Chapter 4 分支宣告與程式設計

(1)

Chapter 4 分支宣告與程式設計

Hung-Yuan Fan (范洪源)

Department of Mathematics, National Taiwan Normal University, Taiwan

Spring 2020

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Outline

L1 由上而下的設計方法 L2 虛擬碼的使用 L3 邏輯資料型態 L4 分支

Hung-Yuan Fan (范洪源), Dep. of Math., NTNU, Taiwan Chap. 4, Computer Programming 2/48

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Lecture 1

由上而下的設計方法

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由上而下的設計 (Top-Down Design)

是一種設計流程，首要之務是將一個大型工作計畫分成數個 較小而且較易處理的子計畫。

也是標準化程式設計流程的基礎，這些步驟包括

1 清楚地描述想要解決的問題

2 定義程式所需的輸入以及程式所產生的輸出

3 設計想要實施的演算法

4 把演算法轉換成 MATLAB 宣告式

5 測試完成的 MATLAB 程式

(5)

由上而下的設計 (Top-Down Design)

是一種設計流程，首要之務是將一個大型工作計畫分成數個 較小而且較易處理的子計畫。

也是標準化程式設計流程的基礎，這些步驟包括

1 清楚地描述想要解決的問題

2 定義程式所需的輸入以及程式所產生的輸出

3 設計想要實施的演算法

4 把演算法轉換成 MATLAB 宣告式

5 測試完成的 MATLAB 程式

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程式設計的流程圖

(7)

Lecture 2

虛擬碼的使用

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虛擬碼 (Pseudocode)

以標準格式描述欲執行的演算法。

程式語言 (如 MATLAB、C、FORTRAN) 與英文的混合體。虛擬碼的每一行用簡單又容易理解的英文，來敘述程式設計人員的想法。

它的架構如同一般的程式語言，每一行代表一個特定的想法，或是一小段程式碼，但是每一行的敘述都是英文。為什麼要使用虛擬碼?

1 讓自己及其他人易於了解演算法的設計構想。

2 將虛擬碼轉換成 MATLAB 程式之前，協助組織自己的想法。

3 虛擬碼內容十分有彈性，而且容易修改。

4 虛擬碼對發展演算法是非常有用的!

(9)

程式語言 (如 MATLAB、C、FORTRAN) 與英文的混合體。

虛擬碼的每一行用簡單又容易理解的英文，來敘述程式設計人員的想法。

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它的架構如同一般的程式語言，每一行代表一個特定的想法，或是一小段程式碼，但是每一行的敘述都是英文。

為什麼要使用虛擬碼?

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它的架構如同一般的程式語言，每一行代表一個特定的想法，或是一小段程式碼，但是每一行的敘述都是英文。

為什麼要使用虛擬碼?

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虛擬碼的範例 (華氏溫度轉換為克氏溫度)

INPUT

temperature in degrees Fahrenheit. (華氏溫度)

OUTPUT

temperature in kelvins. (絕對溫度或是克氏溫度)

Step 1

Prompt user to enter temperature in degrees Fahrenheit.

Step 2

Read temperature in degrees Fahrenheit (temp_f).

Step 3

Compute

temp_k

← (5/9) (temp_f - 32) + 273.15.*

Step 4

Write temperature in kelvins.

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MATLAB 程式碼 (承上例)

% 提醒使用者輸入華氏溫度

temp_f = input('Enter the temperature (F): ');

% 將華氏溫度轉換為絕對溫度 ( kelvin) temp_k = (5/9)*(temp_f - 32) + 273.15;

% 輸出計算結果

fprintf('%6.2f (F) = %6.2f (K).

\n',temp_f, temp_k);

(15)

虛擬碼的範例 (一元二次方程式的勘根問題) To solve the root-finding problem

f(x) = ax ²

+ bx + c = 0 with a

̸= 0.

INPUT

coeﬀicients a, b, c.

OUTPUT

approximate root x.

Step 1

Compute the discriminant D = b

² − 4ac.

