有朋自遠方來一一專訪
Ronald Graham 教授
策 劃 : 劉太平
訪 問 : 劉太平、 葉永南
時 間 : 民國 104 年 10 月 7 日 地 點 : 中央研究院數學研究所 整 理 : 編輯室
Ronald Lewis “Ron” Graham教授 1935 年 10 月 31 日出生於 Taft, Cali- fornia。 1962 年在 UC Berkeley 獲 Ph.D. 學位。 先後任職 Bell Labs 和 AT&T Labs, 並曾在 AT&T 擔任資訊科學所所長。 1999 離開 AT&T, 現任教 UCSD, 同 時也是 Cal-(IT)2 首席科學家。 他在 1993∼1994 年擔任美國數學會會長。
Graham教授在離散數學等核心領域有重要貢獻, 曾獲多項殊榮, 包括 2003 年 美國數學會 Steele Prize 終生成就獎。 本訪談中先生展現其寬闊的見識, 理論應用 出入無礙的學術精神。
劉太平 (以下簡稱 「劉」): 你常提到 Erd˝os1, 我想請問一下: 什麼原因讓他選擇過那種獨特的 生活方式?
Graham (以下簡稱 「G」): 嗯 · · · 這可難說了。 有一位匈牙利數學家名叫 L´aszl´o Babai2, 目 前在芝加哥大學。 我第一次遇見他時, 他年方 19, 現在已年約 62。 他曾寫過上百頁的 Erd˝os
1Paul Erd˝os (1913∼1996), 匈牙利籍數學家, 研究領域涵蓋組合數學、 圖論、 數論、 古典分析、 逼近理論、 集合論和機率論。
2L´aszl´o Babai (1950∼), 匈牙利籍數學家, 芝加哥大學計算機科學暨數學系教授, 研究演算法、 計算複雜性理論、 組合數學和有限群, 並強調這些領域之間的相互作用。 他於 2017 年提出圖同構問題的準多項式 (quasipolynomial) 時間演算法。
3
傳記。 在 Erd˝os 求學時期, 匈牙利嚴格限制猶太大學生的人數。 這個限制極為嚴格, 而數學 是一個容許你實際去學習的領域。 Erd˝os 的兩個姊姊都在他出生前後過世, 因此母親對他 百般呵護。 他母親其實是一位數學老師, 因此 Erd˝os 大半時間在家自學。 舉例來說, 他不知 道如何把奶油塗在麵包上, 因為他從來不需要做這種事, 媽媽總是為他打點好。 他在英國時, 才發現 「原來我做得到!」。 有一本很好的童書, 題為 「The Boy Who Loved Math」 (「一個 熱愛數學的男孩」), 述說 Erd˝os 的少年時期及成長歷程。 這是本很迷人的小書, 而我的工 作就是確認 Erd˝os 黑板上和其他地方隨興寫的數學是正確的。
Erd˝os個性很獨特。 有ㄧ個好故事: 一位名叫 P´eter Frankl3 的數學家, 目前居住日本。 他 在匈牙利拿到學位後, 被徵召入伍, 但數學才華與他相若的朋友卻能免役, 逕赴數學研究所。
P´eter 覺得這是因為他是猶太人, 於是請 Erd˝os 寫封信, 讓他可以離開軍隊。 Erd˝os 寫了 信, 但 P´eter Frankl 一退伍, 立即自匈牙利叛逃。 這讓 Erd˝os 震怒, 因為他事先不知道 P´eter 會這麼做。 Erd˝os 告訴他: 「你削弱了我的地位, 現在我無法用同樣的方式幫助其他 人, 所以我兩年內不再對你說話。」 在那段時間, P´eter Frankl 到法國巴黎拿另一個博士學 位, 而 Erd˝os 在授予學位的委員會裡。 Erd˝os 提交報告時 (報告裡寫說: 這是篇傑出的論 文), 真的沒對 P´eter Frankl 正式說任何話, 甚至私下也不和他交談。 兩年過去, 沒事, 他 依然沒有任何改變, 在這方面他很固執。
話說, 匈牙利曾舉辦某會議, 是非正式的國際會議。 Erd˝os 的幾位以色列同事想來參加, 但 礙於以色列和匈牙利的關係不佳, 他們沒拿到簽證。 依據法規, 召開國際會議時, 必須核發 簽證給與會的科學家, 但那場會議是非正式的, 不發簽證。 這讓 Erd˝os 震怒, 放話說: 「在 他們向我道歉前, 我都不回匈牙利!」 結果他等了好幾年; 眾人十分錯愕, 對他喊話: 「看吧, 沒人會向你道歉。 你只會傷了我們這些在匈牙利的, 因為你是我們當下國外數學資訊的主要 來源。 請重新考慮一下, 回來吧。」 最後他回去了, 但他始終立場堅定。
1954年, 國際數學家大會 (International Congress of Mathematicians, 簡稱 ICM) 在 阿姆斯特丹舉行, Erd˝os 很想參加。 匈牙利當局告訴他: 一旦去了, 恐怕拿不到再次入境的 簽證。 Erd˝os 說: 「聽著! 我不會讓任何政府官員告訴我哪裡可以去、 哪裡不能去。 我就要去 了!」 他赴會了, 在美國拿不到回程的簽證。 之後多年, 大家寫信給國會議員和其他官員, 為 Erd˝os遊說及爭取。 他最終拿到簽證回匈牙利, 但始終固守一些原則, 其中之一是不戀棧身 外之物。 他只有兩個行李箱, 一箱裝著信件和複印的資料, 另一箱只裝幾件衣服。
1986 年在中國濟南有一個會議, 我們一同從北京搭火車, 車上喧鬧且悶熱。 半夜時, Erd˝os 說: 「我得下車了, 太熱了, 我睡不著!」 我說: 「Paul, 我們現在是在從北京到山東的火車上, 你不能就這樣下車啊! 你不能啊!」 到天津時, 我買了些絲襪給他。 他皮膚極敏感, 但他可能 會去沒賣絲襪的地方, 所以我買了一些給他。 有好多關於 Erd˝os 的好故事。
3P´eter Frankl (1935∼), 匈牙利數學家, 熱衷於街頭表演藝術, 曾與 Paul Erd˝os 合寫 7 篇論文, 目前居住於日本。 日本名為富蘭平 太。
劉: 你把他當家人一般地照顧。
G: 是的。 當時我們的房子特別留有 Erd˝os 的房間。 他需要有自己的浴室、 電話, 也要會用冰 箱, 半夜才有食物吃。 關於這些, 還真是有許多好故事。
劉: 這是出自你對他由衷的敬意。 你喜歡他, 也尊敬他的數學, 對吧?
