在簡單應力狀態下探討具有空間變異性土壤的整體彈性模數

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國立臺灣大學工學院土木工程學系碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis

在簡單應力狀態下探討具有空間變異性土壤的整體彈性模數

Equivalent elastic moduli for a spatially variable soil mass subjected to a simple stress state

童瑄文 Xuan-Wen Tong

指導教授：卿建業博士 Advisor: Ching, Jian-Ye, Ph.D.

中華民國 104 年 7 月

July, 2015

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I

致謝

非常感謝老師兩年的教導與包容，也感謝學長姐的教導與幫助，也謝謝同學與學弟妹的幫忙，最後感謝家人在我就學期間的陪伴與支持。

(4)

II

中文摘要

本論文屬於空間變異性系列之研究，主要探討具有空間變異性土壤的彈性模數行為，研究方法為：先利用有限元素法計算具有空間變異性土壤之整體彈性模數，後與離散化後隨機場的數學平均相互比較，結果發現當隨機場為等向性(即水平方向之關聯性長度δx=垂直方向之關聯性長度 δz)時，水平方向之楊氏模數(Ex)

與離散化後之隨機場的幾何平均較為接近，垂直方向之楊氏模數(Ez)與剪力模數

(G)與幾何平均較為接近，而當隨機場為異向性時，即水平方向無限大，如同層狀

土壤，發現 Ex與算數平均較為接近，Ez、G 與倒數平均較為接近。

而為驗證上述結果，建立與工地現場相似之基礎模型，即在隨機場化的土壤上方中間放置硬板後，施加均佈應力，等土壤沉陷後輸出各點位移，轉換為反映到基礎的楊氏模數，類似地盤反應系數的概念，並將楊氏模數與不同範圍的隨機場比較，結果發現在等向性隨機場下，只要選取的隨機場範圍適當，似乎幾何平均或倒數平均表現都不錯，而範圍大多為以基礎起算，五倍寬、五倍深的隨機場；

異向性隨機場，因為水平方向關聯性長度很大，所以不用考慮比較之寬度變化，

範圍大多也為五倍深度最為適當，且皆倒數平均表現比較佳。

關鍵字：隨機場、關聯性長度、空間變異性、有限元素分析、彈性模數

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III

Abstract

This paper belongs to the study of spatial variability, focuses on the behavior of the elastic modulus. Method of analysis is, firsts, use of finite element method calculation the overall elastic modulus of the spatial variability of soil, and after calculation average mathematics of discrete random field.Then compared with each other. The results showed that under the condition of spatial variability is isotropic (horizontal scale of fluctuation δx = vertical scale of fluctuation δz), the effective elastic modulus (Ex, Ez ,G ) is closer to the geometric average over the square domain, and when the random field is anisotropic (horizontal scale of fluctuation δx=∞), like layered soil, found that Ex is close to arithmetic average, Ez, G are close to harmonic average.

And in order to verify the above results, building of a model similar to the construction site, which soil is random field, then placed a hard plate in the middle of top of the soil, and applying uniform stress. When the soil subsidence, output displacement of each point, and then converted to reflect the basis of Young's modulus, which is similar to the concept of site response factor. Then compare the Young's modulus and different ranges of random field. It was found in the random field is isotropic, simply select the correct range, it seems that the geometric mean or harmonic mean performance are good, And mostly in the range of basic starting point, five times the width extending sideways, extending deep down five times. In the random field is anisotropic, because horizontal scale of fluctuation is large, so do not consider the comparison of the width change, mostly for five times the depth range of the most correct and all harmonic mean relatively good performance.

Keywords: random field; scale of fluctuation; spatial variability; finite element analysis;

elastic modulus

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IV

符號表

t：時間 k：距離

w：土壤性質函數

wΔz：土壤性質在Δz 平均後之函數 µ：期望值

µg：剪力模數之期望值 µnor：常態分佈之期望值 µlog：lognormal 分佈之期望值 σ：標準偏差

σnor：常態分佈之標準偏差

V：變異系數(標準偏差 σ/期望值 μ，又稱 cov) Vlog：lognormal 分佈之變異系數

ρ：自關聯性函數 δ：關聯性長度 γ：共變異數

γk：k 距離兩點之共變異數 Γ：變異系數折減因子 erf：error function

δx：水平方向的關聯性長度 δz：垂直方向的關聯性長度

Lx：隨機場模型的水平方向寬度

Lz：隨機場模型的垂直方向深度

E：楊氏模數

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V

Ex：x 方向之楊氏模數 Ez：z 方向之楊氏模數 G：剪力模數

ν：波松比 σ：應力

σx：x 方向之應力 σz：z 方向之應力 τxz：xz 方向之剪應力 ε：應變

εx：x 方向之應變 εz：z 方向之應變 εxz：xz 方向之應變 u：x 方向之位移方程式 v：z 方向之位移方程式

Ea：隨機場算數平均後楊氏模數

Eg：隨機場幾何平均後楊氏模數

Eh：隨機場倒數平均後楊氏模數

δuni：均質隨機場之中央硬板之中間位移

δRandom：隨機場中央硬板之中間位移

B：基礎寬度

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VI

圖目錄

圖 2. 1 土壤的空間變異性 (Vanmarcke,1977)... 3

圖 2. 2 土壤的空間變異性 (Phoon,1995) ... 4

圖 2. 3 上圖為穩態資料;下圖為非穩態資料 ... 5

圖 2. 4 自關聯性函數 ... 6

圖 2. 5 不同關聯性函數比較 ... 8

圖 2. 6 平均效應示意圖 ... 9

圖 2. 7 等向性隨機場(δx =δz=1、2、5、10、100) ... 15

圖 2. 8 異向性隨機場(δx =∞，δz=1、2、5、10、100) ... 15

圖 2. 9 基礎模型 Fenton and Griffiths (2002) ... 17

圖 3. 1 研究流程圖 ... 19

圖 3. 2 模型基本設定 ... 23

圖 3. 3 左邊為等向隨機場(δx=δz=1)，右邊為異向性隨機場(δx=∞，δz=1) ... 24

圖 3. 4 分別施加之應力圖: (a) x = 1; (b) z = 1; (c) xz = 1. ... 24

圖 3. 5 無限硬束制板介面條件 ... 25

圖 3. 6 有無束制板之比較(施加 z 方向應力且同一隨機場) ... 25

圖 3. 7 微小應變示意圖 ... 26

圖 3. 8 c11、c22、c33 之比較 ... 28

圖 3. 9 c21、c12之比較 ... 28

圖 3. 10 c13、c23、c31、c32與 c11、c22、c33之比較 ... 29

圖 3. 11 基礎模型 ... 31

圖 3. 12 如何計算基礎底下之楊氏模數 ... 32

(11)