Step 2

Compute approximate root x to f(x) = 0 using D.

Step 3

OUTPUT(x); STOP.

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虛擬碼的範例 (高斯消去法)

Apply the Gaussian Elimination (GE) to solve a linear system

Mx = b,

where M

∈ R ^N ^×N

is invertible and b

∈ R ^N ^×1

.

INPUT

coeﬀicient matrix M and the N-vector b.

OUTPUT

approximate solution x

∈ R ^N ^×1

.

Step 1

Set A

⁽¹⁾

= [M, b]

∈ R ^N ^×(N+1)

.

Step 2

Use elementary row operations to compute

A = A ⁽¹⁾ → A ⁽²⁾ → · · · → A ^(N ⁻¹⁾ → A ^(N) ,

where A

^(N)

(1 : N, 1 : N) is upper triangular.

Step 3

Use the backward substitution to compute x.

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Lecture 3

邏輯資料型態

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MATLAB 的資料型態

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一般數值 (或浮點數) 資料型態

>> a = 3.2; b = single(3.2);

>> whos

a b

Name Size Bytes Class a 1

× 1 8

double b 1

× 1 4

single

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整數資料型態

n-bit 整數可分為有號（signed）與無號（unsigned）兩種:

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整數資料型態的範例

>> uint8([12 300 -250]) ans =

12 255 0

>> int8(120) + int16(250) Error using +

Integers can only be combined with integers of the same class, or scalar doubles.

>> uint8(12) + uint8(64) >> uint8(12)^3

ans = ans =

76 255

(22)

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整數資料型態的範例

>> uint8([12 300 -250]) ans =

12 255 0

>> uint8(12) + uint8(64) >> uint8(12)^3

ans = ans =

76 255

(23)

整數資料型態的範例

>> uint8([12 300 -250]) ans =

12 255 0

>> uint8(12) + uint8(64) >> uint8(12)^3

ans = ans =

76 255

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字元資料型態

字元資料型態 (char) 是以成對的單引號括起來。

每一個字元佔了兩個位元組 (2 bytes)。

>> str = 'a string';

>> asc = double(str) asc =

97 32 115 116 114 105 110 103

>> char(asc) ans =

a string

>> char(65:90) ans =

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

(25)

字元資料型態

97 32 115 116 114 105 110 103

>> char(asc) ans =

a string

>> char(65:90) ans =

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字元資料型態

97 32 115 116 114 105 110 103

>> char(asc) ans =

a string

>> char(65:90) ans =

(27)

字元資料型態

97 32 115 116 114 105 110 103

>> char(asc) ans =

a string

>> char(65:90)

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邏輯資料型態

MATLAB 以 1 代表運算結果為真 (true)，以 0 代表運算結 果為假 (false)。

邏輯資料型態的變數佔了一個位元組 (1 byte)。

>> a = true a =

1 % 不是數字 1 喔!

>> b = 0; c = logical(b) % 變數 b 是 double 資料型態 c =

0 % c 為邏輯變數，其內存值是假 (false)

>> logical([5 1 0 -2.4]) ans =

1 1 0 1 % 非零元素視為 true，零元素視為 false

(29)

邏輯資料型態

>> a = true a =

1 % 不是數字 1 喔!

>> logical([5 1 0 -2.4]) ans =

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邏輯資料型態

>> a = true a =

1 % 不是數字 1 喔!

>> logical([5 1 0 -2.4]) ans =

(31)

邏輯資料型態

>> a = true a =

1 % 不是數字 1 喔!