G: 是的。 他心腸很好, 有顆好大的心。
葉永南 (以下簡稱 「葉」): 他真的很好。
G: 有這樣一個好故事: 有次他和某人住在一起。 清晨四點時, 浴室傳出巨大聲響。 他一早去用 早餐時, 隻字未提, 最後才說: 「你知道的, 早上你的浴室裡沒有發生什麼意外, 只是有一大 瓶碘酒破了, 灑了一地。 但別擔心, 我找到足夠的毛巾, 把它們都吸了起來。」 你可能知道, 碘漬是幾乎不可能清除的。 Erd˝os 用意良善, 但他的用心並不是都能奏效。
劉: 但你了解他, 你說他 「好心 (good heart)」。
G: 他最珍貴的一項財產, 是他每天寫的數學日誌, 裡頭記錄他當時在思考些什麼。 他過世時, 這些日記都放在他的鄰居兼親密數學同事 Vera T. S´os4 那裡。 她持有這些日記, 卻不讓 其他人過目。 我們問: 「為什麼呢?」 而她說: 「喔, 我就是不想要。」 很多人都想了解 Erd˝os 過去思考些什麼。 Erd˝os 會把數學筆記寫在右邊, 而後經常性地回顧, 並在左邊加上其他註 記, 像是: 「喔! 我知道了, 這是我之前想過的其他問題的一個特例。」 我很想了解: 他在從 事質數定理 (prime number theorem) 的初等證明5 (elementary proof) 時, 想了些什 麽。
劉: 所以日記仍然存在, 但沒有人可以過目。
G: 對, 她擁有這些日記。 共約 20 冊, 我複印了其中兩冊, 但它們都是用匈牙利語寫的, 我看不 懂。 幾年前, 他百歲誕辰, 舉辦了 800 人的大型會議。 我想他不曾到過台灣。
劉: 說到這個, 今天早上我跟同事劉豐哲提到這次訪談時, 他告訴我: 你很久以前來過台灣, 1971 年吧。
G: 沒錯, 我來過。 我在香港待了一個夏天, 適逢當地首條隧道開通。 我記得, 時值李小龍6亡故。
我去台大給了一場排定的演講, 我還保存著報導這場演講的報紙。 我四處旅行, 金芳蓉7在 此地, 1970∼74年間。
4Vera T. S´os (1930∼), 匈牙利數學家, 研究數論和組合數學。
5意指只用到基本技巧的證明。 特別是在數論中, 意指沒有用到複分析的證明。
6李小龍 (1940∼1973), 出生於香港, 武術家暨國際武打巨星。
7金芳蓉 (1949∼), Graham 教授的夫人, 加州大學聖地牙哥分校教授, 研究譜圖學 (Spectral Graph Theory)。
葉: 對, 她是張聖容8、 李文卿9和吳徵眉10的同學。
G: 陳省身為她們那班的四朵 「金花」 寫了一篇文章11。 某份數學雜誌的編輯聲稱要把它翻譯成 英文, 但應該還沒動工。 其實班上有五位才華洋溢的女性, 但其中一位早逝, 所以實際上有 五朵金花。
劉: 雜誌名稱是 「傳記文學」。 你和很多人交往, 在多方向做研究。 可否問個問題: 什麼研究帶給 你最大的快樂? 或是說什麼工作對你來說最難完成?
G: 嗯, 我想數學是很特殊的。 小時候, 我喜歡的其實是天文學, 覺得星星很有意思, 但之後發現 天文學家不光是看星星; 他們不是看望遠鏡, 而是用電腦去分析從望遠鏡得到的數據。 不過 這仍令人驚嘆!
