彈性應變對自組式量子點光電特性之影響(1/3)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

彈性應變對自組式量子點光電特性之影響(1/3)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC92-2212-E-002-072-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日

執行單位： 國立臺灣大學應用力學研究所

計畫主持人： 郭茂坤

計畫參與人員： 游景翔 林資榕 廖柏亭

報告類型： 精簡報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 5 月 24 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

□ 成 果 報 告

■ 期中進度報告

彈性應變對自組式量子點光電特性之影響

計畫類別：■個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC92－2212－E－002－072

執行期間：92 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日

計畫主持人：郭茂坤 教授

共同主持人：

計畫參與人員：游景翔、林資榕、廖柏亭

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：■精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下之附件：

■ 已發表國際學術期刊及國內外學術會議（共計四篇）

1.

WSEAS Transactions on Electronics, 1(2), 284-289 (2004). （附件一）

2.

第二十屆中國機械工程學會全國學術研討會，E-541 (2003)。（附件二）

3.

第二十七屆全國力學會議，BS-2 (2003)，學生論文競賽第二名。（附件三）

4.

Quantum Dots 2004, Banff, Alberta, Canada, May 10-13, 2004.（附件四之二）

■ 出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

（附件四

之一、二

）

處理方式：得立即公開查詢

執行單位：國立台灣大學應用力學研究所

行政院國家科學委員會專題計畫期中報告

彈性應變對自組式量子點光電特性之影響

計畫編號：

NSC92－2212－E－002－072

執行期限：92 年 08 月 01 日至 95 年 7 月 31 日

主持人： 郭茂坤 教授 國立台灣大學應用力學研究所

一、中文摘要：

半導體元件的光電特性決定於元件

的能帶結構，而量子點中磊晶層之應變

將造成半導體導電帶特徵能量的改變，

進而影響電子躍遷難易度。本年度計畫

以有限元素法分析砷化銦/砷化鎵自組式

量 子 點 (InAs/GaAs self-assembled

quantum dot; InAs/GaAs SAQD)因其晶格

不匹配所引致的應變場，並進而探討應

變場對導電帶的特徵能量與電子機率密

度函數分佈之影響。本研究以線彈性力

學與熱應力理論，配合有限元素法套裝

軟體—FEMLAB，估算量子點內的應變

分 佈 ， 再 將 應 變 效 應 加 入 薛 丁 格 方 程

式，同樣以有限元素法予以分析。本年

度計畫考慮材料之異向性並與簡化為等

向性材料的結果比較，發現二種分析方

法之下，特徵能量與低特徵能量之簡併

狀態皆受到應變的影響而提升；同時發

現特徵能量與電子機率密度函數分佈，

異向與等向分析的差異性不大。因此，

對於砷化銦、砷化鎵而言，可以做等向

性的簡化，以利於模擬的進行。

關鍵詞：自組式量子點、應變場、有限

元素法、薛丁格方程式

Abstract

In this year’s project, the models based on

linear elasticity and thermal stress theory

are developed to evaluate the strain

distribution in the InAs/GaAs

self-assembled quantum dot. The lattice

mismatch in heterostructures induces the

strain field which caculated by finite

element package—FEMLAB. The

Schrödinger equation, including the

strain-induced potential is also solved by means of

the finite element method. The solutions

consist of the eigenenergy and the

probability density function of the

conduction band.

We treat the models by two different

approaches, anisotropic material analysis

and isotropic material simplification. Our

results show that the strain effects shift the

eigenenergy and the degeneracy of low

eigenenergy. When considering the

eigenenergy and the corresponding

probability density function, the differences

between two methods are small. Therefore,

it is suitable to treat InAs and GaAs as an

isotropic material.

Keywords ： Self-assembled quantum dot,

Strain field, Finite element method,

Schrödinger equation

二、研究目的：

光電與通訊元件的研發，使得半導

體相關產業快速蓬勃地發展，而元件結

構要求微小化的過程，也趨使半導體元

件進入了奈米尺寸的紀元，其中以半導

體奈米結構－量子點，最受青睞 [1]。量

子點是一種以厚度僅數奈米的幾種不同

材料所做成，而在三維均受侷限之微結

構。受到量子點內量子化能階的影響，

電子將被侷限於一個很小的尺度內，亦

即趨近於「點」的尺度內，因此量子點

可視為理想之零維度電子系統。同時，

由於此種三維均受侷限之微結構，所造

成的量子能階類似於原子能階現象，因

而量子點有時又稱為人造原子 [2-3]。

量子點元件的發光功率，與量子點

的密度有極大的關係；目前能較成功得

到高密度量子點的方法，係利用變形磊

晶技術（例如：SK 模式）以成長自組式

量子點。而自組式量子點內變形磊晶層

之應變，將直接影響半導體導能帶與價

電能帶的結構及分佈，進而影響量子點

內部的及其鄰近之電子的特性以及元件

的光電性質。應變場與量子點及母體材

料的晶格不匹配、材料的彈性性質、量

子點的形狀、以及量子點的位置等因素

有著密切的關係。

目前的模擬研究方面，對於評估量

子點與臨近母體間彈性應變的理論及方

法，仍眾說紛紜未有定論。常用的方法

有三種，分別為：(1)考慮內含物的解析

解 [4-6]、(2)有限元素法 [7-10]與(3)原子

模型法 [11-13]。其中，內含物解析解，

僅適用於簡單的量子點形狀(例如：球

體)；而有限元素法雖無法提供通解，卻

是有效率且適合各種量子點形狀的彈性

變形場計算方法；原子模型法雖有不用

建構在連體力學基礎上的優點，卻須有

精確的原子間位能，且因量子點系統所

需的原子數目甚多(約數萬個以上)，須

耗費大量的計算量。前二種方法是由巨

觀的連續體理論所發展；第三種方法則

是從微觀的原子理論出發。以工程效率

而言，有限元素法本身發展較為成熟且

計算方便。

本計畫以線彈性力學與熱應力理論

模擬異質材料晶格不匹配所引致應變現

象 為 理 論 基 礎 ； 接 著 利 用 Pikus-Bir

Hamiltonian [14-15]，並配合有限元素法

分析量子點的特徵能量與電子機率密度

函數，探討應變場對導電帶的特徵能量

與電子機率密度函數分佈之影響。

三、研究方法：

3.1 應變場分佈

半導體異質結構係由兩種以上的半導體

材料，互相砌合成長。異質結構的形成

可視為兩種單晶界面原子的結合，以本

報告為例，交界面兩邊分別為基板材料

GaAs 與 量 子 點 材 料 InAs 之 元 素 化 合

物，如圖 1 所示。兩者之晶格常數雖不

相同，但此兩種元素化合物皆由四面體

共價鍵所形成，因此能緊密砌合。也由

於 晶 格 常 數 的 差 異 ， 兩 材 料 緊 密 砌 合

時，交界面處會因晶格的不匹配而產生

應變，一般定義晶格不匹配常數為 [16]