>> logical([5 1 0 -2.4])

(32)

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關係運算子 (relational operators)

由運算元間的關係產生邏輯（logical）值。

形式： a

₁

op a

₂

(33)

範例

>> 2 > 4 >> 2 <= 4

ans = ans =

0 1

>> a = [1 0;-2 1]; >> a = [1 0;-2 1];

>> b = 0; >> b = [0 2;-2 -1];

>>

a > b

>>

a >= b

ans = ans =

1 0 0 1

1 0 1 1

(34)

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範例

>> 2 > 4 >> 2 <= 4

ans = ans =

0 1

>> a = [1 0;-2 1]; >> a = [1 0;-2 1];

>> b = 0; >> b = [0 2;-2 -1];

>>

a > b

>>

a >= b

ans = ans =

1 0 0 1

1 0 1 1

(35)

關於 == 與 ∼= 運算子

兩數值以相等運算子（==）運算：

相等：傳回 true 值（1）。

相異：傳回 false 值（0）。

兩數值以不相等運算子（

∼=）運算：

相等：傳回 false 值（0）。相異：傳回 true 值（1）。

電腦計算過程會產生捨入誤差 (roundoff errors) 導致了相 等或不相等測試的失敗。

在某個誤差範圍內判斷兩者之間是否幾乎相等。

(36)

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關於 == 與∼= 運算子

∼=）運算：

相等：傳回 false 值（0）。

相異：傳回 true 值（1）。

(37)

關於 == 與∼= 運算子

∼=）運算：

相等：傳回 false 值（0）。

相異：傳回 true 值（1）。

(38)

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奇怪的運算結果

% 計算 0.01 連加 10 次的結果。

sum = 0;

for

ii = 1:10

sum = sum +

0.01;

end

>> sum == 0.1 ans =

0 % 居然是假的 (false)!!

(39)

奇怪的運算結果

% 計算 0.01 連加 10 次的結果。

sum = 0;

for

ii = 1:10

sum = sum +

0.01;

end

>> sum == 0.1 ans =

0 % 居然是假的 (false)!!

(40)

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在數值計算上，如何判斷兩個浮點數相等?

>> a = 0; b = sin(pi) b =

1.2246e-16

>>

a == b

>>

abs(a-b) < 1.0e-14

ans = ans =

0 (false) 1 (true)

(41)

在數值計算上，如何判斷兩個浮點數相等?

>> a = 0; b = sin(pi) b =

1.2246e-16

>>

a == b

>>

abs(a-b) < 1.0e-14

ans = ans =

0 (false) 1 (true)

(42)

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邏輯運算子

作用在一或兩個邏輯運算元的運算子，並產生一個邏輯值。

總共有五種二元邏輯運算子：

AND（& 與 &&）

OR（| 與 ||）

非相容或互斥 OR（xor）

一元運算子：NOT（

∼）

一般形式： l

₁

op l

₂

一元邏輯運算形式： op l

₁

(43)

邏輯運算子

(44)

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邏輯運算子的真值表

(45)

重要的 MATLAB 邏輯函式 (1/2)

這些函式可以與關係及邏輯運算子一起用來做為分支及迴圈運算的控制。

(46)

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重要的 MATLAB 邏輯函式 (2/2)

(47)

Lecture 4

分支 (Branches)

(48)

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分支架構

分支（branches）是一種 MATLAB 宣告，允許我們選擇想要執行的特定程式區塊（block），而跳過其他部分的程式碼，繼續往下執行直到結束為止。

這些宣告可分成 if 架構、switch 架構，及 try/catch 架構。

(49)

if 與 if-else 選擇性敘述

(50)

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if-else 敘述的流程圖

(51)

if 敘述的範例

i = input(' 請輸入一個數字: ');

% i 的內存值被改變!

if i > 0

% 判斷條件 x = 10; % 敘述主體

end

if-else 敘述的範例

% i 的內存值被改變! if i > 0

% 判斷條件

x = 10; % 敘述主體 1

else

y = 5; % 敘述主體 2

end

(52)

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if 敘述的範例

% i 的內存值被改變!

if i > 0

% 判斷條件 x = 10; % 敘述主體

end

% i 的內存值被改變!

if i > 0

% 判斷條件 x = 10; % 敘述主體 1

else

y = 5; % 敘述主體 2

end

(53)

上述範例的流程圖

(54)