有人問我為什麼玩那麼多雜耍 (juggling)? 玩雜耍的人很多是來自數學界或電腦科學界, 歷史和哲學領域裡玩雜耍的較少。 何以致此? 箇中關聯似乎是, 數學時或被描述成模式 (pattern) 的科學, 我們是在追尋模式。 雜耍是一門在時間和空間中掌控模式的藝術。 常言 道: 雜耍的癥結是, 球確實到達的位置, 取決於你如何扔出, 而非依照你的期望。 電腦運作 程式時, 完全遵照你的囑咐, 但不會有指令說 : 「喔, 你應當知道我的意向。」 它不知道你的 意向是如何, 你必須告訴它! 數學裡有無窮無盡的挑戰, 你永遠解決不完所有的問題。 每當 你寫了篇論文, 就會有所延伸, 諸如去探詢更高的維度。 雜耍也總會有越來越難的花招。 很 有趣的是, 過去耍七顆球是非常困難的技巧, 現在則已司空見慣, 難度持續上升中。
YouTube上有段耍九顆球的影片, 雜耍者一面耍球、 一面將九顆球拋到背後, 難以想像。 這 看似不可能, 但總有堅定有毅力之士。 一旦你目擊一些事情是可能的, 心裡就有所領會。 好 比當年出現首位四分鐘內跑完一英里的人。 那成績看來無法企及, 但一旦有人做到了, 就會 有更多人達成。
劉: 我記得有位名叫 Bannister12 之類的人物, 相當晚近, 似乎在 70 年代 · · ·
G: 我認為 Roger Bannister 是第一個做到的, 目前紀錄大概是 3:45 左右。 現在普遍認為會 有人可以在兩小時內跑完馬拉松, 但幾年前這聽來似乎不可能。
葉: 你也曾是專業的彈翻床13選手?
G: 是的, 彈翻床也是一種的雜耍形式, 以你自己為拋彈的主體, 所以不可拋丟! 我父母在造船 廠造船, 因此我小時候經常搬家, 每年念不同的學校, 從來沒真的好好念高中或國中。 我跳
8張聖容 (1948∼), 研究幾何分析, 普林斯頓大學數學系教授; 參見本刊 153、 154 期 (2015 年第 36 卷第 1 及第 2 期) 專訪。
9李文卿 (1948∼), 賓州州立大學數學系教授, 研究數論。
10吳徵眉, 伊利諾大學厄巴納-香檳分校數學系教授, 研究複分析、 機率論及偏微分方程。
11陳省身, 記幾位中國的女數學家, 傳記文學, 66 卷第 5 期 (1995)。
12Roger Gilbert Bannister (1929∼2018), 英國著名賽跑運動員和神經學專家, 是第一位於 4 分鐘內跑完 1 英里的人。
13彈翻床為體操項目, 2000 年雪梨奧運正式列入比賽項目之一。
過級, 沒念過 12 年級, 15 歲就去上芝加哥大學, Carl Sagan14是我的同學。 我在那裡接觸 到體操和雜耍。 芝加哥大學有個社團, 每週聚會數次, 學習各種不同的馬戲技巧, 像是雜耍、
單輪車、 體操 · · · 等。 到高中巡迴表演, 展示芝加哥大學是個多麼有趣的地方, 成了一個招 生的手法。 彈翻床是其中一部分。 我到現在還保有一個彈翻床。 如今世界水準急劇上升。 彈 翻床在澳洲奧運會上被引介, 成為奧運項目。 中國眼見彈翻床成為奧運項目, 企圖成為世界 第一。 中國有了最好的教練、 最好的設備、 及最好的運動員, 如今舉世無匹。 毫無疑問地, 他 們是世界第一。
劉: 而且他們很小就開始訓練。
G: 是的, 但要有好的訓練。 他們有大量人口可供挑選, 再加上精良的訓練技巧, 有些表演技藝 真令人嘆為觀止。 表演者經常彈跳 10 公尺高。 以往, 彈翻床上有人時, 你站到床附近, 在他 飛過時, 試著從下方抓住他。 現在如果有人從 10 公尺高墜落, 你再也不用這樣做了; 取而 代之的是, 你扔一個防護墊, 然後說: 「祝你好運!」 另外, 彈翻床上還有框架墊, 落到上面安 全無虞; 即使有些閃失, 也無妨, 大命可保。
我們談到這些事物, 有一個基本原則: 要理解一項複雜的東西時, 你可以把它分解成幾個小 的部分; 掌握小的部分後, 再它們湊合在一起。 舉個例子, 我正在研究這個方塊。 想想當你 長途飛行時, 有什麼事情可以做? 有這個魔術方塊 (Rubik’s cube)。
葉: 這是 9 × 9 × 9 的?