0

,

s d d

a

a

a

ε

=

−

(1)

其中

a 、

_d

a 分別為量子點材料與基板材

_s

料的晶格常數。異質材料交界面處晶格

常數不同所引致的彈性變形，可視為交

界 面 處 存 在 「 起 始 應 變 」 ( 晶 格 不 匹

配)，而進一步引致彈性變形。本報告將

以假想的溫度改變配合「等效熱膨脹係

數」，而造成量子點與基板伸長率的不

相 等 ， 用 以 模 擬 晶 格 不 匹 配 之 起 始 應

變，進而以熱應力理論分析此起始應變

所引致之彈性應變。

在熱應力理論中，若量子點與基板

之等效熱膨脹係數分別為

α

_d

、

α

_s

，則當

溫度改變時，相對基板所產生的變形為

(

)

.

th d s

T

ε

=

α

−

α

∆

(2)

此差異，就如同交界面因晶格常數大小

不同所產生的起始應變。由於晶格不匹

配現象僅發生於交界面處，亦即 z 方向

無晶格不匹配現象，且為二維等向不匹

配，因此令其

x

方向以及 y 方向晶格不

匹配之等效熱膨脹應變為

11 22 0

β

=

β

= ，其餘

ε

β

_ij

=

0 .

(3)

因此在熱應力理論下，材料的組成律可寫

為

(

)

, , ,

1, 2, 3 .

ij

C

ijkl kl kl

i j k l

τ

=

ε

−

β

=

(4)

其中，

C

_ijkl

為四階彈性模數，而

β

_kl

為二

階晶格不匹配等效之熱膨脹應變，如式

(3)所定義。本計畫以有限元素法求解方

程式 (4)，估算出量子點內的應變分佈。

3.2 電子結構

電子在量子點晶體中必須滿足薛丁

格方程式(Schrödinger equation)：

(

) (

)

2 2 2 2 * 2 2 2 , , , , 2m x y z V x y z ψ x y z ⎡₋ ⎛ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ⎞₊ ⎤ ⎢ ⎜_{∂ ∂ ∂} ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ h

(

, ,

)

E

ψ

x y z

=

(5)

方程式(5)中之

_{h 為普蘭克常數除以}

2

π ，

*

m 為電子有效質量，

V x y z

(

, ,

)

為量子點

結構的位能函數， E 與

ψ

(

x y z

, ,

)

分別為

系統的特徵能量與其對應的電子機率密

度函數 (或稱波形函數)。

本計畫考慮量子點的位能

V r

( )

為

( )

band

( )

strain

( )

,

V

r

=

V

r

+

V

r

(6)

其中，

V

_band

( )

r

、

V

_strain

( )

r

分別為導電帶

的能帶差與應變引致的位能函數。而異

質結構 InAs/GaAs 的導電帶能帶差為

( )

0

InAs dot

.

0.84 eV

GaAs substrate

band

V

= ⎨

⎧

∈

∈

⎩

r

r

r

(7)

根 據 Pikus-Bir Hamiltonian [14-15]

理

論，應變引致的位能函數可表示為

(

)

strain c xx yy zz

,

V

=

a

ε

+

ε

+

ε

(8)

其 中 ，

a 為 變 形 位 能 (deformation

_c

potential) 。因此，將上節數值模擬所得

之應變場代入方程式(8)，並結合方程式

(6) 、 (7) 即可求得量子點結構的位能函

數。本計畫再利用有限元素法求解方程

式(5)，如此便可估算出應變效應對導電

帶特徵能量及電子機率密度函數分佈之

影響。

本計畫利用有限元素法套裝軟體—

FEMLAB 分析三五族材料 InAs/GaAs 自

組式量子點受晶格不匹配影響產生之應

變分佈，並將此應變場代入薛丁格方程

式，進而探討應變對量子點的特徵能量

與電子機率密度函數(

ψ

2

)之影響。

因為 InAs/GaAs 量子點屬於立方晶

格結構，故為異向性材料。因此，本報

告分為兩種情況來分析並比較結果，第

一種分析方法為異向性材料分析，其材

料選取方向與材料主軸重合，GaAs 與

InAs 的彈性模數如表 1 所示。第二種分

析方法簡化為等向性材料分析，InAs 量

子 點 之 楊 氏 模 數 及 卜 松 比 分 別 為 51.3

GPa 及 0.354，而基板 GaAs 的楊氏模數

及卜松比分別為 85.5 GPa 及 0.316。至於

邊界條件的給定，則是材料交界面位移

連 續 、 曳 引 力 平 衡 ， 基 材 底 部 表 面 固

定，其餘表面則為無曳引力狀態。

首先以線性彈性力學與熱應力理論

模擬異質材料晶格不匹配的現象，進而

求出量子點內的應變分佈，圖 2、3 分別

為，於

x

=

0

、

z

=

25nm

的

x

、 y 方向應

變

ε

_xx

、

ε

_yy

與 z 方向應變

ε

_zz

，其材料等

向性與異向性分析的比較圖。由圖中分

佈趨勢可看出兩種不同分析方法之下，

量子點中的應變差異頗大，例如

ε

_zz

的差

值可達 0.01。此外，應變的分佈於量子

點 和 基 板 的 交 界 處 有 極 明 顯 的 不 連 續

性，且基板中的應變逐漸趨近於零，此

現 象 謂 之 「 應 變 鬆 弛 (strain

relaxation)」。

表 2 為模擬所估算出之特徵能量，

其中顯示所有的特徵能量皆受到應變的

影響而向上提升，尤以第一特徵能量受

應變的影響最大，約提升了 0.15eV。因

此，可看出導電帶特徵能量確實在應變

效 應 作 用 後 會 有 偏 移 的 現 象 發 生 。 此

外，應變效應除了會提高特徵能量的大

小之外，亦會提升低特徵能量之簡併狀

態 (degeneracy) ， 如 未 受 應 變 效 應 影 響

時，第二、三特徵能量為簡併狀態；受

應 變 效 應 影 響 後 ， 簡 併 狀 態 提 升 至 第

四、五特徵能量。

圖 4 為第一特徵能量所對應之電子

機率密度函數分佈圖(於

x

=

0

之 y z

− 剖

面)，若未考慮應變效應的影響時，電子

機率密度函數呈球形分佈並集中於量子

點 內 ， 越 接 近 球 心 則 電 子 機 率 密 度 越

高，如圖 4 (a)所示。當考慮異向性材料

分析時，其電子機率密度的分佈與未考

慮應變效應的結果相仿，但其分佈之範

圍較大，如圖 4 (b)所示。另外，考慮等

向性材料分析時，可發現其電子機率密

度分佈的範圍更大，延伸至基板且不再

呈球型分佈，如圖 4 (c)所示。

第二特徵能量所對應之電子機率密

度函數分佈 (於

x

=

0

之 y z

− 剖面)則如

圖 5 所示，未考慮應變效應影響時，則

電 子 機 率 密 度 函 數 於 y 軸 呈 雙 侷 限 分

佈，並分別集中於量子點角落，越接近

角落處則電子機率密度越高，如圖 5 (a)