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num = input(' 請輸入一個正整數: ');

if mod(num,2) == 0

fprintf('%g 是偶數

\n',num);

else

fprintf('%g 是奇數

\n',num);

end

(55)

if-elseif-else 選擇性敘述

(56)

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if-elseif-else 敘述的範例

num = input(' 請輸入變數內容: ');

if

isinteger(num)

disp(' 此變數是 n-bit 整數資料型態');

elseif

islogical(num)

disp(' 此變數是邏輯資料型態');

elseif

isfloat(num)

disp(' 此變數是浮點數資料型態');

else

disp(' 此變數是其他資料型態');

end

(57)

範例: 一元二次方程式 (1/6) 1. 宣告或敘述問題

撰寫 MATLAB 程式，求解一元二次方程式的零根 (zeros or roots)，包含相異的實數根、重根，以及複數根。

2. 定義輸入與輸出 鍵入關鍵係數 a,b,c。顯示零根解 x

1,2

= −b ±

√

b

² − 4ac

2a 。 3. 設計演算法

讀取輸入資料。

計算判別式 discriminant = b

² − 4ac。

依據判別式是否大於零、等於零或小於零，各自輸出結果。

(58)

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2. 定義輸入與輸出 鍵入關鍵係數 a,b,c。

顯示零根解 x

1,2

= −b ±

√

b

² − 4ac

2a 。

3. 設計演算法 讀取輸入資料。

² − 4ac。

(59)

2. 定義輸入與輸出 鍵入關鍵係數 a,b,c。

顯示零根解 x

1,2

= −b ±

√

b

² − 4ac

2a 。 3. 設計演算法

讀取輸入資料。

² − 4ac。

(60)

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範例: 一元二次方程式 (2/6)

4. 把演算法轉成 MATLAB 宣告式 (檔名: calc_roots.m)

% Prompt the user for the coefficients

disp('This program solves for the roots of ');

disp('the equation A*X^2 + B*X + C = 0. ');

a = input('Enter the coefficient A: ');

b = input('Enter the coefficient B: ');

c = input('Enter the coefficient C: ');

% Calculate discriminant discriminant = b^2 - 4*a*c;

(61)

4. 把演算法轉成 MATLAB 宣告式 (檔名: calc_roots.m)

% Prompt the user for the coefficients

disp('This program solves for the roots of ');

disp('the equation A*X^2 + B*X + C = 0. ');

a = input('Enter the coefficient A: ');

b = input('Enter the coefficient B: ');

c = input('Enter the coefficient C: ');

% Calculate discriminant discriminant = b^2 - 4*a*c;

(62)

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if

discriminant > 0 % two real roots

x1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a);

x2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2*a);

disp('This equation has two real roots:');

fprintf('x1 = %f

\n', x1);

fprintf('x2 = %f

\n', x2);

elseif

discriminant == 0 % one repeated root x1 = (-b) / (2*a);

disp('This equation has one repeated root:'); fprintf('x1 = x2 = %f

\n', x1);

else

% omplex roots

re_part = (-b) / (2*a);

im_part = sqrt(abs(discriminant)) / (2*a); disp('This equation has complex roots:'); fprintf('x1 = %f +i %f

\n',re_part,im_part);

fprintf('x2 = %f -i %f

\n',re_part,im_part); end

(63)

if

fprintf('x1 = %f

\n', x1);

fprintf('x2 = %f

\n', x2);

elseif

disp('This equation has one repeated root:');

fprintf('x1 = x2 = %f

\n', x1);

else

% omplex roots

re_part = (-b) / (2*a);

im_part = sqrt(abs(discriminant)) / (2*a); disp('This equation has complex roots:'); fprintf('x1 = %f +i %f

\n',re_part,im_part);

end

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if

fprintf('x1 = %f

\n', x1);

fprintf('x2 = %f

\n', x2);

elseif

disp('This equation has one repeated root:');

fprintf('x1 = x2 = %f

\n', x1);

else

% omplex roots

re_part = (-b) / (2*a);

im_part = sqrt(abs(discriminant)) / (2*a);

disp('This equation has complex roots:');

fprintf('x1 = %f +i %f

\n',re_part,im_part);

end

(65)

範例: 一元二次方程式 (4/6) 5. 測試程式

>> calc_roots

This program solves for the roots of the equation A*X^2 + B*X + C = 0.