G: 不是, 是 7 × 7 × 7 的。 如今已製作出各種不同的尺寸。 四十年前魔術方塊初問世時, 是 3× 3 × 3。 之後希臘有位人士, 習得製作技術, 做出更大的魔術方塊, 最大可達 7 階左右, 但轉起來不很順暢。 中國大陸有更好的建構技術, 目前尺寸可達 17 階。 這些立方體的每個 面, 都有很多像素 (pixels)。 去年夏天, MAA (Mathematical Association of America) 百週年紀念會議上, 我將 「 MAA」 和 「100」 的字樣印在 13 × 13 × 13 立方體的面上, 致 贈他們。
這看起來極其複雜, 但其實並不複雜, 因為有標準技巧如下述: 首先讓各個面的中央區15呈 單色。 這是個奇數尺寸的立方體, 所以中央區始終置中。 這是第一步, 花了我半小時左右來 確實完成每一面。 然後你讓周邊的顏色ㄧ致16, 但周邊的內部不需要與面的中心部分同色, 很快地, 所有面的中央區呈單色, 且所有周邊的顏色布局ㄧ致。 接著, 你可以想像你有個 3×
3× 3 魔術方塊, 其中央層非常肥厚, 於是 7 × 7 × 7 方塊等價於 3 × 3 × 3 方塊, 而你接 下來就可以套用 3 階的演算法。
14Carl Edward Sagan (1934∼1996), 美國天文學家、 宇宙學家、 科普作家。 小行星 2709 及火星上的一個撞擊坑以他的名字命名。
他因撰寫多部科普著作及電視影集而享譽全球, 曾獲普利茲獎。
15不在周邊的部分。
16亦即, 在角落方格外的部分有單一顏色。
這個想法就是: 把看似複雜的東西, 簡化成許多較小且較單純的區塊。 這就真的數學化了。
通常當立方體漸趨完成, 你的任何動作都會破壞之前完成的部分; 你不想如此, 因此需要一 些步驟來移動少量的方格。 這裡有各種等價類 (equivalence class): 邊上的任何方格都和 內部的方格不同類, 我不能把這裡的方格放在那裡; 角落上的八個方格等價, 我可以把它們 放在這八個角落的其中任何一個位置上, 但不能把它們放在非角落的區域。 所以這兩個方格 是等價的。 舉例來說, 我想把這個方格放在這裡, 於是我開始填補白色這面, 想把這個方格 放在這裡。 現在的想法是: 這方格即將放在這位置, 所以我把這個方格移上來這裡, 接著旋 轉這個面, 而後回復成之前的樣子; 這過程形成代數上所謂的3-cycle(長度為三的環)。 所以
· · · 我要做的就是 · · · 這方格 · · · 現在放在上方; 接著我旋轉這個面, 而後再把它轉回去;
現在我把它放到底部。 我所做的就是處理這三個方格, 重新排列它們, 恰好是 3-cycle。
葉: 還記得四十年前, 我玩魔術方塊, 玩到有點瘋狂, 無法停止思考, 就是停不下來。 我年紀很 小時就試著自己搞定它, 而後就著迷了。 我無法停止也無法入睡, 一心一意只想著這些。 我 真是太瘋狂了, 兄弟姐妹都叫我停下, 但我就是無法停下。 最後, 我到郊外山區某處, 大吼大 叫地跑著, 最後覺得非常、 非常地累, 昏昏睡去, 才終於停下來。
G: 嗯! 我無時無刻不在想它。 如果你勇於挑戰, 會發現這裡有個方格。 這是第二層的第 3、 5 和 6號方格。 嗯, 你看這面, 3、 5、 6, 第二層的, 這三個可以換到這裡。 有個步驟可以同時把這 三個移到那裡, 3、5 和 6 · · · 回到上方, 轉個面, 然後 · · · 3、 5、 6, 現在我把它們換到那裡 了。 所以我簡單地說, 一旦你完成了面和邊的部分, 還有一些事 · · · 可能發生的是, 雖然有 一個群結構在, 因此你可以任意移位, 但有時還是會陷入棘手的狀況: 一切都完美, 就差了 個亂糟糟的邊! 這就是所謂的宇稱性問題 (parity problem), 只會發生在偶數階的魔術方 塊上。 有些複雜的步驟可以解決這樣的狀況。 正如跳彈翻床, 當你持續注視立方體, 一切了 然於心; 當我看著它, 我凝視著我打算移動的方格, 不看其它方格。
當今人類的能力極限讓人驚嘆, 譬如競速賽的最佳比賽記錄是 8 秒。 還有個競賽, 先把數個 魔術方塊打亂, 而後讓你逐一端詳, 接著戴上眼罩去解它們; 目前的紀錄是 50。
葉: 50 秒嗎?
G: 不是, 50 個! 戴上眼罩時, 你只知道目前在解第 37 個、 第 38 個、 第 39 個等等, 由其他人 總計你解決了幾個。 YouTube 影片上的某玩家, 解了 50 個魔術方塊中的 49 個, 不過我 認為他其實是可以搞定全部 50 個。 你必須記得每個魔術方塊。
有個 3 階魔術方塊的問題是: 若想解決任意打亂的魔術方塊, 至少需要多少步驟? 必要的 步驟多達幾個? Google 伺服器列舉了所有可能的位置, 發現你在 20 個步驟內, 一定可以 還原任何被打亂的魔術方塊。 事實上, 通常 17 個步驟就夠了, 只有少數情況需要 20 個步 驟。 但競速的選手通常不會使用最少步驟的演算法, 因為這要花過長的時間去心算。
葉: 你對拉姆齊數 (Ramsey number) R(5, 5) 的值有何看法? 15 年前, 有人聲稱這個問題會 在幾年內被解出來。
G: 我認識的人都沒說這個問題會被解決。 Erd˝os 有個好故事: 一些外星人要求我們算出拉姆 齊數 R(5, 5), 否則要摧毀我們。 好吧, 世人通力合作個幾年, 可能算得出它。 但如果他們要 的是 R(6, 6), 那就只好攻擊他們, 因為我們無法計算它。
葉: 那是個廣為流傳的故事, 沒錯!