所示。當考慮異向性材料或等向性材料

分析時，其電子機率密度函數的分佈與

未考慮應變效應的結果差異甚大，電子

機率密度函數分佈的範圍擴大並侷限於

基板中，如圖 5 (b)、(c)所示。

由上述的分析可知，應變效應會提

升低特徵能量之簡併狀態，圖 6 (a)、(b)

分別為未受應變效應影響時，簡併狀態

(第二、三特徵能量)所對應之「等電子

機率密度函數面」，分別呈雙侷限於 y

軸(第二特徵能量)與

x

軸(第三特徵能

量)；圖 6 (c)、(d)則為利用異向性材料

分析時，其簡併狀態(第四、五特徵能量)

所對應之「等電子機率密度函數面」，

與未受應變效應影響之結果比較可知，

受應變影響之電子機率密度函數分佈範

圍會擴大，涵蓋量子點及基材的部分，

且 先 呈 雙 侷 限 於

x

軸 上 ( 第 四 特 徵 能

量 ) ， 而 後 侷 限 於 y 軸 上 ( 第 五 特 徵 能

量)，此種雙侷限順序恰與未受應變影響

之雙侷限現象順序相反；圖 6 (e)、(f)則

是利用等向性材料分析時，其簡併狀態

(第四、五特徵能量)所對應之「等電子

機率密度函數面」，其結果與利用異向

性材料分析之結果極為相似，同呈雙侷

限於

x

、 y 軸上，並分佈涵蓋量子點及

基材中。

五、結論：

本年度計畫發現 InAs/GaAs 自組式

量子點在應變效應作用下，對導電帶而

言，其特徵能量的大小皆受到應變的影

響 而 增 大 ， 尤 以 第 一 特 徵 能 量 增 加 最

多，約增加 0.15eV。同時，應變效應亦

會改變低特徵能量之簡併狀態，如將第

二、三特徵能量之簡併狀態，提升至第

四、五特徵能量之簡併狀態。當考慮異

向性材料及簡化為等向性材料模擬時，

所得之特徵能量，二者的誤差甚微，例

如 最 大 之 誤 差 於 第 一 特 徵 能 量 ， 約 為

2%，其餘特徵能量之誤差皆小於 0.8%；

同時若考慮電子機率密度函數的分佈，

於 InAs、GaAs 而言，可以做等向性的簡

化，以利於模擬的進行。

由 本 年 度 計 畫 的 數 值 分 析 結 果 得

知 ， 應 變 效 應 會 提 高 量 子 點 的 特 徵 能

量，亦即能隙擴大，此現象將可提升電

子的遷移率，進而提升發光效能。本計

畫擬於下年度探討 InAs/GaAs 自組式量

子點在應變效應對「導電帶與價電帶」

的特徵能量與電子機率密度函數分佈之

影響。同時將探討自組式量子點的詳細

製 程 ， 俾 修 正 本 年 度 的 分 析 模 式 ， 使

「分析模式」能更真實模擬「量子點製

程」。並將藉由數值模擬的特徵能量與

電子機率密度函數分佈等結果，進一步

地，估算 PL 光譜，以分析應變層對量子

點光電特性之影響。

六、文獻參考：

[1] D. Bimberg, M. Grundmann & N. N.

Ledentsov,

Quantum Dot

Heterostructures, John Wiley & Sons,

New York (1999).

[2] P. Harrison, Quantum Wells, Wires

and Dots: theoretical and

computational physics, John Wiley &

Sons, New York (2000).

[3] T. Chakraborty, Quantum Dots: a

survey of the properties of artificial

atoms, Elsevier, Amsterdam (1999).

[4] V. A. Shchukin, D. Bimberg, V. G.

Malyshkin & N. N. Ledentsov,

“Vertical correlations and anti-

correlations in multisheet arrays of two

dimensional islands,” Phys. Rev. B 57,

[5] D. Andreev, J. R. Downes, D. A. Faux

& E. P. O’Reilly, “Strain distributions

in quantum dots of arbitrary shape,” J.

Appl. Phys. 86, 297 (1999).

[6] G. S. Pearson & D. A. Faux,

“Analytical solutions for strain in

pyramidal quantum dots,” J. Appl.

Phys. 88, 730 (2000).

[7] T. Benabbas, Y. Androussi & A.

Lefebvre, “A finite-element study of

strain fields in vertically aligned InAs

islands in GaAs,” J. Appl. Phys. 86,

1945 (1999).

[8] G. Muralidharan, “Strains in InAs

quantum dots embedded in GaAs: A

finite element study,” Jpn. J. Appl.

Phys. 39, L658 (2000).

[9] H. T. Johnson, L. B. Freund, C. D.

Akyüz & A. Zaslavsky, “Finite

element analysis of strain effects on

electronic and transport properties in

quantum dots and wires,” J. Appl.

Phys. 84, 3714 (1998).

[10] L.B. Freund & H.T. Johnson, “The

influence of strain on confined

electronic states in semiconductor

quantum structures,” J. Mech. Phys.

Solids 38, 1045 (2001).

[11] M. Tadic, F. M. Peeters, K. L.

Janssens, M. Korkusinski & P.

Hawrylak, “Strain and band edges in

single and coupled cylindrical

InAs/GaAs and InP/InGaP

self-assembled quantum dots,” J. Appl.

Phys. 92, 5819 (2002).

[12] C. Pryor, J. Kim, L. W. Wang, A. J.

Williamson & A. Zunger,

“Comparison of two methods for

describing the strain profiles in

quantum dots,” J. Appl. Phys. 83, 2548

(1998).

[13] M. E. Bachlechner, A. Omeltchenko,

A. Nakano, R. K. Kalia, P. Vashishta,

I. Ebbsjö, A. Madhukar & P. Messina,

“Multimillion-atom molecular

dynamics simulation of atomic level

stresses in Si(111)/Si3N4(0001)

nanopixels,” Appl. Phys. Lett. 72,

1969 (1998).

[14] G. E. Pikus and G. L. Bir, “Effects of

deformation on the hole energy

spectrum of gernasium and silicon,”

Sov. Phys. Solid State 1, 1502-1517

(1960).

[15] G. E. Pikus and G. L. Bir, Symmetry

and Strain-Induced Effects in

Semiconductors, Wiley New York

(1974).

[16] L. B. Freund, “The mechanics of

electronic materials,” J. Mech. Phys.

Solids 37, 185 (2000).