IX

圖 3. 13 3 單位基礎寬與其比較之隨機場範圍示意圖 ... 33

圖 4. 1 QQ plot 說明例子 ... 36

圖 4. 2 單隨機場-等向性整體彈性模數與數學平均之比較( /L = 0.2， V=0.5 ) ... 39

圖 4. 3 單隨機場-等向性整體彈性模數與數學平均之 QQ Plot ( /L = 0.2，V=0.5 ) ... 40

圖 4. 4 Ex/μ 之期望值與幾何平均理論值比較 ... 45

圖 4. 5 Ex/μ 之變異系數與幾何平均理論值比較 ... 45

圖 4. 6 Ez/μ 之期望值與幾何平均理論值比較 ... 46

圖 4. 7 Ez/μ 之變異系數與幾何平均理論值比較 ... 46

圖 4. 8 G/μ 之期望值與幾何平均理論值比較 ... 47

圖 4. 9 G/μ 之期望值與幾何平均理論值比較 ... 47

圖 4. 10 單隨機場-異向性整體彈性模數與數學平均之比較 ( /L = 0.2， V=0.5 ) ... 49

圖 4. 11 單隨機場-異向性整體彈性模數與數學平均之 QQ Plot ( /L = 0.2，V=0.5 ) ... 50

圖 4. 12 Ex/μ 之期望值與算數平均理論值比較 ... 54

圖 4. 13 Ex/μ 之變異系數與算數平均理論值比較 ... 54

圖 4. 14 Ez/μ 之期望值 ... 55

圖 4. 15 Ez/μ 之變異系數 ... 55

圖 4. 16 μ/Ez之期望值與倒數平均理論值比較 ... 56

圖 4. 17 μ/Ez之變異系數與倒數平均理論值比較 ... 56

圖 4. 18 G/μ 之期望值 ... 57

圖 4. 19 G/μ 之變異系數 ... 57

圖 4. 20 μ/G 之期望值與倒數平均理論值比較 ... 58

(12)

X

圖 4. 21 μ/G 之變異系數與倒數平均理論值比較 ... 58

圖 4. 22 彈簧示意圖 ... 59

圖 4. 23 異向性隨機場受 Z 方向應力時，類似彈簧串聯示意圖 ... 59

圖 4. 24 異向性隨機場受 X 方向應力時，類似彈簧串聯示意圖 ... 60

圖 4. 25 等向性隨機場類似彈簧串聯加並聯示意圖 ... 60

圖 4. 26 單隨機場-δx=50 δz=2 整體彈性模數與數學平均之比較 (V= 0.1 ) ... 62

圖 4. 27 單隨機場-δx=50 δz=2 整體彈性模數與數學平均之比較 (V= 0.5 ) ... 63

圖 4. 28 單隨機場-δx=50 δz=2 整體彈性模數與數學平均之比較 (V= 1 ) ... 64

圖 4. 29 單隨機場-δx=50 δz=2 整體彈性模數與數學平均之 QQ Plot (V= 0.1 ) ... 65

圖 4. 30 單隨機場-δx=50 δz=2 整體彈性模數與數學平均之 QQ Plot (V= 0.5 ) ... 66

圖 4. 31 單隨機場-δx=50 δz=2 整體彈性模數與數學平均之 QQ Plot (V= 1 ) ... 67

圖 4. 32 Ex/μ 之期望值與幾何平均、算數平均理論值比較 ... 68

圖 4. 33 Ex/μ 之變異系數與幾何平均、算數平均理論值比較 ... 68

圖 4. 34 Ez/μ 之期望值與幾何平均理論值比較 ... 69

圖 4. 35 Ez/μ 之變異系數與幾何平均理論值比較 ... 69

圖 4. 36 μ/Ez之期望值與倒數平均理論值比較 ... 70

圖 4. 37 μ/Ez之變異系數與倒數平均理論值比較 ... 70

圖 4. 38 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均比較 ( 1B， = 2，V=0.5 ) ... 72 圖 4. 39 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均比較

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XI

( 2B， = 2，V=0.5 ) ... 73 圖 4. 40 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均比較

( 5B， = 2，V=0.5 ) ... 74 圖 4. 41 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均比較

( 10B， = 2，V=0.5 ) ... 75 圖 4. 42 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 QQ

Plot( 1B， = 2，V=0.5 ) ... 76 圖 4. 43 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 QQ

Plot( 10B， = 2，V=0.5 ) ... 79 圖 4. 46 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均比較

(  = 2，V=0.5 ) ... 99 圖 4. 47 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 QQ

Plot(  = 2，V=0.5 ) ... 100

圖 5. 1 位移控制示意圖 ... 108 圖 5. 2 空間變異性之如有 E 值較大特例之現象 ... 109

(14)

XII

表目錄

表 2. 1 變異數折減因子 ... 11

表 3. 1 常見之單位系統 ... 18

表 3. 2 單隨機場與雙隨機場之參數 ... 22

表 3. 3 不同寬之中央硬板與其比較之隨機場範圍 ... 34

表 4. 1 QQ plot 例子數據之參數 ... 35

表 4. 2 單隨機場-等向性整體彈性模數與數學平均總相差值 ... 41

表 4. 3 單隨機場-等向性整體彈性模數與數學平均 P-value ... 42

表 4. 4 單隨機場-等向性整體彈性模數除數學平均之期望值與變異系數 ... 43

表 4. 5 單隨機場-異向性整體彈性模數與數學平均總相差值 ... 51

表 4. 6 單隨機場-異向性整體彈性模數與數學平均 P-value ... 52

表 4. 7 單隨機場-異向性整體彈性模數除數學平均之期望值與變異系數 ... 53

表 4. 8 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均總相差值 (1B，2B，V=0.1) ... 80

(15)

XIII

表 4. 12 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均總相差值 (1B，2B，V= 1 ) ... 84 表 4. 13 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均總相

差值 (5B，10B，V= 1 ) ... 85 表 4. 14 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 P-

value ( 1B，2B，V=0.1 ) ... 86 表 4. 15 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 P-

value ( 1B，2B，V= 1 ) ... 90 表 4. 19 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 P-

value ( 5B，10B，V= 1 ) ... 91 表 4. 20 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數除不同範圍之數學平均之期

望值與變異系數 (1B，2B，V=0.1) ... 92 表 4. 21 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數除不同範圍之數學平均之期

望值與變異系數 (1B，2B，V= 1 ) ... 96

(16)

XIV

表 4. 25 等向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數除不同範圍之數學平均之期望值與變異系數 (5B，10B，V= 1 ) ... 97 表 4. 26 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均總相

差值 (V=0.1) ... 101 表 4. 27 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均總相

差值 (V=0.5、1) ... 102 表 4. 28 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 P-

value ( V=0.1 ) ... 103 表 4. 29 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數與不同範圍之數學平均 P-

value ( V=0.5、1 ) ... 104 表 4. 30 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數除不同範圍之數學平均之期

望值與變異系數(V=0.1) ... 105 表 4. 31 異向性 1.5 單位基礎寬下楊氏模數除不同範圍之數學平均之期

望值與變異系數(V=0.5、1) ... 106

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1

緒論

1.1 研究背景

土壤大多非均質，但工程上應用的公式很多皆假設土壤為均質土壤以方便計算，此法必定與現實情況有誤差存在，因此我們想找出具有空間變異性(Spatial Varability)之土壤的性質規則。要模擬具有空間變異性之土壤通常使用隨機場 ( Random Field )來模擬，隨機場有三大要素，為期望値、標準差、關聯性函數，