G: 譬如, 這個立方體有超過 10160 種布局, 你無法確實列出每一種, 來找出最少步驟的解。
10160 已超出我們所能計算的範圍了。
如同許多領域, 在組合數學, 無法解出原來的問題時, 你可以將問題一般化, 而後去解不同 的特例。 思考原來的拉姆齊數問題時, 你可以著眼於 m 個頂點的完全圖 Km, 把它的邊上 色, 得到 5 或 6 個頂點的單色子圖。 你不會得到紅色 K5 和藍色 K5, 但或許能得到單色 的紅色 K5 或藍色 K3, 這是對角線外的情況。 眾人對這些已有較多了解; 一旦完全理解它 們, 或可計算出 R(5, 5)。
70 年代, Kenneth Appel17 和 Wolfgang Haken18 藉助電腦解決四色問題。 Haken 認 為不存在人類可審視的簡短證明; 這是問題的本質使然。 四色猜想是對的, 因為它在很多特 殊情況是對的; 如果該猜想在某情況下不成立, 定理就不成立。 你可以對一些算術系統證明:
n 個符號足以陳述的某定理, 其最短證明的長度為 n 的雙重指數19, 因此你永遠無法將該 證明寫下, 儘管它證明的是定理。
數論有個後設猜想 (meta-conjecture): 若要證明一個數 n 是質數, 則符號用量的成長速 度至少是 log n。 若真如此, 則無法證明形如 101073+3 的數是質數。 你或可援用機率測試 (probabilistic test): 如果它是合成數, 一半時間會說它是合成數, 而另一半時間不置可 否。 這並不表示它是合成數; 這是證據, 但卻稱不上是證明。
有ㄧ個可能: 我們所熟悉的數學定理, 或許正好都有很短的證明, 讓人類可以確實寫下, 比 如說一百頁之內。 有限單群 (finite simple groups) 的分類呢? 你可以用一頁紙來陳述這 個問題, 但最短的證明會是如何? 可以在一百頁內完成嗎? 我不這麼認為。 一千頁呢? 或 許吧! 那個證明被分成好幾個小部分, 不同的部份由不同的人擔綱。 Conway20 那時還希望 在這群人宣布證明後, 能找到其中遺漏的某個單群, 但他說: 「不, 他們可能提出完整的分類 了。」 我想, 當時他們之中有些作者仍盼著自己是最後完成的人; 如果你是最後完成的人, 就
17Kenneth Appel (1932∼2013), 生於美國, 1976 年與 Wolfgang Haken 提出四色定理的首個電腦輔助證明。
18Wolfgang Haken(1928∼), 德國數學家, 除參與四色定理的證明工作外, 對三維流形理論有重要貢獻, 曾引介 Haken 流形及 Kneser-Haken有限性等概念, 並曾提出演算法以檢驗結能否打開。
19形如 f(n) = abn的函數, 其指數是另一個指數冪的指數冪。
20John Horton Conway (1937∼), 生於英國, 普林斯頓大學榮譽退休教授, 在有限群的分類、 結理論、 組合賽局論曾做出傑出貢獻, 且曾發明自動細胞機 Game of the Life。
可以說: 「我終於完成它了!」
克卜勒猜想21 (Kepler conjecture) 的證明, 雖被 Annals of Mathematics 接受, 卻附帶 一則免責聲明: 眾多審稿人審查了這篇文章, 但它如此繁複, 而且需要依賴如此大量的電腦 計算, 因此這個證明無法完全被驗證。 但他們 95% 相信它是對的。 據我所知, 目前已有人 提出形式化的證明22(formal proof)。
當電腦聲稱某事是對的時, 你相信它嗎? 一百頁的證明? 我較相信電腦, 較不相信人! 即使 Feit-Thompson關於奇數階群的論文23,原稿的第一版也有一些錯誤, 但 Thompson24說:
「別擔心, 我們會修正它們。」 事實上, Appel 和 Haken 發表論文25後, 還有篇後續論文, 名 為 「四色證明足矣」 (「the four color proof suffices」)26。 重點是, 論文的首版往往不完美, 但我們總希望學界的其他人能參與其事, 協力找到完整簡潔的證明。 我們很失望學界沒這麼 做。 順帶一提, 四色定理也有形式化的證明了。
劉: 你曾在貝爾實驗室 (Bell Labs) 多年, 那是你數學生涯的一段重要章節。
G: 當時貝爾實驗室有個很強的團隊。 貝爾實驗室曾是 AT& T 的一部分, 而 AT& T 執掌美 國電話網絡。 貝爾實驗室比較像是一所大學, 但你不用授課, 又有實際問題可以探討。 電晶 體在那裡被發明, 資訊理論的奠基者 Claude Shannon27也在那裡任職。 此外, 舉例來說, Unix 作業系統是在那裡創建的。 我們有個非常強大的數學團隊, 金芳蓉隸屬其中; 我和她 的指導老師 Herb Wilf28初結識時, 是在貝爾實驗室, 而不是在 Wilf 執教的費城。
但世局多變, 變動速度與日俱增, 我剛去那裡時, 其他人告訴我, 我的研究成果在未來一、 二 十年還無法應用, 我想這倒無妨, 反正之後他們仍會在那裡, 可以利用我的成果。 而今, 三年 就被認為是非常長的時段了, 因為電腦世界三年已歷經兩代。 我正在用的 iPhone 6+, 已 經落伍了。
葉: 他們說最新的版本是 iPhone 6s, 很快就要出 iphone 7 了!