[17] S. L. Chuang, Physics of

optoelectronic devices, John Wiley &

圖 1 (a)量子點元件結構 (L = 20nm)；(b)

金字塔量子點之細部結構 (W = 12nm、H

= 6nm)。

0 2 4 6 8 10 y -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 St ra in nm

圖 2

ε

_xx

分佈圖(x=0nm、z=25nm)，實線

為異向性分析，虛線為等向性分析。

0 2 4 6 8 10 y -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 St ra in nm

圖 3

ε

_zz

分佈圖(x=0nm、z=25nm)，實線

為異向性分析，虛線為等向性分析。

圖 4 第一特徵能量所對應之電子機率密

度 函 數 分 佈 ， 分 別 為 (a) 未 考 慮 應 變 效

應、(b)考慮應變及異向性材料分析、(c)

考慮應變及等向性材料分析。

圖 5 第二特徵能量所對應之電子機率密

度 函 數 分 佈 ， 分 別 為 (a) 未 考 慮 應 變 效

應、(b)考慮應變及異向性材料分析、(c)

考慮應變及等向性材料分析。

L L L L

GaAs

GaAs

InAs

InAs

W W H (b) (a)

x

y

z

xx

ε

yy

ε

InAs/GaAs 交界面 InAs/GaAs 交界面 (a) (b) (c) (a) (b) (c)

表 1 材料性質表[17]

材料

InAs GaAs

電子有效質量

* 0 m m

0.023 0.067

晶格常數 a(nm)

0.605 0.565

C

11

(GPa)

83.29

118.79

C

12

(GPa)

45.26

53.76

彈

性

模

數

C

44

(GPa) 39.6 59.4

變形位能 a

c

(eV) -5.08 -7.17

能帶隙 E

g

(eV)

0.354

1.424

表 2 特徵能量數值結果(單位：eV)

應變效應

特徵

能量

無應變

效應

等向性

分析

異向性

分析

1 0.301 0.458 0.449

2 0.463 0.471 0.471

3 0.463 0.487 0.483

4 0.469 0.506 0.505

5 0.476 0.506 0.505

6 0.508 0.514 0.513

7 0.513 0.514 0.513

8 0.513 0.516 0.514

9 0.520 0.535 0.533

10 0.520 0.535 0.533

(a) (b) (d) (e) (f) (c) x y z

圖 6 (a)、(b) 未受應變效應影響時，第二、三特徵能量所對應之「等電子機率密

度函數面」；(c)、(d) 異向性材料分析時，第四、五特徵能量所對應之「等

電子機率密度函數面」；(e)、(f) 等向性材料分析時，第四、五特徵能量所

對應之「等電子機率密度函數面」。

附註：本年度計畫之成果已發表於國際學術期刊及國內外學術會議（共計四篇）

:

1. T.R. Lin, B. T. Liao, and M.K. Kuo, “Strain effects on pyramidal InAs/GaAs quantum

dot,” WSEAS Transactions on Electronics, 1(2), pp.284-289 (2004).

2. 游景翔、林資榕、郭茂坤，“柱狀量子點應變效應之研究”，第二十屆中國機械工

程學會全國學術研討會，E-541 (2003)。

3. 廖柏亭、游景翔、郭茂坤，“金字塔型量子點應變效應之研究”，第二十七屆全國

力學會議學術研討會，榮獲學生論文競賽第二名 BS-2 (2003)。

4. M. K. Kuo, T. R. Lin and B. T. Liao, “Strain Effects on Optical Properties of Pyramidal

InAs/GaAs Quantum Dots,” Quantum Dots 2004, Banff, Alberta, Canada, May 10-13,

2004.

Strain effects on pyramidal InAs/GaAs quantum dot

TZY-RONG LIN, BO-TING LIAO, and MAO-KUEN KUO

Institute of Applied Mechanics

National Taiwan University

No. 1 Sec. 4 Roosevelt Road, Taipei, Taiwan 106

TAIWAN

[email protected]

Abstract: Strain distribution in a pyramidal InAs/GaAs quantum dot is investigated. The strain field induced by

mismatch of lattice constants in heterostructures is analyzed based on theories of linear elasticity and of thermal stress. The strain-induced potential is then incorporated in the steady state Schrödinger equation. Both the strain field and the solution of the steady state Schrödinger equation are found numerically with the aid of a finite element package – FEMLAB. Eigenenergy and the probability density function of conduction band of quantum dot are calculated. Results from two different models, namely anisotropic material model and isotropic material simplification, during the stage of strain analysis are also compared. Numerical results show eigenenergy and the degeneracy of low eigenenergy are affected by strains. On the other hand, the differences between anisotropic and isotropic materials are not large. Therefore, it is suitable to treat InAs/GaAs quantum dot as isotropic materials.

Key-Words: Quantum dot; Strain field; Finite element, Schrödinger equation

1 Introduction

Quantum dots (QDs), which have delta-functions distribution of density of states, discrete energy levels, and “atom-like” electronic states due to its three-dimensional quantum confinement, have recently attracted substantial attention [1-2]. The efficiency of QD is strong related to the density of dots in the quantum dot array. Self-assembled QDs (SAQDs) formed by strained epitaxy have shown promising result to have a large array of quantum dots. SAQD formation is commonly observed in large mismatch epitaxy of chemically similar materials. For example, the Stranski-Krastanow (SK) growth of InAs on GaAs first involves the growth of a ~1 to 2 monolayer thick of “wetting layer” followed by coherent island formation [1-3]. The SAQDs may be buried by a further growth of the same materials as the underlying substrate.

The strain fields inside and in the neighborhood of SAQDs strongly affect the electronic properties in vicinity of the dots, and hence the optical-electronic properties [4-5]. For the optical-electronic properties in III-V semiconductors, there are two predominated strain effects, namely changes of the conduction and valence band levels and changes of local electric fields due to piezoelectric effect. The conduction band is only affected by the hydrostatic strain, often referred to as the dilatation or trace of the strain tensor. The valence levels can change both with

hydrostatic and shear strain. In the general, for zinc blende structures, deviatoric strains give rise to piezoelectrically induced electric fields [6].

To understand the strain effects on electronic properties of QD, determination of the elastic strain field in the dots and surrounding matrix is necessary. There have been three different main methods: (i) theory of inclusions based on the analytical solution of elasticity [7-9], (ii) finite element methods (FEM) [10-13], and (iii) atomistic modeling [14-16]. The theory of inclusions provides integral expressions for elastic fields which can be integrated in closed form only for simplest inclusion shapes, e.g. cylindrical or spherical quantum dots. On the other hand, the interactions between the quantum dot and the surrounding material are not fully encountered. FEM is a very versatile and effective numerical method, which can easily accommodate various theories and model quantum dot to different levels. Atomistic models might be more reasonable, at least theoretically, to model system in nano-scale provided that accurate interatomic potentials are given. Moreover, it requires a large computing capacity to model quantum dots and the surrounding matrix.