期望値即為平均値，決定土壤的趨勢，標準差決定土壤性質變異的程度，而關聯性函數為建立土壤與土壤之間的相關性，例如：層狀土壤，即水平方向相關性無限大。

隨機場為連續函數，而有限元素分析無法填入連續函數，因此多使用離散化後的數值，Vanmarcke(1977)提出隨機場離散化後，其期望值不會有所變化，變異性卻會變比較小，可利用變異系數折減因子(Variance Reduction Factor)計算離散化後的變異性，而 Jha and Ching (2013)提出可利用傅利葉級數(Fourier Series Method) 模擬隨機場，有上述研究為基礎下，便可進行空間變異性之研究。

1.2 研究目的與方法

本研究主要目的為研究具有空間變異性的土壤之彈性模數行為，首先利用有限元素分析法建立模型後，放入隨機場，再施加應力，算出具有空間變異性的整體彈性模數，再與離散化後的隨機場做比較，希望可以找出其關聯性。

(18)

2

1.3 本文內容

本文內容主要包括：

第一章緒論

說明本研究之目的與研究方法

第二章文獻回顧

介紹與本研究相關的文獻，作為本研究之基礎

第三章研究方法

介紹如何建立模型與如何分析

第四章結果與分析觀察並說明本研究之結果

第五章結論與建議

根據分析結果提出結論與日後可以接續之研究可能性

(19)

3

文獻回顧

2.1 如何表示土壤的空間變異性

土壤為自然材料，並非完全均値，且性質會隨著空間位置而有所不同，這種行為我們稱之為空間變異性，Vanmarcke(1977)提出有關土壤空間變異性的表示方法，如圖所示：

圖 2. 1 土壤的空間變異性 (Vanmarcke,1977) z：土壤深度

u(z)：土壤性質(例如：摩擦角、比重、含水量等)為連續函數 µ(Mean)：期望值

σ(Standard deviation)：標準偏差

δu(Scale of fluctuation)：垂直向關聯性長度

(20)

4

先設土壤性質為一連續函數，利用期望值(Mean,代號為 µ)表示土壤的整體趨勢、並利用標準偏差(Standard Deviation,代號為)表示土壤性質的變異程度，而另一種表示變異性的參數為將變異數除以期望值，即為變異系數(Coefficient of Variation，簡稱為 Cov，Cov=σ/µ，後面會用 V 代表)。模擬土壤時另一個需要考慮的重點為土壤之間的性質雖不同但都具有某種程度的相關性，因此需加上關聯性長度之設定，下節會詳細解釋關聯性長度如何計算而得。

Phoon(1995)也提出，要量化土壤空間變異性可以用 ξ(z)=t(z)+w(z)表示

圖 2. 2 土壤的空間變異性 (Phoon,1995) z：土壤深度

δv：垂直向的相關性函數 ξ(z)：土壤性質

t(z)：土壤性質之趨勢函數 w(z)：土壤性質之變異性函數

(21)

5

2.2 穩態隨機過程( Stationary stochastic process )

穩態隨機過程是自關聯性函數的前提假設，為假設連續函數其資料變異程度不隨時間區段選取的不同而有所改變，亦即在任意時間區間 t1、t2、…tn中的 N 筆資料 yt1、yt2、…ytn變化趨勢與與 t1+k、t2+k…tn+k中的 N 筆資料 yt1+k、yt2+k…ytn+k

相同。下圖為穩態隨機過程與非穩態隨機過程(Non-stationary)的比較：

圖 2. 3 上圖為穩態資料;下圖為非穩態資料

可以發現非穩態資料的變異程度會隨著時間改變，而穩態資料的變異程度並不會隨著時間而有所變化。

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2 -1 0 1 2

Stationary Time Series

Amplitude

Time (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2 -1 0 1 2

Non-stationary Time Series

Amplitude

Time (sec)

(22)

6

2.3 自關聯性函數(Auto-Correlation Function)

自關聯性函數(簡稱 ACF) 可以決定各資料的相關性，或是算出各資料點是否具有相關性，說明如下：

假設現有一穩態資料組 Z1、Z2、Z3、Z4…ZN 其期望值可表示為：

μ = E[𝑧_𝑡] = ∑^𝑁_𝑖=1𝑧_𝑖∗ 𝑝(𝑧_𝑖)𝑑𝑧 (2.1) 其資料的變異數可表示為：

𝜎_𝑧² = 𝐸[(𝑧_𝑡− 𝜇)²] = ∑ (𝑧^𝑁_𝑖=1 _𝑖− 𝜇)∗ 𝑝(𝑧_𝑖)𝑑𝑧 (2.2) 任意 Zt與 Zt+k，彼此間隔為 k，其共變異數(covariance)可表示為：

𝛾_𝑘= cov[𝑧_𝑡, 𝑧_𝑡+𝑘] = 𝐸[(𝑧_𝑡− 𝜇)(𝑧_𝑡+𝑘− 𝜇)] (2.3) 其自關聯性函數定義為：

ρ

_k

=

^𝐸[(𝑧^𝑡^{−𝜇)(𝑧}^𝑡+𝑘^−𝜇)]

√𝐸[(𝑧𝑡−𝜇)²]∙𝐸[(𝑧_𝑡+𝑘−𝜇)²]

=

^𝐸[(𝑧^𝑡^{−𝜇)(𝑧}^𝑡+𝑘^−𝜇)]

𝜎_𝑧² (2.4)

基於資料為穩態的前提下，變異數不會隨著時間改變而改變，變異數𝜎_𝑧² = 𝛾_𝑜保持為𝜌_𝑘 = ^𝛾_𝛾^𝑘

𝑜，k 為兩點間的間隔距離，如下圖為截取 S.Lehner, J.Schulz-St., and R.

Bamler 發表之論文"Estimation of wind, wave and ice parameters at the ice boundary by using active microwave systems of the ERS satellites."。

圖 2. 4 自關聯性函數

(23)

7

圖中每條曲線皆代表不同資料的自相關聯函數。由於自關聯性函數是建立在穩態假設下，延遲 k 與延遲 −k 所得之結果相同，因此圖中函數左右對稱於橫軸為零的直線。當 k=0 時，表示兩點距離為 0 即表示為同一點，其相關性為百分之百，𝜌_𝑜 = 1，隨著 k 變大相關性會逐漸降低。

常用以描述大地工程土壤剖面的自關聯函數模型有二：

1. 一次指數模型 SingleExponential Model (SExp)

ρ(∆𝑧) ≡ 𝜌(𝑤(𝑧), 𝑤(𝑧 + ∆𝑧)) = 𝑒𝑥𝑝(−𝑘 ∙ |∆𝑧|) (2.5) 2. 二次指數模型 SquareExponential Model (QExp)

ρ(∆𝑧) ≡ 𝜌(𝑤(𝑧), 𝑤(𝑧 + ∆𝑧)) = 𝑒𝑥𝑝(−𝑘 ∙ (∆𝑧)²) (2.6) 其中

Z：土壤深度

w(z)：土壤性質函數 ρ：自相關性函數

兩者之間的差異在於自關聯性下降的速度。一次指數模型的自關聯性隨 k 增加而較快下降；二次指數則是以較緩和的方式逐漸下降。圖 2. 5 為兩者在二維情況的不同自關聯性 ρ 分布情形。

(24)

8

圖 2. 5 不同關聯性函數比較

(25)