G: 下一代的產品通常較優質, 但不會比較便宜, 而且總會在不久之後問世; 何必現在購入呢?
我們通常用 Apple 的產品, 決定試試看 Android 手機, 買了 Galaxy 6, 很不錯; 它和
21克卜勒猜想 (Kepler conjecture), 1611 年由德國天文學家克卜勒 (Johannes Kepler) 提出, 關乎三維歐氏空間中留下最小空隙 的的裝球方式。
22以形式化的數學語言書寫而成的證明, 不同於以自然語言書寫的非形式化證明。
23Feit-Thompson theorem, 亦稱奇階定理 (odd order theorem), 聲稱: 每一個奇階有限群都可解, 由 Walter Feit (1930∼
2004)和 John Griggs Thompson (1932∼) 於 1963 年提出證明。
24John Griggs Thompson (1932∼), 美國數學家, 1963 年與 Walter Feit 證明奇階定理, 之後在分類不可解集及逆 Galois 問 題有根本性貢獻, 證明怪獸群為 Galois 群, 且發現命名為 Thompson 群的散在有限單群。 1970、 1986、 2008 年分別獲頒費爾茲 獎、 Wolf 獎、 Abel 獎。
25Research Announcement : Every planar map is four colorable. Bull. Amer. Math. Soc., 1976, 82 (5): 711-712.
26Kenneth Appel和 Wolfgang Haken 於 1986 年發表於 The Mathematical Intelligencer, 8(1): 10-20 的文章。
27Claude Elwood Shannon (1916∼2001), 出生於美國。 1948 年發表的論文 「通訊的數學原理」, 以機率論為重要工具, 並提出資 訊熵的概念, 奠定了現代資訊理論。 二戰期間, 他為密碼破譯和保密通訊做出巨大貢獻。
28Herbert Saul Wilf (1931∼2012), 美國數學家, 專精圖論, 生前任教於賓州大學。
iPhone 稍有不同 , 但有些很好的特性。 這些公司必須競爭, 精益求精。 這有點像在學習;
做符號計算29(Symbolic Computation) 時, 我通常使用 Maple, 儘管大家都用 Mathe- matica、 Matlab 和 Sage。 最麻煩的是轉換軟體, 要經歷一番學習過程, 譬如: 用什麼方式 宣告列表 (list)、 字串或向量? 要把小括號、 中括號、 大括號放在那裡? 什麼時候應該要用 分號終止指令? 不變不換較為省事 (Apple 產品又是另一回事)。 但世界很大, 你應該多體 驗。 我在貝爾實驗室的工作, 容許我四處旅行, 因此有時我整學期到外地授課。 我也到實驗 室附近的西東大學 (Seton Hall University) 學中文。
大自然的運行致使你接觸到許多好問題。 來自大自然的某些東西, 可能正好促成某些事情。
舉例來說, 我們曾遇到過一個涉及雷射的問題, 希望雷射中有某些光的介質, 好讓光經過時 吸收能量; 我們的構想是在每一端放一面鏡子, 讓光束來回多次, 汲取大量能量。 但你必須 讓光束離開雷射, 所以你在一端放個小洞, 好讓光束逃逸。 光束的影像在每一端都由小圓圈 組成。 最終要找的, 是這些圓圈所覆蓋的區域範圍。 我們為這些圓圈找到極佳的模式。 組裝 好配置後, 我們希望看到它運作。 麻煩的是, 光束落在紅外線光譜, 所以我們無法看到任何 東西。 嗯, 不論如何, 它可以運作。
劉: 數學有許多面向。 你認為來日的數學研究本質上會是如何?
