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1 函數(functions)與
模型(models)
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1.5 指數函數
3 3 3 3
指數函數
f(x) = 2 x
是一種指數函數，其變數 x 的是在指數的位置。要避免與變數在底數的冪函數 g(x) = x
2
產生混淆。一般而言，對於 a > 0 ，我們都可以定義以 a 為底數的指數 函數 (exponential function) 如下
f(x) = a x
複習一下我們高中所認識的指數律，當 x 為正整數時，其值 恰好就是 n 次的 a 相乘：
4 4 4 4
指數函數
若 x = 0 ，則 a
0
= 1 。而當 x = –n 是負整數，則變成倒數更近一步，若 x = p/q 為有理數，其中 p, q 為整數， q > 0，
則有
那麼，當 x 是無理數時， a
x
的意義又是什麼呢？例如 5
, 是什麼數？5 5 5 5
指數函數
為了讓我們了解這個問題，我們考慮 y = 2
x
的函數圖形。藉由計算 x 為有理數時的值 2
x
（利用計算機或者十分逼近 法近似），可用點勾勒出大致圖形如下：當然，我們可繼續描繪更細的有理數 函數值，然而一方面我們可以觀察到 圖形上仍然存在著無理數所對映到的
「洞」。
這個圖形的走向看似我們可以將其填滿成一個實數上的遞增 函數。
圖一
y = 2x 其中 x 為有理點的圖形
6 6 6 6
指數函數
藉由觀察，我們理想中的指數函數是一個連續的遞增函數，
因此考慮下列三個值
由於 2 > 1 ，指數函數必定滿足
由於 1.7, 1.8 為有理數，因此我們可以利用開方得到 2
1.7
與 21.8
之值。7 7 7 7
指數函數
更近一步，我們可以得到一連串逼近 的有理數區間，近 而得到可以逼近 的一連串的數值區間。
8 8 8 8
指數函數
我們可以證明只有一個實數恰好位列在這兩組數列之中：
其大於
2
1.7
, 21.73
, 21.732
, 21.7320
, 21.73205
, … 同時小於2
1.8
, 21.74
, 21.733
, 21.7321
, 21.73206
, …於是我們定義 的函數值為，恰好夾在這兩串數列之間的 唯一的數。
另外我們透過計算有理數逼近的函數值，可以得到 的小 數前六位表示：
9 9 9 9
指數函數
同樣，對於任意的無理數 x ，我們可以利用同樣的步驟來定 義指數 a
x
(a > 0)。下圖二補上了前述圖一的「洞」，對於每個無理數，利用周 圍兩側的有理數逼近來夾出無理數的函數值，最後得到
f(x) = 2 x
, x
的函數圖形。圖二
y = 2x, x 為實數
圖一
y = 2x, x 為有理數
10 10 10 10
指數函數
下圖刻劃了以各種不同的 a 值為底數的的指數函數圖形。
圖三
11 11 11 11
指數函數
注意到，前面所有的圖形均通過同一個點 (0,1) ，由於我們 定義 a
0
= 1 for a 0 。若底數 a 越大，可以發現當 x > 0 更大時，函數 a
x
成長得 更快。另外，從圖三中我們可以分類得到三種指數函數 y = a
x
： 當底數 0 < a < 1 ， 指數函數隨著 x 增加而遞減；若 a = 1 ， a
x
=1 為常數函數；若 a > 1 ，其為遞增函數。
12 12 12 12
指數函數
三種指數函數的行為我們分別刻劃在下圖：
圖四
(b) y = 1x
(a) y = ax, 0 < a <1 (c) y = ax, a > 1
13 13 13 13
指數函數
另外從圖上我們可以觀察到，指數函數 y = a
x
的定義域為整 個實數 ，而值域則為正實數 (0, ).另外注意到，由於 (1/a)
x
= 1/ax
= a–x
，因此 y = (1/a)x
的圖 形恰好就是 y = ax
對 y 軸做反射後的圖形。14 14 14 14
指數函數
指數律是指數函數滿足的一個重要性質，過去我們已經知道 對於有理數指數，會滿足指數律。現在更進一步我們定義了 實數指數，可以發現實數指數也滿足指數律：
15 15 15 15
範例一
描出 y = 3 – 2
x
的圖形，並且決定其定義域與值域解:
首先我們經過反射 y = 2
x
的圖形得到 y = –2x
的圖形如下：圖五
(b) y = 2x (b) y = –2x
16 16 16 16
範例一 / 解
接著將 y = –2
x