9

左邊為一次指數模型、右邊為二次指數模型；第一列設定在 x 與 y 方向的關聯性長度皆為 10，第二列的 x 與 y 方向關聯性長度為 20。由圖中可清楚了解關聯性長度改變造成的影響。關聯性長度增加，在關聯性長度內，任意兩點彼此間的相關程度高。

2.3 平均效應(Average effect)

平均效應為當把連續函數取區段離散化時，其中的變異性會比原本的連續函數小，說明如下：

圖 2. 6 平均效應示意圖

(26)

10

Vanmarcke(1977)提出了土壤性質平均效應相關理論。設土壤的某一特定性質參數為連續函數，減去趨勢函數後為 w(z)，並具有空間變異性。設 w(z)期望值

=µ=0，則在一維∆ z 內的土壤性質平均值為：

w_∆z(𝑧) =_∆𝑧¹ ∫_{𝑧−∆𝑧/2}^{𝑧+∆𝑧/2}𝑤(𝑧)𝑑𝑧 (2.7) 而 wΔz的期望值為：

𝜇(∆𝑧) = E[𝑤_∆𝑧(𝑧)] =_∆𝑧¹ ∫_{𝑧−∆𝑧/2}^{𝑧+∆𝑧/2}𝐸[𝑤(𝑧)]𝑑𝑧 = 0 (2.8)

故 w∆z(z) 之期望值會等於整個空間的固有期望值 µ=0。在變異性的部分，假設

土壤參數之固有變異數為 Var[w(z)]，執行小區域內平均的動作將消除部分的變異程度，因此 w∆z(z)的變異性將低於 w(z)

為此 Vanmarcke(1977) 提出變異數折減因子 Variance Reduction Factor：

Γ

²

=

^var[w^∆z^(z)]

var[w(z)] (2.9)

(27)

11

而不同關聯性函數之折減因子如下表：

表 2. 1 變異數折減因子

MODEL VARIANCE REDUCTION FACTOR

1-D

SExp Γ² =𝑒^−2𝑛+ 2𝑛 − 1

2𝑛²

QExp Γ² = 1

𝜋𝑛²[𝑒^−𝜋𝑛²+ 𝜋𝑛 ∙ 𝑒𝑟𝑓(√𝜋𝑛) − 1]

2-D

SExp Γ² = 𝑒^−2𝑛^𝑥+ 2𝑛_𝑥− 1

2𝑛_𝑥² ×𝑒^−2𝑛^𝑧+ 2𝑛_𝑧− 1 2𝑛_𝑧² QExp Γ² = 1

𝜋𝑛_𝑥²[𝑒^−𝜋𝑛^𝑥² + 𝜋𝑛_𝑥∙ 𝑒𝑟𝑓(√𝜋𝑛_𝑥) − 1] × 1

𝜋𝑛_𝑧²[𝑒^−𝜋𝑛^𝑧² + 𝜋𝑛_𝑧∙ 𝑒𝑟𝑓(√𝜋𝑛_𝑧) − 1]

其中n =L

δ ，L 為模形邊界長度，δ 為相關性長度

n_x= L_x

δ_x ，L_x為模形x 方向邊界長度，δ_x為x 方向相關性長度 n_z=L_z

δ_z ，L_z為模形z 方向邊界長度，δ_z為z 方向相關性長度 erf 為 error function ， erf(u) = 2

√𝜋∫ 𝑒^−𝜁²

𝑢 0

dζ

另外，常常與平均效應搞混的空間平均(Spatial Average)為 Fenton and

Vanmarcke(1990)提出，內容為如何把連續隨機場離散化，使用方法為將隨機場局部平均後代表各局部之隨機場，與平均效應主要不同是，平均效應是提出離散化後與原本連續函數之差別，而空間平均為離散化的方法。

(28)

12

2.4 關聯性長度(scale of fluctuation (correlation length))

關聯性長度可解釋為，當資料點中兩點之距離若小於關聯性長度，即具有一定之相關性，但若大於關聯性長度，則兩點之間的值變化較大以致沒有相關性，用數學解釋為自關聯性函數圖形下方包圍的有限面積，關聯性長度是由變異性折減因子得來，如下式：

Γ

²

(Δz) ≈ { 1 if ∆z < δ

δ

∆z

if ∆z > δ

(2.10)

要如何取得，以一次指數(SExp)模型為例：

ρ(τ) ≡ ρ[𝑤(𝑧), 𝑤(𝑧 + 𝜏)] = exp(−𝑘 ∙ |𝜏|) (2.11) Γ²(Δ𝑧) =_Δ𝑧¹₂∫ ∫^𝑧+ 𝑒^{−𝑘|𝜏−𝑣|}

∆𝑧 2 𝑧−^∆𝑧₂ 𝑧+^∆𝑧₂

𝑧−^∆𝑧₂ 𝑑𝜏𝑑𝑣 =_Δ𝑧¹₂∫ ∫ 𝑒₀^∆𝑧 ₀^∆𝑧 ^{−𝑘|𝜏−𝑣|}𝑑𝜏𝑑𝑣

=_∆𝑧² ∫ (1 −₀^∆𝑧 _∆𝑧^𝜏)𝑒^−𝑘𝜏 = _𝑘₂_(∆𝑧)¹ ₂[2(𝑘∆𝑧 − 1 + 𝑒^{−𝑘∆𝑧})] ≈ {

1 𝑖𝑓∆𝑧 < 2/𝑘

2 𝑘

∆𝑧 𝑖𝑓∆𝑧 > 2/𝑘 (2.12) 關聯性長度δ ≈ 2/k，而如果要另外算其他種關聯性函數之關聯性長度，只要畫 Γ²(Δ𝑧)與Δ𝑧的相關圖後，找出趨近於Γ²(Δ𝑧)與Δ𝑧的曲線，曲線即接近於 δ/∆z，並可算出關聯性長度之方程式。

(29)

13

2.5 高斯隨機場 (Gusses random filed) 模擬

本研究所用隨機場為 Jha and Ching (2013)所提出之隨機場模型，隨機場特色為：

1. 隨機性連續函數

2. 每次產生之值不相同，但具有相同之統計形為(期望值相同、分佈類別相

同、變異性相同)

3. 加入關聯性長度設定

Jha and Ching (2013)所提出之隨機場模型主要是利用傅立葉級數(Fourier Series Method)模擬穩態隨機場，下面為一維長度為 L、期望值為零的高斯隨機場 W(x) 的積分式：

w(x) = Re[∑^∞_𝑛=−∞(𝑎_𝑛+ 𝑖𝑏_𝑛) ∙ exp (^{𝑖2𝑛𝜋𝑥}_𝐿 )] (2.13) Re[.]表示取複數的實部；x 為介於模擬長度[0,L]間的座標位置；(𝑎_𝑛，𝑏_𝑛)為互相獨立、期望值為 0、變異數為𝜎_𝑛²的高斯隨機場，其中𝜎_𝑛²為

