的 話，

符號^{4 16} 是代表方程式 x⁴=16 的那一個「解」呢？

如何來解決小安的迷惑呢？

[例題3] 將根式化簡為指數的形式：

(1)⁵ a²⁰  a¹² (2)_{( 8)}^32 ₍³₁₀²₎²⁹ ³ 10⁵ (3)^{3 2 8}

3

3) (1

3 ^



 Ans：(1)a⁷ (2)2^110^5 (3)3^4

[例題4] 設 ² 3

1 2 1



x^

x ，試求(1)x+x^1 (2)x₂³  x^₂³ 之值。

Ans：(1)7 (2)18

(練習4) 化簡下列各式 (1)1000( 3

2

8^ ) (2)3 ²

3

4)

(9 ^ (3)

3 1 2 3

2 1 3 4

3 2 9

a a

a a



 ^

(4)_{6 2 4 6}

3 2 3

x y

y x







Ans：(1)250 (2)(3)(4)y

(練習5) 設於某項新實驗中，細菌數 1 日後增加 a 倍，且已知 3 日後細菌 數為

200000，4 日後其數為 1600000，試求：

(1)a 的值 (2)5 日後的細菌數 (3)日後的細菌數 (4)細菌數為 800000 時所需 的日數。 Ans：(1)3 (2)3200000 (3)25000 (4)4 日

(練習6) 化簡(

16

81)^－0.25． ³

2

27)

( 8 ^－ ．(0.25)^－0.5之值為　　　　　 。Ans：3

(練習7) 假設 2^0.6=1.516，2^0.03=1.021，試求 2^1.63與 2^0.37的值。

Ans：3.096，0.774

(練習8) 設 a0，xR，a^3x+a^3x=52，

求(1)a^x+a^x之值 (2)求 a^2x+a^2x之值 (3)求 a^x之值。

Ans：(1)4(2)14(3)2

(練習9) 設 x+x^1=，則_[(x² _x^2₎² _4(xx^1₎² _12]⁶¹=？ Ans：3

(丁)實數指數

(1)設 a>0，對於所有的有理數 x，我們已經定義了 a^x，例如 2^2=，2⁰=1 ，2² 2

1

 等等，接下來我們希望將 x 的範圍擴充到所有的實數，換句話說，

我們想要知道₂ ³這種符號的意義。

(2)對於一般的無理數 x，我們可利用逼近的方法去定義 2^x的值。

例如：考慮有理數數列 a1=1.7，a2=1.73，a3=1.732，…，an，…且n an



lim =。

因為 2^1.7，2^1.73，2^1.732，…，2^an ..都有定義，且為一個遞增的數列，但比 2²小，

這種數列會越來越接近一個正實數，這個正實數就定義為₂ ³， 它大約等於 3.3220。

(3)一般而言，對於任意一正實數 a 與任意一個無理數 x，利用(2)中定義₂ ³的逼 近方法，也可來求 a^x的估計值，進一步還可證明這樣定義無理指數後，指數律依 然成立。

[例題6] 設(67)^x=27，(603)^y=81，則 =？ Ans：2

(練習10) 設 a0，若 2^a=3^b=，則 =？ Ans：2

(練習11) 設 x,y 為實數，53^x=9，477^y=243，  =？ Ans：2 [例題7] 解下列方程式：

(1)2^x+4=7^x+4 (2)5^2x+165^x+1=0 (3)2(4^x+4^x)7(2^x+2^x)+10=0 Ans：(1)x=4 (2)x=0 或1 (3)x=0

[例題8] 設^x 32  ^y 2^3y6 且 3^15y+3x=81^xy，則 x=？y=？ Ans：x=5，y=3

(練習12) 解下列方程式：

(1)4^2x=(0.25)^5x1 (2)³ 4^x  2^3x1 (3) ^x _x 3

3 ) 27

3 ( ^{3 2}  Ans：(1)(2)(3)1

(練習13) 試解 4(4^x+4^x)12(2^x+2^x)+13=0 Ans：x=1 或1

綜合練習

(1)將下列根式化為指數型：

(a)(2+) ₃⁴ (2)₃⁴ =_____(b)729 ^₃¹+32 ₅³+() ^₃¹= ______

(c)³ _{5 4}

a

a = ________

(2)若 a0，aR，設 a2

1 +a^₂¹ =5，試求下列各式的值：

(a)a+a^1 (b)a2 3 +a 2

3 (c)a²+a^2 (d)a³+a^3 (e)a4

1 +a 4

1

(3) 2^0.6=a，2^0.03=b，則 2^2.23=？

(4) 解 ^{5 3 4 8 )3 2} 4 (1 2)

( 1

2 ^x   ^x  ^x (5)解 2^2x1+2^3x2=52^x+2。

(6)試解 6^x43^x32^x+12=0。

(7)設 a>0,b>0，且 ab1，設 a^x=b^y=(ab)^z，試求 x,y,z 的關係。

進階問題

(8)設 f(x)= ，x R，(a)試證：若 a+b=1，則 f(a)+f(b)=1。

(b)承(a)，試求 f()+f()+f()+……+f()=______。

(9) 試解( 2 3)^x ( 2 3)^x 4，

(10)若 2^x+3^y=8，2^x+1+3^y=5，求 53^y52^x=？

綜合練習解答

(1) (a)1 (b)11 (c)a10

1

(2) (a)23(b)110(c)527(d)12098(e) (3) 2a²b

(4) x=或 1 (5) x=3 (6) x=1 或 2 (7)

(8) (b)

(9) x=2 或2

[提示： 2 3 2 3=1，故令( 2 3)^x=A，則( 2 3)^x=]