上移三單位，便可以得到 y = –2x
+3 的圖形觀察得到，其定義域為 ，值域為 ( , 3) 。
Figure 5
(c) y = 3 – 2x
cont’d
17 17 17 17
指數函數的應用
18 18 18 18
指數函數的應用
指數函數常見於自然或者人類社會裡的數學模型之中。
我們這裡介紹從族群成長模型中衍生而來的指數函數。
假設現在有一細菌族群在均勻的營養介質中。假設我們在某 個區間上抽樣測量其族群總數，並測得其族群數量每小時數 目會倍增。
19 19 19 19
指數函數的應用
假設在 t 小時後的細菌族群數量為 p(t) ，原始數量 p(0) = 1000 單位，則我們有
p(1) = 2p(0) = 2
1000p(2) = 2p(1) = 2 2
1000p(3) = 2p(2) = 2 3
1000 看得出來族群數量的函數為p(t) = 2 t
1000 = (1000)2t
20 20 20 20
指數函數的應用
我們可以觀察到，族群數目的函數為指數函數 y = 2
t
的常數 倍，這個成長是非常快速的。在理想的條件下，如果生長環境不受限制、沒有疫病的發生，
則一個生物族群的生長率一般為指數成長。
21 21 21 21
指數函數的應用
那麼人口族群的數目呢？下表一列出了自二十世紀後，每十 年的世界人口普查數目。而右圖為此資料的點圖。
圖八
世界人口成長的點圖
22 22 22 22
指數函數的應用
我們從前面圖八的點圖可以看出，其圖形走勢的確像是指數 成長，我們套用最小平方法在指數函數上，得到一個近似的 模型：
P = (1436.53) •
(1.01395)t
其中 t = 0 時代表 1900 年。圖九為我們得到的近似模型與原 先點圖的比較。
Figure 9
Exponential model for population growth
23 23 23 23
指數函數的應用
從上圖，我們看得出來指數函數跟現實的資料還算穩合。
另外我們還可以觀察到，在 1930 年以後的一段時間，人口 數量的資料比預測模型的數值還低。這可能與這段時間人類 歷經了兩次世界大戰與大蕭條時代造成人口減少有關。
24 24 24 24
自然底數 e
25 25 25 25
自然底數 e
指數函數的可能的底數中，有一個數是因應微積分發展方便 的需求而產生的。選擇各種不同的底數，對函數圖形所影響 的主要就是經過 y 軸之後的成長率。
下圖十與十一，分別是 y = 2
x
與 y = 3x
以及他們各自經過 (0,1) 的切線。圖十一 圖十
26 26 26 26
自然底數 e
（在實際介紹切線以前，為了方便我們將切線想成經過圖形 的某一點恰好與圖形相擦而過只交於一點的直線。）
我們可以大概測量一下上述兩條在 (0,1) 切線的斜率：
y = 2 x
的斜率 m 0.7y = 3 x
的斜率 m
1.127 27 27 27
自然底數 e
於是我們開始考慮，如果想以某個指數函數作為指數成長的 基準，那到底以什麼為底數的指數函數，其經過 (0,1) 的切 線斜率恰好為 1 ？請見下圖十二：
Figure 12
自然指數函數 ex 經過 (0,1) 的切線斜率恰好為 1 。
28 28 28 28
自然底數 e
由於不同底數的指數函數其成長速率都是不同的，因此經過 (0,1) 的切線斜率為 1 的指數函數，恰好只有一種。
我們定義這個指數函數的底數為 e 。
（這個記號是由瑞士數學家 Euler 在 1727 年所挑選，原因 是 e 為指數的英文 exponential 的開頭。）
29 29 29 29
自然底數 e
由觀察，由於 y = 2
x
與 y = 3x
經過 (0,1) 的切線斜率分別為 0.7 與 1.1 左右，因此 y = ex
的圖形增長的程度會在兩者之 間，請見圖十三我們利用小數逼近大致上可以得到
e
2.71828另外我們稱 f(x) = e
x
為自然指數函數(natural exponential function) 。
Figure 13
30 30 30 30
範例四
描出 之圖形，並決定其定義域及值域。
解:
我們從經過 (0,1) 之切線斜率為 1 的圖形 y = e
x
出發，考慮 對 y 軸的反射得到 y = e–x
的圖形如下圖右。圖十五 (b) y = e–x
(a) y = ex
31 31 31 31
範例四 / 解
接著我們沿垂直方向壓縮兩倍可得到 的圖形如下 圖左。
最後往下平移一單位，得到最後的結果，其圖形如下圖右。
可以觀察到此函數定義域為 ，其值域為 (-1, ) 。
Figure 15