𝜎_𝑛² = ¹_𝐿∫_−𝐿/2^𝐿/2 𝜎²𝜌(𝜏)∙ exp (^{𝑖2𝑛𝜋𝜏}_𝐿 ) 𝑑𝜏 (2.14) 其中𝜏代表任意兩座標之距離，本研究使用之自關聯性函數為 Single Exponential Model(SExp)，一維情況可表示為ρ(τ) = exp (^−2|𝜏|_𝛿 ) (2.15) 二維隨機場可表示為：

w(x, z) = Re[∑ ∑ (𝑎_𝑚𝑛+ 𝑖𝑏_𝑚𝑛) ∙ exp (^{𝑖2𝑚𝜋𝑥}_𝐿

𝑥 +^{𝑖2𝑛𝜋𝑧}_𝐿

𝑧 )

∞𝑛=−∞

∞𝑚=−∞ ] (2.16)

x、z 分別為[0, 𝐿_𝑥]與[0, 𝐿_𝑧]間之座標位置；𝑎_𝑚𝑛、𝑏_𝑚𝑛互為獨立、期望值為零、變異數為𝜎_𝑚𝑛² 的高斯隨機變數，其中𝜎_𝑚𝑛² 為

𝜎_𝑚𝑛² = _𝐿¹

𝑥𝐿𝑧∫ ∫_−𝐿^𝐿^𝑥^/2 𝜎²𝜌(𝜏_𝑥 , 𝜏_𝑧)

𝑥/2 ∙ exp (^{𝑖2𝑚𝜋𝜏}_𝐿 ^𝑥

𝑥 +^{𝑖2𝑛𝜋𝜏}_𝐿 ^𝑧

𝑧 ) 𝑑𝜏_𝑥𝑑𝜏_𝑧

𝐿𝑧/2

−𝐿_𝑧/2 (2.17)

(30)

14

自關聯性函數為 Single Exponential Model(SExp)，二維情況可表示為𝜌(𝜏_𝑥 , 𝜏_𝑧) = exp (−^2|𝜏_𝛿^𝑥^|

𝑥 —^2|𝜏_𝛿^𝑧^|

𝑧 )

上述傅立葉積分式積分範圍為[-∞,∞]，但實際上無法積分[-∞,∞]，Jha and Ching (2013)提出當𝜎_𝑚𝑛²

𝜎²

⁄ = 10⁻⁵時，即可停止積分，另外傅立葉級數為週期性函數，

會造成最開始與最尾端之隨機場 w(x)具有相關性，客觀來說，並不符合關聯性的定義也不符合現實狀況，因此要消除最開始與最尾端有關聯性之現象，可利用延長模擬長度之作法，例如要模擬長度為 L 的隨機場，可先利用傅立葉級數模擬長度為L+Δ 之隨機場，再取前面 L 段即可。Jha and Ching (2013)提出經驗試表示 Δ 取四倍之關聯性長度最恰當。

而不同關聯性長度之隨機場如圖 2. 7 等向性隨機場(δx =δz=1、2、5、10、100) 與圖 2. 8 異向性隨機場(δx =∞，δz=1、2、5、10、100)

(31)

15

圖 2. 7 等向性隨機場(δx =δz=1、2、5、10、100)

圖 2. 8 異向性隨機場(δx =∞，δz=1、2、5、10、100)

(32)

16

2.6 空間變異性相關研究

空間變異性的相關研究有相當多，主要是利用上述原理產生各種土壤的性質(例如：楊氏模數、波松比、剪力模數、凝聚力…等)為隨機場，後研究土壤與建築之間的互制關係、產生之現象、不同隨機場分佈對結果有無影響或是研究土木上常用的破壞準則是否因位隨機場有不適用或是應該修改的地方…等等，研究方向相當多元，而研究土壤的楊氏模數是隨機場為我們主要參考文獻(例如：Paice et al. 1996;

Nour et al. 2002; Fenton and Griffiths 2002, 2005; Houy et al. 2005; Griffiths and Fenton 2009; Jimenez and Sitar 2009; Rungbanaphan et al. 2010; Ahmed and Soubra 2012, 2014;

Al-Bittar and Soubra 2014)，其中 Fenton and Griffiths (2002) Probabilistic Foundation Settlement on Spatially Random Soil 研究中，建立深度為 H=1、寬度為 L=3 的的模型，邊界條件為左、右和下方皆限制水平方向與垂直方向之位移，如圖 2. 9 所示，

輸入楊氏模數的隨機場，模擬具有空間變異性的土壤，並在上方放置寬度為 Wf之

基礎，再施加之 P=1 之應力，且有一個基礎與兩個基礎的模型，D 為兩基礎之距離，觀察基礎受壓後所產生之位移，有無規律可循，文中提及當單一基礎受壓後，

基礎沉陷之位移分佈相當類似於 lognormal 分佈，且與隨機場中關聯性長度有關係，

並發現基礎沉陷與基礎下方隨機場的幾何平均呈現反比關係。

(33)

17

圖 2. 9 基礎模型 Fenton and Griffiths (2002)

(34)

18

研究方法

本研究主旨在探討具有空間變異性的土壤之整體彈性模數行為，研究流程為，先利用有限元素分析軟體 Abaqus 建立模型，決定隨機場之參數後輸入隨機場後，施加應力，當模型受應力產生變形後，使用 Abaqus 輸出模型各點的位移，計算整體彈性模數，後將整體彈性模數與離散化後隨機場的數學平均做比較，流程如圖 3.

1。本章會介紹使用之隨機場分佈種類與與參數設定，有限元素分析軟體 Abaqus 設計之模型基本設定，採用之邊界條件與介面設定，與整體楊氏模數比較之數學平均方法，另外，為驗證研究之適用性與正確性，建立類似真實情況的基礎模型，並說明基礎模型和與其比較之數學平均方法。

另外，本建立之模型皆無特定單位，因 Simulu Abaqus 數值分析環境中，並沒有規定要使用哪些單位制度，因此輸入數值時只要單位統一即可，常用之單位如表 3. 1：

表 3. 1 常見之單位系統

QUANTITY SI SI(MM) SI US UNIT(FT)

LENGTH

m mm m ft

FORCE

N N KN lbf

MASS

Kg tonne tonne slug

STRESS

Pa(N/m²) MPa(N/mm²) kPa lbf/ft²

DENSITY

Kg/m³ Tonne/mm³ Tonne/m³ Slug/ft³

(35)

19

圖 3. 1 研究流程圖

(36)

20

3.1 選用之隨機場

隨機場選用的關聯性函數為一次指數關聯性函數 (Single exponential auto- correlation model ):

ρ(∆x, ∆z) = exp (−^2|∆x|_δ

x −^2|∆z|_δ

z ) (3.1) 其中∆𝑥、∆𝑧為資料點間隔之距離

𝛿_𝑥為水平向關聯性長度 𝛿_𝑧為垂直向關聯性長度

隨機場分佈選用 Lognormal 分佈， Lognormal 分佈為常態分佈取 exp，解說如下，假設 Lognormal 分佈(Y)之期望值為 μlog，變異系數為 Vlog，而相對應之常態分佈(即 Lognormal 取 log，X=log(Y))，期望值 μnor等於 ln[μlog/(1+Vlog2)^0.5]，標準差 σnor等於 ln(1+Vlog2)，即先產生期望值為 μnor，標準差為σnor之常態分佈，取 exp 為我們要的 Lognormal 分佈，Lognormal 分佈的特色為，不論變異性多大，產生之隨機場之值必大於零，較符合現實情況。帶入文獻回顧中的隨機場公式，如下表示：