Enter the coefficient A: 1 Enter the coefficient B: 5 Enter the coefficient C: 6

This equation has two real roots: x1 = -2.000000

x2 = -3.000000

(66)

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範例: 一元二次方程式 (4/6) 5. 測試程式

>> calc_roots

This equation has two real roots:

x1 = -2.000000 x2 = -3.000000

(67)

>> calc_roots

This equation has one repeated root:

x1 = x2 = -2.000000

(68)

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>> calc_roots

This equation has one repeated root:

x1 = x2 = -2.000000

(69)

>> calc_roots

This equation has complex roots: x1 = -1.000000 +i 2.000000

x2 = -1.000000 -i 2.000000

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>> calc_roots

This equation has complex roots:

x1 = -1.000000 +i 2.000000 x2 = -1.000000 -i 2.000000

(71)

switch-case-otherwise 敘述

(72)

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Remarks

switch 架構是另一種分支架構的形式。

switch 架構中的運算式或選擇值允許依據

1 整數值

2 字元字串

3 邏輯敘述

選擇執行某個特定程式區塊。

(73)

switch-case-otherwise 敘述的範例

value = input(' 請輸入介於 1 到 10 之間的正整數: ');

switch

value

case

{1,3,5,7,9}

disp(' 此數字是一個奇數。');

case

{2,4,6,8,10}

disp(' 此數字是一個偶數。');

otherwise

disp(' 此數字不在預設範圍內喔!');

end

(74)

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switch-case-otherwise 敘述的範例

method = input('Enter the name of method: ','s');

switch

method

case

{'linear','bilinear'}

disp('Linear/Bilinear method.');

case

'cubic'

disp('Cubic method.');

otherwise

disp('Unknown method!');

end

(75)

Chapter 4 分支宣告與程式設計

Chapter 4

分支宣告與程式設計

Department of Mathematics, National Taiwan Normal University, Taiwan

Outline

Lecture 1

由上而下的設計方法

程式設計的流程圖

Lecture 2

虛擬碼的使用

INPUT

OUTPUT

Step 1

Step 2

Step 3

← (5/9) * (temp_f - 32) + 273.15.

Step 4

\n',temp_f, temp_k);

f(x) = ax 2

̸= 0.

INPUT

OUTPUT

Step 1

2 − 4ac.

Step 2

Step 3

Mx = b,

∈ R N ×N

∈ R N ×1

INPUT

OUTPUT

∈ R N ×1

Step 1

(1)

∈ R N ×(N+1)

Step 2

A = A (1) → A (2) → · · · → A (N −1) → A (N) ,

(N)

Step 3

Lecture 3

邏輯資料型態

MATLAB 的資料型態

一般數值 (或浮點數) 資料型態

a b

× 1 8

× 1 4

整數資料型態

整數資料型態的範例

整數資料型態的範例

整數資料型態的範例

字元資料型態

字元資料型態

字元資料型態

字元資料型態

邏輯資料型態

邏輯資料型態

邏輯資料型態

邏輯資料型態

關係運算子 (relational operators)

1

2

範例

a > b

a >= b

範例

a > b

a >= b

∼=）運算：

∼=）運算：

∼=）運算：

for

0.01;

end

for

0.01;

end

1.2246e-16

a == b

abs(a-b) < 1.0e-14

0 (false) 1 (true)

← (5/9) (temp_f - 32) + 273.15.*

f(x) = ax ²

² − 4ac.

∈ R ^N ^×N

∈ R ^N ^×1

∈ R ^N ^×1

⁽¹⁾

∈ R ^N ^×(N+1)

A = A ⁽¹⁾ → A ⁽²⁾ → · · · → A ^(N ⁻¹⁾ → A ^(N) ,

^(N)

₁

₂

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