G: 這問題很有意思。 菲爾茲獎得主 Timothy Gowers30近日在一篇文章31中談到: 2099 年之 前, 電腦或可完成所有重要的數學。 電腦會提出猜想、 找到證明。 而數學家的工作, 是試著 去理解和運用其中的一些結果。
電腦不斷地進步。 我在日前的演講32 提到, 某位人工智慧的研究員編寫了程式 「Graffiti」33, 從而提出圖論方面的諸多猜想, 目前猜想個數已達六千; 金芳蓉幾年前對其中一個猜想找到 一個不很顯然的證明。 編寫它的研究員表示, 最困難的是去判斷各個猜想是否有趣。 目前的 電腦並不是那麼擅長找證明, 但它們至少還善於做猜想。
你可以在多項式時間內分解整數嗎? 如今有了所謂的量子運算; 如果你造出真的量子電腦, 就可以在多項式時間內分解整數。 那麼, 有任何造不成它的理由嗎? 物理學家起初預期會有 難以克服的天然障礙, 但目前普遍認同打造成功的可能性。 困難的是, 纏結的 (entangled) 量子位元 (qubits) 要夠多, 且要孤立夠久, 方可做出有趣的事。 近千個量子位元可能就夠 用, 但目前的系統僅有數十個位元。 不過, 實驗學家十分聰明機智, 我們且拭目以待, 等個幾 年。
29意指用電腦推導數學公式。
30Sir William Timothy Gowers (1963∼), 英國數學家, 研究領域涵蓋泛函分析及組合學, 1998 年獲頒菲爾茲獎。 他發起網上 Polymath Project,集結眾人之才智解決數學難題。
31W. T. Gowers, Rough Structure and Classification, Geom. Func. Anal., Special Vol. 2000, 79-117.
32Ronald Graham,電腦與數學 : 問題與展望, 數學傳播 42 卷第 2 期, 3-24。
33休士頓大學的 Siemion Fajtlowicz。
葉: 南京大學的孫智偉是計算數論 (Computational number theory) 學家, 提出了很多很多 組合數論方面的猜想。 對第 n 個質數的性質, 他總能提出出人意表的猜想。
G: 他做了許多電腦實驗。 幾年前, 他實地走訪加州一學期。 當年六月在溫哥華有個會議, 他和 姚期智等多人與會, Don Knuth34也在那裡待了五天, 十分難得!
葉: 正如你所言, 許多人在用電腦。
G: 沒錯。 質數看似隨機出現, 很多很多的猜想植基於此。 但事實上質數不是隨機的。 正因為它 們不隨機, 所以有諸多讓人驚嘆的性質。 它們實際上是確定的 (deterministic), 但有些性 質讓它們看似隨機。 如果它們確為隨機, 許多猜想就會有明顯的答案。 舉例來說, 有個我懸 賞一千元的猜想, 是關於二項式係數的中間項 2n
n
, 2n 取 n; 在巴斯卡三角形, 它是每一 行的中央項。 這一項始終是偶數 (這很容易證明)。 有個問題是: 二項式係數的中間項 2n
n
是否和 3 互質? 例如當 n = 3 時, 也就是 6 取 3, 結果為 20。 嗯, 它會和 5 為互質嗎? 再 舉個例, 當 n = 7, 也就是 14 取 7, 等於 3432, 與 5、 7 互質。 這個值 $1000 元的問題是:
對於 2n 取 n, 是否有無限多個 n, 使得2n
n
和 3、 5、 7 都互質? 換句話說, 它和 105 互 質。 我想答案是肯定的。
理由如下述。 任取質數 p, 你或許會問: 二項式係數中間項2n
n
可以被 p 的幾次方整 除? 嗯, 有個方式可得到答案。 將 n 寫成 p 進位展式, 接著加 n, 這麼一加導致 p 增加的 冪數, 就是整除2n
n
的 p的幂數。 意即, 2n
n
不被 p 整除, 若且唯若把 n 加上 n 時 p 的 冪數未增加; 此時, n 以 p 為基底展開的各個係數, 都小於 p/2; 譬如, 當你把 n 寫成 3 進 位, 係數只會是 0 或 1; 寫成 5 進位, 係數只會是 0、 1 或 2; 寫成 7 進位, 係數只會是 0、
1、 2、 3。 那麼, 這三件事會同時發生嗎? 想像你用 3 進位和 5 進位寫一個很大的數字, 它 們的係數應該互不相關 (可能會相關嗎?) 你可以用機率估計: 有多少個不大於 x 的 n 會 讓上述三件事同時發生。 答案約為 x 的 0.01 次方。 幂數為正的事實告訴你, n 應該有無限 多, 但沒有人能證明這答案。
Erd˝os、 Rusza 和我證明了這種狀況會發生於任意兩個質數。 那麼, 對 3、 5、 7、 11 這四 個質數呢? 現在你進行相同的機率計算, 比 x 小且與這四個質數都互質的數, 個數是 x 的負數次方 (此負數很小), 因此其個數是有限的。 3160 似乎是最大的了。 至少到 10 的 10000 次方, 它是最大的, 在 3160 到 1010000 之間沒有其他的, 所以 3160 大概是最大 的。 如果你相信它們的行為具有類隨機性, 則理應如此。 但如果你試圖證明它, 情況可能與 正規數35(normal numbers) 的證明相若。 數字 n 對 b 進位是正規的, 若且唯若 b 進位的 所有可能數字都 (漸近地) 出現相同的次數, 更一般地說, 對所有 k, b 進位的所有可能數字
34Donald Ervin Knuth (1938∼), 出生於美國, 史丹福大學電腦系榮譽退休教授, 對演算法的複雜度理論有重要貢獻, 且曾發明排 版軟體 TEX。 1974 年獲頒圖靈獎。
35數字隨機分布且每個數字出現機會均等的實數。
在所有 k-元組 (k-tuple) 都 (漸近地) 出現相同次數。 絕對正規數 (abosolutely normal number) 是那些對每個 b, 它的 b 進位都是正規的數。 幾乎所有數字都是絕對正規, 但沒 人可確實舉出一個實際例子。 這顯示我們還有很多東西要了解。
劉: 這就像幾乎所有數都是超越 數, 卻很難證明特定一個是如此。
葉: 隨機的事物廣受關注。 我聽說你正在研究準隨機性 (quasi-randomness); 那是什麼?