E(x, z) = exp (ln ( ^μ

√1+V²) + Re[∑^∞_m=−∞∑^∞_n=−∞(a_mn+ ib_mn)exp (^i2mπx_L

x +^i2nπx_L

z )]) (3.2)

其中 Re[.]表示取複數之實數，amn與 bmn為互相獨立且期望值為零之常態分佈，其變異數(標準差平方) σ²_mn為

σ²_mn=^{ln (1+COV}²⁾

q_xq_z [^1−exp(−q^x⁾⁽⁻¹⁾^m

1+^m2π2

qx2

] × [^1−exp(−q^z⁾⁽⁻¹⁾ⁿ

1+^n2π2

qz2

] (3.3)

(37)

21

隨機場參數我們分別選取變異系數(即標準差除以期望值，以下簡稱 V)為 0.1、

0.5、1)，關聯性長度除模型長度(δ/L)為 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0，並有等向性與異向性之分別，等向性為水平方向關聯性長度等於垂直方向關聯性長度，異向性為水平方向關聯性長度無限大，如同層狀土壤，另再分為單隨機場與雙隨機場，單隨機場即設定為楊氏模數(E)為 Lognormal 分佈，波松比(ν)設定為定值 0.3，雙隨機場即楊氏模數(E)為 Lognormal 分佈，波松比(ν)採用 Beta 分佈，期望值設為 0.3，變異系數皆設為 0.1，關聯性長度隨楊氏模數變化而變化，波松比因為有所限制，必在 0-0.5 之間，因此才會使用 Beta 分佈，詳細如表 3. 2。

(38)

22

表 3. 2 單隨機場與雙隨機場之參數 單隨機場

E 隨機場(Lognormal) μ=100

V= 0.1、0.5、1 等向性

δx /L =δz /L

= 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0 異向性

δx /L = ∞

δz /L = 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0

波松比(ν) 定值 0.3

雙隨機場 E 隨機場(Lognormal)

μ=100

V= 0.1、0.5、1 等向性

δx /L =δz /L

= 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0 異向性

δx /L = ∞

δz /L = 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0

波松比(ν) 隨機場(beta) μ=100 V= 0.1 等向性 δx /L =δz /L

= 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0 異向性

δx /L = ∞

δz /L = 0.1、0.2、0.5、1.0、10.0

(39)

23

3.2 有限元素分析(Abaqus)之數值模型

研究所用模型為寬 Lx=10，深 Lz=10 平面二維正方型，元素使用 CPE4，即所謂平面應變狀態，一個元素四個積分點，並切割成 0.1*0.1 的小單位，一共是切 10000 個小單位，邊界條件為試體底端設定滾接(Roller)，控制 Z 方向的位移；最左端設定為鉸接(Hinge)，限制 X、Z 方向的位移，如圖 3. 2 所示。

圖 3. 2 模型基本設定

(40)

24

輸入隨機場後，如下所示：

圖 3. 3 左邊為等向隨機場(δx=δz=1)，右邊為異向性隨機場(δx=∞，δz=1) 並分別施加 x 方向的一單位應力、z 方向的一單位應力與 xz 方向之一單位之剪應力，如圖 3. 4 所示：

(a) x = 1 (b) z = 1 (c)xz = 1

圖 3. 4 分別施加之應力圖: (a) x = 1; (b) z = 1; (c) xz = 1.

但上述設定會遇到施加壓力後，邊界較為扭曲，為計算整體彈性模數，在主要研究之正方體旁加入三塊楊氏模數為 10^12 之束制長方體，如圖 3. 5，用 link 指令將束致長方體與正方體綁起來，並加入硬接觸、摩擦力等於零、當接觸時不允許分離等指令。

z x L z

L x

 x  x

 z  xz

 xz

(41)

25

圖 3. 5 無限硬束制板介面條件

並比較其結果圖 3. 6，左邊為沒有束制體施加 z 方向應力後、右邊為有束制體施加 z 方向應力後，可以觀察到邊界較平滑，較利於整體彈性模數之計算。

(a) 無束制板之變形 (b) 有束制板之變形圖 3. 6 有無束制板之比較(施加 z 方向應力且同一隨機場)

(42)

26

3.3 如何計算出整體楊氏模數

當模型為隨機場，就算施加平均一單位應力，變形後也不為均勻變形，會同時擁有εx、εz、γxz，為計算出整體楊氏模數，必須明確定義出應變。

研究使用微小應變(Infinitesimal Strain )之設定，如圖 3. 7 表示，u 為 x 方向之位移方程式，v 為 z 方向之位移方程式，虛線為變形後之形狀，x 方向之應變可以表示為：ε_x= ^𝜕𝑢_𝜕𝑥 ，而 z 方向之應變可以表示為： ε_z =^𝜕𝑣_𝜕𝑧 ，xz 方向之剪應變可以表示為：ε_xz= 0.5 (^𝜕𝑢_𝜕𝑧+^𝜕𝑣_𝜕𝑥)。

圖 3. 7 微小應變示意圖

藉由 Abaqus 輸出的資料中，可以找出整體的位移方程式，u 為 x 方向之位移，

v 為 z 方向之位移，如下表示：

u(x, z) = a ∙ x + b ∙ z + c (3.4) v(x, z) = d ∙ x + e ∙ z + f (3.5)

(43)

27

加入邊界條件

u(0,0) = 0 v(0,0) = 0 鉸接之限制 v(0, z) = 0 滾接之限制後可得：

u(x, z) = a ∙ x + b ∙ z v(x, z) = e ∙ z (3.6) 而求出三個未知數僅需要三個方程式，但模型一共有 10201 點，即有 10201*2 個方程式(x,z 方向)，因此利用最小平方法找出誤差最小的方程式

∑ (uⁿ_i=1 _i− a ∙ x_i− b ∙ z_i)² + (v_i− e ∙ z_i)² (3.7) 利用最小元素變形方程式即可計算出整體的應變：

ε_x= ^𝜕𝑢_𝜕𝑥 = 𝑎 ε_z =^∂v_∂z= e ε_xz= 0.5 (^∂u_∂z+^∂v_∂x) = 0.5 ∙ b (3.8) 上述最小元素變形方程式，有其限制，變形後須為平行四邊形，雖研究使用之模型變形後沒有平行四邊形，但幾乎是平形四邊形，誤差在可接受範圍。

計算出整體應變後，即可算出應力應變矩陣：

[ 𝜀_𝑥 𝜀_𝑧 𝜀_𝑥𝑧] = [

𝐶₁₁ 𝐶₁₂ 𝐶₁₃ 𝐶₂₁ 𝐶₂₂ 𝐶₂₃ 𝐶₃₁ 𝐶₃₂ 𝐶₃₃] [

𝜎_𝑥 𝜎_𝑧

𝜏_𝑥𝑧] (3.9) 以施加 z 方向應力為例，當σ_z= 1，σ_x = 0，τ_xz= 0 情況下，算出應變即等於矩陣第二行之值，ε_x= c₁₂，ε_z= c₂₂，ε_xz= c₃₂，要算出第一行即施加 x 方向應力，要算出第三行即施加 xz 方向之剪應力，且這三個應力情況皆使用相同之隨機場。