In this article, models based on theories of linear elasticity and of thermal stress are developed to evaluate the strain distribution in the pyramidal InAs/GaAs SAQD. The mismatch of lattice constants in heterostructures induces the strain field which is then calculated with the aid of a finite element

附件一 ：WSEAS Transactions on Electronics, 1(2), 284-289 (2004).

package – FEMLAB. The Schrödinger equation, including the strain-induced potential, is then solved, again by FEMLAB. The solutions consist of eigenenergy and the probability density function of conduction band. Finally strain effects on electronic properties in pyramidal InAs/GaAs quantum dot are discussed. During the strain analysis, the materials of quantum dot are modeled by anisotropic as well as its isotropic simplification, respectively. Numerical results of two models are compared.

2 Continuum And Quantum Models

Consider a buried pyramid InAs/GaAs quantum dot structure as shown schematically in Fig. 1. The InAs island (quantum dot) is self-assembled under certain conditions during heteroepitaxy on GaAs substrates. The island is subsequently covered by additional substrate materials.

Fig.1. Schematics of (a) the buried InAs/GaAs quantum dot structure and (b) the island (InAs quantum dot).

In this article, the analysis of a quantum dot is divided into two parts. First, a linear elastic finite element calculation is performed to determine the strain field in the quantum dot structure. Second, a time-independent Schrödinger equation, with a strain-induced potential calculated using deformation potential theory, is solved numerically to obtain the spectrum of energies and probability density functions of available states.

2.1 Continuum model

Epitaxially grown semiconductor heterostructures, such as SAQDs, often consist of several materials with lattice parameters that are mismatched. The

mismatch of lattice parameters gives rise to strain field in a quantum dot structure, which will then affect the electric properties of the quantum dots. Lattice mismatch parameter is usually defined as [17]

0 , s d d a a a

ε

= − (1)

where a_s and a_d are the lattice parameter of the substrate and quantum dot materials, respectively. The lattice mismatch parameter is a system parameter of the quantum dot. In this article, the parameter

ε

₀ is simulated as an initial strain in the island/substrate interface. This initial strain will induce further strain in the system.

In order to analyze the effect caused by initial strain

ε

₀ in the island/substrate interface, theory of elasticity together with thermal stress theory [18] are utilized. The initial strain in the quantum dot is then treated as thermal strain under the thermal stress theory. Since mismatch lattice parameters is only along the island/substrate interface (i.e., 1-2 plane or x-y plane as depicted in Fig. 1), the thermal strains in the island/substrate interface are specified as

11 22 0 ; other ij 0.

β

=

β

=

ε

β

= (2)

By linear elasticity and thermal stress theory, the relationship between the stresses and the strains in a quantum dot structure is expressed as

(

)

, , , , 1, 2,3 ,

ij Cijkl kl kl i j k l

τ = ε −β = (3)

where

τ

_ij and

ε

_kl are the stress and strain tensors, respectively, C_ijkl is the elastic stiffness tensors, and

kl

β

is the thermal strain tensors.

The linear elasticity boundary value problem, arising from the mismatch in lattice parameters between the island and substrate materials, is solved using the finite element package – FEMLAB. We consider that all outer boundaries are traction free surfaces, and the substrate bottom is fixed. The displacement compatibility across the interface of island/substrate is satisfied automatically in the finite element formulation with displacement field as unknowns.

2.2 Quantum model

The strain components will induce an extra potential field which may affect the probability density functions and energies of the electrons in the quantum dot structure. Pikus-Bir Hamiltonian [4-5]

z x y 20 nm GaAs GaAs InAs 12 nm (b) (a) 20 nm 20 nm 20 nm InAs 6 nm

together with the computed strain field from above-mentioned continuum model are used to analyze strain-induced effects in quantum dots.

The behavior of individual electron in an undeformed crystal is governed by the steady state Schrödinger equation:

( )

( )

( )

2 0 0 , 2m V ψn Enψn ⎡ ⎤ + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ p r r r (4)

where p=− ∇i_h is the momentum operator, V r ₀

( )

the potential field, m the electron rest mass, ₀ h the Planck’s constant, and E and _n

ψ

_n

( )

r the nth

eigenenergy and the corresponding probability density function, respectively. The r and ∇ are the position vector and the Laplacian operator, respectively, in the undeformed crystal coordinate. Once there being strains, the steady state Schrödinger equation (4) is modified according to Pikus-Bir Hamiltonian [4] as

[

H0 +Hε

]

ψ

n⎣⎡

(

I + ε r

)

⎤ =⎦ En

ψ

n⎣⎡

(

I + ε r

)

⎦⎤, (5) where

( )

2 0 0 0 , 2 H V m = p + r (6) , 0 . p p V H m αβ α β ε αβ α β αβ _ε ε ε _→ ⎛ _∂ ⎞ ⎜ ⎟ = − + ⎜ ∂ ⎟ ⎝ ⎠

∑

0 (7)

Since the conduction band is only affected by the hydrostatic strain [6], the diagonal term of Eq. (7) leads to

[

H_ε

]

_nn= a_c

(

ε_xx +ε_yy +ε_zz

)

, (8) where a is deformation potential constant shown in _c

Table 1.

Equation (5) is then solvednumerically again by means of the finite element method in order to obtain eigenenergy and the probability density function of conduction band in a quantum dot structure. The boundary conditions on the quantum dot/substrate interface are

(

d

d

)

(

d

d

)

,

, ,

i i d s d

i

m

d s

i m

s

i

x y z

ψ

ψ

ψ

ψ

=

⎧⎪

⎨

₌

₌

⎪⎩

(9)

where subscripts d and s correspond to the quantum dot and substrate regions, respectively, index i corresponds to one of the three possible

coordinaes , ,x y z and electron effective mass is

taken along one of three coordinate axes. Table 1 Material property [6]

Material InAs GaAs

electron effective mass (m m ) * 0 0.023 0.067 lattice parameter a (nm) 0.605 0.565 Yang’s modulus (Gpa) 51.3 85.5 Poisson’s ratio 0.354 0.316 C11 8.329 11.879 C12 4.526 5.376 Cij C44 3.96 5.94 deformation potential ac (eV) -5.08 -7.17

energy gap Eg (eV) 0.354 1.424 Note: 1. Cij is elastic constants (Unit : 1010 N/m2).

3 Numerical Results

The materials are modeled by anisotropic and its isotropic simplification, respectively, during the strain analysis to investigate the strain field in the pyramidal InAs/GaAs quantum dot structure. The geometry and material properties of the quantum dot structure are shown in Fig. 1 and Table 1, respectively.

Figures 2–3 show the strain components along (x=0, z=25) nm. Fig. 2 are

ε

_xxand

ε

_yy, while

ε

_zz for Fig. 3. It is easily to see that these components have significant variation with position throughout the structure. Moreover, strains are more nonuniform at InAs/GaAs interface due to the pervasive effect of relaxation.