G: 對於行為類同隨機事物的對象, 你樂於找到它們的明確構造, 但如果你可以建構出它們, 就 會更了解它們的性質。 若以 1/2 的機率決定各對頂點是否以邊相連, 會形成一個圖, 而後你 幾乎可確定某些事情。 舉例來說, 如果你著眼於一半的頂點, 那麼你預期多少邊會形成呢?
沒錯, 你會預期半數的邊出現。 或者, 你考慮其鄰接矩陣 (adjacency matrix), i 頂點和 j 頂點有邊相連時 (i, j) 為 1, 否則 (i, j) 為 0。 接著你觀察其特徵值; 對稱矩陣特徵值為實 數, 所以最大的特徵值大約是 n/2, 而其他特徵值為 o(n)。
這是準隨機性。 有幾十個這類性質是等價的; 你的圖如果具備其中一個性質, 必定也會有其 他所有性質。 這種行為很像隨機圖 (random graph)。 Szemer´edi36正則性引理 (regular- ity lemma) 說的其實是: 你把任意一個圖分解成有限數量的子圖, 而後任取兩個子圖, 它 們組成的二分圖 (bipartite graphs) 幾乎可以確定是準隨機的。
2017年, Simons 計算理論研究所 (Simons Institute for the Theory of Computing) 舉辦擬隨機 (pseudo-randomness) 和準隨機 (quasi-randomness) 的特別半年, 我和金 芳蓉都在那裡 · · ·
劉: 在何地?
G: 柏克萊。
劉: 嗯嗯, MSRI37?
G: MSRI在山上, 而這是校園內的新大樓。 很高興去年能待在那裡幾個月! James Simons38是 我在柏克萊的同學。 他賺了大錢, 大量回饋給數學。 有個很好的線上雜誌 Quanta, 你們讀 過嗎? 那是 Simons 基金會發行的, 刊登數學、 物理、 生物等學科的好文章和人物訪談。
劉: 看得出來你從數學中得到許多樂趣, 非常好!
G: 如果它無趣, 何必做它? 是吧? 我告訴學生, 無論你選擇什麼為職業, 最好確實喜歡它; 因為 不論你選擇了什麼, 都將長時間從事它。
36Endre Szemer´edi(1940∼), 任教於 Rutgers 大學, 2012 年獲 Abel 獎。 他對組合數論、 重合幾何及圖論都有重大貢獻。 以他命 名的 Szemer´edi 正則性引理, 在理論電腦科學界廣被使用。
37全名是 Mathematical Sciences Reasearch Institute, 位於美國加州柏克萊。
38James Harries Simons (1938∼), 曾與陳省身提出三維流形的 Chern-Simons 特徵類, 1982 年轉行成立 Rennaisance Technology,運作對沖基金, 身家財產達數十億美元。
你讀過 ICCM39 Notices 嗎? 幾年前, 我首次在那裡發表文章。
許多演講內容經年累積, 而後再參酌最近的成果。 譬如談到張益唐, 目前確認的質數間隙 (prime gap) 已降至 246, 但上次我給演講時是 270, 所以昨天改成 246。 有個網站會登載 當前記錄。 再如當前所知的最大質數40是 277,232,917− 1, 這似乎每隔幾年就會改變。
劉: 有些猜想, 在直觀上很容易掌握, 感受上又令人興奮, 譬如孿生質數猜想, 你可以講給任何 懂乘法表的人聽。 基本上, 還有其他需要花時間解釋的猜想。 你提到未來的數學研究, 其中 一項或可倖存的, 我想是易於解釋又讓人興奮的猜想, 它們顯然會讓人振奮。 譬如孿生質數, 或是 Goldbach 猜想: 任意大於 2 的偶數都是兩個質數的總和。
葉: 沒錯, 兩個質數的總和。
G: 每個大於 2 的數。 最近的結果才剛證明, 每個大於 5 的數都是三個質數的總和。 眾人持續 推動進展, 不過要搞定孿生質數, 我認為需要更多東西。
我喜歡張益唐的故事。 我剛從維基百科得知他現在是 Santa Barbara 的教授。 有部關於他 人生的電影, 非常不錯, 一小時而已, 很平靜, 我喜歡。 他的夫人在加州, 非常活躍又愛跳舞。
我倒不覺得張益唐是個愛跳舞的人。
劉: 我想我們可能要就此打住, 我們聊了一個半小時, 很有意思, 非常感謝你。 希望不久的將來 在台北見到你。
—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 葉永南任職中央研究院數學研究所—
39世界華人數學家聯盟 (International Consortium of Chinese Mathematicians)。
40截至 2019 年一月, 最大已知質數為 282,589,933− 1。