而計算出之矩陣，試跑 100 例子後，可以發現 c11≠c22≠c33 對角線之數字皆不相同，但 c21≒c12，而 c13、c23、c31、c32等，相對 c11、c22、c33小很多，如圖 3. 8、

圖 3. 9 與圖 3. 10 所示：

(44)

28

圖 3. 8 c11、c22、c33 之比較

圖 3. 9 c21、c12之比較

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

sample

Value

C11 C22 C33

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.01 -0.009 -0.008 -0.007 -0.006 -0.005 -0.004 -0.003 -0.002 -0.001 0

sample

value

C12 C21

(45)

29

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

Sample

Value

C23 C31 C32 C13 C11 C22 C33

圖 3. 10 c13、c23、c31、c32與 c11、c22、c33之比較

判斷較符合正交軸向同性材料(Orthotropic material)，因此代入正交軸向同性材

料應力應變矩陣中，便可以計算出具有空間變異性之整體彈性模數(Ex、Ez、G)

C11 = (1-ν²)/Ex → Ex = (1-ν²)/ C11 (3.10) C22 = (1-ν²)/Ez → Ex = (1-ν²)/ C22 (3.11) C33 = 0.5/G → G = 0.5/ C33 (3.12) 接著把計算出之整體彈性模數，與離散化後之隨機場之數學平均(算數平均、幾何平均、倒數平均，計算方法如 3.13、3.14、3.15 表示)互相比較。而雙隨機場狀態，雖波松比也為隨機場，但在計算整體彈性模數時，波松比一樣代入 0.3 計算。

(46)

30

以下是比較之數學平均各自算法，其中 Ei即為離散化後的隨機場：

算數平均(AM)

𝐸_𝑎 =_𝑁¹∑^𝑁_𝑖=1𝐸_𝑖 (3.13)

幾何平均(GM)

ln (𝐸_𝑔) =_𝑁¹∑^𝑁_𝑖=1ln (𝐸_𝑖) (3.14) 倒數平均(HM)

1

𝐸ℎ= _𝑁¹∑ ¹

𝐸_𝑖

𝑁𝑖=1 (3.15)

(47)

31

3.4 基礎模型

為驗證上述研究是否適用於實際情況，而建立了類似工地現場的基礎模型。研究參考 Fenton and Griffiths (2002)的模型並加以修改，如圖 3. 11 所示，先建立

Lx=32 寬、Lz=15 深的模型，輸入隨機場，其主要目的為模擬土體，接下來在土

體上方中間加入硬板模擬基礎，並在基礎上施加均佈應力，土壤沉陷後計算其基礎中央沉陷之數值，轉換成土壤受壓後反映到基礎之楊氏模數，可以想像類似於地盤反力系數的概念，並將計算出楊氏模數與不同範圍之隨機場的各種數學平均 (算數平均、幾何平均、倒數平均)做比較，流程類似上述之例子。

基礎模型使用的元素為 CPE4R，為平面應變狀態，一個小單位四個積分點，與上述模型之不同為基礎模型為減積分，較可以減少計算時間，而為何上述模型不使用減積分，原因為減積分也會使邊界變形較為扭曲。網格為 0.2*0.2，邊界條件為左邊邊界與右邊邊界皆為滾接，限制 x 方向之變位，下方為鉸接，限制 x、z 方向之變位，隨機場參數與上一個模型一樣。

圖 3. 11 基礎模型

(48)

32

而要如何計算出土壤受壓後反映到基礎之楊氏模數，為先輸入均質之隨機場 ( E1=E2=E3…=En=100 )後，輸出基礎中央點之位移作為均値位移 δuni，其所對應的楊氏模數即為 100，而另一方面將模型輸入隨機場，施加一樣的均佈應力後，輸出基礎中央之位移作為隨機場位移δRandom，利用關係式 ERandom=δuni·100/δRandom即

可算出土壤受壓後反映到基礎，隨機場之楊氏模數 ERandom。如下圖所示：

圖 3. 12 如何計算基礎底下之楊氏模數

算出土壤受壓後反映到基礎之楊氏模數後，與不同範圍的隨機場做比較，例如：3 單位寬的基礎(設基礎寬度為 B)為與其比較之範圍為：1B 寬*1B 深、1B 寬

*2B 深、1B 寬*5B 深、2B 寬*1B 深、2B 寬*2B 深、2B 寬*5B 深、5B 寬*1B 深、5B 寬*2B 深、5B 寬*5B 深、10B 寬*1B 深、10B 寬*2B 深和 10B 寬*5B 深之的數學平均(算數平均、幾何平均、倒數平均)做比較，如圖 3. 12 所示，而表 3. 3 為不同寬之基礎與其比較之隨機場範圍。

(49)

33

圖 3. 13 3 單位基礎寬與其比較之隨機場範圍示意圖

(50)

34

表 3. 3 不同寬之中央硬板與其比較之隨機場範圍

中央硬板寬度(B) 比較之隨機場範圍

1.5

1B 寬度* 1B、2B、5B、10B 深度 2B 寬度* 1B、2B、5B、10B 深度 5B 寬度* 1B、2B、5B、10B 深度 10B 寬度* 1B、2B、5B、10B 深度

3

1B 寬度* 1B、2B、5B 深度 2B 寬度* 1B、2B、5B 深度 5B 寬度* 1B、2B、5B 深度 10B 寬度* 1B、2B、5B 深度

7.5

1B 寬度* 1B、2B 深度 2B 寬度* 1B、2B 深度 3B 寬度* 1B、2B 深度 4B 寬度* 1B、2B 深度

15

1B 寬度* 1B 深度 2B 寬度* 1B 深度

而上述每一個案例皆跑 1000 個樣本(例：單隨機場等向性 δ=1、V=0.1 跑 1000 個樣本，單隨機場等向性δ=2、V=0.1 跑 1000 個樣本…等)，1000 個樣本在統計上已具有相當程度的代表性，所計算之統計數字相當接近真值，即再另外跑 1000 個樣本，所統計之數值應與此樣本統計之數值極為類似。

(51)

35

結果分析與比較

接續第三章的模型與數學平均比較，比較方法為：整體 x 方向的楊氏模數、z 方向之楊氏模數、xz 方向之剪力模數分別與算數平均、幾何平均、倒數平均做比較。而數據與數據是否接近判斷上有大多用兩種方法，一是判斷資料點間的差值，即直接觀察數據點是否相同，一是判斷資料點的分佈，即判斷數據點是否屬同一種分佈。判斷差值，用相減即可，而判斷分佈大多利用計算兩數據資料的 P- value 與畫出兩數據的 QQ plot。在分析數據之前，會先簡單介紹何謂 QQ plot 與 P-value。

4.1 名詞解釋

4.1.1 QQ plot (Quantile-Quantile plot)

Quantile 即分位數，數學上的常常提到的中位數(Median)即分位數的一種，中位數，即將資料點由小到大排序後，找出中間的數字，代表 50%的數據點比這數字小，也代表有 50%的數據點比這數字大，而另一個常見之分位數為四分位數 (Quartile)，一樣也是將數據由小排列到大後，找出 25%、50%、75%大之數字，