The eigenenergies of the quantum dot structure are shown in Table 2. The strain effects shift all energy states, as one would expect, especially the first energy state increased about 0.2 eV. Furthermore, degeneracy of energy states is also shifted by strain effect.

0 2 4 6 8 10 ( ) -0.04 -0.02 0 0.02 0.04

Fig. 2. Plot of Strain components

ε

xx and

ε

yy at

(x=0,z=25) nm; a solid line is for anisotropic analysis, a dashed line is for isotropic analysis.

0 2 4 6 8 10 ( ) -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005

Fig. 3. Plot of Strain

ε

_zz at (x=0,z=25) nm; a solid line is for anisotropic analysis, a dashed line is for isotropic analysis.

Probability density profiles, given by square of probability density functions, namely

ψ

₁2and

ψ

₂2, for the two lowest energy states in a quantum dot structure, are shown Fig. 4–5, respectively. Subfigure 4(a) is the result for an unstrained quantum dot structure. The states are almost entirely confined to the island region. Subfigures 4(b)–4(c) are results of the anisotropic analysis and the isotropic analysis, respectively, for a strained quantum dot structure.

The distribution of confined states is enlarged due to strain effect. In the subfigure 5(a), the states are confined to two regions in a unstrained island. In strained cases, subfigures 5(b)–5(c) show the results of isotropic analysis are similar to the results of anisotropic analysis

Three-dimensional view of the isosurface of the squared probability density functions in QD structure is shown in Fig. 6. Subfigures 6(a)-6(b) are the results for the 2nd energy state and 3rd energy state, respectively, without stain effect. The states are confined to two regions in y axis (for the 2nd energy state) and two regions in x axis (for the 3rd energy state), respectively. Subfigures 6(c)-6(d) are the results of the anisotropic analysis, for the 2th energy

Table 2 Numerical results for eigenenergy Strained Eigenenergy Unstrained Isotropic Anisotropic 1 0.429 0.649 0.677 2 0.7 0.849 0.858 3 0.7 0.849 0.858 4 0.865 0.879 0.877 5 0.865 0.885 0.883 6 0.885 0.915 0.916 7 0.891 0.924 0.923 8 0.924 0.924 0.923 9 0.924 0.930 0.929 10 0.928 0.930 0.929 Unit : eV

Fig. 4. Probability density fields for the 1st energy state, by (a) unstrained analysis; (b) anisotropic analysis for strained QD; (c) isotropic analysis for strained QD. The cross section is the y− plane z

through the dot center.

InAs/GaAs interface yy

ε

xx

ε

InAs/GaAs interface (a) (b) (c)

Fig. 5. Probability density fields for the 2nd energy state, by (a) unstrained analysis; (b) anisotropic analysis for strained QD; (c) isotropic analysis for strained QD. The cross section is the y− plane z

through the dot center.

state and 3th energy state, respectively. Due to strain effect, the distribution of confined states is enlarged to the island region and substrate region. Further, the states are confined to two regions in xaxis (for the 2th energy state) and two regions iny axis (for the 3th

energy state), respectively. Subfigures 6(e)-6(f) are the results of the isotropic analysis, for the 2th energy state and 3th energy state, respectively. However, the results of isotropic analysis are similar to the results of anisotropic analysis.

Fig. 6. The isosurface of the squared probability density functions in QD structure, (a) for the 2nd eigenenergy state without strain; (b) for the 3rd eigenenergy state without strain; (c) for the 2th eigenenergy state by anisotropic analysis with strain; (d) for the 3th eigenenergy state by anisotropic analysis with strain; (e) for the 2theigenenergy state by isotropic analysis with strain; (f) for the 3th eigenenergy state by isotropic analysis with strain.

(a) (b) (c) (a) (b) (c) (d) (e) (f) x y z

4 Conclusion

In this article, we have analyzed both the continuum mechanics and conduction band quantum mechanics of a strained pyramidal InAs/GaAs quantum dot, using the finite element package – FEMLAB. The strain fields in and around quantum dot induced by the lattice mismatch of the quantum dot structure have been calculated. Moreover, the steady state Schrödinger equation has been analyzed, and the eigenenergy and the probability density function of conduction band in a quantum dot structure have been found.

Numerical results have shown that strain effects will shift the eigenenergy and the degeneracy of low eigenenergy. The first eigenenerergy increased about 0.2 eV. Moreover, during the strain analysis, the quantum materials have been modeled by both anisotropic and its isotropic simplification, respectively. According to the numerical results of eigenenergy and the corresponding probability density function, the differences between two material models are small. Therefore, it is suitable to simplify InAs and GaAs as equivalent isotropic materials

Acknowledgment:

This work is carried out in the course of research sponsored by the National Science Council of Taiwan under Grant NSC92-2212-E-002-072.

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[18] J. Aboudi, Mechanics of Composite Materials,

第二十屆機械工程研討會論文集 中華民國九十二年十二月五日~六日 臺灣‧台北 國立台灣大學 1

柱狀量子點應變效應之研究

游景翔 林資榕 郭茂坤

國立臺灣大學 應用力學研究所

摘要

由於半導體元件的電子特性決定於元件

的能帶結構，而量子點中磊晶層之應變將造

成半導體導電帶特徵能量的改變，進而影響

電子躍遷難易度。本文以有限元素法分析砷

化銦/砷化鎵(InAs/GaAs)柱狀量子點中，因晶

格不匹配所引致的應變場，以及其對導電帶

的特徵能量與電子機率密度函數分佈之影

響。本研究以線彈性力學理論，配合有限元

素法套裝軟體 FEMLAB，估算量子點內的應

變分佈，再將應變效應加入薛丁格方程式，

同樣以有限元素法予以分析。

文中考慮材料之異向性並與簡化為等

向性材料的結果比較，發現兩者在應變上的

差異可達百分之十五；而特徵能量分佈上的

差異更可高達百分之五十，因此材料之異向

性實不容忽略。模擬結果同時顯示，柱狀量

子點在第一及第二特徵能量時，其機率密度

函數有明顯的環狀對稱現象，而於第七特徵

能量以後，其環狀對稱性降低。

關鍵詞：量子點、應變場、有限元素法、薛

丁格方程式

一、

前言

於 1960 年代 Pikus 和 Bir 便開始探討半

導體結構受應變影響時，所造成之能帶結構

的改變，而發展出半導體能帶結構受應變的

理論[1-2]。這些應變效應包含因應變影響所

產生能隙及有效質量變化，以及因對稱性的

降低而造成價電帶分離，使得導電帶與價電

帶產生改變等，更進而使其能帶因應變產生

變化[2]。

為了增強半導體雷射的表現，往往於材

料成長時，加入對基板而言為晶格不匹配的

材料予以改變能帶結構。不超過臨界厚度之

成長材料，會形成一種共平面的橫向應變，

並且改變能帶的結構。而其總應變可分為軸

向應變與非軸向應變部分，也因此發展出軸

向應變與非軸向應變對能帶結構改變之相關

研究[3]。本文將採用 Pikus-Bir Hamiltonian

的方法以分析量子點內之應變對能帶的影

響。

量子點結構應變的估算分析，最常見的

方法有三種，分別為：(1)考慮內含物的解析

解(如：Eshelby 法)[4-6]、(2)有限元素法[7-10]