分位數可以有效將數據點分割，因此若兩數據點之分割點很接近，可以判斷兩數據分佈之狀態應該極為類似，下面為 Lognormal 與 Normal 分佈 QQ plot 之比較，A 數據與 B 數據皆為 Lognormal 分佈，期望值為 100，變異系數為 0.5，而 C 數據為 Normal 分佈，期望值為 100，變異系數為 0.5，如下表：

表 4. 1 QQ plot 例子數據之參數

分佈類形 平均値 變異系數

A

Lognormal 100 0.5

B

Lognormal 100 0.5

C

normal 100 0.5

(52)

36

而 A、B、C 各組數據由小排到大後，算出的 1%前、2%前、3%前...100%前大的資料後，將兩兩比較即 QQ plot。如圖 4. 1 所示：

圖 4. 1 QQ plot 說明例子

可以發現 A、B 組屬同一分佈且期望值與變異系數相同，較接近中間 45 度 1:1 線，而 A 與 C 組或是 B 與 C 組為不同分佈，QQ plot 較不貼近 1:1 線。因此當數據點眾多時，使用 QQ plot 即可視覺化兩數據之分佈，方便判斷是否屬於同一種分佈。

4.1.2 P-value

而另一種觀察是否為同一分佈為算出兩數據之 P-value，P-value 由 k-stest 得來，k-stest 全名為 Kolmogorov-Smirnov test，又名柯爾莫諾夫-斯米爾諾夫檢驗，

用法為將數據點化為累積分佈的時候，尋找兩組數據之最大距離（Distance），但要如何計算兩組數據之最大距離，又是另一個嚴謹的數學問題，而經過繁複的數學計算後，計算出之判斷標準為 P-value，當 P-value 越大表示分佈越相似，通常大於 0.05 可以判斷兩數據分佈類似。

20 30

15 20 25 30 35

B

A A - B QQ plot

-80-60-40-20 0 20 -80

-60 -40 -20 0 20

C

A A - C QQ plot

-80-60-40-20 0 20 -80

-60 -40 -20 0 20

B

C B - C QQ plot

(53)

37

4.2 單隨機場

4.2.1 等向性(

x

= 

z

= 1、2、5、10、100)

因為跑的數據分組眾多，關聯性長度(δ)有 1、2、5、10、100 五組，變異系數 (V)有 0.1、0.5、1 三組，每一種有 15 組數據(單隨機場-等向性、單隨機場-異向性、雙隨機場-等向性、雙隨機場-異向性、單隨機場基礎板-等向性…等)，若將所有數據展示會佔太多篇幅，因此選擇較能看出趨勢的參數做比較，δ 太小，會使

差異性變小，而δ 太大也會使物體變為均値，不論是算數平均、幾何平均、倒數

平均所算出之值幾乎沒有差別，而 V 太小，也會使數據的差異不明顯，但 V 太

大又不符合現實狀況，因此挑選較為中間值且易觀察到現象的δ=2 與 V=0.5 做比

較。

圖 4. 2 為單隨機場等向性之數據比較，圖中有九張小圖，第一列為 Ex/μ 與數學平均/μ 之比較，由左到右依序為算數平均(Arithmetic average)、幾何平均 (Geometric average)、倒數平均(Harmonic average)，X 軸為數學平均/μ，Y 軸為 Ex/μ，第二列為 Ez/μ 與數學平均之比較，第三列為 G/μg與數學平均之比較。其中 μ=100，μg=100/(2(1+ν))=38.46。

觀察圖 4. 2 可以發現，整體彈性模數(Ex、Ez、G) 與幾何平均較為接近，判斷方法為越接近圖中 45 度 1:1 線表示數據彼此之間差值越少，表現越好。圖 4. 3 為 QQ plot 之比較，結果同上。

表 4. 2 為將所有分組計算出之整體彈性模數除期望值減去數學平均除期望值，

取絕對值之總和，由左到右關聯性長度為 1、2、5、10、100，除模型之長度後即為 0.1、0.2、0.5、1、10，而由上到下為 Ex與數學平均之比較、Ez與數學平均之比較、G 與數學平均之比較，變異係數不同在表格不同區域。而當數字越小，表示整體彈性模數與數學平均的差值越少，表現越好。

觀察表 4. 2 可以發現，整體彈性模數幾乎都是與幾何平均的差值最小(最小值有

(54)

38

用粗體標示)，且當 V 變大時，整體彈性模數減去算數平均、幾何平均、倒數平

均之差異越明顯。而δ 越大時，整體建立模數減去數學平均的差值，差異變小，

因為當δ 越大，物體越均質，不論是算數平均、幾何平均、倒數平均算出之數字

都相當接近。

表 4. 3 為整體彈性模數除期望值與數學平均除期望值之 P-value，P-value 越大表示數據分佈越接近，也可以發現大多是幾何平均表現比較好。而表 4. 4 為整體彈性模數除數學平均後之期望值與變異係數，當期望值越接近 1 表示越好，變異係數越小越好。觀察表 4. 4 也可以發現大多是幾何平均表現比較好。

在簡單應力狀態下探討具有空間變異性土壤的整體彈性模數

國立臺灣大學工學院土木工程學系 碩士論文

Department of Civil Engineering College of Engineering National Taiwan University

Master Thesis

在簡單應力狀態下探討具有空間變異性土壤的 整體彈性模數

Equivalent elastic moduli for a spatially variable soil mass subjected to a simple stress state

童瑄文 Xuan-Wen Tong

指導教授：卿建業 博士 Advisor: Ching, Jian-Ye, Ph.D.

中華民國 104 年 7 月

July, 2015

致謝

中文摘要

Abstract

符號表

目錄

圖目錄

表目錄

緒論

1.1 研究背景

1.2 研究目的與方法

1.3 本文內容

文獻回顧

2.1 如何表示土壤的空間變異性

2.2 穩態隨機過程( Stationary stochastic process )

2.3 自關聯性函數(Auto-Correlation Function)

ρ

=

=

2.3 平均效應(Average effect)

Γ

=

MODEL VARIANCE REDUCTION FACTOR

1-D

2-D

2.4 關聯性長度(scale of fluctuation (correlation length))

Γ

(Δz) ≈ { 1 if ∆z < δ

if ∆z > δ

2.5 高斯隨機場 (Gusses random filed) 模擬

2.6 空間變異性相關研究

研究方法

QUANTITY SI SI(MM) SI US UNIT(FT)

LENGTH

FORCE

MASS

STRESS

DENSITY

3.1 選用之隨機場

3.2 有限元素分析(Abaqus)之數值模型

z x L z

L x

 x  x

 z  xz

 xz

 xz

 xz

3.3 如何計算出整體楊氏模數

3.4 基礎模型

1.5

3

7.5

15

結果分析與比較

4.1 名詞解釋

4.1.1 QQ plot (Quantile-Quantile plot)

A

B

C

4.1.2 P-value

4.2 單隨機場

4.2.1 等向性(

= 

= 1、2、5、10、100)

國立臺灣大學工學院土木工程學系碩士論文

在簡單應力狀態下探討具有空間變異性土壤的整體彈性模數

指導教授：卿建業博士 Advisor: Ching, Jian-Ye, Ph.D.