與(3)原子模型法[11-13]。其中，內含物解析

解，僅適用於簡單的量子點形狀(例如：球

體)；而有限元素法雖無法提供通解，卻是有

附件二 ：第二十屆中國機械工程學會全國學術研討會，E-541 (2003)。

第二十屆機械工程研討會論文集 中華民國九十二年十二月五日~六日 臺灣‧台北 國立台灣大學

效率且適合各種量子點形狀的彈性變形場計

算方法；原子模型法雖有不用建構在連體力

學基礎上的優點，卻須有精確的原子間位能

(interatomic potentials)，且因量子點系統所需

的原子數目甚多(約數萬個以上)，須耗費大量

的計算量。前二種方法是由巨觀的連續體理

論所發展；第三種方法則是從微觀的原子理

論出發。以工程效率而言，有限元素法本身

發展較為成熟且計算方便，唯須加強的是在

介觀尺度下之模擬修正。

本文首先介紹以熱應力理論模擬異質材

料晶格不匹配所引致應變現象的理論基礎；

接著利用 Pikus-Bir Hamiltonian，並配合有限

元素法分析量子點的特徵能量與電子機率密

度函數。

二、理論模型

2.1 熱應力理論模擬異質材料晶格不匹配

半導體異質結構係由兩種以上的半導體

材料，互相砌合成長。異質結構的形成可視

為兩種單晶界面原子的結合，以本文為例，

交界面兩邊分別為基板材料 GaAs 與量子點

材料 InAs 之元素化合物，如圖 1 所示。兩者

之晶格常數(lattice constant)雖不相同，但此兩

種元素化合物皆由四面體共價鍵所形成，因

此能緊密砌合。也由於晶格常數的差異，兩

材料緊密砌合時，交界面處會因晶格的不匹

配而產生應變，一般定義晶格不匹配常數為

[14]

0 s d d

a

a

a

ε

=

−

(1)

其中

a 、

_d

a 分別為量子點材料與基板材料的

_s

晶格常數。

異質材料交界面處晶格常數不同所引致

的彈性變形，可視為交界面處存在「起始應

變」(晶格不匹配)，而進一步引致彈性變形。

本文將以假想的「溫度」改變配合「等效熱

膨脹係數」

，而將造成量子點與基板伸長率的

不相等，用以模擬晶格不匹配之起始應變，

進而以熱應力理論分析此起始應變所引致之

彈性應變。

在熱應力理論中，若量子點與基板之等

效熱膨脹係數分別為

α_d

、

α

_s

，則當溫度改變

時，相對基板所產生的變形為

(

)

th d s

T

ε

=

α

−

α

∆

(2)

此差異，就如同交界面因晶格常數大小不同

所產生的起始應變

ε

₀

。由於晶格不匹配現象

僅發生於交界面處，亦即 z 方向無晶格不匹配

現象，且為二維等向不匹配，因此令其

x

方

向以及 y 方向晶格不匹配之等效熱膨脹應變

為

11 22 0 ij

0

β

=

β

=

ε

，其餘

β

=

(3)

因此在熱應力理論下，材料的組成律可寫為

(

)

, , ,

1, 2, 3

ij

C

ijkl kl kl

i j k l

τ

=

ε

−

β

=

(4)

其中，

C

_ijkl

為四階彈性模數，而

β

_kl

為二階晶

格不匹配等效之熱膨脹應變如式(3)所定義。

2.2 Pikus-Bir Hamiltonian

電子波函數

ψ

_n

( )

r

須滿足薛丁格方程式

(Schrödinger equation)[15]

( )

( )

( ) ( )

2 2 0

2

m

V

ψ

n

E

n

ψ

n

⎡

⎤

−

∇ +

=

⎢

⎥

⎣

r

⎦

r

k

r

=

(5)

其中，

= 為普朗克常數

h

除以

2

π ，

V r

( )

為位

第二十屆機械工程研討會論文集 中華民國九十二年十二月五日~六日 臺灣‧台北 國立台灣大學 3

能函數，

r 為晶格中的位置向量，

m 為電子

₀

的靜止質量，

ψ

_n

( )

r 為特徵能量

E 所對應之

_n

電子波函數，

n

則代表第

n

個能帶。處於週期

性晶格的電子，其位能函數必含有週期性，

亦即

(

)

( )

V

r R

+

=

V

r

(6)

其中，

R

=

n

₁

a

₁

+

n

₂

a

₂

+

n

₃

a ，

₃

a a a 為晶格

₁

,

₂

,

₃

向量，

n n n

₁

,

₂

,

₃

∈ 。

N

當晶體受到應變或應力影響時，則薛丁

格方程式必須加以修正，將式(5)中之位置向

量

r 以變形後之位置向量 ′

r 取代為

2 0

( ')

( ')

( ')

2

m

V

ψ

n

E

n

ψ

n

⎡

′

⎤

+

=

⎢

⎥

⎣

⎦

p

r

r

r

(7)

其中，

( )

2 2 2

'

= −

∇

′

p

=

(8)

( )

2

′

∇ 表示在變形座標的 Laplace 運算子。

G. E. Pikus 和 G. L. Bir 於 1960 年代發展

出分析半導體能帶結構受應變的理論，此即

為著名的「Pikus-Bir Hamiltonian」

。該理論在

晶體受到均勻變形(uniform deformation)的假

設 下 ， 若 晶 體 均 勻 變 形 前 後 的 位 置 向 量





x

y

z

=

+

+

r

x

y

z

與

r

'

=

x

'

x



+

y

'

y



+

z

'

z

，在忽

略剛體平移與旋轉效應下，兩者的轉換關係

為

'

'

'

xx xy xz yx yy yz zx zy zz

x

x

x

y

z

y

y

x

y

z

z

z

x

y

z

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

= +

+

+

= +

+

+

= +

+

+

(9)

式(9)可寫為

r'=r+εr= I+ε r

( )

(10)

其中，

xx xy xz yx yy yz zx zy zz

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

ε=

(11)

方程式(10)在忽略高次項影響，可求得變

形前位置向量

r 以變形後位置向量 '

r 表示之

關係式

r= I+ε r'

( )

-1



( )

I-ε r'

(12)

因為，

3 3 ' 1

'

1 j ij j j i j i i j

r

r

=

r

r

r

=

ε

r

∂

∂

₌

∂

₌

∂

₋

∂

∂

∑

∂ ∂

∂

∑

∂

(13)

因此，式(7)中之動量運算子 '

p 可改寫為

'

=

(

−

)

p

p I ε

(14)

2 2 ,

2

_{i ij j} i j

p

ε

p

′ =

−

∑

p

p

(15)

週期位能函數能表示為

0 ,

( ')

(

)

( )

ij i i ij j i ij j i j ij

V

V r

V r

r

V r

ε

ε

ε

ε

_→

∂

=

+

=

+

∂

∑

∑

0

(16)

因此，式(7)可改寫成

[

H

0

+

H

ε

]

ψ

n

⎡

⎣

(

I + ε r

)

⎤

⎦

=

E

n

ψ

n

⎡

⎣

(

I + ε r (17)

)

⎤

⎦

其中

2 0 0 0

( )

2

H

V

m

=

p

+

r

(18)

, , 0

ˆ

p p

V

H

D

m

αβ α β ε αβ αβ αβ α β α β _{αβ ε}

ε

ε

ε

_→

⎛

_∂

⎞

⎜

⎟

=

=

−

+

⎜

∂

⎟

⎝

⎠

∑

∑

0

根據文獻上的探討[3]，發現非軸向應變

對導電帶的影響並不大，因此式(17)中的

H_ε

可寫為

第二十屆機械工程研討會論文集 中華民國九十二年十二月五日~六日 臺灣‧台北 國立台灣大學

( )

H

ε nn

=

a

c

(

ε

xx

+

ε

yy

+

ε

zz

)

(19)

其中

a_c

為變形位能(deformation potential)，描

述軸向應變對導電帶之影響，GaAs 與 InAs

的變形位能如表 1 所列。因此，將數值模擬

所得之應變場代入式(19)，再利用有限元素法

求解式(17)，如此便可估算出應變效應對導電

帶特徵能量及電子機率密度函數分佈之影

響。

三、數值算例

本文利用有限元素法之套裝軟體

FEM-LAB 分析三五族 InAs/GaAs 柱狀量子點，因

晶格不匹配所引致的應變場，以及對導電帶

的特徵能量與電子機率密度函數分佈之影

響。

因 InAs/GaAs 柱狀量子點為立方晶格結

構，屬於異向性材料。因此，本文分為兩種

情況來分析並比較結果，第一種分析方法為

材料之異向性分析，其材料選取方向與材料

主軸重合，GaAs 與 InAs 的彈性模數如表 1

所示。

第二種分析方法為材料之等向性分析，量子

點材料 InAs 之楊氏模數及卜松比分別為 51.3

GPa 及 0.354，而基板材料 GaAs 的楊氏模數

及卜松比分別為 85.5 GPa 及 0.316。

圖 2、3 分別為量子點於 z =5nm 處的軸

向應變

ε

_rr

與 z 方向應變

ε

_zz

，其材料等向性與

異向性分析的比較圖。由圖中分佈趨勢可看

出兩種不同分析方法之下，應變差異頗大。

ε

_zz

於中心處差值可達 0.14，而

ε

_rr

則有 0.09 的差

值。因此，本文將探討在材料等向性與異向

性分析下，其特徵能量的差異性。

量子點應變層在受壓應變作用下，平衡

狀態之帶溝(band gap)會縮小，其導電帶能量

為[18]

( )

0

(

)

dot

dot

c xx yy zz c c

a

E

E

ε

+

ε

+

ε

∈

⎧⎪

= ⎨

_∆

_∉

⎪⎩

r

r

r

(20)

表 2 為材料等向性與異向性模擬所估算之

特徵能量，其中誤差量最大在第一特徵能量

達百分之五十，其餘皆在百分之二十以下。

因此，於低特徵能量狀況時，其材料異向性

應予考慮，因其造成之偏移量不容忽略。另

外，從量子點特徵能量受應變效應後之差異

性，可看出導電帶特徵能量確實在應變效應

作用後會有偏移的現象發生，然其簡併狀態

並不因其受應變效應而有改變。

圖 4 為第一特徵能量所對應之電子機率

密度函數分佈圖，其中實線為未考慮應變效

應之機率密度函數，虛線與點線分別為考慮

應變效應的材料等向性與異向性分析結果。

我們可發現第一特徵能量於量子侷限處機率

密度函數明顯變大，而其他區域，機率密度

函數趨近於零。

圖 5 ~ 圖 6 分別為材料異向性之第一、

七特徵能量所對應的電子機率密度函數剖面

圖。圖 5 可發現機率密度函數分佈具有高度

環狀對稱性，圖 6 中的環狀對稱消失，成為

剖面處雙侷限的效應。

四、結論

InAs/GaAs 柱狀量子點在應變效應作用

下，對導電帶而言，其簡併度並未隨之改變。

電子機率密度函數於量子侷限處，其第一及

第二特徵能量所對應之電子機率密度函數值

較高且成環狀對稱，而其他區域，電子機率

第二十屆機械工程研討會論文集 中華民國九十二年十二月五日~六日 臺灣‧台北 國立台灣大學 5

密度函數趨近於零。第七特徵能量所對應的

機率密度函數環狀對稱性質便消失，成為雙

侷限的現象。

InAs/GaAs 柱狀量子點為異向性立方晶

格結構，在材料之異向性與簡化為等向性分

析，兩者在應變上的差異可達百分之十五；

而其第一及第二特徵能量，所對應之電子機

率密度函數，相差在百分之五以內。但是在

第五特徵能量以後，其機率密度函數相差達

百分之五十，因此材料之異向性實不容忽

略。本文認為等向性簡化分析對於導電帶之

低能階狀態的電子機率密度函數影響不大；

但在高能階狀態，機率密度函數便會有明顯

的差異出現。

五、誌謝

本研究承蒙行政院國家科學委員會專題

研究計畫 NSC92-2212-E-002-072 之支持，得

以順利完成，謹誌謝忱。

六、參考文獻

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[15] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics,

Addison Wesley (1994).

七、圖表彙整

圖 1 量子點元件結構

( 算 例 一 ： L=20nm, R=5nm,d

B

=9nm,

d

R

=2nm, d

L

=4nm；

算 例 二 ： L=20nm, R=5nm,d

B

=9nm,

d

R

=2nm, d

L

=2nm )

0 1 2 3 4 5 r -0.2 -0.16 -0.12 -0.08 -0.04 0 εrr nm

圖 2

ε

_rr

分佈圖( z=5nm 處)，其中實線為

材料之等向性分析，虛線為材料之異向性

分析。

0 1 2 3 4 5 r 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 εzz nm

圖 3

ε

_zz

分佈圖( z=5nm 處)，其中實線為

材料之等向性分析，虛線為材料之異向性

分析。

GaAs GaAs GaAs

InAs InAs

dB

dL dR

R L